Este trabalho consiste em um estudo sobre a propriedade de hipoeliticidade global para campos vetoriais complexos não singulares no plano. As órbitas de Sussmann de um tal campo desempenham um papel fundamental nesta análise. Mostramos que se todas as órbitas são unidimensionais o campo não é globalmente hipoelítico. Quando o campo apresenta uma órbita bidimensional e ao menos uma órbita unidimensional mergulhada também foi demonstrado que este campo não é globalmente hipoelítico. No caso em que o plano é a única órbita, define-se, como em Hounie (1982), uma determinada relação de equivalência entre pontos em que o campo deixa de ser elítico. As classes de equivalência desta relação são homeomorfas a um ponto, a um intervalo compacto ou a uma semirreta. Se todas as classes de equivalência são compactas, o campo é globalmente hipoelítico. Caso haja uma classe de equivalência fechada e homeomorfa a uma semirreta, o campo não é globalmente hipoelítico. / This work is a study about global hypoellipticity for nonsingular complex vector fields in the plane. Sussmanns orbits play a fundamental role in this analysis. We show that if all the orbits are one-dimensional then the vector field is not globally hypoelliptic. When there exist a two-dimensional orbit and an embedded one-dimensional one then the vector field is not globally hypoelliptic. In the case when the plane is the only orbit, one defines, as in Hounie (1982), a certain equivalence relation between points where the vector field is not elliptic. The equivalence classes are homeomorphic to a single point, a compact interval or a ray. If all the equivalence classes are compact then the vector field is globally hypoelliptic. If there exists an equivalence class that is closed and homeomorphic to a ray then the vector field is not globally hypoelliptic.

Este trabalho consiste em um estudo sobre a propriedade de hipoeliticidade global para campos vetoriais complexos não singulares no plano. As órbitas de Sussmann de um tal campo desempenham um papel fundamental nesta análise. Mostramos que se todas as órbitas são unidimensionais o campo não é globalmente hipoelítico. Quando o campo apresenta uma órbita bidimensional e ao menos uma órbita unidimensional mergulhada também foi demonstrado que este campo não é globalmente hipoelítico. No caso em que o plano é a única órbita, define-se, como em Hounie (1982), uma determinada relação de equivalência entre pontos em que o campo deixa de ser elítico. As classes de equivalência desta relação são homeomorfas a um ponto, a um intervalo compacto ou a uma semirreta. Se todas as classes de equivalência são compactas, o campo é globalmente hipoelítico. Caso haja uma classe de equivalência fechada e homeomorfa a uma semirreta, o campo não é globalmente hipoelítico. / This work is a study about global hypoellipticity for nonsingular complex vector fields in the plane. Sussmanns orbits play a fundamental role in this analysis. We show that if all the orbits are one-dimensional then the vector field is not globally hypoelliptic. When there exist a two-dimensional orbit and an embedded one-dimensional one then the vector field is not globally hypoelliptic. In the case when the plane is the only orbit, one defines, as in Hounie (1982), a certain equivalence relation between points where the vector field is not elliptic. The equivalence classes are homeomorphic to a single point, a compact interval or a ray. If all the equivalence classes are compact then the vector field is globally hypoelliptic. If there exists an equivalence class that is closed and homeomorphic to a ray then the vector field is not globally hypoelliptic.

Seja L \'= PONTO\' \'\\partial IND. t\' + [\'a(t) + ib (t)] \'\\partial IND. x\' um operador diferencial parcial agindo em distribuições definidas no toro bidimensional \'T POT. 2\'; onde a; b : \'T POT. 1\' \' SETA\' R são funções analíticas reais. Suponhamos que L não ée globalmente analítico hipoelítico e b não é uma função identicamente nula. O objetivo principal deste trabalho é o estudo das soluções singulares de L; através da natureza e da localização das suas singularidades. Com este intuito, primeiramente abordaremos a teoria das séries parciais de Fourier, que nos permitem relacionar o comportamento assintótico dos coeficientes parciais de Fourier de um dado objeto com a regularidade do mesmo / Let L \'= PONTO\' \'\\partial ind. t\' + [ a (t) + ib (t) ] \'\\partial IND. x\' be a partial differential operator acting on distributions on the two-torus \'T POT. 2\' , where a; b : \'T POT. 1\' \'ARROW\' R are real analytic functions. Assume that L is not a globally analytic hypoelliptic operator and b is not identically zero. The main goal of this work is the study of the singular solutions of L; by means of the nature and localization of their singularities. To this end, we first study the theory of partial Fourier series, which are a useful tool to analyze the regularity of a given distribution

