Le groupe de Cremona de rang 2 est le groupe des transformations birationnelles du plan projectif. Le but de cette thèse est d'étudier et de construire des espaces hyperboliques sur lesquels le groupe de Cremona agit et qui permettent de mettre en œuvre des méthodes provenant de la théorie géométrique des groupes. Il est connu depuis une dizaine d'année que le groupe de Cremona agit sur un espace hyperbolique H analogue au plan hyperbolique classique mais de dimension infinie. Dans un premier temps, nous montrons que le groupe de Cremona défini sur un corps quelconque n'est pas simple en le faisant agir sur cet espace hyperbolique. Ceci prolonge un résultat déjà connu dans le cas d'un corps de base algébriquement clos. Nous nous intéressons ensuite à un graphe construit par D. Wright sur lequel agit le groupe de Cremona. Nous montrons qu'il ne possède pas la propriété que nous souhaitions, à savoir qu'il n'est pas hyperbolique au sens de Gromov. Nous construisons également un domaine fondamental pour l'action du groupe de Cremona sur H via la méthode des cellules de Voronoï. Nous caractérisons les applications du groupe de Cremona qui correspondent à un domaine adjacent au domaine fondamental. Cela nous permet de prouver que le graphe de Wright est quasi-isométrique au graphe dual à ce pavage. Nous obtenons ainsi une manière de retrouver le graphe de Wright dans H. Nous montrons enfin qu'en modifiant ce graphe dual, nous obtenons un graphe hyperbolique au sens de Gromov. Dans une dernière partie, nous nous intéressons à une autre propriété naturelle qui est la propriété CAT(0). Nous construisons un complexe cubique CAT(0) de dimension infinie muni d'une action naturelle du groupe de Cremona. / The Cremona group of rank 2 is the group of birational transformations of the projective plane. The aim of this thesis is to study and build some hyperbolic spaces with a natural action of the Cremona group. We want these spaces to have good geometric properties in order to use methods coming from geometric group theory. It is known that the Cremona group acts on a hyperbolic space H which is similiar to the classical hyperbolic plane but in infinite dimension. First, using this action, we show that the Cremona group is not simple over any field. This extends previous results over an algrebraic closed field. Then we study the Wrigth's graph. We show that it doesn't have the property we are looking for, in the sense that it is not Gromov hyperbolic. We build a fundamental domain for the action of the Cremona group on H 8 via Voronoï's cells. We characterize birational tranformations that correspond to adjacent domains of the fundamental domain. This allows us to prove that the Wright's graph is quasi-isometric to the dual graph of this tessellation. It's give us a way of realizing the Wright's graph inside H. Finally, we show that by modifying the dual graph we obtain a Gromov hyperbolic graph. In the last part, we are interested in another classical property which is the CAT(0) property. We build an infinite dimensional CAT(0) cubical complex which comes with a natural action of the Cremona group.

Submitted by RICARDO CHICALÉ LEMES (ricardo.chicale@hotmail.com) on 2018-04-30T03:23:42Z No. of bitstreams: 1 Tese-ricardo-c-lemes.pdf: 655598 bytes, checksum: 16e0af2e8792589ebe2a3ec7b9a7162f (MD5) / Approved for entry into archive by Elza Mitiko Sato null (elzasato@ibilce.unesp.br) on 2018-05-02T19:47:51Z (GMT) No. of bitstreams: 1 lemes_rc_do_int.pdf: 655598 bytes, checksum: 16e0af2e8792589ebe2a3ec7b9a7162f (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-02T19:47:51Z (GMT). No. of bitstreams: 1 lemes_rc_do_int.pdf: 655598 bytes, checksum: 16e0af2e8792589ebe2a3ec7b9a7162f (MD5) Previous issue date: 2018-04-06 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho mostramos que não existe skew-product de contato parcialmente hiperbólico no toro de dimensão 3 cuja dinâmica na base é dada por um difeomorfismo de Anosov e a ação nas fibras é dada por rotações cujos ângulos são funções cobordo do toro de dimensão 2 no círculo. / In this work we prove that there is no contact partially hyperbolic skew-product F : T2 S1 ! T2 S1 of the form F(p; t) = (f(p); t + (p)), where f is an Anosov diffeomorphism and 2 Cr(T2) is a coboundary.

