<p>Doktorska disertacija posve&para;cena je re&middot;savanju nelinearnih hiperboli&middot;cnih skalarnih zakona odr&middot;zanja u heterogenim sredinama, prou&middot;cavanjem osobina kompaktnosti re&middot;senja familija aproksimativnih jedna&middot;cina. Ta&middot;cnije, u cilju dobijanja re&middot;senja u = u(t; x) problema @ t u + divx f (t; x; u) = 0;uj t=0 = u 0(x); gde su promenljive x 2 R d i t 2 R+<br />, posmatramo familije problema koji na neki na&middot;cin aproksimiraju po&middot;cetni problem, a koje znamo da re&middot;simo, i ispitujemo familije dobijenih re&middot;senja koja zovemo aproksimativna re&middot;senja. Cilj nam je da poka&middot;zemo da je dobijena familija u nekom smislu prekompaktna,<br />tj. da ima konvergentan podniz &middot;cija granica re&middot;sava po&middot;cetni problem.</p> / <p>Doctoral theses is dedicated to solving nonlinear hyperbolic scalar conservation laws in heterogeneous media, by studying compactness properties of the family of solutions to approximate problems. More precise, in order to obtain solution u = u(t; x) to the problem @ t u + divx f (t; x; u) = 0; uj t=0 = u 0 (x); (4.18) where x 2 R d and t 2 R+<br />, we study the solutions of the families of problems that, in some way, approximate previously mentioned problem, which we know how to solve. We call those solutions approximate solutions. The aim is to show that the obtained family is in some sense precompact, i.e. has convergent subsequence that solves the problem (4.18).</p>

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de réaction-dispersion de la forme [delta]tu=D(u) +f(x,u). L'objectif est de comprendre l'influence du terme de réaction f, de l'opérateur de dispersion D, et de la donnée initiale u0 sur la propagation des solutions de ces équations. Nous nous sommes intéressés principalement à deux types d'équations de réaction-dispersion : les équations de réaction-diffusion où l'opérateur de dispersion différentielle est D=[delta]2z et les équations intégro-différentielles pour lesquelles D est un opérateur de convolution, D(u)=J* u-u. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu homogène, nous proposons une nouvelle approche plus intuitive concernant les notions de fronts progressifs tirés et poussés. Cette nouvelle caractérisation nous a permis de mieux comprendre d'une part les mécanismes de propagation des fronts et d'autre part l'influence de l'effet Allee, correspondant à une diminution de la fertilité à faible densité, lors d'une colonisation. Ces résultats ont des conséquences importantes en génétique des populations. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène, nous avons montré sur un exemple précis comment la fragmentation du milieu modifie la vitesse de propagation des solutions. Enfin, dans le cadre des équations intégro-différentielles, nous avons montré que la nature sur- ou sous-exponentielle du noyau de dispersion J modifie totalement la vitesse de propagation. / This thesis deals with the mathematical analysis of reaction-dispersion models of the form [delta]tu=D(u) +f(x,u). We investigate the influence of the reaction term f, the dispersal operator D and the initial datum u0 on the propagation of the solutions of these reaction-dispersion equations. We mainly focus on two types of equations: reaction-diffusion equations (D=[delta]2z and integro-differential equations (D is a convolution operator, D(u)=J* u-u). We first investigate the homogeneous reaction-diffusion equations. We provide a new and intuitive explanation of the notions of pushed and pulled traveling waves. This approach allows us to understand the inside dynamics the traveling fronts and the impact of the Allee effect, that is a low fertility at low density, during a colonisation. Our results also have important consequences in population genetics. In the more general and realistic framework of heterogeneous reaction-diffusion equations, we exhibit examples where the fragmentation of the media modifies the spreading speed of the solution. Finally, we investigate integro-differential equations and prove that emph{fat-tailed} dispersal kernels J, that is kernels which decay slower than any exponentially decaying function at infinity, lead to acceleration of the level sets of the solution u.

