L’objet de cette thèse est d’étudier plusieurs modèles probabilistes reliant les marches aléatoires et les arbres aléatoires issus de processus de branchement critiques.Dans la première partie, nous nous intéressons au modèle de marche aléatoire à valeurs dans un réseau euclidien et indexée par un arbre de Galton–Watson critique conditionné par la taille. Sous certaines hypothèses sur la loi de reproduction critique et la loi de saut centrée, nous obtenons, dans toutes les dimensions, la vitesse de croissance asymptotique du nombre de points visités par cette marche, lorsque la taille de l’arbre tend vers l’infini. Ces résultats nous permettent aussi de décrire le comportement asymptotique du nombre de points visités par une marche aléatoire branchante, quand la taille de la population initiale tend vers l’infini. Nous traitons également en parallèle certains cas où la marche aléatoire possède une dérive constante non nulle.Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur les propriétés fractales de la mesure harmonique des grands arbres de Galton–Watson critiques. On comprend par mesure harmonique la distribution de sortie, hors d’une boule centrée à la racine de l’arbre, d’une marche aléatoire simple sur cet arbre. Lorsque la loi de reproduction critique appartient au domaine d’attraction d’une loi stable, nous prouvons que la masse de la mesure harmonique est asymptotiquement concentrée sur une partie de la frontière, cette partie ayant une taille négligeable par rapport à celle de la frontière. En supposant que la loi de reproduction critique a une variance finie, nous arrivons à évaluer la masse de la mesure harmonique portée par un sommet de la frontière choisi uniformément au hasard. / The aim of this Ph. D. thesis is to study several probabilistic models linking the random walks and the random trees arising from critical branching processes.In the first part, we consider the model of random walk taking values in a Euclidean lattice and indexed by a critical Galton–Watson tree conditioned by the total progeny. Under some assumptions on the critical offspring distribution and the centered jump distribution, we obtain, in all dimensions, the asymptotic growth rate of the range of this random walk, when the size of the tree tends to infinity. These results also allow us to describe the asymptotic behavior of the range of a branching random walk, when the size of the initial population goes to infinity. In parallel, we treat likewise some cases where the random walk has a non-zero constant drift.In the second part, we focus on the fractal properties of the harmonic measure on large critical Galton–Watson trees. By harmonic measure, we mean the exit distribution from a ball centered at the root of the tree by simple random walk on this tree. If the critical offspring distribution is in the domain of attraction of a stable distribution, we prove that the mass of the harmonic measure is asymptotically concentrated on a boundary subset of negligible size with respect to that of the boundary. Assuming that the critical offspring distribution has a finite variance, we are able to calculate the mass of the harmonic measure carried by a random vertex uniformly chosen from the boundary.

Cette thèse se compose de quatre chapitres:Le chapitre 1 étudie la distribution du temps de coalescence (plus récent ancêtre commun) de deux individus tirés au hasard (uniformly) dans la génération actuelle d'un processus de Bienaymé-Galton-Watson en temps continu.Dans le chapitre 2, nous obtenons une représentation de la diffusion de Feller logistique en termes des temps locaux d'un mouvement brownien réfléchi H avec une dérive qui est affine en le temps local accumulé par H à son niveau actuel.Le chapitre 3 considère la diffusion de Feller avec compétition générale. Nous donnons des conditions précises sur le terme de la concurrence, pour le but de décider si le temps d'extinction (qui est aussi la hauteur du processus) reste borné ou non lorsque la taille initiale de la population tend vers l'infini, et de même pour la masse totale du processus.Dans le chapitre 4, nous généralisons les résultats du chapitre 3 pour le cas du processus de branchement à espace d'état continu avec compétition à trajectoires discontinues. / This thesis consists of four chapters:Chapter 1 investigates the distribution of the coalescence time (most recent common ancestor) for two individuals picked at random (uniformly) in the current generation of a continuous time Bienaymé-Galton-Watson process.In chapter 2 we obtain a Ray-Knight representation of Feller's branching diffusion with logistic growth in terms of the local times of a reflected Brownian motion H with a drift that is affine in the local time accumulated by H at its current level.Chapter 3 considers the Feller's branching diffusion with general competition. We give precise conditions on the competition term, in order to decide whether the extinction time (which is also the height of the process) remains or not bounded as the initial population size tends to infinity, and similarly for the total mass of the process.In chapter 4 we generalize the results of chapter 3 to the case of continuous state branching process with competition which has discontinuous paths.