Cette thèse est consacrée à l’étude de la linéarisation géométrique locale des systèmes complètement intégrables dans la catégorie C1. Le sujet est la conjecture de linéarisation géométrique proposée (et établie dans le cadre analytique) par Nguyen Tien Zung. Nous commençons par les systèmes linéaires, puis introduisons la normalisation dans la catégorie formelle. Nous montrons qu’un système intégrable peut être décomposé en une partie hyperbolique et une partie elliptique. Nous établissons une bonne forme normale de Poincaré-Dulac pour les champs de vecteurs et discutons sa relation avec la linéarisation géométrique. Nous montrons que les systèmes intégrables faiblement hyperboliques sont géométriquement linéarisables en utilisant les outils de Chaperon. Nous étudions les systèmes intégrables sur les espaces de petite dimension : si celle-ci n’est pas plus grande que 4, alors la plupart des cas sont géométriquement linéarisables ; en particulier, la linéarisation géométrique est possible pour les systèmes intégrables de type de foyer-foyer. Enfin, nous généralisons la démonstration en grande dimension et proposons une condition sur les variétés fortement invariantes, sous laquelle nous linéarisons géométriquement les systèmes. Nous parvenons également à normaliser une action de R × T à plusieurs foyers en nous référant aux idées de Zung. / This thesis is devoted to the local geometric linearization of completely integrable systems in the C1 category. The subject is the geometric linearization conjecture proposed (and proved in the analytic case) by Nguyen Tien Zung. We start from linear systems and introduce normalization in the formal category. Wes how that an integrable system can be decomposed into a hyperbolic part and an elliptic part. We establish a good Poincaré-Dulac normal form for the vector fields and discuss its relation with geometric linearization. We prove that weakly hyperbolic integrable systems are geometrically linearizable byusing Chaperon’s tools. We then study integrable systems on small dimensional spaces: if the dimension is no more than 4, then most cases are geometrically linearizable; in particular,geometric linearization works for integrable system of focus-focus type. Finally, we generalize the proof to high dimensions and propose a condition about strongly invariant manifolds, under which we linearize the systems in the geometric sense. We also manage to normalize an R × T-action of several focuses by referring to the ideas of Zung.

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In this thesis we study two seperate yet related three parameter-families of continuously differentiable maps from the unit circle to unit circle which have a single critical point. For one of the families we show that there is a set of positive measure of parameters such that there is a set of positive measure for which all points in the latter set, the derivative experiences exponential growth. We do so by applying a similar methodology to what Michael Benedicks and Lennart Carleson used to study the quadratic family. For the other family we attempt to show a similar but weaker result using a similar method, but do not manage to do so. We expound on what difficulties the latter family provides and what features Benedicks and Carleson used for the quadratic family that we do not have available. / I den här uppsatsen studerar vi två olika men relaterede treparameterfamiljer av kontinuerligt differentierbara avbildningar från enhetscirkeln till enhetscirkeln som har exakt en kritisk punkt. For den ena familjen visar vi att det finns en mängd av positivt mått av parametrar sådana att det finns en mängd av positivt mått så att för varje punkt i den senarenämnde mängden erfar derivatan exponentiell tillväxt. Vi uppnår detta genom att använda en metod som liknar den som Michael Benedicks och Lennart Carleson använde för att studera den kvadratiska familjen. För den andra familjen försöker vi visa ett liknande men svagare resultat genom att använda en liknande metodik men misslyckas. Vi diskuterar och förklarar vilka svårigheter den senare familjen ger och vilka egenskaper som Benedicks och Carleson använder sig av hos den kvadratiska familjen som vår familj saknar

