Die abgeschlossenen Erweiterungen der sogenannten geometrischen Operatoren (Spin-Dirac, Gauß-Bonnet und Signatur-Operator) auf Mannigfaltigkeiten mit metrischen Hörnern sind Fredholm-Operatoren und ihr Index wurde von Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff und Jochen Brüning berechnet. Es wurde gezeigt, dass die Einschränkungen dieser drei Operatoren auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu irregulär singulären Operator-wertigen Differentialoperatoren erster Ordnung sind. Die Lösungsoperatoren der dazugehörigen Differentialgleichungen definierten eine Parametrix, mit deren Hilfe die Fredholmeigenschaft bewiesen wurde. In der vorliegenden Doktorarbeit wird eine Klasse von irregulären singulären Differentialoperatoren erster Ordnung, genannt Horn-Operatoren, eingeführt, die die obigen Beispiele verallgemeinern. Es wird bewiesen, dass ein elliptischer Differentialoperator erster Ordnung, dessen Einschränkung auf eine punktierte Umgebung des singulären Punkts unitär äquivalent zu einem Horn-Operator ist, Fredholm ist, und sein Index wird berechnet. Schließlich wird dieser abstrakte Index-Satz auf geometrische Operatoren auf Mannigfaltigkeiten mit "multiply warped product"-Singularitäten angewendet, welche eine wesentliche Verallgemeinerung der metrischen Hörner darstellen. / The closed extensions of geometric operators (Spin-Dirac, Gauss-Bonnet and Signature operator) on a manifold with metric horns are Fredholm operators, and their indices were computed by Matthias Lesch, Norbert Peyerimhoff and Jochen Brüning. It was shown that the restrictions of all three operators to a punctured neighbourhood of the singular point are unitary equivalent to a class of irregular singular operator-valued differential operators of first order. The solution operators of the corresponding differential equations defined a parametrix which was applied to prove the Fredholm property. In this thesis a class of irregular singular differential operators of first order - called horn operators - is introduced that extends the examples mentioned above. It is proved that an elliptic differential operator of first order whose restriction to the neighbourhood of the singular point is unitary equivalent to a horn operator is Fredholm and its index is computed. Finally, this abstract index theorem is applied to compute the indices of geometric operators on manifolds with multiply warped product singularities that extend the notion of metric horns considerably.

Το πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά σημεία με βαρύτητες στον R^3 (b.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος n μη συγγραμμικών σημείων στον R^3 να βρεθεί ένα σημείο το οποίο ελαχιστοποιεί το άθροισμα των αποστάσεων με θετικές βαρύτητες του σημείου αυτού από τα n δοσμένα σημεία. Το αντίστροφο πρόβλημα Fermat-Torricelli για n μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία με βαρύτητες στον R^3 (αντ.FT) διατυπώνεται ως εξής: Δοθέντος ενός σημείου που ανήκει στο εσωτερικό ενός κλειστού πολυέδρου που σχηματίζεται από n δοσμένα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, υπάρχει μοναδικά προσδιορίσιμο σύνολο τιμών για τις βαρύτητες που αντιστοιχούν σε κάθε ένα από τα n δοσμένα σημεία, ώστε το σημείο αυτό να επιλύει για τις τιμές αυτές των βαρυτήτων το πρόβλημα b.FT στον R^3; Στην παρούσα διατριβή, αποδεικνύουμε μία γενίκευση της ισογώνιας ιδιότητας του σημείου b.FT για ένα γεωδαισιακό τρίγωνο σε ένα Κ-επίπεδο (Σφαίρα, Υπερβολικό επίπεδο, Ευκλείδειο επίπεδο). Στη συνέχεια, δίνουμε μία αναγκαία συνθήκη για να είναι το σημείο b.FT εσωτερικό σημείο ενός τετραέδρου και ενός πενταέδρου (πυραμίδες) στον R^3. Η δεύτερη ομάδα αποτελεσμάτων της διατριβής περιλαμβάνει τη θετική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για τρία μη γεωδαισιακά σημεία στο Κ-επίπεδο και στο αντ.FT πρόβλημα για τέσσερα μη συγγραμμικά και μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3. Η αρνητική απάντηση στο αντ.FT για τέσσερα μη συγγραμμικά σημεία στον R^2 θα μας οδηγήσει σε σχέσεις εξάρτησης των βαρυτήτων που ονομάζουμε εξισώσεις