Würzburg, Univ., Diss., 2008.

by Song Li-Min. / Thesis (M.Ph.)--Chinese University of Hong Kong, 1987. / Bibliography: leaves 175-178.

Resumo não disponível

This thesis is devoted to application of topological ideas to Galois theory. In the fi rst part we obtain a characterization of branching data that guarantee that a regular mapping from a Riemann surface to the Riemann sphere having this branching data is invertible in radicals. The mappings having such branching data are then studied with emphasis on those exceptional properties of these mappings that single them out among all mappings from a Riemann surface to the Riemann sphere. These results provide a framework for understanding an earlier work of Ritt on rational functions invertible in radicals. In the second part of the thesis we apply topological methods to prove lower bounds in Klein's resolvent problem, i.e. the problem of determining whether a given algebraic function of n variables is a branch of a composition of rational functions and an algebraic function of k variables. The main topological result here is that the smallest dimension of the base-space of a covering from which a given covering over a torus can be induced is equal to the minimal number of generators of the monodromy group of the covering over the torus. This result is then applied for instance to prove the bounds k is at least n/2 in Klein's resolvent problem for the universal algebraic function of degree n and the answer k = n for generic algebraic function of n variables of degree at least 2n.

No description available.

Ο σκοπός της διπλωματικής αυτής εργασίας είναι να κάνουμε μια εισαγωγική μελέτη στην αλγεβρική θεωρία των δικτυωτών και των δικτυωτών Galois, καθώς και να εξετάσουμε τη θεωρία των (αλγεβρικών) προσεγγίσεων και των (λογικών και στατιστικών) συνεπαγωγών για τα δικτυωτά Galois. Στο πρώτο κεφάλαιο, θα ακολουθήσουμε το βιβλίο των Davey & Priestley (2002), για να δώσουμε μία σύντομη ανασκόπηση της μαθηματικής θεωρίας των δικτυωτών, η οποία ονομάζεται ‘τυπική ανάλυση’. Μέσω αυτής, η θεωρία των δικτυωτών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ανάλυση των ιεραρχιών των εννοιών. Είναι γνωστό ότι οι ιεραρχίες εμφανίζονται συχνά και στα μαθηματικά και στον ‘πραγματικό’ κόσμο. Η θεωρία των διατεταγμένων συνόλων και των δικτυωτών μας παρέχει ένα φυσικό πλαίσιο, μέσα στο οποίο μπορούμε να συζητήσουμε και να αναλύσουμε τις ιεραρχίες. Στο δεύτερο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με μια ιδιαίτερη κατηγορία δικτυωτών, τα δικτυωτά Galois. Θα εισαγάγουμε τη μαθηματική θεωρία, η οποία, μέσω των δικτυωτών Galois, παρέχει μια γενική και χρήσιμη αναπαράσταση των διμερών γραφημάτων. Έτσι, θα δείξουμε πώς τα δικτυωτά Galois μπορούν να παράγουν μια μοναδική αναπαράσταση των διμερών γραφημάτων, σε περιπτώσεις που τα περισσότερα εναλλακτικά μοντέλα δημιουργούν διπλές (δυαδικές) αναπαραστάσεις. Επιπλέον, από τις αναπαραστάσεις της μεθόδου των δικτυωτών Galois, μπορούν να εξαχθούν κάποιες χρήσιμες ιδέες για τις δομικές ιδιότητες των διμερών γραφημάτων. Πιο συγκεκριμένα, στο δεύτερο κεφάλαιο θα ακολουθήσουμε την εργασία των Freeman & White (1993) για να παρουσιάσουμε τις μαθηματικές ιδέες για τα δικτυωτά Galois, χρησιμοποιώντας κάποια συγκεκριμένα παραδείγματα διμερών γραφημάτων (που έχουν κοινωνιολογικό ενδιαφέρον). Το κύριο παράδειγμα από αυτά αφορά τις κοινωνικές συνευρέσεις μιας ομάδας γυναικών του Αμερικανικού Νότου. Ως γνωστόν, η γενική θεωρία των δικτυωτών και, ιδιαίτερα, των δικτυωτών Galois μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μια τυπική ανάλυση της κατανομής (sharing) των ιδιοτήτων των αντικειμένων και των τομών των ομάδων αντικειμένων. Η ανάλυση αυτή στηρίζεται πάνω σε μια γνωστή – από την αρχή της δεκαετίας του 1970 – δυαδικότητα, η οποία τυποποιεί τις προσεγγίσεις έκτασης/έντασης, καθώς επίσης και τα μοντέλα εξαγωγής συνεπειών, με τη βοήθεια μιας άλλης φυσικής δυαδικότητας δικτυωτού/ συνεπειών. Σύμφωνα με τον Duquenne (1996b), καθώς το μέγεθος των δικτυωτών Galois μπορεί να αυξάνεται εκθετικά, αυτή η κατασκευή απαιτεί κάποιες διαδικασίες προσέγγισης. Σε αυτές, ο Duquenne εισαγάγει κάποιες ομομορφικές αναγωγές, κατασκευάζοντας τα αντίστοιχα (υπό-)ημιδικτυωτά. Αυτά τα (υπό-)ημιδικτυωτά ορίζονται με μια μικρή τροποποίηση του αρχικού ορισμού των δικτυωτών, μέσω ενός πρόσθετου καταλόγου κάποιων ‘σχεδόν-συνεπειών’, οι οποίες αντικρούονται μόνο από ορισμένα αντι-παραδείγματα στα αρχικά δεδομένα. Σαν παράδειγμα των θεωριών αυτού του κεφαλαίου, θα μελετήσουμε πάλι το δίκτυο των γυναικών του Νότου (που είχαμε συζητήσει στο προηγούμενο κεφάλαιο). Τώρα, η υπολογιστική ανάλυση θα υλοποιηθεί μέσω του γραφικού προγράμματος GLAD του Duquenne. Στο τέταρτο και τελευταίο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με την ανάλυση των στατιστικών συνεπαγωγών (White, 1984; White & McCann 1988). Η ανάλυση αυτή στοχεύει, κατά πρώτο λόγο, στην αυστηρή αξιολόγηση των μηδενικών υποθέσεων της στατιστικής ανεξαρτησίας ως πιθανής πηγής της δομής των δυαδικών δεδομένων. Κατά δεύτερο λόγο, ο σκοπός της ανάλυσης των στατιστικών συνεπαγωγών είναι η κατασκευή ενός μοντέλου διακριτής δομής (Boole) για εκείνες τις στατιστικές αλληλεπιδράσεις, οι οποίες παραμένουν, όταν η μηδενική υπόθεση απορριφθεί για συγκεκριμένα υποσύνολα μεταβλητών. Στο κεφάλαιο αυτό, ακολουθώντας την εργασία του White (1996), θα χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία ανίχνευσης σημάτων, αντί της χρήσης ενός συμβατικού επιπέδου σημαντικότητας, για τον προσδιορισμό των βέλτιστων τερματικών τιμών, δοθέντων των λόγων (πηλίκων) των πραγματικών τιμών προς τις αναμενόμενες τιμές για διάφορα επίπεδα εξαιρέσεων και κανόνων. Έτσι, θα γενικεύσουμε την ανάλυση των διμεταβλητών συνεπαγωγών με σκοπό τη βελτίωση της αποτελεσματικότητάς της στις προσεγγίσεις των δικτυωτών. / -