Les travaux de la présente thèse portent sur l’estimation d'erreur a posteriori pour les solutions numériques par éléments finis de l'équation des ondes élastiques dans les milieux hétérogènes. Deux types d’estimation ont été développés. Le premier considère directement l’équation élastodynamique et conduit à un nouvel estimateur d'erreur a posteriori explicite en norme L∞ en temps. Les principales caractéristiques de cet estimateur explicite sont l'utilisation de la méthode de résidus et le développement de reconstructions en temps et en espace selon les différentes régularités exigées par les différents termes contribuant à l’obtention d’une borne supérieure. L’analyse numérique de cet estimateur dans le cas des maillages uniformes montre qu’il assure bien une borne supérieure mais avec une propriété asymptotique qui reste à améliorer. Le deuxième type d’estimateur d’erreur est développé dans le contexte de la propagation des ondes à haute fréquence dans des milieux hétérogènes à l’échelle mésoscopique. Il s’agit d’une nouvelle erreur en résidus basée sur l'équation de transfert radiatif, qui est obtenue par un développement asymptotique multi-échelle de l'équation d'onde en utilisant la transformation de Wigner en espace-temps. Les résidus sont exprimés en termes de densités énergétiques calculés dans l’espace des phases pour les solutions d’onde numériques transitoires par éléments finis. L’analyse numérique de cette erreur appliquée aux milieux homogènes et hétérogènes en 1D a permis de valider notre approche. Les champs d’application visés sont la propagation des ondes sismiques dans les milieux géophysiques ou la propagation des ondes ultrasonores dans les milieux polycristallins. / This thesis work deals with a posteriori error estimates for finite element solutions of the elastic wave equation in heterogeneous media. Two different a posteriori estimation approaches are developed. The first one, in a classical way, considers directly the elastodynamic equation and results in a new explicit error estimator in a non-natural L∞ norm in time. Its key features are the use of the residual method and the development of space and time reconstructions with respect to regularities required by different residual operators contributing to the proposed error bound. Numerical applications of the error bound with different mesh sizes show that it gives rise to a fully computable upper bound. However, its effectivity index and its asymptotic accuracy remain to be improved. The second error estimator is derived for high frequency wave propagation problem in heterogeneous media in the weak coupling regime. It is a new residual-type error based on the radiative transfer equation, which is derived by a multi-scale asymptotic expansion of the wave equation in terms of the spatio-temporal Wigner transforms of wave fields. The residual errors are in terms of angularly resolved energy quantities of numerical solutions of waves by finite element method. Numerical calculations of the defined errors in 1D homogeneous and heterogeneous media allow validating the proposed error estimation approach. The application field of this work is the numerical modelling of the seismic wave propagation in geophysical media or the ultrasonic wave propagation in polycrystalline materials.

<p>The present thesis is devoted to the homogenization of certain elliptic and parabolic partial differential equations by means of appropriate generalizations of the notion of two-scale convergence. Since homogenization is defined in terms of H-convergence, we desire to find the H-limits of sequences of periodic monotone parabolic operators with two spatial scales and an arbitrary number of temporal scales and the H-limits of sequences of two-dimensional possibly non-periodic linear elliptic operators by utilizing the theories for evolution-multiscale convergence and λ-scale convergence, respectively, which are generalizations of the classical two-scale convergence mode and custom-made to treat homogenization problems of the prescribed kinds. Concerning the multiscaled parabolic problems, we find that the result of the homogenization depends on the behavior of the temporal scale functions. The temporal scale functions considered in the thesis may, in the sense explained in the text, be slow or rapid and in resonance or not in resonance with respect to the spatial scale function. The homogenization for the possibly non-periodic elliptic problems gives the same result as for the corresponding periodic problems but with the exception that the local gradient operator is everywhere substituted by a differential operator consisting of a product of the local gradient operator and matrix describing the geometry and which depends, effectively, parametrically on the global variable.</p>

The present thesis is devoted to the homogenization of certain elliptic and parabolic partial differential equations by means of appropriate generalizations of the notion of two-scale convergence. Since homogenization is defined in terms of H-convergence, we desire to find the H-limits of sequences of periodic monotone parabolic operators with two spatial scales and an arbitrary number of temporal scales and the H-limits of sequences of two-dimensional possibly non-periodic linear elliptic operators by utilizing the theories for evolution-multiscale convergence and λ-scale convergence, respectively, which are generalizations of the classical two-scale convergence mode and custom-made to treat homogenization problems of the prescribed kinds. Concerning the multiscaled parabolic problems, we find that the result of the homogenization depends on the behavior of the temporal scale functions. The temporal scale functions considered in the thesis may, in the sense explained in the text, be slow or rapid and in resonance or not in resonance with respect to the spatial scale function. The homogenization for the possibly non-periodic elliptic problems gives the same result as for the corresponding periodic problems but with the exception that the local gradient operator is everywhere substituted by a differential operator consisting of a product of the local gradient operator and matrix describing the geometry and which depends, effectively, parametrically on the global variable.