Cette thèse se divise en deux parties. Nous nous intéressons dans un premier temps à des fragmentations d'arbres aléatoires, et aux arbres des coupes associés. Dans le cadre discret, les modèles étudiés sont des arbres de Galton-Watson, fragmentés en enlevant successivement des arêtes choisies au hasard. Nous étudions également leurs analogues continus, l'arbre brownien et les arbres stables, que l'on fragmente en supprimant des points donnés par des processus ponctuels de Poisson. L'arbre des coupes associé à l'un de ces processus, discret ou continu, décrit la généalogie des composantes connexes créées au fur et à mesure de la dislocation. Pour une fragmentation qui se concentre autour de nœuds de grand degré, nous montrons que l'arbre des coupes continu est la limite d'échelle des arbres des coupes discrets correspondants. Dans les cas brownien et stable, nous montrons également que l'on peut reconstruire l'arbre initial à partir de son arbre des coupes et d'un étiquetage bien choisi de ses points de branchement. Nous étudions ensuite un problème portant sur les cartes aléatoires, et plus précisément sur la quadrangulation uniforme infinie du plan (UIPQ). De récents résultats montrent que dans l'UIPQ, toutes les géodésiques infinies issues de la racine sont essentiellement similaires. Nous déterminons la quadrangulation limite obtenue en ré-enracinant l'UIPQ ''à l'infini'' sur de l'une de ces géodésiques. Cette étude se fait en découpant l'UIPQ le long de cette géodésique. Nous étudions les deux parties ainsi créées via une correspondance avec des arbres discrets, puis nous obtenons la limite souhaitée par recollement. / This PhD thesis is divided into two parts. First, we study some fragmentations of random trees and the associated cut-trees. The discrete models we are interested in are Galton-Watson trees, which are cut down by recursively removing random edges. We also consider their continuous counterparts, the Brownian and stable trees, which are fragmented by deleting the atoms of Poisson point processes. For these discrete and continuous models, the associated cut-tree describes the genealogy of the connected components which appear during the cutting procedure. We show that for a ''vertex-fragmentation'', in which the nodes having a large degree are more susceptible to be deleted, the continuous cut-tree is the scaling limit of the corresponding discrete cut-trees. In the Brownian and stable cases, we also give a transformation which rebuilds the initial tree from its cut-tree and a well chosen labeling of its branchpoints. The second part relates to random maps, and more precisely the uniform infinite quadrangulation of the plane (UIPQ). Recent results show that in the UIPQ, all infinite geodesic rays originating from the root are essentially similar. We identify the limit quadrangulation obtained by rerooting the UIPQ at a point ''at infinity'' on one of these geodesics. To do this, we split the UIPQ along this geodesic ray. Using a correspondence with discrete trees, we study the two sides, and obtain the desired limit by gluing them back together.