In this manuscript, we provide foundations of properties of homogeneous polynomials such as the half-plane property, determinantal representability, being weakly determinantal, and having a spectrahedral hyperbolicity cone. One of the motivations for studying those properties comes from the ``generalized Lax conjecture'' stating that every hyperbolicity cone is spectrahedral. The conjecture has particular importance in convex optimization and has curious connections to other areas. We take a combinatorial approach, contemplating the properties on matroids with a particular focus on operations that preserve these properties. We show that the spectrahedral representability of hyperbolicity cones and being weakly determinantal are minor-closed properties. In addition, they are preserved under passing to the faces of the Newton polytopes of homogeneous polynomials. We present a proved-to-be computationally feasible algorithm to test the half-plane property of matroids and another one for testing being weakly determinantal. Using the computer algebra system Macaulay2 and Julia, we implement these algorithms and conduct tests. We classify matroids on at most 8 elements with respect to the half-plane property and provide our test results on matroids with 9 elements. We provide 14 matroids on 8 elements of rank 4, including the Vámos matroid, that are potential candidates for the search of a counterexample for the conjecture.:1 Background 1 1.1 Some Properties of Homogeneous Polynomials . . . . . . . . . . 1 Hyperbolic Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 The Half-Plane Property and Stability . . . . . . . . . . . . . . 8 Determinantal Representability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Spectrahedral Representability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Some Operations on Matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 The Half-Plane Property of Matroids . . . . . . . . . . . . . . . 36 2 Some Operations 43 2.1 Determinantal Representability of Matroids . . . . . . . . . . . 43 A Criterion for Determinantal Representability . . . . . . . . . 46 2.2 Spectrahedral Representability of Matroids . . . . . . . . . . . 50 2.3 Matroid Polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Newton Polytopes of Stable Polynomials . . . . . . . . . . . . . 59 3 Testing the Properties: an Algorithm 61 The Half-Plane Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Being SOS-Rayleigh and Weak Determinantal Representability 65 4 Test Results on Matroids on 8 and 9 Elements 71 4.1 Matroids on 8 Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 SOS-Rayleigh and Weakly Determinantal Matroids . . . . . . . 76 4.2 Matroids on 9 Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5 Conclusion and Future Perspectives 85 5.1 Spectrahedral Matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.2 Non-negative Non-SOS Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.3 Completing the Classification of Matroids on 9 Elements and More 89 Bibliography 91

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois problèmes d'hyperbolicité complexe et presque complexe. La première partie est dédiée à la recherche d'une conséquence quantitative de l'hyperbolicité au sens de Kobayashi, qui est une propriété qualitative. Le résultat obtenu prend la forme d'une inégalité isopérimétrique qui évoque l'inégalité d'Ahlfors relative aux recouvrements des surfaces de surfaces. Sa démonstration est purement riemannienne.La deuxième partie de la thèse est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Borel, qui affirme que les courbes entières dans le plan projectif complexe évitant quatre droites en position générale sont linéairement dégénérées. Dans un plan projectif presque complexe, les J-droites substituent aux droites projectives et nous disposons d'un énoncé analogue pour les J-courbes entières. La démonstration de ce résultat repose sur l'utilisation de projections centrales et sur la théorie de recouvrement des surfaces d'Ahlfors.La dernière partie est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Bloch, qui affirme qu'une suite non normale de disques holomorphes du plan projectif évitant quatre droites en position générale converge, en un certain sens, vers une réunion de trois droites. Notre résultat implique en particulier l'hyperbolicité du complémentaire dans le plan projectif presque complexe de quatre J-droites modulo trois J-droites. / This thesis is dedicated to the study of three problems of complex and almost complex hyperbolicity. Its first part is dedicated to the research of a quantitative consequence to Kobayashi hyperbolicity, which is a qualitative property. The result we obtain has the form of an isoperimetric inequality that suggests Ahlfors' inequality, the central result of the theory of covering surfaces. Its proof uses