Ce mémoire se veut une synthèse, destinée à la communauté combinatoricienne, de quelques outils développés pour aborder le problème d'Hurwitz ainsi qu'une présentation des résultats récoltés. Le problème d'Hurwitz consiste à évaluer, dans un groupe symétrique, le nombre (dit d'Hurwitz) de factorisations transitives de la permutation identité dont on a imposé le type cyclique des facteurs. Nous décrivons tout d'abord les origines topologiques de ce problème à travers le dénombrement des revêtements ramifiés de la sphère. Nous présentons également un cadre algébrique naturel, le monoïde des permutations scindées, qui permet d'exprimer les nombres d'Hurwitz comme coefficients de structure de l'algèbre de ce monoïde, plus précisément de la sous-algèbre engendrée par les classes de conjugaison, dont une base naturelle est indexée par les multipartitions (ou partitions scindées). La théorie des représentations de cette algèbre fournit un algorithme pour calculer les nombres d'Hurwitz à une partition dont la complexité (minimale, uniforme et exponentielle) est bien meilleure que celle d'une approche naïve. Ce cadre algébrique donne par ailleurs une formule décrivant les séries d'Hurwitz à plusieurs partitions comme polynômes en les séries d'Hurwitz à une seule partition. Nous présentons secondement le cadre géométrique dans lequel s'expriment d'une part la formule ELSV, laquelle décrit les nombres d'Hurwitz à une partition comme fonctions de certaines intégrales, d'autre part un théorème de M. Kazarian exprimant les séries de Hurwitz à une partition comme polynômes en certaines séries formelles dont l'étude asymptotique est achevée. Une fois décrit le fonctionnement de ce cadre intégral, nous récoltons l'asymptotique de tous les nombres d'Hurwitz / This thesis is meant to be a digest, adressed to the combinatorician community, of some tools developped to tackle the problem of Hurwitz, as well as an exhibition of the thus-harvested results. The problem of Hurwitz consists of computing, in a symmetric group, the (so-called Hurwitz) number of transitive factorisations of the identity permutation whose factors have prescribed cyclic types. We first describe the topological layout of this problem through the enumeration of the ramified coverings of the sphere. We also present a natural algebraic frame, the monoid of split permutations, which allows to describe Hurwitz numbers as structure coeffcients of the algebra of this monoid, more precisely of the subalgebra spanned by the conjugacy classes, whose natural basis is indexed by multipartitions (or split partitions). The representation theory of this algebra yields an algoithm to compute one-partition Hurwitz numbers whose complexity (minimal, uniform and exponential) is far better than that of a naive edging about. This algebraic frame yields a formula describing several-partition Hurwitz series as polynomials in one-partition Hurwitz series. We secondly present the geometric frame in which are been expressed on the one hand the ELSV formula, which describes one-partition Hurwitz numbers as functions of some integrals, one the other hand a theorem of M. Kazarian expressing one-partition Hurwitz series as polynomials in some formal power series whose asymptotics is completly understood. Once the using of this integration frame has been described, we derive the asymptotics of all Hurwitz numbers

L'objet de cette thèse est l'étude des champs algébriques de revêtements galoisiens de courbes algébriques, avec un intérêt spécial pour la caractéristique positive. On établit tout d'abord des résultats concernant les actions de schémas en groupes sur les champs: existence et algébricité des champs de points fixes et champs quotients; lien avec le champ classifiant du groupe. Dans toute la suite on considère des groupes finis~$G,G'$ d'ordres~$n,n'$. Utilisant la théorie de Hurwitz des revêtements modérés de courbes, on exhibe tout d'abord un champ qui est une compactification lisse du champ~${\cal M}_g(G')$ des courbes de genre~$g$ avec structure de niveau~$G'$. C'est aussi une désingularisation, modulaire qui plus est, du champ propre donné par Deligne et Mumford en normalisant le champ des courbes stables de genre~$g$ dans~${\cal M}_g(G')$. Ensuite, grâce à l'action de certains groupes sur le champ produit ci-dessus, on propose une compactification du champ des courbes de genre~$g$ avec action de~$G$, la base comprenant cette fois-ci les caractéristiques qui divisent~$n$. Cette compactification est lisse a priori seulement au-dessus des caractéristiques premières à~$n$. Puis, on se penche sur l'aspect local de la ramification sauvage. Supposons que~$G$ agit sur un schéma~$X$ au-dessus d'un anneau de valuation discrète d'inégales caractéristiques (la caractéristique résiduelle divisant~$n$) et que l'action est fidèle sur la fibre générique. On souhaite trouver un modèle pour~$G$ qui agisse fidèlement y compris sur la fibre spéciale, avec une propriété d'unicité. Si~$X$ est propre cela est assez facile. Lorsque~$X$ est affine nous donnons une méthode, utilisant les éclatements de Néron, qui mène conjecturalement à une construction effective de ce modèle. Dans le cas du groupe cyclique d'ordre~$p$, cette méthode fournit la structure précise des revêtements de courbes lisses. Enfin nous concluons par un exemple qui illustre les questions traitées dans la thèse.

