Reproduction de : Thèse de doctorat : Lasers, molécules et rayonnement atmosphérique : Lille 1 : 2004. / Résumé en français et en anglais. Publications en anglais intégrées au texte. Titre provenant de la page de titre du document numérisé. Bibliogr. p. 267-276.

Nous nous intéressons dans un premier temps à l'étude des propriétés spectrale de localisation dynamique pour des opérateurs de Schrödinger ainsi qu'a leurs classifications. Nous introduirons trois classes de propriétés équivalentes en cherchant à établir le lien entre elles d'une façon optimale et illustrée par des contre-exemples. Certaines de ces propriétés s'avèrent jouer un rôle crucial dans l'étude mathématique de plusieurs phénomènes issus de la physique, notamment la quantifi cation de la conductance de Hall et l'apparition des plateaux dûs aux états localisés. Nous nous intéressons ainsi dans la seconde partie, aux conductances de Hall et de bord pour des modèles désordonnés continus et en présence d'un mur électrique aussi bien que magnétique. Nous expliquons comment les murs entrent en jeu pour pouvoir définir la conductance de bord, en tenant compte de la contribution des états localisés et la régularisation que les systèmes désordonnés requièrent. Nous établissons l'égalité de ces deux conductances directement et non par quantification séparée.

Le défis principal de l'industrie de la micro électronique est de créer d'augmenter la capacité de stockage mais aussi la vitesse des ordinateurs. Pour atteindre cette objectif, lkes composants électroniques doivent être miniaturisés à l'échelle du nanomètre. À cette échelle, les propriétés de la matière sont encore mal connues.Les matériaux les plus prometteurs dans cette recherche sont les multiferroïques où l'ordre magnétique et l'ordre ferroélectrique sont couplés. Ils pourraient amener des composants électroniques plus rapide et moins consommateur d'énergie dans des composants tels que les Random Access Memory. Ce travail traite de l'étude d'un multiferroïque typique BiFeO3 (BFO) en se concentrant sur les couplages entre les ordres magnétiques, ferroélectriques et le contrainte dans des systèmes de taille nanométrique

Les propriétés des matériaux ferroélectriques proviennent principalement de l’influencedes conditions aux limites et des déformations sur la polarisation. Cette influence est encoreplus grande à de petites échelles ou des structures particulières de la polarisation apparaissent,comme les vortex dans les cubes quantiques ou des structures en rayures dans lescouches minces. Pour le calcul, à très basses échelles, de telles structures de polarisation, lesHamiltonien effectifs, basés sur les calculs ab-initio sont les plus utilisés. Parallèlement Lesmodèles continus sont préconisés à plus grandes échelles. Néanmoins, il n’existe pas de lienentre ces deux modèles. Le but de cette thèse est alors de construire une approche permettantde relier ces deux modèles et par cela même ces différentes échelles.Notre modèle se base sur un Hamiltonien effectif écrit pour le titanate de baryum enfonction de la polarisation et des déformations. Cet Hamiltonien est reformulé de façon àdécrire un milieu continu. Les difficultés de cette reformulation proviennent des interactionsnon locales. Le résultat est alors un système d’équations aux dérivées partielles, décrivantl’équilibre et les conditions aux limites. La température est ensuite introduite de façon effectivedans les coefficients de ces équations. Notre modèle ressemble fortement aux modèlesde Landau.Une telle approche est appliquée dans les cubes quantiques et les couches minces óu l’organisationdes domaines dépend de la taille. Les résultats montrent l’implication de la méthodedes éléments finis sur la précision. La formation de vortex dans les cubes quantiquesest bien reproduite. L’agencement en domaines de polarisation alternée dans les couchesminces est elle aussi bien reproduite pour les couches minces. De plus en augmentant l’épaisseurde ces couches minces, la périodicité de cet agencement alterné est modifié, comportementdécrit par la loi de Kittel qui est ici calculée et comparée aux résultats expérimentaux. / Physicals properties of ferroelectric materials mainly arise from the fact that the polarizationis strongly influenced by strain and electrical boundary conditions, which may changeits orientation and magnitude. At small scales, this influence is even stronger and unusualdomain structures are produced like