only riemannian tools.The second part of the thesis is dedicated to the proof of an almost complex version of Borel's theorem, which says that an entire curve in the compex preojective plane missing four lines in general position is degenerate. In an almost compex context, we can obtain a similar result for entire J-curves just by replacing projective lines by J-lines. The proof of this result uses central projections and Ahlfors' theory of covering surfaces.The last part is dedicated to the proof of an almost complex version of Bloch's theorem, which says that given a sequence of holomorphic discs in the projective plane, either it is normal, either it converges in some sens to a reunion of three lines. Our result will show in particular that the complementary set of four J-lines in general position is hyperbolic modulo three J-lines.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux thèmes d'analyse géométrique. Le premier concerne le comportement asymptotique des fonctions harmoniques en relation avec la géométrie, sur des graphes et des variétés. Nous étudions des critères de convergence au bord des fonctions harmoniques, comme celui de la bornitude non-tangentielle, de la finitude de l'énergie ou encore de la densité de l'énergie. Nous nous plaçons pour cela dans différents cadres comme les graphes hyperboliques au sens de Gromov, les variétés hyperboliques au sens de Gromov, les graphes de Diestel-Leader ou encore dans un cadre abstrait pour obtenir des résultats pour les points du bord minimal de Martin. Les méthodes probabilistes utilisées exploitent le lien entre les fonctions harmoniques et les martingales. Le deuxième thème abordé dans cette thèse concerne l'étude des propriétés des ensembles rectifiables de dimension 1 dans le groupe de Heisenberg, en relation avec des opérateurs d'intégrales singulières. Nous étendons à ce contexte sous-riemannien une partie des résultats de la théorie des ensembles uniformément rectifiables de David et Semmes. Nous obtenons notamment un théorème géométrique du voyageur de commerce qui fournit une condition pour qu'un ensemble Ahlfors-régulier du premier groupe de Heisenberg soit contenu dans une courbe Ahlfors-régulière. / In this thesis, we are interested in two topics of geometric analysis. The first one is concerned with the asymptotic behaviour of harmonic functions in connection with geometry on graphs and manifolds. We study criteria for convergence at boundary of harmonic functions such as non-tangential boundedness, finiteness of non-tangential energy or finiteness of the energy density. We deal with Gromov hyperbolic manifolds, Gromov hyperbolic graphs, Diestel-Leader graphs and with an abstract frame to obtain criteria at minimal Martin boundary points. The methods, coming from probability theory and metric geometry, use the relation between harmonic functions and martingales. The second topic concerns the rectifiability properties of 1-dimensional sets in the Heisenberg group in connection with the boundedness of singular integral operators. We extend to this sub-Riemannian setting parts of the theory of uniformly rectifiable sets due to David and Semmes. In particular, we obtain a geometric traveling salesman theorem which provides a condition for an Ahlfors regular set of the first Heisenberg group to be contained in an Ahlfors regular curve.

Cette thèse s’intéresse aux problématiques de routage dans les réseaux, notamment dans le graphe des systèmes autonomes (AS) d’Internet. Nous cherchons d’une part à mieux comprendre les propriétés du graphe de l’Internet qui sont utiles dans la conception de nouveaux paradigmes de routage. D’autre part, nous cherchons à évaluer par simulation les performances de ces paradigmes. La première partie de mes travaux porte sur l’étude d’une propriété́ métrique, l’hyperbolicité́ selon Gromov, utilisée dans la conception de nouveaux paradigmes de routage. Je présente dans un premier temps une nouvelle approche pour le calcul de l’hyperbolicité́ d’un graphe utilisant une décomposition du graphe par les cliques-séparatrices et la notion de paires éloignées. Je propose ensuite un nouvel algorithme pour le calcul de l’hyperbolicité́ qui, combiné avec la méthode de décomposition par les cliques-séparatrices, permet son calcul sur des graphes composés de 58 000 sommets en quelques heures. La deuxième partie de mes travaux porte sur le développement de DRMSim, une nouvelle plate-forme de simulation de modèles de routage dynamiques. Celle-ci permet l’évaluation des performances des schémas