In the thesis, the joint universality of periodic Hurwitz zeta-functions as well as that jointly with the Riemann zeta-functions of normalized cusp forms is obtained. / Darbe yra įrodomas jungtinis universalumas periodinėms Hurvico dzeta funkcijoms, taip pat bendras universalumas su Rymano dzeta funkcija ir normuotų parabolinių formų dzeta funkcija.

Darbe yra įrodomas jungtinis universalumas periodinėms Hurvico dzeta funkcijoms, taip pat bendras universalumas su Rymano dzeta funkcija ir normuotų parabolinių formų dzeta funkcija. / In the thesis, the joint universality of periodic Hurwitz zeta-functions as well as that jointly with the Riemann zeta-function or zeta functions of normalized cusp forms is obtained.

Darbe nagrinėjamos Hurvico dzeta funkcijos _dzeta(s; alfa_), s = _alfa +it su algebriniu iracionaliuoju parametru _alfa, 0 < alfa_ ≤ 1 diskretusis reikšmių pasiskirstymas. Įrodyta, jog funkcijai _(s; alfa_) galioja diskrečioji ribinė teorema su svoriu kompleksinėje plokštumoje C. / Master’s work is devoted to the investigation of value distribution of Hurwitz zeta-function _(s; alfa_), s = alfa_ + it with algebraic irrational parameter alfa_, 0 < alfa_ ≤ 1. It is proved that for the function _(s; alfa_) valid discrete limit theorem with weight in the complex plane.

Magistro darbe nagrinėjamos periodinės dzeta funkcijos ir periodinės Hurvico dzeta funkcijos jungtinis reikšmių pasiskirstymas ir jungtinė ribinė teorema tikimybinių matų silpno konvergavimo prasme kompleksinėje plokštumoje. / Master's thesis the periodic zeta functions and zeta functions of periodic Hurwitz joint distribution of the values ​​and the joint limit theorem of probability measures converge weak sense of the complex plane.