Dans cette thèse, nous développons le modèle phénoménologique optimisé de lessivage chimique in situ (ISL) de l'uranium par l'injection d'acide sulfurique, en prenant en compte la précipitation des espèces non-solubles telles que le gypse, qui réduisent la récupération de l'uranium. Le modèle proposé décrit le transport de masse avec des réactions chimiques hétérogènes entre le liquide et les roches solides, qui mènent à la dissolution des oxydes d'uranium et à la récupération de l'uranium sous forme liquide. Ce modèle comprend à la fois des réactions utiles, qui décrivent la dissolution de divers types d'oxydes d'uranium, et les réactions néfastes qui conduisent à la précipitation des sédiments solides (gypse), dont les flocons couvrent la surface de canaux poreux et réduisent l'efficacité des réactions utiles. Parmi les résultats qualitatifs, nous avons révélé l'existence d'un taux critique de sédimentation de gypse, en dessous duquel la récupération ultime de l'uranium est complète. En revanche, elle tend à une valeur limite inférieure à 100% lorsque le taux de sédimentation est supérieur à la valeur critique. Ce taux de récupération limite dépend de divers paramètres du processus. La théorie et la méthodologie développées dans ce travail peuvent être facilement étendues et appliquées aux autres types de minerais qui sont récupérés par la méthode de lessivage in situ, et autres types de solvant / In the present thesis we develop the optimized phenomenological model of in-situ chemical leaching (ISL) of uranium by the injection of sulfuric acid, with special account for the precipitation of non-soluble species as gypsum, which reduces the uranium recovery. The suggested model describes the mass transport with heterogeneous chemical reactions between liquid and solid rocks, leading to dissolve uranium oxides and recover uranium in liquid form. It includes both useful reactions, describing the dissolution of various kinds of uranium oxides, and detrimental reactions, leading to the precipitation of solid sediments (gypsum), whose flakes cover the surface of porous channels and reduce the efficiency of useful reactions. Among the qualitative results we revealed the existence of a critical rate of gypsum sedimentation, below which the ultimate uranium recovery is complete. In contrast, it tends to a limit value lower than 100% when the sedimentation rate is higher than the critical value. This limit recovery depends on various parameters of the process. The theory and the methodology developed in this work can be easily extended and applied on other type of ores that are recovered by in-situ leaching method and other types of solvents