της δυναμικής πλαστικότητας των τετραπλεύρων. Ομοίως, δίνοντας αρνητική απάντηση στο αντ.FT πρόβλημα για πέντε μη συνεπίπεδα σημεία στον R^3, παίρνουμε τις εξισώσεις δυναμικής πλαστικότητας , διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε την αρχή της πλαστικότητας των κλειστών εξαέδρων στον R^3, που αναφέρει ότι: Έστω ότι πέντε προδιαγεγραμμένα ευθύγραμμα τμήματα συναντώνται στο σημείο b.FT, των οποίων τα άκρα σχηματίζουν ένα κλειστό εξάεδρο. Επιλέγουμε ένα σημείο σε κάθε ημιευθεία που ορίζει το προδιαγεγραμμένο ευθύγραμμο τμήμα, τέτοιο ώστε το τέταρτο σημείο να βρίσκεται πάνω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία και το τρίτο και πέμπτο σημείο να βρίσκονται κάτω από το επίπεδο που σχηματίζεται από την πρώτη και δεύτερη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία. Τότε η μείωση της τιμής της βαρύτητας που αντιστοιχεί στην πρώτη, τρίτη και τέταρτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία προκαλεί αύξηση στις βαρύτητες που αντιστοιχούν στη δεύτερη και πέμπτη προδιαγεγραμμένη ημιευθεία.Τέλος, ένα σημαντικό αποτέλεσμα της διατριβής αφορά την επίλυση του γενικευμένου προβλήματος του Gauss για κυρτά τετράπλευρα στο Κ-επίπεδο, θέτοντας δύο σημεία στο εσωτερικό του κυρτού τετραπλεύρου με ίσες βαρύτητες, τα οποία στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι είναι δύο σημεία b.FT με συγκεκριμμένες βαρύτητες, αποτέλεσμα το οποίο γενικεύει το πρόβλημα b.FT για τετράπλευρα στο Κ-επίπεδo. / The weighted Fermat-Torricelli for n non-collinear points in R^3 states the following: Given n non-collinear points in R^3 find a point (b.FT point) which minimizes the sum of the distances multiplied by a positive number which corresponds to a given point (weight). The inverse Fermat-Torricelli problem for n non-collinear points with weights in R^3 (inv.FT) states the following: Given a point that belongs to the interior of a closed polyhedron which is formed between n given non-collinear points in R^3, does there exist a unique set of weights which corresponds to each one of the n points such that this point solves the weighted Fermat-Torricelli problem for this particular set of weights? In the present thesis, we prove a generalization of the isogonal property of the b.FT point for a geodesic triangle on the K-plane (Sphere, Hyperbolic plane, Euclidean plane). We proceed by giving a sufficient condition to locate the b.FT point at the interior of tetrahedra and pentahedra (pyramids) in R^3. The second group of results contains a positive answer on the inv.FT problem for three points that do not belong to a geodesic arc on the K-plane and on the inv.FT problem for four non collinear points and non coplanar in R^3. The negative answer with respect to the inv.FT problem for four non-collinear points in R^2 lead us to the relations of the dependence between the weights that we call the equations of dynamic plasticity for quadrilaterals. Similarly, by giving a negative answer with respect to the inv.FT problem for five points which do not belong in the same plane in R^3, we derive the equations of dynamic plasticity of closed hexahedra and we prove a plasticity principle of closed hexahedra in R^3, which states that: Considering five prescribed rays which meet at the weighted Fermat-Torricelli point, such that their endpoints form a closed hexahedron, a decrease on the weights that correspond to the first, third and fourth ray, causes an increase to the weights that correspond to the second and fifth ray, where the fourth endpoint is upper from the plane which is formed from the first ray and second ray and the third and fifth endpoint is under the plane which is formed from the first ray and second ray. Finally, a significant result of this thesis deals with the solution of the generalized Gauss problem for convex quadrilaterals on the K-plane in which by setting two points at the interior of the convex quadrilateral with equal weights we prove that these points are weighted Fermat-Torricelli points with specific weights, that generalizes the b.FT problem for quadrilaterals on the K-plane.

