A pesquisa foi desenvolvida com a finalidade de se analisar o comportamento elástico e inelástico de estruturas de cabos, sob carregamento estático, pela técnica dos elementos finitos. Para a discretização das estruturas de cabos adotou-se um elemento retilíneo isoparamétrico, e na formulação dos princípios variacionais foram considerados a não linearidade física do material e a não linearidade geométrica, inerente às estruturas de cabos. Empregou-se o método incrementai-iterativo de Newton-Raphson para a resolução do sistema de equações não lineares. Alternativamente a solução foi obtida da minimização direta da função energia potencial total da estrutura de cabos, utilizando-se o método do Gradiente Conjugado. Vários exemplos de estruturas de cabos comumente empregadas em coberturas de grandes vãos foram estudados. Os resultados obtidos segundo os dois procedimentos foram analisados e a eficiência elos métodos foi comprovada. / The research was developed with the purpose of analyzing the elaslic and the inelaslic behaviour of cable slructures, under static load. The finite element method with straight isoparametric element was used. In the formulation of the variational principles, the material and the geometric non-linearity were considered. The Newton-Raphson method was used to resolve the non-linear equations system. Alternatively the solution was obtained of the direct minimization of the total potential energy of the cable structure; in this case using the Conjugated Gradient Method. Several examples of cable structures, commonly employed in roofs of large spaces were studied. The results were obtained according to both processes and the efficiency of the methods was verified.

[pt] Neste trabalho um novo elemento de viga co-rotacionado é apresentado para a análise não-linear geométrica tridimensional, estática e dinâmica, de linhas marítimas de Materiais com Gradação Funcional (MGF). Assume-se que o módulo de elasticidade e a massa específica do material da viga variam ao longo da espessura da seção transversal tubular de acordo com uma lei de potência. Na discretização espacial das equações de equilíbrio, a linha marítima é representada por um elemento de viga de dois nós, com base nas hipóteses do modelo para vigas de Euler-Bernoulli, em que polinômios cúbicos de Hermite são utilizados na interpolação dos deslocamentos nodais e a cinemática do movimento é descrita através de grandezas referidas a um sistema coordenado local co-rotacionado. Consideram-se não linearidades geométricas envolvendo grandes deslocamentos e rotações, mas com pequenas deformações. Nas equações de movimento da linha marítima, são consideradas as seguintes influencias: do peso próprio, do empuxo, dos carregamentos hidrodinâmicos (devidos às ações de ondas, correntes e forças de massa adicional), dos deslocamentos prescritos (junto à fixação da embarcação), da ação de flutuadores e das forças de interação solo-estrutura. A integração temporal das equações de equilíbrio é realizada utilizando-se o algoritmo de discretização HHT (Hilbert-Hughes-Taylor) e a solução numérica obtida com a técnica iterativa de Newton Raphson. A metodologia numérica foi implementada e diversos exemplos são apresentados e discutidos enfatizando-se as diferenças de comportamento estrutural entre os modelos de viga com MGF e com material homogêneo. Resultados referentes a situações práticas da engenharia offshore são também tratados nos exemplos. / [en] This work presents a new co-rotational beam element formulation to model the geometric three-dimensional static and dynamic nonlinear analysis of risers of Functionally Graded Materials (FGM). The material modulus of elasticity and density of the beam are assumed to vary through the pipe cross-section thickness following a power law function. In the spatial discretization of the riser equilibrium equations, a two node beam element based on Euler-Bernoulli theory is considered, with cubic Hermitian interpolation functions used for nodal displacement interpolations and element kinematics, all referred to a co-rotation coordinate system attached to the element local frame. In the element model, geometric non-linear effects are considered, involving large displacements and rotations but small strains. The motion of the riser results from the following applied forces: self weight, buoyancy, hydrodynamic (due to maritime waves, currents and added mass inertia), prescribed displacements (at the floating platform), action of floaters and seabed-structure interactions. Step-by-step time integration of the equilibrium equations is performed with HHT (Hilbert-Hughes- Taylor) algorithm and the numerical solution is obtained using the Newton- Raphson iterative technique. The methodology has been implemented and various sample results presented, that highlight the behavior of functionally graded material beams as compared to homogeneous beams. Applications related to practical offshore engineering situations are also considered.