Ce travail de thèse porte sur la modélisation mathématique et la simulation numérique de la migration par gravité et capillarité du CO₂ supercritique injecté dans un site de séquestration géologique hétérogène. Les simulations sont réalisées à l'aide du code DuMux. Particulièrement, on s'intéresse à la mise à l'échelle, de l'échelle de la cellule à l'échelle du réservoir, d'un modèle d'écoulement diphasique CO₂ -saumure, au sein d'un milieu stratifié périodique constitué d'un réseau de barrières peu perméables horizontales, continues ou discontinues. La mise à l'échelle est effectuée par la méthode asymptotique à double échelle. Dans un premier temps, on considère le cas d'une colonne verticale parfaitement stratifiée. Un modèle homogénéisé est développé puis validé par simulation numérique pour différentes valeurs du nombre capillaire et du flux incident de CO₂ . La méthode d'homogénéisation est appliquée au cas d'un écoulement dans un milieu bidimensionnel constitué de strates discontinues. Par l'effet de gravité, le CO₂ s'accumule sous les strates peu perméables, ce qui conduit à un problème mathématique local non standard. Cette stratification est modélisée à l'aide de l'approche des courants de gravité. L'approche est étendue au cas des strates semi-perméables et en prenant en compte la capillarité. Le modèle mis à l'échelle est comparé à des simulations numériques effectuées pour différents types de strates, avec ou sans pression capillaire, et sa limite de validité est discutée pour chacun de ces cas. La dernière partie de la thèse est dédiée à l'étude des performances du code DuMux pour simuler par calcul parallèle l'injection et la migration de CO₂ dans des milieux hétérogènes tridimensionnels (milieu périodique stratifié, milieu fluviatile et milieu réservoir SPE10). / This work deals with the mathematical modeling and the numerical simulation of the migration under gravity and capillarity effects of the supercritical CO₂ injected into a geological heterogeneous sequestration site. The simulations are performed with the code DuMux. Particularly, we consider the upscaling, from the cell scale to the reservoir scale, of a two-phase (CO₂ -brine) flow model within a periodic stratified medium made up of horizontal low permeability barriers, continuous or discontinuous. The upscaling is done by the two-scale asymptotic method. First, we consider perfectly layered media. An homogenized model is developed and validated by numerical simulation for different values of capillary number and the incident flux of CO₂ . The homogenization method is then applied to the case of a two-dimensional medium made up of discontinuous layers. Due to the gravity effect, the CO₂ accumulates under the low permeability layers, which leads to a non-standard local mathematical problem. This stratification is modeled using the gravity current approach. This approach is then extended to the case of semi-permeable stratas taking into account the capillarity. The upscaled model is compared with numerical simulations for different types of layers, with or without capillary pressure, and its limit of validity is discussed in each of these cases. The final part of this thesis is devoted to the study of the parallel computing performances of the code DuMux to simulate the injection and migration of CO₂ in three-dimensional heterogeneous media (layered periodic media, fluvial media and reservoir model SPE 10).

Le cœur d'un réacteur nucléaire est un milieu très hétérogène encombré de nombreux obstacles solides et les phénomènes thermohydrauliques à l'échelle macroscopique sont directement impactés par les phénomènes locaux. Toutefois les ressources informatiques actuelles ne suffisent pas à effectuer des simulations numériques directes d'un cœur complet avec la précision souhaitée. Cette thèse est consacré au développement de méthodes d'éléments finis multi-échelles (MsFEMs) pour simuler les écoulements incompressibles dans un milieu hétérogène avec un coût de calcul raisonnable. Les équations de Navier-Stokes sont approchées sur un maillage grossier par une méthode de Galerkin stabilisé, dans laquelle les fonctions de base sont solutions de problèmes locaux sur des maillages fins prenant précisément en compte la géométrie locale. Ces problèmes locaux sont définis par les équations de Stokes ou d'Oseen avec des conditions aux limites ou des termes sources appropriés. On propose plusieurs méthodes pour améliorer la précision des MsFEMs, en enrichissant l'espace des fonctions de base locales. Notamment, on propose des MsFEMs d'ordre élevée dans lesquelles ces conditions aux limites et termes sources sont choisis dans des espaces de polynômes dont on peut faire varier le degré. Les simulations numériques montrent que les MsFEMs d'ordre élevés améliorent significativement la précision de la solution. Une chaîne de simulation multi-échelle est construite pour simuler des écoulements dans des milieux hétérogènes de dimension deux et trois. / The nuclear reactor core is a highly heterogeneous medium crowded with numerous solid obstacles and macroscopic thermohydraulic phenomena are directly affected by localized phenomena. However, modern computing resources are not powerful enough to carry out direct numerical simulations of the full core with the desired accuracy. This thesis is devoted to the development of Multiscale Finite Element Methods (MsFEMs) to simulate incompressible flows in heterogeneous media with reasonable computational costs. Navier-Stokes equations are approximated on the coarse mesh by a stabilized Galerkin method, where basis functions are solutions of local problems on fine meshes by taking precisely local geometries into account. Local problems are defined by Stokes or Oseen equations with appropriate boundary conditions and source terms. We propose several methods to improve the accuracy of MsFEMs, by enriching the approximation space of basis functions. In particular, we propose high-order MsFEMs where boundary conditions and source terms are chosen in spaces of polynomials whose degrees can vary. Numerical simulations show that high-order MsFEMs improve significantly the accuracy of the solution. A multiscale simulation chain is constructed to simulate successfully flows in two- and three-dimensional heterogeneous media.

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