de routage et leur comparaison au protocole de référence, le protocole de routeur frontière, BGP. DRMSim a permis l’étude par simulation de différents schémas de routage compact sur des topologies à O(10k) nœuds. Je détaille l’architecture de DRMSim et quelques exemples d’utilisation. Puis, je présente une étude réalisée en vue de développer une version parallèle et distribuée de DRMSim dans le cadre de la simulation de BGP / This thesis considers routing issues in networks, and particularly the graph of the autonomous systems (AS) of the Internet. Firstly, we aim at better understanding the properties of the Internet that are useful in the design of new routing paradigms. Secondly, we want to evaluate by simulation the performance of these paradigms. The first part of my work concerns the study of the Gromov hyperbolicity, a useful metric property for the design of new routing paradigms. I show how to use a decomposition of the graph by clique-separators as a pre-processing method for the computation of the hyperbolicity. Then, I propose a new algorithm to compute this property. Altogether, these methods allows us for computing the hyperbolicity of graphs up to 58 000 nodes. The second part of my work concerns the development of DRMSim, a new Dynamic Routing Model Simulator. It facilitates the evaluation of the performances of various routing schemes and their comparison to the standard routing scheme of the Internet, the border router protocol BGP. Using DRMSim, we performed simulations of several compact routing schemes on topologies up to O(10k) nodes. I describe its architecture and detail some examples. Then, I present a feasibility study for the design of a parallel/distributed version of DRMSim in order to simulate BGP on larger topologies.

Dans le chapitre 1, nous développons le “corps d’Okounkov” pour une (1,1)-classe pseudo-effective sur une variété kählerienne compacte. Nous démontrons la formule de différentiabilité des volumes de classes grosses pour les varétés kähleriennes sur lesquelles les cônes nef modifiés et les cônes nef coı̈ncident. Par conséquent, nous démontrons l’inégalité de Morse transcendante de Demailly pour ces variétés kähleriennes particulières, y compris les surfaces kähleriennes. Ensuite, nous construisons le corps d’Okounkov généralisé pour toute (1,1)-classe grosse, et nous donnons une caractérisation complète des corps d’Okounkov généralisés sur les surfaces. Nous démontrons que cela se rapporte le volume euclidien standard du corps au volume de la classe grosse correspondant défini par Boucksom, ce qui permet de résoudre un problème proposé par Lazarsfeld et Mustaţă dans le cas des surfaces. Nous étudions aussi le comportement des corps d’Okounkov généralisé sur le bord du cône gros.Dans le chapitre 2, nous étudions la dégénérescence des courbes entières qui sont les feuilles de feuilletages sur des variétés projectives. Nous généralisons l’approximation diophantienne de McQuillan pour les feuilletages de dimension 1 avec des singularités absolument isolées. Comme une application, nous donnons une nouvelle preuve du théorème de Brunella, c’est-à-dire, toutes les feuilles d’un feuilletage générique de degré superieur à 2 dans CP^n est hyperbolique. Ensuite, nous introduisons la notion singularités faiblement réduites pour les feuilletages de dimension 1. L’hypothèse de singularités faiblement réduites est moins exigeante que celle de singularités réduites, mais joue le même rôle dans l’étude de la conjecture de Green-Griffiths-Lang. Finalement, nous discutons d’une stratégie pour démontrer cette conjecture pour les surfaces complexes.Dans le chapitre 3, nous démontrons la non-dégénérescence de la mesure de volume au sens de Kobayashi-Eisenman pour une variété dirigée singulière, c’est-à-dire l’hyperbolicité de la mesure au sens de Kobayashi, lorsque le faisceau canonique est gros au sens de Demailly.Dans le chapitre 4, notre premier objectif est de traiter des questions d’effitivité liées aux conjectures de Kobayashi et Debarre, reliant sur le travail de Brotbek et celui en collaboration avec Darondeau. Ensuite, nous combinons ces techniques pour étudier la conjecture sur l’amplitude des fibrés de Demailly-Semple proposés par Diverio et Trapani, et nous obtenons des estimations effectives liées à ce problème. Notre résultat contient à la fois les conjectures de Kobayashi et Debarre, avec certaines estimations effectives.Le but du chapitre 5 est double: d’une part, nous étudions une conjecture du type Fujita proposée par Popa et Schnell, et