After the new impulse given to the theory of algebraic equations by the discoveries of Lagrange and Vandermonde in 1770, Ruffini tried to solve the problem where Lagrange had left it, i.e., proved the impossibility of solving by radicals the general equation of the fifth degree. His proof still remains unclear but nevertheless is very similar to the proof obtained by Abel later. Looking for new types of equations solvable by radicals, the latter reached the conception of "abelian" extensions and showed the solvability by radicals in this case. He defined the notion of irreducible polynomials over a given field. After him, Galois defined what was to be called the Galois group of a polynomial and showed that a polynomial is solvable by radicals if its Galois group is solvable. [...]

No description available.

This thesis is devoted to application of topological ideas to Galois theory. In the fi rst part we obtain a characterization of branching data that guarantee that a regular mapping from a Riemann surface to the Riemann sphere having this branching data is invertible in radicals. The mappings having such branching data are then studied with emphasis on those exceptional properties of these mappings that single them out among all mappings from a Riemann surface to the Riemann sphere. These results provide a framework for understanding an earlier work of Ritt on rational functions invertible in radicals. In the second part of the thesis we apply topological methods to prove lower bounds in Klein's resolvent problem, i.e. the problem of determining whether a given algebraic function of n variables is a branch of a composition of rational functions and an algebraic function of k variables. The main topological result here is that the smallest dimension of the base-space of a covering from which a given covering over a torus can be induced is equal to the minimal number of generators of the monodromy group of the covering over the torus. This result is then applied for instance to prove the bounds k is at least n/2 in Klein's resolvent problem for the universal algebraic function of degree n and the answer k = n for generic algebraic function of n variables of degree at least 2n.

Thesis (M.S.)--Oregon State College, 1952. / Typescript. Includes bibliographical references (leaf 21). Also available on the World Wide Web.