Cette thèse s'appuie sur et reflète l'interaction entre la théorie des modèles et la géométrie de Berkovich. En utilisant les méthodes de Hrushovski et Loeser, nous montrerons que plusieurs phénomènes topologiques concernant des analytifications de variétés sont contrôlés par certains complexes simpliciaux contenus dans les analytifications. Ce travail comporte les résultats suivants. Soit $k$ un corps algébriquement clos et complet pour une valuation non-archimédienne non-triviale à valeurs réelles. 1) Soit $\phi : C' \to C$ un morphisme fini entre deux courbes projectives, lisses et irréductibles. Le morphisme $\phi$ induit un morphisme $\phi^{an} : C'^{an} \to C^{an}$ entre les deux analytifications. Nous construisons une paire de rétractions par déformations qui sont compatible pour le morphisme $\phi^{an}$. Les images des déformations $\Upsilon_{C'^{an}}$, $\Upsilon_{C^{an}$ sont des sous-espaces fermés de $C'^{an}$ and $C^{an}$ et homéomorphes à des graphes finis. Ce type de sous-espace est appelé \emph{squelette}. En outre, les espaces analytiques $C'^{an} \smallsetminus \Upsilon_{C'^{an}}$ et $C^{an} \smallsetminus \Upsilon_{C^{an}}$ se décomposent en une union disjointe de copies de disques unités de Berkovich. Un squelette $\Upsilon \subset C^{an}$ peut-être décomposé en un ensemble des sommets et un ensemble d'arêtes et on peut définir son genre $g(\Upsilon)$.Nous montrons que $g(\Upsilon)$ est un invariant bien défini de la courbe $C$. On appelle cet invariant $g^{an}(C)$. Le morphisme $\phi^{an}$ induira un morphisme $\Upsilon_{C'^{an}} \to \Upsilon_{C^{an}}$ entre les deux squelettes. Nous montrons que le genre du squelette $\Upsilon_{C'^{an}}$ peut être calculé en utilisant certains invariants associés aux points de $\Upsilon_{C^{an}}$. 2) Soit $\phi$ un endomorphisme fini de $\mathbb{P}^1_k$. Soit $x \in \mathbb{P}^1_k(k)$ et $f(x)$ le rayon de la plus grande boule de Berkovich de centre $x$, sur laquelle le morphisme $\phi^{an}$ est une fibration topologique. Nous voyons que la fonction $f : \mathbb{P}_k^1(k) \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ est contrôlée par un graphe fini et non-vide contenu dans $\mathbb{P}^{1,an}_k$. Nous montrons que ce résultat peut être généralisé au cas d'un morphisme fini $\phi : V' \to V$ entre deux variétés intégrales, projectives avec $V$ normale. / This thesis is a reflection of the interaction between Berkovich geometry and model theory. Using the results of Hrushovski and Loeser, we show that several interesting topological phenomena that concern the analytifications of varieties are governed by certain finite simplicial complexes embedded in them. Our work consists of the following two sets of results. Let k be an algebraically closed non-Archimedean non trivially real valued field which is complete with respect to its valuation. 1) Let $\phi : C' \to C$ be a finite morphism between smooth projective irreducible $k$-curves.The morphism $\phi$ induces a morphism $\phi^{an} : C'^{an} \to C^{an}$ between the Berkovich analytifications of the curves. We construct a pair of deformation retractions of $C'^{an}$ and $C^{an}$ which are compatible with the morphism $\phi^{\mathrm{an}}$ andwhose images $\Upsilon_{C'^{an}}$, $\Upsilon_{C^{an}}$ are closed subspaces of $C'^{an}$, $C^{an}$ that are homeomorphic to finite metric graphs. We refer to such closed subspaces as skeleta.In addition, the subspaces $\Upsilon_{C'^{an}}$ and $\Upsilon_{C^{an}}$ are such that their complements in their respective analytifications decompose into the disjoint union of isomorphic copies of Berkovich open balls. The skeleta can be seen as the union of vertices and edges, thus allowing us to define their genus. The genus of a skeleton in a curve $C$ is in fact an invariant of the curve which we call $g^{an}(C)$. The pair of compatible deformation retractions forces the morphism $\phi^{an}$ to restrict to a map $\Upsilon_{C'^{an}} \to \Upsilon_{C^{an}}$. We study how the genus of $\Upsilon_{C'^{an}}$ can be calculated using the morphism $\phi^{an}_{|\Upsilon_{C'^{an}}$ and invariants defined on $\Upsilon_{C^{an}}$. 2) Let $\phi$ be a finite endomorphism of $\mathbb{P}^1_k$. Given a closed point $x \in \mathbb{P}^1_k$, we are interested in the radius $f(x)$ of the largest Berkovich open ball centered at $x$ over which the morphism $\phi^{\mathrm{an}}$ is a topological fibration. Interestingly, the function $f : \mathbb{P}_k^1(k) \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ admits a strong tameness property in that it is controlled by a non-empty finite graph contained in $\mathbb{P}^{1,an}_k$. We show that this result can be generalized to the case of finite morphisms $\phi : V' \to V$ between integral projective $k$-varieties where $V$ is normal.

Cette thèse étudie une classe des problèmes de Riemann-Hilbert Fuchsiens (à coefficients méromorphes dont tous les pôles sont d'ordre un). Les variétés de Frobenius apparaissent comme une formulation géométrique des structures d'équations de Witten-DijkgraafVerlande-Verlande (WDVV). Nous considérons ces variétés sur les espaces de Hurwitz vus, quant à eux, comme variétés réelles motivés par le fait qu'une variété de Frobenius semisimple peut être construite à partir d'une solution fondamentale du problème de Riemann-Hilbert associé. Une solution au problème Fuchsien de Riemann-Hilbert matriciel (problème de monodromie inverse) correspondant aux structures "réelles doubles" de Frobenius de Dubrovin sur les espaces de Hurwitz, a été construite. La solution est donnée en termes de certaines différentielles méromorphes integrées sur une base appropriée d'homologie relative de la surface de Riemann. La relation avec la solution du problème Fuchsien de Riemann-Hilbert pour les structures de Frobenius Hurwitz de Dubrovin est établie. Une solution du problème de Riemann-Hilbert correspondant aux déformations des "réelles doubles" est aussi donnée.