A pesquisa foi desenvolvida com a finalidade de se analisar o comportamento elástico e inelástico de estruturas de cabos, sob carregamento estático, pela técnica dos elementos finitos. Para a discretização das estruturas de cabos adotou-se um elemento retilíneo isoparamétrico, e na formulação dos princípios variacionais foram considerados a não linearidade física do material e a não linearidade geométrica, inerente às estruturas de cabos. Empregou-se o método incrementai-iterativo de Newton-Raphson para a resolução do sistema de equações não lineares. Alternativamente a solução foi obtida da minimização direta da função energia potencial total da estrutura de cabos, utilizando-se o método do Gradiente Conjugado. Vários exemplos de estruturas de cabos comumente empregadas em coberturas de grandes vãos foram estudados. Os resultados obtidos segundo os dois procedimentos foram analisados e a eficiência elos métodos foi comprovada. / The research was developed with the purpose of analyzing the elaslic and the inelaslic behaviour of cable slructures, under static load. The finite element method with straight isoparametric element was used. In the formulation of the variational principles, the material and the geometric non-linearity were considered. The Newton-Raphson method was used to resolve the non-linear equations system. Alternatively the solution was obtained of the direct minimization of the total potential energy of the cable structure; in this case using the Conjugated Gradient Method. Several examples of cable structures, commonly employed in roofs of large spaces were studied. The results were obtained according to both processes and the efficiency of the methods was verified.

O trabalho se baseia em uma formulação numérica (Método dos Elementos Finitos Posicional) que é combinada a um modelo viscoelástico adequado (Kelvin-Voigt adaptado), o que direciona para o cumprimento do objetivo: a simulação de sólidos viscoelásticos em deformações finitas e de fluidos viscosos. A formulação desenvolvida é Lagrangeana total descrita para posições, permitindo aplicações em não linearidade dinâmica (com a utilização do método de Newton-Raphson para solução do sistema de equações não lineares e integração temporal via algoritmo implícito de Newmark) e sua combinação com um modelo viscoelástico coerente é deduzida neste trabalho. Inicialmente, são resolvidos problemas com elemento de chapa bidimensional, porém o elemento finito final utilizado é de sólido prismático de base triangular. Dois modelos são adotados para consideração do comportamento viscoelástico, (i) um modelo modificado de Kelvin-Voigt associado ao modelo constitutivo de Saint-Venant-Kirchhoff e (ii) um modelo visco-hiperelástico completo coerente para deformações finitas desenvolvido a partir da decomposição multiplicativa sobre o gradiente da função mudança de configuração em uma parcela volumétrica e duas isocóricas. Foram selecionados e comentados 15 exemplos em detalhe, abrangendo todas as etapas desta pesquisa, com problemas elásticos, dinâmicos, viscoelásticos em pequenas e grandes deformações, de flexão, de impacto e de fluidos viscosos. Os resultados obtidos para os exemplos de validação foram satisfatórios, coerentes com as referências, e o conjunto das análises conduzidas mostram a potencialidade da formulação alternativa desenvolvida neste trabalho. / The work is based on a numerical formulation (Positional Finite Element Method) combined with a suitable viscoelastic model (adapted Kelvin-Voigt), what directs to achieving its main goal: the simulation of viscoelastic solids in finite strain and of viscous fluids. The developed formulation is total Lagrangian described for positions, allowing applications in nonlinear dynamics (using the Newton-Raphson method for solution of the system of nonlinear equations, and performing time integration via an implicit Newmark algorithm); its combination with adequate viscoelastic model is shown step-by-step in this work. Initially, problems are solved using two-dimensional plate element, but the final finite element is a triangular-based prismatic solid. Two models are adopted in order to consider the viscoelastic behavior, (i) a modified Kelvin-Voigt model associated with the Saint-Venant-Kirchhoff constitutive model, and (ii) a coherent visco-hyperelastic model for finite deformations developed from the multiplicative decomposition over the deformation gradient in one volumetric and two isochoric parts. 15 examples were selected and commented in detail, comprehending all stages of this research, solving problems that are elastic, dynamic, viscoelastic under small and large strain, under flexural behavior, submitted to impact, and of viscous fluids problems. The results obtained for the validation examples were satisfactory, consistent with the references, and the whole of the conducted analysis shows the potentials of the alternative formulation developed in this work.