Η αυτόματη επεξεργασία εικόνων του ενδομητρίου αποτελεί ένα δύσκολο και πολυδιάστατο πρόβλημα, το οποίο έχει απασχολήσει πλήθος ερευνητών και για το οποίο έχει αναπτυχθεί μεγάλος αριθμός τεχνικών. Στην παρούσα διατριβή, παρουσιάζεται μια μεθοδολογική προσέγγιση, η οποία βασίζεται στη χρήση αλγορίθμων ψηφιακής επεξεργασίας και ανάλυσης εικόνων, για την αυτόματη εκτίμηση χαρακτηριστικών που περιγράφουν την αγγείωση και την υφή εικόνων του ενδομητρίου. Αφορμή της μελέτης αποτελεί ο ρόλος που διαπιστώνεται ότι διαδραματίζει η μεταβολή των τιμών των εν λόγω χαρακτηριστικών στην έγκαιρη διάγνωση των παθήσεων του ενδομητρίου. Στα πλαίσια της διατριβής, υλοποιήθηκε κατάλληλη μεθοδολογία για τον υπολογισμό ενός συνόλου χαρακτηριστικών τόσο για υστεροσκοπικές εικόνες, όσο και για ιστολογικές εικόνες του ενδομητρίου. Ιδιαίτερη βαρύτητα δόθηκε στην προ – επεξεργασία των εικόνων προκειμένου να προκύψει βελτίωση της ποιότητας καθώς και ενίσχυση της αντίθεσης αυτών. Στη συνέχεια, ανιχνεύτηκαν τα σημεία που αποτελούν τους κεντρικούς άξονες των υπό εξέταση αγγείων με χρήση διαφορικού λογισμού για τις υστεροσκοπικές εικόνες και υπολογίστηκε ένα σύνολο χαρακτηριστικών μεγεθών που περιγράφουν την αγγείωση και την υφή των εικόνων τόσο για τις υστεροσκοπικές όσο και για τις ιστολογικές εικόνες. Τέλος, εφαρμόστηκαν κατάλληλοι αλγόριθμοι με σκοπό την κατηγοριοποίηση των υστεροσκοπικών και των ιστολογικών εικόνων και συγκεκριμένα τον διαχωρισμό των παθολογικών και των φυσιολογικών εικόνων του ενδομητρίου. Παράλληλα, χρησιμοποιήθηκε η ROC ανάλυση στην απεικόνιση και ανάλυση της συμπεριφοράς των εν λόγω κατηγοριοποιητών. / Automatic analysis of the endometrial images is a difficult and multidimensional problem. For this reason, the number of papers and techniques regarding this issue is numerous. In this Thesis, a methodology is presented, based on advance image processing techniques in order to automatically estimate texture and vessel’s features in endometrial images. Motivation for the Thesis is the fact that the variation of the measurements of the specific features plays significant role in the seasonable diagnosis of endometrial disorders. Throughout this Thesis, an appropriate methodology is developed in order to estimate the features for the hysteroscopical and histological images of the endometrium. An important step is the pre – processing of the images in order to enhance the image quality and the image contrast. Then, the pixels that constitute the centerlines of vessels are detected by using differential calculus for the hysteroscopical images, only. Furthermore, the texture and vessel’s features in hysteroscopical and histological images are estimated. Finally, appropriate algorithms are applied in order to classify the hysteroscopical and histological images and distinguish pathological and normal endometrial images. ROC analysis is used in order to evaluate the discrimination power of the features that were estimated.