vortices in quantum dots or stripes in thin films. For thecalculation of domain structures, at small scales, first-principle-based effective Hamiltonianare widely used whereas at higher scales, continuum models are predominants. Nevertheless,in between there is no computational method connecting both scales. Therefore„ thegoal of this dissertation is to develop and build new approaches in order to bridge these twoseparated scales.Our model stems for classical effective Hamiltonian, written for barium titanate as afunction of the polarization and strain. This Hamiltonian is then formulated in order tocorrespond to a continuous description. Difficulties arise from non local interactions. In theend, the Hamiltonian is transformed into a set of partial differential equations describing theequilibrium and the boundary conditions. The temperature is then introduced in such a waythat makes evolve the coefficients of those sets of equations. We therefore reconstructed aLandu-like model.Such approach can be applied in quantum dots and thin films where the domain organizationdepend on the size. The results show how to apply finite element in order to obtainpatterns of polarizations with the wanted precision. The vortices shapes of domain patternin quantum dots is well reproduced. The stripes-like polarization pattern is also well reproducedin thin films. Besides expanding thickness of those films change the periodicity ofthose stripes, behaviour described by the Kittel law. This law is calculated and compared tomeasurements.

Le défis principal de l'industrie de la micro électronique est de créer d'augmenter la capacité de stockage mais aussi la vitesse des ordinateurs. Pour atteindre cette objectif, les composants électroniques doivent être miniaturisés à l'échelle du nanomètre. À cette échelle, les propriétés de la matière sont encore mal connues.Les matériaux les plus prometteurs dans cette recherche sont les multiferroïques où l'ordre magnétique et l'ordre ferroélectrique sont couplés. Ils pourraient amener des composants électroniques plus rapide et moins consommateur d'énergie dans des composants tels que les Random Access Memory. Ce travail traite de l'étude d'un multiferroïque typique BiFeO3 (BFO) en se concentrant sur les couplages entre les ordres magnétiques, ferroélectriques et le contrainte dans des systèmes de taille nanométrique / A major challenge in microelectronics is the increase of data storage as well as processors performancies. Unfortunatelly, this challenge involves a drastic reduction of size of the fundamental device of a computer down to the nano scale. At this scale, properties of matter are still not fully understood. One of the key materials to reach this challenge are multiferroics where the magnetism and the ferroelectricity can interact leading to low consuming and fast Random Access Memories. This work deals with the study of famous multiferroics BiFeO3 (BFO) focussing on the coupling between magnetic ordering, ferroelectric ordering and strain as the dimensionality of the system is reduced to several nanometers

La surface de Fermi du bismuth est composée d'une poche de trous parabolique et de trois vallées d'électrons de Dirac équivalentes à une rotation près. Leur masse effective est faible (m* ~ 10-3 me) et très anisotrope (m1 ~ 200 m2). Ces propriétés électroniques remarquables, combinées à une densité de porteurs très faible (n=3.10-17 cm-3) et une très grande mobilité (µ ~ 108 cm2/V/s), impliquent que la magnétorésistance du bismuth est très grande et très sensible à l'orientation du champ magnétique. Au cours de cette thèse, nous avons réalisé la cartographie en température et champ magnétique de la dépendance angulaire de la magnétorésistance transverse dans les trois plans de haute symétrie. Nous avons ensuite confronté nos données aux attentes du modèle semi classique. Cela a permis de vérifier la pertinence du modèle semi-classique d'une part et d'extraire les composantes du tenseur de mobilité d'autre part. Nous trouvons que toutes les composantes du tenseur de mobilité suivent une dépendance en température qui est proche de T-2, suggérant la prédominance de l'interaction électron-électron. Une transition de phase au cours de laquelle la dépendance angulaire de la magnétorésistance perd la symétrie rotationnelle du réseau cristallin a été mise en évidence. L'étude de la dépendance angulaire de l'effet magnéto-Seebeck a révélé des oscillations similaires