Cette thèse s'articule autour de la problématique de l'extinction de populations comportant différents types d'individus, et plus particulièrement de leur comportement avant extinction et/ou en cas d'une extinction très tardive. Nous étudions cette question d'un point de vue strictement probabiliste, puis du point de vue de l'analyse des risques liés à l'extinction pour un modèle particulier de dynamique de population, et proposons plusieurs outils statistiques. La taille de la population est modélisée soit par un processus de branchement de type Bienaymé-Galton-Watson à temps continu multitype (BGWc), soit par son équivalent dans un espace de valeurs continu, le processus de diffusion de Feller multitype. Nous nous intéressons à différents types de conditionnement à la non-extinction, et aux états d'équilibre associés. Ces conditionnements ont déjà été largement étudiés dans le cas monotype. Cependant la littérature relative aux processus multitypes est beaucoup moins riche, et il n'existe pas de travail systématique établissant des connexions entre les résultats concernant les processus BGWc et ceux concernant les processus de diffusion de Feller. Nous nous y sommes attelés. Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons au comportement de la population avant son extinction, en conditionnant le processus de branchement X_t à la non-extinction (X_t≠0), ou plus généralement à la non-extinction dans un futur proche 0≤θ<∞ (X_{t+θ}≠0), et en faisant tendre t vers l'infini. Nous prouvons le résultat, nouveau dans le cadre multitype et pour θ>0, que cette limite existe et est non-dégénérée, traduisant ainsi un comportement stationnaire pour la dynamique de la population conditionnée à la non-extinction, et offrant une généralisation de la limite dite de Yaglom (correspondant au cas θ=0). Nous étudions dans un second temps le comportement de la population en cas d'une extinction très tardive, obtenu comme limite lorsque θ tends vers l'infini du processus X_t conditionné par X_{t+θ}≠0. Le processus conditionné ainsi obtenu est un objet connu dans le cadre monotype (parfois dénommé Q-processus), et a également été étudié lorsque le processus X_t est un processus de diffusion de Feller multitype. Nous examinons le cas encore non considéré où X_t est un BGWc multitype, prouvons l'existence du Q-processus associé, examinons ses propriétés, notamment asymptotiques, et en proposons plusieurs interprétations. Enfin, nous nous intéressons aux échanges de limites en t et en θ, ainsi qu'à la commutativité encore non étudiée de ces limites vis-à-vis de la relation de type grande densité reliant processus BGWc et processus de Feller. Nous prouvons ainsi une liste exhaustive et originale de tous les échanges de limites possibles (limite en temps t, retard de l'extinction θ, limite de diffusion). La deuxième partie de ce travail est consacrée à l'analyse des risques liés à l'extinction d'une population et à son extinction tardive. Nous considérons un certain modèle de population branchante (apparaissant notamment dans un contexte épidémiologique) pour lequel un paramètre lié aux premiers moments de la loi de reproduction est inconnu, et construisons plusieurs estimateurs adaptés à différentes phases de l'évolution de la population (phase de croissance, phase de décroissance, phase de décroissance lorsque l'extinction est supposée tardive), prouvant de plus leurs propriétés asymptotiques (consistance, normalité). En particulier, nous construisons un estimateur des moindres carrés adapté au Q-processus, permettant ainsi une prédiction de l'évolution de la population dans le meilleur ou le pire des cas (selon que la population est menacée ou au contraire invasive), à savoir celui d'une extinction tardive. Ces outils nous permettent d'étudier la phase d'extinction de l'épidémie d'Encéphalopathie Spongiforme Bovine en Grande-Bretagne, pour laquelle nous estimons le paramètre d'infection correspondant à une possible source d'infection horizontale persistant après la suppression en 1988 de la voie principale d'infection (farines animales). Cela nous permet de prédire l'évolution de la propagation de la maladie, notamment l'année d'extinction, le nombre de cas à venir et le nombre d'animaux infectés, et en particulier de produire une analyse très fine de l'évolution de l'épidémie dans le cas peu probable d'une extinction très tardive.

In this work, we are interested in Growth of Galton-Watson trees under two different models: (1) Galton-Watson (GW) forests with lifetimes and/or immigrants, and (2) Galton-Watson forests with mutation, which we call Galton-Watson-Clone-Mutant forests, or GWCMforests. Under each model, we study certain consistent families (Fλ)λ≥0 of GW/GWCM forests and associated decompositions that include backbone decomposition as studied by many authors. Specifically, consistency here refers to the property that for each μ ≤ λ, the forest Fμ has the same distribution as the subforest of Fλ spanned by the blue leaves in a Bernoulli leaf colouring, where each leaf of Fλ is coloured in blue independently with probability μ/λ. In the first model, the case of exponentially distributed lifetimes and no immigration was studied by Duquesne and Winkel and related to the genealogy of Markovian continuous-state branching processes (CSBP). We characterise here such families in the framework of arbitrary lifetime distributions and immigration according to a renewal process, and show convergence to Sagitov’s (non-Markovian) generalisation of continuous-state branching renewal processes, and related processes with immigration. In the second model, we characterise such families in terms of certain bivariate CSBP with branching mechanisms studied previously by Watanabe and show associated convergence results. This is related to, but more general than Bertoin’s study of GWCM trees, and also ties in with work by Abraham and Delmas, who study directly some of the limiting processes.

Nous étudions, dans cette thèse, le modèle de branchement avec duplication des trajectoires d'abord introduit pour l'étude des événements rares destiné à accélérer la simulation. Dans cette technique, les échantillons sont dupliqués en $R$ copies à différents niveaux pendant la simulation. L'optimisation de l'algorithme à coût fixé suggère de prendre les probabilités de transition entre les niveaux égales à une constante et de dupliquer un nombre égal à l'inverse de cette constante, nombre qui peut être non entier. Nous étudions d'abord la sensibilité de l'erreur relative entre la probabilité d'intérêt $\mathbb{P}(A)$ et <br />son estimateur en fonction de la stratégie adoptée pour avoir des nombres de retirage entiers. <br />Ensuite, puisqu'en pratique les probabilités de transition sont généralement inconnues (et de même pour <br />les nombres de retirages), nous proposons un algorithme en deux étapes pour contourner ce problème. <br />Des applications numériques et comparaisons avec d'autres modèles sont proposés.