Dans ce mémoire, nous étudions le problème centre-foyer sur un système polynomial. Nous développons ainsi deux mécanismes permettant de conclure qu’un point singulier monodromique dans ce système non-linéaire polynomial est un centre. Le premier mécanisme est la méthode de Darboux. Cette méthode utilise des courbes algébriques invariantes dans la construction d’une intégrale première. La deuxième méthode analyse la réversibilité algébrique ou analytique du système. Un système possédant une singularité monodromique et étant algébriquement ou analytiquement réversible à ce point sera nécessairement un centre. Comme application, dans le dernier chapitre, nous considérons le modèle de Gauss généralisé avec récolte de proies. / In this thesis, we study the center-focus problem in a polynomial system. We describe two mechanisms to conclude that a monodromic singular point in this polynomial system is a center. The first one is the method of Darboux. In this method, one uses invariant algebraic curves to build a first integral. The second method is the algebraic (and analytic) reversibility. A monodromic singularity, which is algebraically or analytically reversible at the singular point, is necessarily a center. As an application, in the last chapter, we consider the generalized Gause model with prey harvesting and a generalized Holling response function of type III.

Les Moments ont été largement utilisés dans la reconnaissance de formes et dans le traitement d'image. Dans cette thèse, nous concentrons notre attention sur les 3D moments orthogonaux de Gauss-Hermite, les moments invariants 2D et 3D de Gauss-Hermite, l'algorithme rapide de l'attribut de cohérence et les applications de l'interprétation sismique en utilisant la méthode des moments.Nous étudions les méthodes de suivi automatique d'horizon sismique à partir de moments de Gauss-Hermite en cas de 1D et de 3D. Nous introduisons une approche basée sur une étude multi-échelle des moments invariants. Les résultats expérimentaux montrent que la méthode des moments 3D de Gauss-Hermite est plus performante que les autres algorithmes populaires.Nous avons également abordé l'analyse des faciès sismiques basée sur les caractéristiques du vecteur à partir des moments 3D de Gauss -Hermite, et la méthode de Cartes Auto-organisatrices avec techniques de visualisation de données. L'excellent résultat de l'analyse des faciès montre que l'environnement intégré donne une meilleure performance dans l'interprétation de la structure des clusters.Enfin, nous introduisons le traitement parallèle et la visualisation de volume. En profitant des nouvelles performances par les technologies multi-threading et multi-cœurs dans le traitement et l'interprétation de données sismiques, nous calculons efficacement des attributs sismiques et nous suivons l'horizon. Nous discutons également l'algorithme de rendu de volume basé sur le moteur Open-Scene-Graph qui permet de mieux comprendre la structure de données sismiques. / Moments have been extensively used in pattern recognition and image processing. In this thesis, we focus our attention on the study of 3D orthogonal Gaussian-Hermite moments, 2D and 3D Gaussian-Hermite moment invariants, fast algorithm of coherency attribute, and applications of seismic interpretation using moments methodology.We conduct seismic horizon auto-tracking methods from Gaussian-Hermite moments and moment invariants. We introduce multi-scale moment invariants approach. The experimental results show that method of 3D Gaussian-Hermite moments performs better than the most popular methods.We also approach seismic facies analysis based on feature vectors from 3D Gaussian-Hermite moments, and Self-Organizing Maps method with data visualization techniques. The excellent result shows that the integrated environment gives the best performance in interpreting the correct cluster structure.Finally, we introduce the parallel processing and volume visualization. Taking advantage of new performances by multi-threading and multi-cores technologies into seismic interpretation, we efficiently compute the seismic attributes and track the horizon. We also discuss volume rendering algorithm based on Open-Scene-Graph engine which provides better insight into the structure of seismic data.

