Orientador: Irineu Bicudo / Banca: Henrique Lazari / Banca: Carlos Roberto de Moraes / Resumo: O objetivo desta pesquisa é analisar o desenvolvimento histórico da obra clássica de geometria, Os Elementos, de Euclides e os fundamentos da geometria proposto por David Hilbert em seu livro Grundlangen der Geometrie (Fundamentos da Geometria), estudando a estrutura axiomática da geometria abordada por cada autor. O rigor dedutivo utilizado por Euclides, apoiado na lógica clássica de Aristóteles, recebeu diversas críticas de matemáticos modernos no que tange a lacunas no seu sistema dedutivo. As diversas incertezas em relação ao sistema axiomático ameaçavam seu desenvolvimento lógico e especificamente, tratando-se da geometria, surgiram muitas discussões sobre a aceitação do quinto postulado de Euclides. Somente no final do século XIX os sistemas axiomáticos alcançavam níveis profundos nos fundamentos da geometria e, na tentativa de completar a axiomática da geometria, Hilbert publica os Grundlangen der Geometrie, abordagem axiomática mais amplamente adotada na geometria euclidiana. Neste contexto, discutimos as diferentes concepções dos sistemas axiomáticos clássicos e modernos, estudando seus significados lógicos e suas relações com os objetos da geometria. Como parte das reflexões finais, o presente trabalho destaca algumas considerações sobre o conceito de movimento em geometria e uma possível abordagem axiomática da mesma / Abstract: The objective of this research is to analyze the historical development of the classical work of geometry named The Elements and written by Euclid and the foundations of geometry Grundlangen der Geometrie (Foundations of Geometry) written by David Hilbert by studying the axiomatic structure of geometry dealt with by each author. The deductive rigor used by Euclid, which is based on the classical logic of Aristotle, has received several criticisms from modern mathematicians with regard to the gaps in its mathematical deductive system. The various uncertainties regarding the axiomatic system threatened its logical development and in the specific case of geometry, many discussions arose on the acceptance of the Euclid's fifth postulate. Only in the late nineteenth century, axiomatic systems reached deeper levels in the foundations of geometry and, in an attempt to complete the axiomatic geometry, Hilbert publishes "Grundlangen der Geometrie", which is the axiomatic approach more widely adopted in the Euclidean geometry. In this context, we discuss the different concepts of classical and modern axiomatic systems , studying their logical meanings and its relations with the objects of geometry . As part of the final thoughts , this paper highlights some considerations on the concept of motion in geometry and a possible axiomatic approach to it / Mestre

Orientador: Henrique Lazari / Banca: Heloisa da Silva / Banca: Carlos Roberto de Moraes / Resumo: Esta pesquisa apresenta o ponto de vista e as opiniões que um grupo de professores formadores considera como deve ser abordada a Geometria Euclidiana em um curso de Licenciatura em Matemática para que o professor tenha uma formação geométrica adequada ao exercício da docência na Educação Básica. A coleta de dados se deu por meio de entrevistas semiestruturadas, procurando identificar as considerações dos entrevistados em relação a temas como o nível de rigor com que trabalham a axiomatização e formalização da geometria, das estratégias e da importância do uso da régua e do compasso e, no contexto atual das tecnologias, destacamos suas opiniões acerca da introdução dos softwares de geometria dinâmica na Licenciatura em Matemática, especificamente no caso da geometria. Identificamos, também, qual a literatura de geometria que é por eles utilizada ou considerada adequada na formação inicial do professor de matemática e apontamos suas opiniões sobre quais os motivos do abandono da geometria nas salas de aula da Educação Básica. Os entrevistados apontam que a Geometria Euclidiana deve ser trabalhada de forma axiomática e com formalização rigorosa, de modo que em uma demonstração a figura é um recurso didático, sendo as justificativas decorrentes de resultados e teoremas já demonstrados. Devido à imaturidade do aluno para entender o sistema axiomático formal, os depoentes sugerem que a geometria pode ser trabalhada mais para o final do curso, proporcionando melhor entendimento e ganho em relação ao conteúdo. Régua e compasso são considerados essenciais, e o software de geometria dinâmica, importante como recurso didático que facilita a visualização e movimentação. A bibliografia nacional existente seja complementada