O objetivo precípuo deste estudo é a implementação computacional de modelos constitutivos elásticos e elastoplásticos para materiais com gradação funcional em regime de grandes deslocamentos e elevadas deformações. Para simular numericamente um problema estrutural, são empregados aqui elementos finitos sólidos (tetraédrico e hexaédrico) com ordem de aproximação polinomial qualquer. Grandezas da Mecânica Não Linear do Contínuo, como deformação e tensão, são utilizadas na formulação deste estudo. Para reproduzir os grandes deslocamentos, é empregada a análise não linear geométrica. A descrição adotada aqui é a Lagrangiana total, e o equilíbrio da estrutura é expresso pelo Princípio da Mínima Energia Potencial Total. Com relação à resposta elástica do material, são usadas leis constitutivas hiperelásticas, nas quais a relação tensão-deformação é obtida a partir de um potencial escalar. O comportamento elastoplástico do material é definido pela decomposição da deformação nas parcelas elástica e plástica, pelo critério de plastificação de von-Mises, pela lei de fluxo associativa, pelas condições de consistência e de complementaridade, pelo parâmetro de encruamento isotrópico e pelo tensor das tensões inversas, relacionado ao encruamento cinemático. Duas formulações elastoplásticas são utilizadas aqui: a de Green-Naghdi, na qual a deformação é decomposta de forma aditiva; e a hiperelastoplástica, em que o gradiente é decomposto de forma multiplicativa. É empregado também o conceito de material com gradação funcional (GF), a qual é definida como a variação gradual (contínua e suave) das propriedades constitutivas do material. A solução numérica do equilíbrio de forças é feita via método iterativo de Newton-Raphson. Para satisfazer o critério de plastificação, são utilizadas as estratégias de previsão elástica, e de correção plástica via algoritmos de retorno. Basicamente foram desenvolvidos cinco programas computacionais: o gerador automático das funções de forma; o gerador de malhas de elementos finitos sólidos; o código para análise de materiais em regime elástico; o código para análise de materiais em regime elastoplástico; e o programa de pós-processamento. Além desses, o aluno teve contato com os programas EPIM3D e DD3IMP ao longo de seu estágio de doutorado na Universidade de Coimbra (Portugal). Os programas EPIM3D e DD3IMP são empregados para analisar, respectivamente, materiais em regime elastoplástico, e processos de conformação de metais. Para o problema da barra sob tração uniaxial uniforme, são descritas equações e soluções analíticas para materiais homogêneos e com GF em regime elastoplástico. Para reduzir o tempo de simulação, foi empregada a programação em paralelo. De acordo com os resultados das simulações numéricas, as principais conclusões são: o refinamento da malha de elementos finitos melhora a precisão dos resultados para materiais em regimes elástico e elastoplástico; as formulações elastoplásticas de Green-Naghdi e hiperelastoplástica parecem ser equivalentes para pequenas deformações; a formulação hiperelastoplástica é equivalente ao modelo mecânico dos programas EPIM3D e DD3IMP para materiais em regime de pequenas deformações elásticas; foram constatados ganhos significativos, em termos de tempo de simulação, com a paralelização dos códigos computacionais de análise estrutural; e os programas desenvolvidos são capazes de simular - com precisão - problemas complexos, como a membrana de Cook e o cilindro fino transversalmente tracionado. / The main objective of this study is the computational implementation of elastic and elastoplastic constitutive models for functionally graded materials in large deformation regime. In order to numerically simulate a structural problem, the finite elements used are solids (tetrahedric and hexahedric) of any order of approximation. Entities from Nonlinear Continnum Mechanics, as strain and stress, are used in the present formulation. To reproduce the finite displacements, the geometrically nonlinear analysis is employed. The description adopted here is the total Lagrangian, and the structural equilibrium is expressed by means of the Principal of Minimum Total Potential Energy. Regarding the elastic material response, hyperelastic constitutive laws are used, in which the stress-strain relation is obtained from a scalar potential. The elastoplastic material behavior is defined by the strain decomposition in the elastic and plastic parts, by the von-Mises yield