Neste trabalho consideramos sistemas de equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem, com coeficientes analíticos, definidos em variedades analíticas reais, no caso particular em que seu coposto é igual a um. Demonstramos que esse tipo de sistema admite integrais primeiras locais, e buscamos caracterizar sua hipoelipticidade analítica local e global em termos de propriedades topológicas das mesmas. Também provamos a Fórmula de Aproximação de Baouendi-Trèves / In this work we consider systems of first-order linear partial differential equations, with analytic coefficients, defined on real-analytic manifolds, in the special case in which the corank is equal to one. We prove that this type of systems admits local first integrals, and we seek to characterize their local and global analytic hypoellipticity in terms of topological properties of these first integrals. We also prove the Baouendi-Trèves Approximation Formula

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:28:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissJS.pdf: 317782 bytes, checksum: 94447e8a995d41e6cdb591d3c26a6a23 (MD5) Previous issue date: 2003-08-11 / Financiadora de Estudos e Projetos / A necessary and sufficient condition is given for a sum of squares operator to be globally hypoelliptic. This condition is expressed in terms of Diophatine approximation properties of the coefficients. The proof of the Theorem is based on L2− estimates. / Uma condição necessária e suficiente é dada para que um operador soma de quadrados seja globalmente hipoelítico. Esta condição é expressa em termos de propriedades de aproximações Diofantinas dos coeficientes. A prova do teorema é baseada em estimativas L2.

Seja L \'= PONTO\' \'\\partial IND. t\' + [\'a(t) + ib (t)] \'\\partial IND. x\' um operador diferencial parcial agindo em distribuições definidas no toro bidimensional \'T POT. 2\'; onde a; b : \'T POT. 1\' \' SETA\' R são funções analíticas reais. Suponhamos que L não ée globalmente analítico hipoelítico e b não é uma função identicamente nula. O objetivo principal deste trabalho é o estudo das soluções singulares de L; através da natureza e da localização das suas singularidades. Com este intuito, primeiramente abordaremos a teoria das séries parciais de Fourier, que nos permitem relacionar o comportamento assintótico dos coeficientes parciais de Fourier de um dado objeto com a regularidade do mesmo / Let L \'= PONTO\' \'\\partial ind. t\' + [ a (t) + ib (t) ] \'\\partial IND. x\' be a partial differential operator acting on distributions on the two-torus \'T POT. 2\' , where a; b : \'T POT. 1\' \'ARROW\' R are real analytic functions. Assume that L is not a globally analytic hypoelliptic operator and b is not identically zero. The main goal of this work is the study of the singular solutions of L; by means of the nature and localization of their singularities. To this end, we first study the theory of partial Fourier series, which are a useful tool to analyze the regularity of a given distribution

Neste trabalho consideramos sistemas de equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem, com coeficientes analíticos, definidos em variedades analíticas reais, no caso particular em que seu coposto é igual a um. Demonstramos que esse tipo de sistema admite integrais primeiras locais, e buscamos caracterizar sua hipoelipticidade analítica local e global em termos de propriedades topológicas das mesmas. Também provamos a Fórmula de Aproximação de Baouendi-Trèves / In this work we consider systems of first-order linear partial differential equations, with analytic coefficients, defined on real-analytic manifolds, in the special case in which the corank is equal to one. We prove that this type of systems admits local first integrals, and we seek to characterize their local and global analytic hypoellipticity in terms of topological properties of these first integrals. We also prove the Baouendi-Trèves Approximation Formula