com obras estrangeiras, o que nos faz concluir que existe uma carência nesse setor em nosso país. Falta de conhecimento específico e... / Abstract: This research presents the view of a group of lecturers of undergraduate courses on how Euclidian Geometry should be approached in a Mathematics Degree Program, so that the graduating teacher has knowledge of geometry adequate for work on Middle and High School Education. The data collection method was questionnaire and interview, in which it is tried to identify the interviewee take on: rigor level of how axiomatization and formalization of geometry are presented, teaching strategies and how important the use of a ruler and compass is to the undergraduate formation of teachers. Taking into consideration modern technologies, it was also intended to highlight their opinions on the introduction to dynamic geometry softwares in Undergraduate Mathematics Education, specifically for the study of Geometry. The research sought to identify geometry textbooks that they consider adequate for the instruction of math teachers and pinpoint the reasons why there has been a neglect of geometry in Middle and High School classrooms. The interviewees shows that Euclidian Geometry must be presented in a strict axiomatic and formal way. In one demonstration the figure is an important teaching aid, being the demonstration justified by results and theorems already proven. Because of students lack of ability to comprehend the formal axiomatic system, it is suggested that geometry be studied closer to the end of courses to provide better understanding and knowledge retention. Ruler and Compass are found to be essential. Combined with important use of dynamic geometry sotware, these teachings aids will improve visualization and movement. The existing Brazilian Bibliography must be supplemented by foreign works, concluding that there is a need of reference works in this área in our country. The lack of specific knowledge and teaching tools is pointed as the reason for the absence of geometry in the Middle and High School classroom, problem originated in the ... / Mestre

Orientadora: Marta Cilene Gadotti / Banca: Wladimir Seixas / Banca: Renata Zotin Gomes de Oliveira / Resumo: Este trabalho tem por objetivo auxiliar o professor de Matemática através do estudo detalhado sobre área das figuras planas e espaciais vistas no Ensino Fundamental e Médio. Para isto apresentaremos um relato histórico muito breve, além de uma análise de livros didáticos e apostilas utilizados no Estado de São Paulo, tanto no Ensino Fundamental como no Médio. Será apresentado um embasamento teórico com as demonstrações dos principais resultados e finalmente algumas atividades do assunto para o Ensino Fundamental e o Ensino Médio serão realizadas / Abstract: The purpose of this work is to assist the mathematics teacher through the detailed study about area of the plane figures and spatial figures seen in high schools. We present a very short historical account, as well as an analysis about text books and handouts of State São Paulo used in high school. There will be a theoretical foundation in which we will prove of the results about area and finally we will present some activities of the theme for high school / Mestre

Orientadora: Rúbia Barcelos Amaral / Banca: Verônica Gitirana Gomes Ferreira / Banca: Rosa Monteiro Paulo / Resumo: Esta pesquisa tem seu foco na Geometria presente alguns livros didáticos de Matemática, sendo a pergunta diretriz do trabalho: "Como fazer da leitura geométrica dos diagramas uma metodologia de análise para a Geometria presente nos livros didáticos de Matemática?". O objetivo principal do trabalho é fazer da leitura geométrica dos diagramas uma metodologia de análise dos conteúdos de Geometria existentes em alguns livros didáticos. A coleta de dados se baseia em três coleções de livros didáticos de Matemática dos anos finais do Ensino Fundamental. A análise dos dados é realizada principalmente com base na teoria de leitura geométrica, desenvolvida por Dietiker e Brakoniecki (2014). Essa teoria diz respeito à negociação de significados entre o leitor e o texto escrito, ou seja, é a compreensão que quem está realizando a leitura desenvolve sobre os diagramas. É uma pesquisa de cunho qualitativo. Tem como temas para a análise de dados: a identificação dos diferentes tipos de signos existentes nos diagramas dos livros didáticos analisados, bem como o estudo de propriedades métricas e topológicas de alguns conteúdos presentes nesses livros e a utilização de representações mentais de conceitos geométricos. Os diferentes tipos de signos são identificados de acordo com a teoria dos Signos de Peirce (1931), podendo ser indicadores, ícones ou símbolos, dependendo da definição assumida no texto e também do possível entendimento do leitor. Em meu trabalho, fica evidente que nos anos iniciais do Ensino Fundamental II, principalmente, os autores das coleções de livros didáticos utilizam com frequência os indicadores para introduzir o assunto dos capítulos, e ao aprofundarem tais assuntos passam a se utilizar de ícones e depois formalizam conceitos utilizando-se de símbolos. O estudo de propriedades métricas ... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: This research focuses on geometry of Mathematics textbooks, and the main question of this work is: "How to read the geometric diagrams a methodology for this geometry in textbooks of mathematics?". The main objective of this study is to make the reading of the geometric diagrams a methodology of analysis of geometry issues in some textbooks. Data collection is based on three collections of textbooks of Mathematics of Primary Education II. The data were obtained from three collections of Mathematics textbooks of Secondary School. Data analysis was made mainly based on theory of geometric reading developed by Dietiker and Brakoniecki (2014). This theory concerns the negotiation of meanings between the reader and the written text, in other words, is the understanding that the reader develops abaout the diagrams. It is a qualitative research which have as themes for data analysis: the identification of the different types of signs in the diagrams of the textbooks analyzed, and the study of metric and topological properties of some contents present in these books and the use of mental representations of geometric concepts. The different types of signs are identified according to the theory of Signs of Peirce (1931), may be indicators, icons or symbols, depending on the assumed definition text and also the possible reader's understanding. In this study is evident that mainly in the early years of Second school, the authors of the textbooks collections often use the indicators to introduce the subject of the chapters, and when deepen such matters come to be used icons and then formalize concepts using symbols. The study of metric and topological properties is guided by Borges (2005), in which there is assimilation from metric properties with the quantitative part of the diagrams and, from the topological properties with the qualitative part of diagrams. As a result of ... (Complete abstract click electronic access below) / Mestre

Made available in DSpace on 2013-08-07T18:51:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 000402482-Texto+Completo-0.pdf: 892539 bytes, checksum: 77b9e139d7b2d5143a6077814f4b2eba (MD5) Previous issue date: 2008 / The purpose of this study is to investigate the Mathematical concepts learned by three groups of students attending the 3rd grade in a private high school in Porto Alegre, Rio Grande do Sul, after performing a Learning Unit (LU) about Analytic Geometry. The problem of this research is based on the following question: What are the students’ main leaning difficulties in Analytic Geometry related to Mathematics Language? How do the students apply the mathematical language in the interpretation of questions about analytical geometry in a school of the medium teaching? As a result, the main objective of this project was to identify and analyze mathematical concepts that students remind and the ones they don’t, after a Learning Unit about Analytic Geometry, in order to understand the main learning difficulties related to Mathematics language applied by students and teachers in class. Then, the collected data were analyzed based on reports written by the students about problem solutions, identifying the present concepts and comparing to the ones expected by the teacher.The aim was to develop a methodological approach to the Analytic Geometry content, identifying after the mathematical concepts presented in questions from College entrance examinations related to the subject. It was possible to identify the most presented concepts in the students learning as well as the most complex ones, the main responsible for learning difficulties. After a Leaning Unit, it was also possible to notice that students started applying Mathematics language with more autonomy and significance to solve other mathematical problems. / Este estudo teve como objetivo investigar os conteúdos matemáticos aprendidos pelos alunos de três turmas do 3o ano do Ensino Médio de uma escola particular, da cidade de Porto Alegre/RS, após a realização de uma Unidade de Aprendizagem (UA) sobre