criterion, by the associative flow law, by the consistency and complementarity conditions, by the isotropic hardening parameter, and by the backstress tensor, related to the kinematic hardening. Two elastoplastic formulations are used here: the Green-Naghdi one, in which the strain is additively decomposed; and the hyperelastoplasticiy, in which the gradient is multiplicatively decomposed. The concept of functionally graded (FG) material, in which the constitutive properties vary gradually (continuous and smoothly), is also used. The numerical solution of the forces equilibrium is obtained via Newton-Raphson iterative procedure. In order to satisfy the yield criterion, the strategies of elastic prediction and plastic correction (via return algorithms) are used. Basically, five computer codes have been developed: the automatic shape functions generator; the solid mesh generator; the code for analysis of materials in the elastic regime; the code for analysis of materials in the elastoplastic regime; and the post-processor. Besides these, the student had contact with the programs EPIM3D and DD3IMP during his doctoral stage in the University of Coimbra (Portugal). The programs EPIM3D and DD3IMP are employed to analyze, respectively, materials in the elastoplastic regime, and sheet-metal forming processes. For the problem of the bar under uniform uniaxial tension, equations and analytical solutions are described for homogeneous and FG materials. To reduce the simulation time, the parallel programming has been employed. According to the numerical simulation results, the main conclusions are: the results accuracy is improved with mesh refinement for materials in the elastic and elastoplastic regimes; the Green-Naghdi elastoplastic formulation and the hyperelastoplasticity appear to be equivalent for small strains; the hyperelastoplastic formulation is equivalent to the mechanical model of the programs EPIM3D and DD3IMP for materials the small elastic strains regime; simulation time reduction has been obtained with the parallelization of the computer codes for structural analysis; the developed programs are capable of simulating, precisely, complex problems, such as the Cook\'s membrane and the pulled thin cylinder.

O objetivo precípuo deste estudo é a implementação computacional de modelos constitutivos elásticos e elastoplásticos para materiais com gradação funcional em regime de grandes deslocamentos e elevadas deformações. Para simular numericamente um problema estrutural, são empregados aqui elementos finitos sólidos (tetraédrico e hexaédrico) com ordem de aproximação polinomial qualquer. Grandezas da Mecânica Não Linear do Contínuo, como deformação e tensão, são utilizadas na formulação deste estudo. Para reproduzir os grandes deslocamentos, é empregada a análise não linear geométrica. A descrição adotada aqui é a Lagrangiana total, e o equilíbrio da estrutura é expresso pelo Princípio da Mínima Energia Potencial Total. Com relação à resposta elástica do material, são usadas leis constitutivas hiperelásticas, nas quais a relação tensão-deformação é obtida a partir de um potencial escalar. O comportamento elastoplástico do material é definido pela decomposição da deformação nas parcelas elástica e plástica, pelo critério de plastificação de von-Mises, pela lei de fluxo associativa, pelas condições de consistência e de complementaridade, pelo parâmetro de encruamento isotrópico e pelo tensor das tensões inversas, relacionado ao encruamento cinemático. Duas formulações elastoplásticas são utilizadas aqui: a de Green-Naghdi, na qual a deformação é decomposta de forma aditiva; e a hiperelastoplástica, em que o gradiente é decomposto de forma multiplicativa. É empregado também o conceito de material com gradação funcional (GF), a qual é definida como a variação gradual (contínua e suave) das propriedades constitutivas do material. A solução numérica do equilíbrio de forças é feita via método iterativo de Newton-Raphson. Para satisfazer o critério de plastificação, são utilizadas as estratégias de previsão elástica, e de correção plástica via algoritmos de retorno. Basicamente foram desenvolvidos cinco programas computacionais: o gerador automático das funções de forma; o gerador de malhas de elementos finitos sólidos; o código para análise de materiais em regime elástico; o código para análise de materiais em regime elastoplástico; e o programa de pós-processamento. Além desses, o aluno teve contato com os programas