O objetivo deste trabalho é estudar a ocorrência de mudanças de regime típicas de comportamentos em sistemas complexos, em particular no contexto de sistemas dinâmicos aplicados. Para isso, desenvolvemos um modelo matemático que representa a interação entre uma cultura de ostras utilizadas para consumo humano e os processos de eutrofização e biorremediação do ecossistema que as contém. As interações entre as populações de ostras e do fitoplâncton entre si e com a matéria suspensa, subproduto das relações entre os componentes do meio e seu processo de eutrofização, alteram os níveis de oxigenação e a consequente qualidade da ´agua devido `a realização de maior ou menor quantidade de fotossíntese pelas vegetações mais profundas do meio. Neste trabalho propomos um sistema dinâmico de três variáveis para modelar esse sistema e analisamos seus pontos de equilíbrio usando duas técnicas, método de Quirk-Ruppert e os critérios de Routh-Hurwitz, além de resolvê-lo numericamente para um conjunto de parâmetros realísticos (fenomenológicos) obtidos a partir da literatura especializada. Nossos resultados indicam que o limite de extração diária de ostras que pode ser realizado sem levar a cultura ao colapso gira em torno de 4.8% da população / The objective of this work is to study the occurrence of regime shifts that are typical in the behavior of complex systems, in particular in the context of applied dynamical systems. Accordingly, we have developed a mathematical model that represents the interaction between a culture of oysters used for human consumption and the eutrophication and bioremediation processes of the ecosystem containing the culture. The interactions between the oyster populations and the phytoplankton between themselves and with the suspended matter, that appears as a by-product of the relationship between the components of the medium and its eutrophication process, change the oxygenation levels and the resulting water quality due to the realization of a greater or lesser amount of photosynthesis by the vegetation of the deeper levels. In this paper we propose a dynamical system of three variables to model the system and analyze its points of equilibrium using two techniques, the Quirk-Ruppert method and the Routh-Hurwitz criteria, besides solving the equations numerically for a realistic phenomenological) set of parameters obtained from the literature. Our results indicate that the daily extraction threshold that can be achieved without collapsing the culture of oysters amounts to approximately 4.8% of the total population

O objetivo deste trabalho é estudar a ocorrência de mudanças de regime típicas de comportamentos em sistemas complexos, em particular no contexto de sistemas dinâmicos aplicados. Para isso, desenvolvemos um modelo matemático que representa a interação entre uma cultura de ostras utilizadas para consumo humano e os processos de eutrofização e biorremediação do ecossistema que as contém. As interações entre as populações de ostras e do fitoplâncton entre si e com a matéria suspensa, subproduto das relações entre os componentes do meio e seu processo de eutrofização, alteram os níveis de oxigenação e a consequente qualidade da ´agua devido `a realização de maior ou menor quantidade de fotossíntese pelas vegetações mais profundas do meio. Neste trabalho propomos um sistema dinâmico de três variáveis para modelar esse sistema e analisamos seus pontos de equilíbrio usando duas técnicas, método de Quirk-Ruppert e os critérios de Routh-Hurwitz, além de resolvê-lo numericamente para um conjunto de parâmetros realísticos (fenomenológicos) obtidos a partir da literatura especializada. Nossos resultados indicam que o limite de extração diária de ostras que pode ser realizado sem levar a cultura ao colapso gira em torno de 4.8% da população / The objective of this work is to study the occurrence of regime shifts that are typical in the behavior of complex systems, in particular in the context of applied dynamical systems. Accordingly, we have developed a mathematical model that represents the interaction between a culture of oysters used for human consumption and the eutrophication and bioremediation processes of the ecosystem containing the culture. The interactions between the oyster populations and the phytoplankton between themselves and with the suspended matter, that appears as a by-product of the relationship between the components of the medium and its eutrophication process, change the oxygenation levels and the resulting water quality due to the realization of a greater or lesser amount of photosynthesis by the vegetation of the deeper levels. In this paper we propose a dynamical system of three variables to model the system and analyze its points of equilibrium using two techniques, the Quirk-Ruppert method and the Routh-Hurwitz criteria, besides solving the equations numerically for a realistic phenomenological) set of parameters obtained from the literature. Our results indicate that the daily extraction threshold that can be achieved without collapsing the culture of oysters amounts to approximately 4.8% of the total population