geometria analítica. O problema desta pesquisa tem por base a seguinte pergunta: Como os alunos aplicam a linguagem matemática na interpretação de questões sobre geometria analítica em uma escola do ensino médio? Por conseqüência, o objetivo central do trabalho foi identificar e analisar conteúdos matemáticos lembrados e não lembrados pelos alunos após a realização da UA sobre geometria analítica, bem como compreender o modo como aplicam a linguagem matemática na resolução de questões. Para isso, foram analisados os dados coletados por meio de relatórios elaborados pelos alunos sobre a resolução de questões sobre geometria analítica, identificando os conteúdos presentes e comparando-os com os esperados pelo professor.A meta foi desenvolver uma metodologia para o desenvolvimento do conteúdo de geometria analítica, identificando após os conteúdos matemáticos presentes em questões relacionadas ao tema, extraídas de concursos vestibulares. Ao término do trabalho, foi possível identificar que conteúdos estão mais presentes na aprendizagem dos alunos, bem como quais são os mais complexos, principais responsáveis pelas dificuldades de aprendizagem. Foi possível também constatar que, após a UA, os alunos passaram a utilizar linguagem matemática com maior autonomia e com mais significado na resolução de outras questões de conteúdos matemáticos.

Descrevemos um processo de resolução de singularidades de sistemas de Pfaff holomoffos (com singularidades isoladas) no plano projetivo complexo. através de aplicações biracionais do plano que rormam o grupo de Cremona. Essa resolução para folheações é empregada na eliminação de singularidades de aplicações biracionais. resultando uma descrição das superricies racionais. / We describe a reduction of singularities of holomorphic foliations Cwith isolated singularities) in the complex projective plane by means of birational transformations of the Cremona group. This reduction is applied to the elimination of singular points of birational transformations. resulting a description of the rational surfaces.

Tese (doutorado)-Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2010. / Submitted by Jaqueline Ferreira de Souza (jaquefs.braz@gmail.com) on 2011-06-29T21:57:40Z No. of bitstreams: 1 2010_LeviRosaAdriano.pdf: 444831 bytes, checksum: 1bf3e8612d16f62001c640a24133ba4b (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Ferreira de Souza(jaquefs.braz@gmail.com) on 2011-06-29T21:58:35Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_LeviRosaAdriano.pdf: 444831 bytes, checksum: 1bf3e8612d16f62001c640a24133ba4b (MD5) / Made available in DSpace on 2011-06-29T21:58:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_LeviRosaAdriano.pdf: 444831 bytes, checksum: 1bf3e8612d16f62001c640a24133ba4b (MD5) / Neste trabalho, consideramos variedades completas, não-compactas, satisfazendo alguma hipótese sobre a curvatura de Ricci radial. Na primeira parte, obtemos algumas estimativas `a priori e também a questão de existência para equações tipo Yamabe em tais variedades. Como consequência destes resultados, mostramos um teorema de existência de métricas conformes com curvatura escalar dada. Na segunda parte, estudamos algumas famílias de desigualdades clássicas da análise. Entre outras coisas, mostramos que uma variedade completa, não-compacta, satisfazendo a propriedade do volume duplicado e tal que vale alguma desigualdade de Gagliardo- Nirenberg, possui máximo crescimento de volume. Também mostramos que variedades completas n˜ao compactas com curvatura de Ricci não negativa e que satisfazem alguma desigualdade de Log-Sobolev ou de Hardy, com uma constante “próxima”da melhor constante do caso Euclideano, são difeomorfas a este último. ___________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work, we consider complete non-compact manifolds, satisfying some hypothesis about the radial Ricci curvature. In the first part, we obtain some priori estimates and also the question of existence for Yamabe type equations in such manifolds. As a consequence of these results, we show a theorem of existence of conformal metrics with scalar curvature given. In the second part, we study some families of classical inequalities of analysis. Among other things, we show that a complete non-compact manifold satisfying the doubling volume property and such that some inequality of Gagliardo-Nirenberg holds, has maximal volume growth. We also show that non-compact manifolds with non-negative Ricci curvature and satisfying some inequality of Log-Sobolev or Hardy, with a constant “ close ”to the best constant of the Euclidean case are diffeomorphics to the latter.

FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nesta dissertaÃÃo abordamos o problema de injetividade de difeomorsmos locais em dimensÃo dois, do ponto de vista da geometria de curvatura negativa. O teorema principal fornece um conjunto de condiÃÃes sucientes para injetividade de um difeomorfismo local f : M1 → M2, entre superfÃcies de Hadamard, que se baseiam inteiramente em certas condiÃÃes de transversalidade simples de serem satisfeitas por folheaÃÃes defifinidas pelos horociclos associados a mÃtrica de curvatura nÃo positiva variÃvel em M1 e M2 , e o pull-back por f de tais folheaÃÃes. O Teorema fornece tambem uma definiÃÃo geomÃtrica para alguns dos resultados sobre a conjectura de estabilidade global assintÃtica, em particular, apresenta uma extensÃo parcial da condiÃÃo espectral para o caso de variedades de Hadamard. / In this work, we study the problem of injectivity of a local dieomorphism on dimension two of the point of view of the geometry of negative curvature. The main theorem provides a set of sucient conditions for injectivity of a local diffeomorphism f : M1 → M2 , between Hadamard surfaces, which depends on certain transversality conditions to be satisfied by simple foliations defined by horocycles associated to the metric with non positive curvature varying in M1 and M2 , and the pull-back in f of such foliations. This result gives a geometric definition for some of the results about the global asymptotic stability conjecture, in particular, it has a partial extension of the spectral condition for the case of Hadamard manifolds.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Neste trabalho consideraremos hipersuperfÃcies n-dimensionais com curvaturas escalar constante na esfera unitÃria S^(n+1). Caracterizaremos as hipersuperfÃcies dadas por produtos de esferas, cuja dimensÃo à n, na esfera unitÃria S^(n+1) e mostraremos que existe vÃrias hipersuperfÃcies compactas com curvaturas escalar constante na esfera unitÃria S^(n+1) que nÃo sÃo congruentes entre si. Em particular, provaremos que se M à uma hipersuperfÃcie n-dimensional (n>3) completa, localmente conformemente plana com curvatura escalar constante n(n-1)r na esfera unitÃria S^(n+1), entÃo r à maior do que um valor prÃ-estabelecido e sÃo provados dois resultados, um envolvendo isometrias e o outro de existÃncia, quando r e S satisfazem determinadas condiÃÃes, onde S à o quadrado da norma se segunda forma fundamental de M. / In this paper we consider n-dimensional hypersurfaces with constant scalar curvature in the unit sphere S ^ (n +1). Characterize the hypersurfaces given by products of spheres whose size is n, the unit sphere S ^ (n +1) and show that there is more compact hypersurfaces with constant scalar curvature in the unit sphere S ^ (n +1) that are not congruent itself. In particular, prove that M is an n-dimensional hypersurface (n> 3) complete with buckle locally flat accordingly constant scalar n (n-1) on the unit sphere S r ^ (n +1) is greater than r a pre-established and two results are proven value, and the other one involving isometries of existence, when are S satisfy certain conditions, where S is the square of the standard is second fundamental form of M.

Descrevemos um processo de resolução de singularidades de sistemas de Pfaff holomoffos (com singularidades isoladas) no plano projetivo complexo. através de aplicações biracionais do plano que rormam o grupo de Cremona. Essa resolução para folheações é empregada na eliminação de singularidades de aplicações biracionais. resultando uma descrição das superricies racionais. / We describe a reduction of singularities of holomorphic foliations Cwith isolated singularities) in the complex projective plane by means of birational transformations of the Cremona group. This reduction is applied to the elimination of singular points of birational transformations. resulting a description of the rational surfaces.