EPIM3D e DD3IMP ao longo de seu estágio de doutorado na Universidade de Coimbra (Portugal). Os programas EPIM3D e DD3IMP são empregados para analisar, respectivamente, materiais em regime elastoplástico, e processos de conformação de metais. Para o problema da barra sob tração uniaxial uniforme, são descritas equações e soluções analíticas para materiais homogêneos e com GF em regime elastoplástico. Para reduzir o tempo de simulação, foi empregada a programação em paralelo. De acordo com os resultados das simulações numéricas, as principais conclusões são: o refinamento da malha de elementos finitos melhora a precisão dos resultados para materiais em regimes elástico e elastoplástico; as formulações elastoplásticas de Green-Naghdi e hiperelastoplástica parecem ser equivalentes para pequenas deformações; a formulação hiperelastoplástica é equivalente ao modelo mecânico dos programas EPIM3D e DD3IMP para materiais em regime de pequenas deformações elásticas; foram constatados ganhos significativos, em termos de tempo de simulação, com a paralelização dos códigos computacionais de análise estrutural; e os programas desenvolvidos são capazes de simular - com precisão - problemas complexos, como a membrana de Cook e o cilindro fino transversalmente tracionado. / The main objective of this study is the computational implementation of elastic and elastoplastic constitutive models for functionally graded materials in large deformation regime. In order to numerically simulate a structural problem, the finite elements used are solids (tetrahedric and hexahedric) of any order of approximation. Entities from Nonlinear Continnum Mechanics, as strain and stress, are used in the present formulation. To reproduce the finite displacements, the geometrically nonlinear analysis is employed. The description adopted here is the total Lagrangian, and the structural equilibrium is expressed by means of the Principal of Minimum Total Potential Energy. Regarding the elastic material response, hyperelastic constitutive laws are used, in which the stress-strain relation is obtained from a scalar potential. The elastoplastic material behavior is defined by the strain decomposition in the elastic and plastic parts, by the von-Mises yield criterion, by the associative flow law, by the consistency and complementarity conditions, by the isotropic hardening parameter, and by the backstress tensor, related to the kinematic hardening. Two elastoplastic formulations are used here: the Green-Naghdi one, in which the strain is additively decomposed; and the hyperelastoplasticiy, in which the gradient is multiplicatively decomposed. The concept of functionally graded (FG) material, in which the constitutive properties vary gradually (continuous and smoothly), is also used. The numerical solution of the forces equilibrium is obtained via Newton-Raphson iterative procedure. In order to satisfy the yield criterion, the strategies of elastic prediction and plastic correction (via return algorithms) are used. Basically, five computer codes have been developed: the automatic shape functions generator; the solid mesh generator; the code for analysis of materials in the elastic regime; the code for analysis of materials in the elastoplastic regime; and the post-processor. Besides these, the student had contact with the programs EPIM3D and DD3IMP during his doctoral stage in the University of Coimbra (Portugal). The programs EPIM3D and DD3IMP are employed to analyze, respectively, materials in the elastoplastic regime, and sheet-metal forming processes. For the problem of the bar under uniform uniaxial tension, equations and analytical solutions are described for homogeneous and FG materials. To reduce the simulation time, the parallel programming has been employed. According to the numerical simulation results, the main conclusions are: the results accuracy is improved with mesh refinement for materials in the elastic and elastoplastic regimes; the Green-Naghdi elastoplastic formulation and the hyperelastoplasticity appear to be equivalent for small strains; the hyperelastoplastic formulation is equivalent to the mechanical model of the programs EPIM3D and DD3IMP for materials the small elastic strains regime; simulation time reduction has been obtained with the parallelization of the computer codes for structural analysis; the developed programs are capable of simulating, precisely, complex problems, such as the Cook\'s membrane and the pulled thin cylinder.