à celles de la résistivité. Leur explication nécessite d'aller au-delà du modèle semi-classique. Finalement, l'anisotropie et l'évolution avec le champ magnétique du pouvoir thermoélectrique et de la figure de mérite du bismuth pur et d'un alliage d'antimoine sont étudiées. / Bismuth Fermi surface is composed of one parabolic hole pocket and three equivalent Dirac electrons valleys. The electrons effective mass is low (m* ~ 10-3 me) and very anisotropic (m1 ~ 200 m2). These exceptional electronic properties, combined with a very low carrier density (n=3.10-17 cm-3) and a very large mobility (µ ~ 108 cm2/V/s) imply that bismuth magnetoresistance is very large and very sensitive to the orientation of the magnetic field. During this thesis, we mapped in temperature and magnetic field the angular dependence of transverse magnetoresistance in the three high symmetry planes. Our datas are then fitted by a semi-classical model. This permits to examine the relevance of the semi-classical theory and to extract the mobility tensors components. We find that all mobility tensor components have a temperature dependence close to a T-2, which suggests that the electron-electron interaction is the main diffusion mechanism. At low temperature and high magnetic field, a phase transition induces the loss of the lattice rotational symmetry in angular dependence magnetoresistance measurement. The angular dependence of magneto-Seebeck effect shows the same oscillations as magnetoresistance. Their explanation requires to go beyond the semi-classical model. Finally, magnetic field dependence and anisotropy of thermoelectric power and thermoelectric figure of merit of pure bismuth and a bismuth-antimony alloy are studied.

Les matériaux actifs sont des matériaux qui réagissent quand on leur applique un champ extérieur comme la température, la lumière, un champ magnétique ou un champ électrique. Ces champs changent les propriétés du matériau comme la longueur, la susceptibilité magnétique ou la permittivité électrique. Ces changements peuvent être utilisé pour faire du travail. Quelques exemples sont les matériaux piézoélectriques, qui changent de longueur quand on applique un champ électrique, les alliages à mémoire de forme qui changent leur longueur sous l’action de la température. Un matériau plus récent qu’on appelle les alliages mémoire de forme magnétique se de forme sous l’action d’un champ magnétique. Dans cette thèse, on utilise ce matériau pour Confectionner un actionneur. Pour ce faire, on utilise la thermodynamique des procédés irréversibles pour modéliser le matériau. La thermodynamique s’avère très versatile pour ce type de matériau car il permet de quantifier l’ échange et la transformation d’ énergie dans le matériau. Aussi, étant donné que le matériau se comporte d’une façon non-linéaire et hystérique, le cadre énergétique nous permets justement de prendre en compte ces non- linearités. Cette thèse utilise l’approche énergétique notamment les Hamiltonien à ports pour modéliser un actionneur à base d’alliage à mémoire de forme. Cette méthode nous permets aussi de concevoir des lois de commande pour contrôler le matériau. / Active materials are a class of material which react to an external stimulus such as temperature,photons, magnetic field or electric field. These stimuli cause some properties of the material tochange usually their length. Some examples are piezoelectric material which change their lengthunder the action of an electric field, Shape Memory alloys which alter their shape on applicationof heat, and more recently Magnetic Shape Memory Alloys (MSMA) which undergo a deformationon application of a magnetic field. Harnessing this property of MSMAs, we hereby present anactuator using this novel material. We extensively make use of an energy framework, namely thethermodynamics of irreversible processes to model the material. This framework has been provento be very versatile in modelling energy exchange and transformation as it occurs in the materialand also to incorporate hysteresis which arises naturally in such materials. Another advantage of thismethod is its ability to give us constitutive laws based on simple assumptions. Furthermore, usingan energy framework allows us to apply some energy based control. Port Hamiltonian Control is onesuch method and it is not limited only to linear models. This latter characteristic has proven veryuseful since MSMAs are very non-linear in nature.