Cette thèse traite d’une routine d’algèbre linéaire largement utilisée pour la résolution des systèmes li- néaires, il s’agit de la factorisation LU. Habituellement, pour calculer une telle décomposition, on utilise l’élimination de Gauss avec pivotage partiel (GEPP). La stabilité numérique de l’élimination de Gauss avec pivotage partiel est caractérisée par un facteur de croissance qui est reste assez petit en pratique. Toutefois, la version parallèle de cet algorithme ne permet pas d’atteindre les bornes inférieures qui ca- ractérisent le coût de communication pour un algorithme donné. En effet, la factorisation d’un bloc de colonnes constitue un goulot d’étranglement en termes de communication. Pour remédier à ce problème, Grigori et al [60] ont développé une factorisation LU qui minimise la communication(CALU) au prix de quelques calculs redondants. En théorie la borne supérieure du facteur de croissance de CALU est plus grande que celle de l’élimination de Gauss avec pivotage partiel, cependant CALU est stable en pratique. Pour améliorer la borne supérieure du facteur de croissance, nous étudions une nouvelle stra- tégie de pivotage utilisant la factorisation QR avec forte révélation de rang. Ainsi nous développons un nouvel algorithme pour la factorisation LU par blocs. La borne supérieure du facteur de croissance de cet algorithme est plus petite que celle de l’élimination de Gauss avec pivotage partiel. Cette stratégie de pivotage est ensuite combinée avec le pivotage basé sur un tournoi pour produire une factorisation LU qui minimise la communication et qui est plus stable que CALU. Pour les systèmes hiérarchiques, plusieurs niveaux de parallélisme sont disponibles. Cependant, aucune des méthodes précédemment ci- tées n’exploite pleinement ces ressources. Nous proposons et étudions alors deux algorithmes récursifs qui utilisent les mêmes principes que CALU mais qui sont plus appropriés pour des architectures à plu- sieurs niveaux de parallélisme. Pour analyser d’une façon précise et réaliste / This dissertation focuses on a widely used linear algebra kernel to solve linear systems, that is the LU decomposition. Usually, to perform such a computation one uses the Gaussian elimination with partial pivoting (GEPP). The backward stability of GEPP depends on a quantity which is referred to as the growth factor, it is known that in general GEPP leads to modest element growth in practice. However its parallel version does not attain the communication lower bounds. Indeed the panel factorization rep- resents a bottleneck in terms of communication. To overcome this communication bottleneck, Grigori et al [60] have developed a communication avoiding LU factorization (CALU), which is asymptotically optimal in terms of communication cost at the cost of some redundant computation. In theory, the upper bound of the growth factor is larger than that of Gaussian elimination with partial pivoting, however CALU is stable in practice. To improve the upper bound of the growth factor, we study a new pivoting strategy based on strong rank revealing QR factorization. Thus we develop a new block algorithm for the LU factorization. This algorithm has a smaller growth factor upper bound compared to Gaussian elimination with partial pivoting. The strong rank revealing pivoting is then combined with tournament pivoting strategy to produce a communication avoiding LU factorization that is more stable than CALU. For hierarchical systems, multiple levels of parallelism are available. However, none of the previously cited methods fully exploit these hierarchical systems. We propose and study two recursive algorithms based on the communication avoiding LU algorithm, which are more suitable for architectures with multiple levels of parallelism. For an accurate and realistic cost analysis of these hierarchical algo- rithms, we introduce a hierarchical parallel performance model that takes into account processor and network hierarchies. This analysis enables us to accurately predict the performance of the hierarchical LU factorization on an exascale platform.