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Motivado por diversos processos de manufatura, tais como conformação de metais a frio ou mesmo manufatura aditiva, este trabalho consiste no desenvolvimento de um código computacional para a simulação numérica de problemas bidimensionais que abordam três tipos de não-linearidade: a geométrica, presente em situações de grandes deslocamentos; a física, presente no modelo constitutivo do material; e a de contato. Na primeira etapa, desenvolve-se um programa para análise dinâmica bidimensional de sólidos elásticos, utilizando a abordagem posicional do método dos elementos finitos, que engloba naturalmente a não-linearidade geométrica em sua formulação. Em seguida, implementam-se modelos constitutivos não-elásticos para problemas com grandes deformações. No modelo elastoplástico, adota-se o critério de von Mises com encruamento cinemático baseado na lei de Armstrong-Frederick. Essa formulação é então generalizada para o caso visco-plástico, onde é considerado o modelo de Perzyna em conjunto com a lei de Norton. No caso visco-elástico, utiliza-se uma formulação que parte do modelo reológico de Zener. Por fim, apresenta-se um modelo visco-elasto-plástico que consiste no acoplamento dos modelos visco-elástico e visco-plástico descritos anteriormente. Em todos os casos, utiliza-se a decomposição multiplicativa do gradiente da função mudança de configuração. Com respeito à aplicação 2D, consideram-se as hipóteses de estado plano de deformações e estado plano de tensões, onde a última é resolvida numericamente por um procedimento local de Newton-Raphson. Para o problema de contato, aplica-se a estratégia Nó-a-Segmento, sendo as condições de não-penetração impostas com a introdução de multiplicadores de Lagrange. A formulação é testada em cada uma das etapas por meio de exemplos numéricos de verificação. Além disso, para mostrar as potencialidades do código desenvolvido, são propostos diversos exemplos numéricos, sendo alguns inspirados por processos de manufatura existentes. Nesses exemplos, são estudados os efeitos de diferentes parâmetros dos materiais e diferentes taxas de deformação na resposta numérica, permitindo uma análise do comportamento dissipativo decorrente da plastificação e da viscosidade, incluindo a influência desses sobre o amortecimento dinâmico. / Motivated by several manufacturing processes, such as cold metal forming or even additive manufacturing, in this work we develop a computational code for numerical simulation of two-dimensional problems addressing three types of nonlinearities: geometric nonlinearity, present in large displacements situations; physical non-linearity, present in the material constitutive model; and contact non-linearity. In the first step, we develop a computational program for dynamic analysis of two-dimensional elastic solids using the positional finite element method, which naturally takes into account geometric non-linearity in its formulation. Following, we implement inelastic constitutive models for large strain problems. In the elasto-plastic model, we adopt von Mises yeld criteria and kinematic hardening based on the Armstrong-Frederick law. The formulation is then generalized to the visco-plastic case, where we consider Perzyna model associated with Norton\'s law. In the visco-elastic case, Zener\'s rheological model is employed. Finally, we present a visco-elasto-plastic model by coupling the visco-elastic and visco-plastic models described previously. In every case, the multiplicative decomposition of the deformation gradient is employed. Regarding the 2D application, we consider both plane strain and plane stress hypothesis, where the latter is solved numerically by a local Newton-Raphson procedure. For the contact problem, we employ the Node-to-Segment strategy, imposing non-penetration conditions with the introduction of Lagrange multipliers. The resulting computational code is tested in each step by means of numerical verification examples. In addition, to show the potentialities of the developed code, several numerical examples are proposed, some of which inspired by existing manufacturing processes. On these examples, we study the effects of different material parameters and strain rates on the numerical response, allowing an analysis of the dissipative behavior due to plasticity and viscosity, including the influence of these on the dynamic damping.