La structure dynamique de la région transneptunienne est encore loin d'être entièrement comprise, surtout concernant les objets ayant un périhélie très éloigné. Dans cette région, les perturbations orbitales sont très faibles, autant de l'intérieur (les planètes) que de l'extérieur (les étoiles de passage et les marées galactiques). Pourtant, de nombreux objets ont des orbites très excentriques, ce qui indique qu'ils ne se sont pas formés tels qu'on les observe actuellement. De plus, certaines accumulations dans la distribution de leurs éléments orbitaux ont attiré l'attention de la communauté scientifique, conduisant à de nombreuses conjectures sur l'origine et l'évolution du Système Solaire externe.Avant d'envisager des théories plus "exotiques", une analyse exhaustive doit être menée sur les différents mécanismes qui peuvent reproduire les trajectoires observées à partir de ce qui est jugé "certain" dans la dynamique du Système Solaire, à savoir les perturbations par les planètes connues et par les marées galactiques. Cependant, nous ne pouvons pas nous fier uniquement aux simulations numériques pour explorer efficacement l'espace des comportements possibles. Dans ce contexte, notre objectif est de dégager une vision globale de la dynamique entre Neptune et le nuage de Oort, y compris les orbites les plus extrêmes (même si elles sont improbables ?).Les orbites entièrement extérieures à la région planétaire peuvent être divisées en deux classes générales : d'un côté, les objets soumis à une diffusion du demi grand-axe (ce qui empêche toute variation importante du périhélie) ; de l'autre côté les objets qui présentent une dynamique intégrable à court terme (ou quasi-intégrable). La dynamique de ces derniers peut être décrite par des modèles séculaires. Il existe deux sortes d'orbites régulières : les orbites non résonnantes (demi grand-axe fixe) et celles piégées dans une résonance de moyen mouvement avec une planète (demi grand-axe oscillant).La majeur partie de ce travail de thèse se concentre sur le développement de modèles séculaires pour les objets transneptuniens, dans les cas non résonnant et résonnant. Des systèmes à un degré de liberté peuvent être obtenus, ce qui permet de représenter chaque trajectoire par une courbe de niveau du hamiltonien. Ce type de formalisme est très efficace pour explorer l'espace des paramètres. Il révèle des trajectoires menant à des périhélies éloignés, de même que des "mécanismes de captures", capables de maintenir les objets sur des orbites très distantes pendant des milliards d'années. L'application du modèle séculaire résonnant aux objets connus est également très instructive, car elle montre graphiquement quelles orbites observées nécessitent un scénario complexe (comme la migration planétaire ou un perturbateur extérieur), et lesquelles peuvent être expliquées par l'influence des planètes connues. Dans ce dernier cas, l'histoire dynamique des petits corps peut être retracée depuis leur capture en résonance.La dernière partie de ce travail est consacrée à l'extension du modèle séculaire non résonnant au cas d'un perturbateur extérieur massif. S'il est doté d'une excentricité et/ou d'une inclinaison non négligeable, cela introduit un, voire deux degrés de liberté supplémentaires dans le système, d'où une dynamique en général non intégrable. Dans ce cas, l'analyse peut être réalisée à l'aide de sections de Poincaré, qui permettent de distinguer les régions chaotiques et régulières de l'espace des phases. Pour des demi grands-axes croissants, le chaos se propage très rapidement. Les structures les plus persistantes sont des résonances séculaires produisant des trajectoires alignées ou anti-alignées avec la planète distante. / The dynamical structure of the transneptunian region is still far from being fully understood, especially concerning high-perihelion objects. In that region, the orbital perturbations are very weak, both from inside (the planets) and from outside (passing stars and galactic tides). However, numerous objects have very eccentric orbits, which indicates