Este trabalho de pesquisa tem por objetivo tratar de teorias de Galois para o caso de ação de grupóides sobre anéis, focalizando especialmente em construir e analisar teoremas de correspondência, tendo como ponto de partida a teoria desenvolvida por Chase, Harrison e Rosenberg em [8]. / This research aims to address theories of Galois for the case of groupoids action over rings, focusing especially on building and analyzing correspondence's theorems, taking as its starting point the theory developed by Chase, Harrison and Rosenberg in [8].

Nesta dissertação realizamos um estudo sobre dois resultados clássicos da literatura referentes à dualidade para ação de álgebras de Hopf: a dualidade de Cohen-Montgomery e a dualidade de Blattner-Montgomery. No primeiro caso estendemos o resultado de Cohen-Montgomery ao contexto de ação parcial de grupos e no segundo caso estendemos o resultado de Blattner-Montgomery ao contexto de ação parcial de álgebras de Hopf. Esta dissertação foi elaborada tendo como base o artigo de C. Lomp, "Duality for partial groups actions", arXiv: 0711.0849v1[math.RA], 2007. / In this dissertation we are concerned with the following two classical results on duality: the Cohen-Montgomery duality and the Blattner-Montgomery duality; and we present their corresponding versions in the context of partial action of groups and partial actions of Hopf algebras, respectively. The subject of this dissertation is based on the C. Lomp’s paper: "Duality for partial group actions", arXiv: 0711.0849v1 [math.RA], 2007.

Seja C uma curva quártica plana lisa sobre o corpo k = C, K seu corpo de funções racionais e P um ponto de C. Neste trabalho estudamos a extensão de corpos K/Kp gerada pela projeção πP : C ! P1. Calculamos seu fecho de Galois Lp e caracterizamos topologicamente o modelo não singular de Lp . No caso em que K/Kp é de Galois apresentamos equações que definem C. Estimamos também o número de pontos P da quártica tais que K/KP é de Galois. / Let C be a smooth plane quartic curve over the field k = C, let K be its rational function field and let P be a point in C. In this work we study the field extension K/Kp generated by the projection πP : C ! P1. We calculate its Galois closure Lp and characterize topologically the smooth model of Lp . In the case where K/Kp is Galoisian we give defining equations for C. We estimate the number of points P of the quartic such that K/Lp is Galoisian.

Nesta dissertação estudamos extensões pn-cíclicas de um anel comutativo R de característica p, com p primo, via vetores de Witt. Além disso damos uma descrição Z/pnZ - módulo Tn(Z/pn Z, R) das classes de isomorfismos de extensões pn- cíclicas de R. / In this dissertation we atudy cyclic pn-extensions af a commutative ring R of characteriatic p (where p is a prime integer) via Witt vectors. Moreover, we give a descript.ion of the Z/pnZ-module Tn(7L/pn Z, R) o{ the Úlomorphism classes of cyclic pn -extensions of R.

Aqui exploramos a ideia de ação parcial de um grupo sobre um anel. Desenvolvemos a Teoria de Galois Parcial e mostramos como representar uma ação parcial utilizando semirreticulados. / Here we will explore the idea of group partial action in a ring. We develop the Partial Galois Theory and we show how to represent a partial action using semi lattice.

Neste trabalho apresentamos uma forma descritiva, explícita e eficaz de obter polinômios de grau 3 (resp. 5) que realizem o grupo cíclico de ordem 3 (resp. 5) como grupo de Galois, sobre um corpo de característica distinta de 3 (resp. 5) e sem raíz cúbica (resp. quíntica) primitiva da unidade. / In this work we present a effective way to obtain polynomials of degree 3 (resp. 5) whose Galois group is cyclic of order 3 (resp. 5) over any field of characteristic different from 3 (resp. 5) and not containing primitive cubic (resp. quintic) root of unity.

Resumo não disponível

O objetivo deste trabalho é apresentar generalizações de resultados conhecidos na literatura, nos contextos de Ações Parciais de Grupos e de Ações de Grupóides, respectivamente. Dentre estes resultados, exploramos Teoria de Morita e Dualidade para Anéis Graduados [6, Theorem 2.7]. As principais estruturas envolvidas aqui são duas versões do produto smash definido em [17] dentro destes dois novos contextos. / In this work we intend to show generalizations of known results in the literature in the context of Partial Actions of Groups and Groupoids Actions, respectively. Among this results, we explore Morita Theory and Duality for Graded Rings [6, Theorem 2.7]. The main structures involved here are two versions of smash products de ned in [17] whithin these two new contexts.

Nesta dissertação realizamos um estudo sobre dois resultados clássicos da literatura referentes à dualidade para ação de álgebras de Hopf: a dualidade de Cohen-Montgomery e a dualidade de Blattner-Montgomery. No primeiro caso estendemos o resultado de Cohen-Montgomery ao contexto de ação parcial de grupos e no segundo caso estendemos o resultado de Blattner-Montgomery ao contexto de ação parcial de álgebras de Hopf. Esta dissertação foi elaborada tendo como base o artigo de C. Lomp, "Duality for partial groups actions", arXiv: 0711.0849v1[math.RA], 2007. / In this dissertation we are concerned with the following two classical results on duality: the Cohen-Montgomery duality and the Blattner-Montgomery duality; and we present their corresponding versions in the context of partial action of groups and partial actions of Hopf algebras, respectively. The subject of this dissertation is based on the C. Lomp’s paper: "Duality for partial group actions", arXiv: 0711.0849v1 [math.RA], 2007.

Seja C uma curva quártica plana lisa sobre o corpo k = C, K seu corpo de funções racionais e P um ponto de C. Neste trabalho estudamos a extensão de corpos K/Kp gerada pela projeção πP : C ! P1. Calculamos seu fecho de Galois Lp e caracterizamos topologicamente o modelo não singular de Lp . No caso em que K/Kp é de Galois apresentamos equações que definem C. Estimamos também o número de pontos P da quártica tais que K/KP é de Galois. / Let C be a smooth plane quartic curve over the field k = C, let K be its rational function field and let P be a point in C. In this work we study the field extension K/Kp generated by the projection πP : C ! P1. We calculate its Galois closure Lp and characterize topologically the smooth model of Lp . In the case where K/Kp is Galoisian we give defining equations for C. We estimate the number of points P of the quartic such that K/Lp is Galoisian.