Este trabalho propõe estudar o projeto de estruturas submetidas a grandes deslocamentos utilizando o Método de Otimização Topológica (MOT). O MOT é um método numérico capaz de fornecer de forma sistemática a distribuição ótima de material no domínio de uma estrutura de forma a atender a um dado requisito de projeto, por exemplo, o valor de flexibilidade máxima permitida em uma estrutura. Desde sua introdução, há quase três décadas, o MOT ganhou popularidade na área acadêmica e na indústria. Até o presente momento (2011), a maioria dos trabalhos relacionados com o método tem se preocupado com a otimização de estruturas com o comportamento linear, ou seja, pequenos deslocamentos. Um pequeno número de artigos e trabalhos tem sido relacionado com a modelagem e otimização topológica de estruturas submetidas a efeitos não-lineares. Este trabalho propõe compilar as formulações descritas na literatura e agregar novas técnicas na implementação da OT de forma a melhorar a robustez na obtenção de resultados sob não-linearidade geométrica. O MOT para o comportamento não-linear geométrico neste trabalho foi implementado utilizando o modelo de material SIMP. O comportamento não-linear geométrico é representado utilizando a formulação Lagrangiana para as leis de material de Kirchhoff-Saint Venant e neo-Hookiana. Ambas as leis de material foram implementadas utilizando o método de elementos finitos (MEF) e o equilíbrio estático da estrutura é obtido através de uma rotina incremental e iterativa de Newton incluindo todos os elementos (inclusive os de baixa densidade) dentro do domínio de projeto. A sensibilidade da função objetivo é deduzida utilizando o método adjunto e o problema de otimização é resolvido utilizando o Método das Assíntotas Móveis (MAM) em conjunto com uma função de Relaxação proposta para estabilizar a solução de OT não-linear. A função de projeção não-linear em conjunto com o Método da Continuação é utilizada para eliminar o problema de tabuleiro e independência de malha, melhorando a convergência dos resultados. A função objetivo para minimização da flexibilidade no ponto de aplicação do carregamento é testada, considerando um carregamento fixo. Neste trabalho, os exemplos mostram que as diferenças na rigidez das estruturas otimizadas utilizando modelagem linear e não-linear são geralmente pequenas para pequenos carregamentos, mas elas podem ser grandes em certos casos envolvendo grandes cargas, acarretando em instabilidades na estrutura, o que pode degenerar a solução obtida. / This work proposes studying the design of structures undergoing large displacement using Topology Optimization Method (TOM). The TOM is a numerical method capable of synthesizing the basic layout of a mechanical structure accomplishing to a given design requirement, for example the maximum strain energy allowed in the structure. Since its introduction nearly three decades, TOM has gained widespread popularity in academia and industry. So far, most papers dealing with the method have been concerned with the optimization of structures with linear geometric and material behavior. Even now a small number of works and articles have been concerned with the modeling and topology optimization of structures undergoing nonlinear effects. This work proposes to compile the formulations described in the literature and adding new techniques to improve the robustness for obtaining results of OT under geometric nonlinearity. The TOM for geometric nonlinear behavior in this work is implemented with Solid Isotropic Microstructure with Penalization (SIMP) material model. The geometrically nonlinear behavior of the structures is modeled using a Lagrangean description for hyperelastic constitutive models for Saint Venant-Kirchhoff and neo-Hookean. Both constitutive models are implemented using the Finite Element Method (FEM) and the static equilibrium of the structure is obtained using an incremental and iterative Full-Newton Method considering all elements and internal force of the design domain (elements called \"voids\"). The sensitivity of the objective function is derived using the adjoint method and the optimization problem is solved using the Optimality Criteria (OC) method and Method of Moving Asymptotes (MMA) together with a Relaxation Function proposed to stabilize the TO nonlinear solution. The nonlinear projection function in conjunction with the Continuation Method is used to obtain checkerboard-free and mesh-independent designs and to improve the convergence results. The objective function of end-compliance is tested, by minimizing it for a fixed load. In this work, some examples show that differences in stiffness of optimized structures using linear and nonlinear modeling are generally small, however they can be large in certain cases involving buckling or bifurcation point, that degenerate the solution obtained.