that they did not form in their current orbital state. Furthermore, some intriguing clusters in the distribution of their orbital elements have attracted attention of the scientific community, leading to numerous conjectures about the origin and evolution of the external Solar System.Before thinking of "exotic" theories, an exhaustive survey has to be conducted on the different mechanisms that could produce the observed trajectories involving only what we take for granted about the Solar System dynamics, that is the orbital perturbations by the known planets and/or by galactic tides. However, we cannot rely only on numerical integrations to efficiently explore the space of possible behaviours. In that context, we aim at developing a general picture of the dynamics between Neptune and the Oort Cloud, including the most extreme (even if improbable?) orbits.The orbits entirely exterior to the planetary region can be divided into two broad classes: on the one hand, the objects undergoing a diffusion of semi-major axis (which prevents from large variation of the perihelion distance); on the other hand, the objects which present an integrable (or quasi-integrable) dynamics on a short time-scale. The dynamics of the latter can be described by secular models. There are two kinds of regular orbits: the non-resonant ones (fixed semi-major axis) and those trapped in a mean-motion resonance with a planet (oscillating semi-major axis).The major part of this Ph.D. work is focussed on the development of secular models for transneptunian objects, both in the non-resonant and resonant cases. One-degree-of-freedom systems can be obtained, which allows to represent any trajectory by a level curve of the Hamiltonian. Such a formalism is pretty efficient to explore the parameter space. It reveals pathways to high perihelion distances, as well as "trapping mechanisms", able to maintain the objects on very distant orbits for billion years. The application of the resonant secular model to the known objects is also very informative, since it shows graphically which observed orbits require a complex scenario (as the planetary migration or an external perturber), and which ones can be explained by the influence of the known planets. In this last case, the dynamical history of the small bodies can be tracked back to the resonance capture.The last part of this work is devoted to the extension of the non-resonant secular model to the case of an external massive perturber. If it has a substantial eccentricity and/or inclination, it introduces one or two more degrees of freedom in the system, so the secular dynamics is non integrable in general. In that case, the analysis can be realised by Poincaré sections, which allow to distinguish the chaotic regions of the phase space from the regular ones. For increasing semi-major axes, the chaos spreads very fast. The most persistent structures are secular resonances producing trajectories aligned or anti-aligned with the orbit of the distant planet.

Dans cette thèse, nous etudions deux principaux problèmes de la théorie des graphes: problème d’homomorphisme des graphes planaires (signés) et problème de cycle hamiltonien.Comme une extension du théorème des quatre couleurs, il est conjecturé([80], [41]) que chaque graphe signé cohérent planaire de déséquilibré-maille d+1(d>1) admet un homomorphisme à cube projective signé SPC(d) de dimension d. La question suivant étalés naturelle:Est-ce que SPC(d) une borne optimale de déséquilibré-maille d+1 pour tous les graphes signés cohérente planaire de déséquilibré-maille d+1?Au Chapitre 2, nous prouvons que: si (B,Ω) est un graphe signé cohérente dedéséquilibré-maille d qui borne la classe des graphes signés cohérents planaires de déséquilibré-maille d+1, puis |B| ≥2^{d−1}. Notre résultat montre que si la conjecture ci-dessus est vérifiée, alors le SPC(d) est une borne optimale à la fois en terme du nombre des sommets et du nombre de arêtes.Lorsque d=2k, le problème est équivalent aux problème des graphes:est-ce que PC(2k) une borne optimale de impair-maille 