nous donnons une borne effective linéaire sur la génération globale générique de l’image directe du faisceau pluricanonique tordu. Nous signalons également la relation entre la constante de Seshadri et la borne optimale. D’autre part, nous donnons une réponse affirmative à une question de Demailly-Peternell-Schneider dans un cadre plus général. Comme des applications, nous généralisons les théorèmes de Fujino et Gongyo sur les images des variétés de Fano faibles aux cas KLT, et nous raffinons un résultat de Broustet et Pacienza sur la connexité rationnelle de l’image.Dans le chapitre 6, nous donnons une preuve concrète et constructive de l’équivalence entre la catégorie de fibrés de Higgs semistables de classes de Chern nulles, et celle des représentations linéaires du groupe fondamental d’une variété kählerienne compacte lisse. / In Part 1 of this thesis, we construct “Okounkov bodies” for an arbitrary pseudo-effective (1,1-class on a Kähler manifold. We prove the differentiability formula of volumes of big classes for Kähler manifolds on which modified nef cones and nef cones coincide. As a consequence we prove Demailly’s transcendental Morse inequality for these particular Kähler manifolds; this includes Kähler surfaces. Then we construct the generalized Okounkov body for any big (1,1)-class, and give a complete characterization of generalized Okounkov bodies on surfaces. We show that this relates the standard Euclidean volume of the body to the volume of the corresponding big class as defined by Boucksom; this solves a problem raised by Lazarsfeld and Mustaţă in the case of surfaces. We also study the behavior of the generalized Okounkov bodies on theboundary of the big cone.Part 2 deals with Kobayashi hyperbolicity-related problems. Chapter 2’s goal is to study the degeneracy of leaves of the one-dimensional foliations on higher dimensional manifolds. The first part of Chapter 2 generalizes McQuillan’s Diophantine approximations for one-dimensional foliations with absolutely isolated singularities, on higher dimensional manifolds. As an application, we give a new proof of Brunella’s hyperbolicity theorem, that is, all the leaves of a generic foliation of degree larger than 2 in CP 6n is hyperbolic. In the second part of Chapter 2 we introduce the so-called weakly reduced singularities for one-dimensional foliations on higher dimensional manifolds. The “weakly reduced singularities” assumption is less demanding than the one required for “reduced singularities”, but play the same role in studying the Green-Griffiths-Lang conjecture. Finally we discuss a strategy to prove the Green-Griffiths-Lang conjecture for complex surfaces.In Chapter 3, assuming that the canonical sheaf is big in the sense of Demailly, we prove theKobayashi volume-hyperbolicity for any (possibly singular) directed variety.In Chapter 4, our first goal is to deal with effective questions related to the Kobayashi and Debarre conjectures, relying on the work of Brotbek and his joint work with Darondeau. We then combine these techniques to study the conjecture on the ampleness of the Demailly-Semple bundles raised by Diverio and Trapani, and also obtain some effective estimates related to this problem. Our result integrates both the Kobayashi and Debarre conjectures, with some effective estimates.The purpose of Chapter 5 is twofold: on the one hand we study a Fujita-type conjecture by Popa and Schnell, and give an effective (linear) bound on the generic global generation of the direct image of the twisted pluricanonical bundle. We also point out the relation between the Seshadri constant and the optimal bound. On the other hand, we give an affirmative answer to a question by Demailly-Peternell-Schneider in a more general setting. As applications, we generalize the theorems by Fujino and Gongyo on images of weak Fano manifolds to the Kawamata log terminal cases, and refine a result by Broustet and Pacienza on the rational connectedness of the image.In Chapter 6, we give a concrete and constructive proof of the equivalence between the category of semistable Higgs bundles with vanishing Chern classes and the category of all representations of the fundamental groups on smooth Kähler manifolds. This chapter is written for the complex geometers who are not familiar with the language of differential graded category used by Simpson to prove the above equivalence on smooth projective manifolds, and for those who would like to see an elementary proof of Corlette-Simpson correspondence for semistable Higgs bundles.