Este trabalho propõe estudar o projeto de estruturas submetidas a grandes deslocamentos utilizando o Método de Otimização Topológica (MOT). O MOT é um método numérico capaz de fornecer de forma sistemática a distribuição ótima de material no domínio de uma estrutura de forma a atender a um dado requisito de projeto, por exemplo, o valor de flexibilidade máxima permitida em uma estrutura. Desde sua introdução, há quase três décadas, o MOT ganhou popularidade na área acadêmica e na indústria. Até o presente momento (2011), a maioria dos trabalhos relacionados com o método tem se preocupado com a otimização de estruturas com o comportamento linear, ou seja, pequenos deslocamentos. Um pequeno número de artigos e trabalhos tem sido relacionado com a modelagem e otimização topológica de estruturas submetidas a efeitos não-lineares. Este trabalho propõe compilar as formulações descritas na literatura e agregar novas técnicas na implementação da OT de forma a melhorar a robustez na obtenção de resultados sob não-linearidade geométrica. O MOT para o comportamento não-linear geométrico neste trabalho foi implementado utilizando o modelo de material SIMP. O comportamento não-linear geométrico é representado utilizando a formulação Lagrangiana para as leis de material de Kirchhoff-Saint Venant e neo-Hookiana. Ambas as leis de material foram implementadas utilizando o método de elementos finitos (MEF) e o equilíbrio estático da estrutura é obtido através de uma rotina incremental e iterativa de Newton incluindo todos os elementos (inclusive os de baixa densidade) dentro do domínio de projeto. A sensibilidade da função objetivo é deduzida utilizando o método adjunto e o problema de otimização é resolvido utilizando o Método das Assíntotas Móveis (MAM) em conjunto com uma função de Relaxação proposta para estabilizar a solução de OT não-linear. A função de projeção não-linear em conjunto com o Método da Continuação é utilizada para eliminar o problema de tabuleiro e independência de malha, melhorando a convergência dos resultados. A função objetivo para minimização da flexibilidade no ponto de aplicação do carregamento é testada, considerando um carregamento fixo. Neste trabalho, os exemplos mostram que as diferenças na rigidez das estruturas otimizadas utilizando modelagem linear e não-linear são geralmente pequenas para pequenos carregamentos, mas elas podem ser grandes em certos casos envolvendo grandes cargas, acarretando em instabilidades na estrutura, o que pode degenerar a solução obtida. / This work proposes studying the design of structures undergoing large displacement using Topology Optimization Method (TOM). The TOM is a numerical method capable of synthesizing the basic layout of a mechanical structure accomplishing to a given design requirement, for example the maximum strain energy allowed in the structure. Since its introduction nearly three decades, TOM has gained widespread popularity in academia and industry. So far, most papers dealing with the method have been concerned with the optimization of structures with linear geometric and material behavior. Even now a small number of works and articles have been concerned with the modeling and topology optimization of structures undergoing nonlinear effects. This work proposes to compile the formulations described in the literature and adding new techniques to improve the robustness for obtaining results of OT under geometric nonlinearity. The TOM for geometric nonlinear behavior in this work is implemented with Solid Isotropic Microstructure with Penalization (SIMP) material model. The geometrically nonlinear behavior of the structures is modeled using a Lagrangean description for hyperelastic constitutive models for Saint Venant-Kirchhoff and neo-Hookean. Both constitutive models are implemented using the Finite Element Method (FEM) and the static equilibrium of the structure is obtained using an incremental and iterative Full-Newton Method considering all elements and internal force of the design domain (elements called \"voids\"). The sensitivity of the objective function is derived using the adjoint method and the optimization problem is solved using the Optimality Criteria (OC) method and Method of Moving Asymptotes (MMA) together with a Relaxation Function proposed to stabilize the TO nonlinear solution. The nonlinear projection function in conjunction with the Continuation Method is used to obtain checkerboard-free and mesh-independent designs and to improve the convergence results. The objective function of end-compliance is tested, by minimizing it for a fixed load. In this work, some examples show that differences in stiffness of optimized structures using linear and nonlinear modeling are generally small, however they can be large in certain cases involving buckling or bifurcation point, that degenerate the solution obtained.