2k+1 pour P_{2k+1} (tous les graphes planaires de impair-maille au moins 2k+1)? Notez que les graphes K_4-mineur libres sont les graphes planaires, est PC(2k) aussi une borne optimale de impair-maille 2k+1 pour tous les graphes K_4-mineur libres de impair-maille 2k+1? La réponse est négative, dans[6], est donné une famille de graphes d’ordre O(k^2) que borne les graphes K_4-mineur libres de impair-maille 2k+1. Est-ce que la borne optimale? Au Chapitre 3, nous prouvons que: si B est un graphe de impair-maille 2k+1 qui borne tous les graphes K_4-mineur libres de impair-maille 2k+1, alors |B|≥(k+1)(k+2)/2. La conjonction de nos résultat et le résultat dans [6] montre que l’ordre O(k^2) est optimal. En outre, si PC(2k) borne P_{2k+1}, PC(2k) borne également P_{2r+1}(r>k).Cependant, dans ce cas, nous croyons qu’un sous-graphe propre de P(2k) serait suffisant à borner P_{2r+1}, alors quel est le sous-graphe optimal de PC2k) qui borne P_{2r+1}? Le premier cas non résolu est k=3 et r= 5. Dans ce cas, Naserasr [81] a conjecturé que le graphe Coxeter borne P_{11}. Au Chapitre 4, nous vérifions cette conjecture pour P_{17}.Au Chapitres 5, 6, nous étudions les problèmes du cycle hamiltonien. Dirac amontré en 1952 que chaque graphe d’ordre n est hamiltonien si tout sommet a un degré au moins n/2. Depuis, de nombreux résultats généralisant le théorème de Dirac sur les degré ont été obtenus. Une approche consiste à construire un cycle hamiltonien à partir d'un ensemble de sommets en contrôlant leur position sur le cycle. Dans cette thèse, nous considérons deux conjectures connexes. La première est la conjecture d'Enomoto: si G est un graphe d’ordre n≥3 et δ(G)≥n/2+1, pour toute paire de sommets x,y dans G, il y a un cycle hamiltonien C de G tel que dist_C(x,y)=n/2.Notez que l’ ́etat de degre de la conjecture de Enomoto est forte. Motivé par cette conjecture, il a prouvé, dans [32], qu’une paire de sommets peut être posé des distances pas plus de n/6 sur un cycle hamiltonien. Dans [33], les cas δ(G)≥(n+k)/2 sont considérés, il a prouvé qu’une paire de sommets à une distance entre 2 à k peut être posé sur un cycle hamiltonien. En outre, Faudree et Li ont proposé une conjecture plus générale: si G est un graphe d’ordre n≥3 et δ(G)≥n/2+1, pour toute paire de sommets x,y dans G et tout entier 2≤k≤n/2, il existe un cycle hamiltonien C de G tel que dist_C(x,y)=k. Utilisant de Regularity Lemma et Blow-up Lemma, au chapitre 5, nous donnons une preuve de la conjeture d'Enomoto conjecture pour les graphes suffisamment grand, et dans le chapitre 6, nous donnons une preuve de la conjecture de Faudree et Li pour les graphe suffisamment grand. / In this thesis, we study two main problems in graph theory: homomorphism problem of planar (signed) graphs and Hamiltonian cycle problem.As an extension of the Four-Color Theorem, it is conjectured ([80],[41]) that every planar consistent signed graph of unbalanced-girth d+1(d>1) admits a homomorphism to signed projective cube SPC(d) of dimension d. It is naturally asked that:Is SPC(d) an optimal bound of unbalanced-girth d+1 for all planar consistent signed graphs of unbalanced-girth d+1?In Chapter 2, we prove that: if (B,Ω) is a consistent signed graph of unbalanced-girth d which bounds the class of consistent signed planar graphs of unbalanced-girth d, then |B|≥2^{d-1}. Furthermore,if no subgraph of (B,Ω) bounds the same class, δ(B)≥d, and therefore,|E(B)|≥d·2^{d-2}.Our result shows that if the conjecture above holds, then the SPC(d) is an optimal bound both in terms of number of vertices and number of edges.When d=2k, the problem is equivalent to the homomorphisms of graphs: isPC(2k) an optimal bound of odd-girth 2k+1 for P_{2k+1}(the class of all planar graphs of odd-girth at least 2k+1)? Note that K_4-minor free graphs are planar graphs, is PC(2k) also an optimal bound of odd-girth 2k+1 for all K_4-minor free graphs of odd-girth 2k+1 ? The answer is negative, in [6], a family of graphs of order O(k^2) bounding the K_4-minor free graphs of odd-girth 2k+1 were given. Is this an optimal bound? In