Σκοπός της παρούσας Διπλωματικής Εργασίας είναι η ανάπτυξη συγκεκριμένης μεθοδολογίας και αλγορίθμων ψηφιακής επεξεργασίας εικόνων για την αυτόματη εκτίμηση των διαμέτρων αγγείων σε οφθαλμολογικές εικόνες. Η συγκεκριμένη μέτρηση της διαμέτρου των αγγείων διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στην έγκαιρη διάγνωση παθήσεων καθώς έχει αποδειχθεί ότι υπάρχει συσχετισμός μεταξύ των μεταβολών των τιμών των εν λόγω διαμέτρων και της εμφάνισης αλλοιώσεων στον αμφιβληστροειδή. Στα πλαίσια της εργασίας, υλοποιήθηκαν δύο μεθοδολογίες για τον υπολογισμό των διαμέτρων αγγείων οφθαλμολογικών εικόνων, οι οποίες συλλέγονται με χρήση κάμερας πυθμένα (fundus camera). Η πρώτη μεθοδολογία στηρίζεται στην εύρεση των σημείων που αποτελούν τους κεντρικούς άξονες των υπό εξέταση αγγείων με χρήση διαφορικού λογισμού. Ακολούθως, σε κάθε σημείο που ανήκει σε κεντρικό άξονα αγγείου, υπολογίζονται οι παράμετροι μιας συνάρτησης. Η εν λόγω συνάρτηση περιγράφει βέλτιστα τα επίπεδα φωτεινότητας της εικόνας κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που διέρχεται από το σημείο και είναι κάθετο στο αγγείο. H εύρεση των παραμέτρων της συνάρτησης πραγματοποιείται με χρήση τεχνικών βελτιστοποίησης. Το τελικό βήμα της μεθοδολογίας είναι η εκτίμηση της διαμέτρου των αγγείων από τις τιμές των παραμέτρων που έχουν υπολογιστεί. Η δεύτερη μεθοδολογία στηρίζεται στον αλγόριθμο που προτείνει ο P.H. Gregson. Αρχικά, πραγματοποιείται κατάτμηση της εικόνας με κατωφλίωση και εφαρμόζονται μορφολογικοί τελεστές συστολής και διαστολής στην εικόνα. Στη συνέχεια, εφαρμόζεται ο αλγόριθμος λέπτυνσης (thinning algorithm) με σκοπό την εύρεση των κεντρικών αξόνων των αγγείων και τέλος εκτιμάται η διάμετρος σε κάθε σημείο του κεντρικού άξονα με χρήση των επιπέδων του γκρίζου των εικονοστοιχείων που κείνται στην ευθεία που είναι κάθετη στο αγγείο σε κάθε σημείο του. / The scope of this Thesis is the development of a methodology and advance image processing techniques in order to automatically estimate vessel diameters in ophthalmological images. Motivation for the thesis is the fact that the measurement of vessel diameter plays significant role in the seasonable diagnosis of vascular disorders, as it is believed to be a relation between the variation in diameters and the detection of retinal disorders. In this thesis, two methodologies are developed in order to be applied in ophthalmological images that are collected by using a fundus camera. The first methodology is based on the detection of the pixels that constitute the centerlines of vessels, by using differential calculus. Specifically, at each pixel that belongs to a centerline of vessel, the parameters of a specific function are calculated. This function describes as accurately as possible the intensity levels along the segment that passes through the specific pixel and is perpendicular to the vessel. The parameters of this function are estimated using optimization techniques. The final step of the methodology is the assessment of the diameters of vessels using the values of the parameters. The second methodology is based on the algorithm that P.H.Gregson has proposed. At first, the vessels are detected by tresholding and a morphological closing algorithm is applied. Then, a thinning algorithm is used in order to detect the pixels that constitute the centerlines of the vessels and ultimately the diameter at each pixel of the centerlines is assessed using the gray levels of the pixels that constitute the segment that is perpendicular to the vessel at each specific pixel.

