Seja L um campo vetorial complexo não singular definido em um aberto do plano. Treves provou que se L é localmente resolúvel então L é localmente integrável. Para campos planares hipoelíticos, vale uma propriedade adicional, a saber, toda integral primeira (restrita a um aberto suficientemente pequeno) é uma aplicação injetiva (e aberta); isto, por sua vez, implica que toda solução da equação homogênea Lu = 0 é localmente da forma u = h 0 Z, com h holomorfa, sendo Z uma integral primeira do campo. O problema central de interesse desta dissertação é a questão global correspondente, ou seja, a exisatência de integrais primeiras globais injetoras e a representação dde soluções globais por composições da integral primeira com uma função holomorfa / Let L be a nonsingular complex vector field defined on an open subset of the plane. Treves proved that if L is locally solvable then L is locally integrable. For hypoelliptic planar vector fields an additional property holds, namely, every first integral (restricted to a sufficiently small open set) is an injective (and open) mapping; this, on its turn, implies that each solution of the homogeneous equation Lu = 0 is locally of the form u = h Z, where h is holomorphic and Z is a first integral of the vector eld. The central problem of interest in this work is the corresponding global question, that is, the existence of global, injective first integrals and the representation of global solutions as compositions of the first integral with a holomorphic function

O objetivo principal deste trabalho é o estudo da regularidade anallítica global de certos operadores diferenciais definidos no toro. Uma ferramenta fundamental utilizada neste estudo são as séries parciais de Fourier, que nos permitem caracterizar tanto as distribuições periódicas quanto as funções anallíticas reais periódicas através do comportamento assintótico de seus coeficientes parciais de Fourier. Neste sentido, apresentamos também um estudo detalhado das relações destes objetos com seus coeficientes parciais de Fourier / The main goal of this work is to study global analytic regularity properties of certain differential operators acting in the torus. A main tool that will be used to achieve our goals are the partial Fourier series, which allow us to characterize objects such as periodic distributions or periodic real analytic functions in terms of the growth of their partial Fourier coefficients

O objetivo principal deste trabalho é o estudo da regularidade anallítica global de certos operadores diferenciais definidos no toro. Uma ferramenta fundamental utilizada neste estudo são as séries parciais de Fourier, que nos permitem caracterizar tanto as distribuições periódicas quanto as funções anallíticas reais periódicas através do comportamento assintótico de seus coeficientes parciais de Fourier. Neste sentido, apresentamos também um estudo detalhado das relações destes objetos com seus coeficientes parciais de Fourier / The main goal of this work is to study global analytic regularity properties of certain differential operators acting in the torus. A main tool that will be used to achieve our goals are the partial Fourier series, which allow us to characterize objects such as periodic distributions or periodic real analytic functions in terms of the growth of their partial Fourier coefficients