Considere a variedade Tn x S1 com coordenadas (t;x) e considere uma 1-forma diferencial fechada e real a(t) em Tn. Neste trabalho consideramos o operador Lpa = dt +a(t) Λ ∂x de D\'p em D\'p+1, onde D\'p é o espaço das p-correntes da forma u = ∑ Ι I Ι = puI (t, x)dtI. O operador acima define um complexo de cocadeia formado pelos espaços vetoriais D\'p e pelos homomorfismos lineares Lpa : D\'p → D\'p+1. Definiremos o que significa resolubilidade global no complexo acima e caracterizaremos para quais 1-formas a o complexo é globalmente resolúvel. Faremos o mesmo com respeito a hipoeliticidade global no primeiro nível do complexo. / Consider the manifold Tn x S1 with coordinates (t;x) and let a(t) be a real and closed differential 1-form on Tn. In this work we consider the operator Lpsub>a = dt +a(t) Λ ∂x de D\'p from D\'p to D\'p+1, where D\'p is the space of all p-currents u = ∑ Ι I Ι = puI (t, x)dtI . The above operator defines a cochain complex consisting of the vector spaces D\'p and of the linear maps Lpa : D\'p → D\'p+1. We define what global solvability means for the above complex and characterize for which 1-forms a the complex is globally solvable. We will do the same with respect to global hypoellipticity on the first level of the complex.

Considere a variedade Tn x S1 com coordenadas (t;x) e considere uma 1-forma diferencial fechada e real a(t) em Tn. Neste trabalho consideramos o operador Lpa = dt +a(t) Λ ∂x de D\'p em D\'p+1, onde D\'p é o espaço das p-correntes da forma u = ∑ Ι I Ι = puI (t, x)dtI. O operador acima define um complexo de cocadeia formado pelos espaços vetoriais D\'p e pelos homomorfismos lineares Lpa : D\'p → D\'p+1. Definiremos o que significa resolubilidade global no complexo acima e caracterizaremos para quais 1-formas a o complexo é globalmente resolúvel. Faremos o mesmo com respeito a hipoeliticidade global no primeiro nível do complexo. / Consider the manifold Tn x S1 with coordinates (t;x) and let a(t) be a real and closed differential 1-form on Tn. In this work we consider the operator Lpsub>a = dt +a(t) Λ ∂x de D\'p from D\'p to D\'p+1, where D\'p is the space of all p-currents u = ∑ Ι I Ι = puI (t, x)dtI . The above operator defines a cochain complex consisting of the vector spaces D\'p and of the linear maps Lpa : D\'p → D\'p+1. We define what global solvability means for the above complex and characterize for which 1-forms a the complex is globally solvable. We will do the same with respect to global hypoellipticity on the first level of the complex.

Seja L um campo vetorial complexo não singular definido em um aberto do plano. Treves provou que se L é localmente resolúvel então L é localmente integrável. Para campos planares hipoelíticos, vale uma propriedade adicional, a saber, toda integral primeira (restrita a um aberto suficientemente pequeno) é uma aplicação injetiva (e aberta); isto, por sua vez, implica que toda solução da equação homogênea Lu = 0 é localmente da forma u = h 0 Z, com h holomorfa, sendo Z uma integral primeira do campo. O problema central de interesse desta dissertação é a questão global correspondente, ou seja, a exisatência de integrais primeiras globais injetoras e a representação dde soluções globais por composições da integral primeira com uma função holomorfa / Let L be a nonsingular complex vector field defined on an open subset of the plane. Treves proved that if L is locally solvable then L is locally integrable. For hypoelliptic planar vector fields an additional property holds, namely, every first integral (restricted to a sufficiently small open set) is an injective (and open) mapping; this, on its turn, implies that each solution of the homogeneous equation Lu = 0 is locally of the form u = h Z, where h is holomorphic and Z is a first integral of the vector eld. The central problem of interest in this work is the corresponding global question, that is, the existence of global, injective first integrals and the representation of global solutions as compositions of the first integral with a holomorphic function