Chapter 3, we prove that: if B is a graph of odd-girth 2k+1 which bounds all the K_4-minor free graphs of odd-girth 2k+1,then |B|≥(k+1)(k+2)/2. Our result together with the result in [6] shows that order O(k^2) is optimal.Furthermore, if PC(2k) bounds P_{2k+1},then PC(2k) also bounds P_{2r+1}(r>k). However, in this case we believe that a proper subgraph of PC(2k) would suffice to bound P_{2r+1}, then what’s the optimal subgraph of PC(2k) that bounds P_{2r+1}? The first case of this problem which is not studied is k=3 and r=5. For this case, Naserasr [81] conjectured that the Coxeter graph bounds P_{11} . Supporting this conjecture, in Chapter 4, we prove that the Coxeter graph bounds P_{17}.In Chapter 5,6, we study the Hamiltonian cycle problems. Dirac showed in 1952that every graph of order n is Hamiltonian if any vertex is of degree at least n/2. This result started a new approach to develop sufficient conditions on degrees for a graph to be Hamiltonian. Many results have been obtained in generalization of Dirac’s theorem. In the results to strengthen Dirac’s theorem, there is an interesting research area: to control the placement of a set of vertices on a Hamiltonian cycle such that thesevertices have some certain distances among them on the Hamiltonian cycle.In this thesis, we consider two related conjectures, one is given by Enomoto: if G is a graph of order n≥3, and δ(G)≥n/2+1, then for any pair of vertices x, y in G, there is a Hamiltonian cycle C of G such that dist_C(x, y)=n/2. Motivated by this conjecture, it is proved,in [32],that a pair of vertices are located at distances no more than n/6 on a Hamiltonian cycle. In [33], the cases δ(G) ≥(n+k)/2 are considered, it is proved that a pair of vertices can be located at any given distance from 2 to k on a Hamiltonian cycle. Moreover, Faudree and Li proposed a more general conjecture: if G is a graph of order n≥3, and δ(G)≥n/2+1, then for any pair of vertices x, y in G andany integer 2≤k≤n/2, there is a Hamiltonian cycle C of G such that dist_C(x, y) = k. Using Regularity Lemma and Blow-up Lemma, in Chapter 5, we give a proof ofEnomoto’s conjecture for graphs of sufficiently large order, and in Chapter 6, we give a proof of Faudree and Li’s conjecture for graphs of sufficiently large order.

Cette thèse porte sur l’étude des solutions périodiques du problème des N-tourbillons à vorticité positive. Ce problème, formulé par Helmholtz il y a plus de 160 ans, possède une histoire très riche et reste un domaine de recherche très actif. Pour un nombre quelconque de tourbillons et sans contrainte sur les vorticités, ce système n’est pas intégrable au sens de Liouville : on ne peut trouver de solution périodique non triviale par des méthodes explicites. Dans cette thèse, à l’aide de méthodes variationnelles, nous prouvons l’existence d’une infinité de solutions périodiques non triviales pour un système de N tourbillons à vorticités positives. De plus, lorsque les vorticités sont des nombres rationnels positifs, nous montrons qu’il n’existe qu’un nombre fini de niveaux d’énergie sur lesquels un équilibre relatif pourrait exister. Enfin, pour un système de N-tourbillons identiques, nous montrons qu’il existe une infinité de chorégraphies simples. / This thesis focuses on the study of the periodic solutions of the N-vortex problem of positive vorticity. This problem was formulated by Helmholtz more than 160 years ago and remains an active research field. For an undetermined number of vortices and general vorticities the system is not Liouville integrable and periodic solutions cannot be determined explicitly, except for relative equilibria. By using variational methods, we prove the existence of infinitely many non-trivial periodic solutions for arbitrary N and arbitrary positive vorticities. Moreover, when the vorticities are positive rational numbers, we show that there exists only finitely many energy levels on which there might exist a relative equilibrium. Finally, for the identical N-vortex problem, we show that there exists infinitely many simple choreographies.