Dans ce mémoire, nous étudions le problème centre-foyer sur un système polynomial. Nous développons ainsi deux mécanismes permettant de conclure qu’un point singulier monodromique dans ce système non-linéaire polynomial est un centre. Le premier mécanisme est la méthode de Darboux. Cette méthode utilise des courbes algébriques invariantes dans la construction d’une intégrale première. La deuxième méthode analyse la réversibilité algébrique ou analytique du système. Un système possédant une singularité monodromique et étant algébriquement ou analytiquement réversible à ce point sera nécessairement un centre. Comme application, dans le dernier chapitre, nous considérons le modèle de Gauss généralisé avec récolte de proies. / In this thesis, we study the center-focus problem in a polynomial system. We describe two mechanisms to conclude that a monodromic singular point in this polynomial system is a center. The first one is the method of Darboux. In this method, one uses invariant algebraic curves to build a first integral. The second method is the algebraic (and analytic) reversibility. A monodromic singularity, which is algebraically or analytically reversible at the singular point, is necessarily a center. As an application, in the last chapter, we consider the generalized Gause model with prey harvesting and a generalized Holling response function of type III.

Les ondes gravitationnelles sont des perturbations de l'espace-temps qui pourraient être détectées par un interféromètre de Michelson avec cavités Fabry-Perot. Plusieurs interféromètres sont à présent en opération: LIGO, Virgo, GEO. Ces instruments ont atteint leur sensibilité nominale et ont accompli plusieurs acquisitions de données scientifiques. Aucune détection n'a été reportée. Advanced Virgo, Advanced LIGO et LCGT sont les projets d'amélioration de sensibilité des détecteurs actuels d'un ordre de grandeur. Ces instruments, dont la construction est en cours, permettront la première détection directe des ondes gravitationnelles. Une ultérieure troisième génération d'instrument offrant une encore plus grande sensibilité est à l'étude. La sensibilité des détecteurs futurs sera limitée par le bruit thermique des miroirs. Cette thèse porte sur deux thèmes liés à la réduction de ce bruit. Le premier concerne la conception optique des cavités stable de Advanced Virgo. Leurs propriétés sont présentées, les arguments en faveur de leur utilisation sont discutés. Une procédure est établie pour achever leur conception optique. Plusieurs configurations sont examinées, conduisant à la sélection de l'une d'entre elles dont on discute les performances optiques. Le deuxième thème concerne l'utilisation des modes de Laguerre-Gauss (LG). On présente les résultats d'une expérience testant la génération d'un mode LG33 avec une optique diffractive et une cavité Fabry-Perot. Ce mode est utilisé dans un interféromètre de Michelson pour démontrer la faisabilité de mesures interférométriques avec des faisceaux non-Gaussiens. L'utilisation des modes LG dans les détecteurs futurs est discutée.

La dégradation géométrique de la voie ballastée sous circulation commerciale nécessite des opérations de maintenance fréquentes et onéreuses. La caractérisation du comportement des procédés de maintenance comme le bourrage, la stabilisation dynamique, est nécessaire pour proposer des améliorations en terme de méthode, paramétrage pour augmenter la pérennité des travaux. La simulation numérique d'une portion de voie soumise à un bourrage ou une stabilisation dynamique permet de comprendre les phénomènes physiques mis en jeu dans le ballast. Toutefois, la complexité numérique de ce problème concernant l'étude de systèmes à très grand nombre de grains et en temps de sollicitation long, demande donc une attention particulière pour une résolution à moindre coût. L'objectif de cette thèse est de développer un outil de calcul numérique performant qui permet de réaliser des calculs dédiés à ce grand problème granulaire moins consommateur en temps. La méthodologie utilisée ici se base sur l'approche Non Smooth Contact Dynamics (NSCD) avec une discrétisation par Éléments Discrets (DEM). Dans ce cadre, une méthode de décomposition de domaine (DDM) alliée à une parallélisation adaptée en environnement à mémoire partagée utilisant OpenMP sont appliquées pour améliorer l'efficacité de la simulation numérique.