L'explosion de la quantité de données numériques à traiter dans les sciences a poussé les chercheurs à développer des méthodes algorithmiques pour automatiser cette tâche. Parmi ces méthodes, on reconnaît les méthodes topologiques, qui utilisent des concepts issus de la topologie algébrique pour étudier les données. Cette thèse vise à décrire diverses méthodes topologiques qui sont utilisées dans les domaines de l'imagerie et de la comparaison de formes et à démontrer mathématiquement que les résultats numériques ainsi obtenus sont corrects. Elle est aussi accompagnée de tests qui servent à illustrer ces résultats.

Ce mémoire se veut d'abord un recueil des principales variantes de l'algorithme optimal en pire cas pour la résolution de problèmes convexes et fortement convexes sans contraintes présenté par Yurii Nesterov en 1983 et en 2004. Ces variantes seront présentées dans un cadre unifié et analysées de manière théorique et empirique. On y retrouve une analyse des rôles des différents paramètres composant l'algorithme de base ainsi que de l'influence des constantes L et mu, respectivement la constante de Lipschitz du gradient et la constante de forte convexité de la fonction objectif, sur le comportement des algorithmes. On présentera également une nouvelle variante hybride et nous démontrerons empiriquement qu'elle performe mieux que plusieurs variantes dans la majorité des situations. La comparaison empirique des différentes variantes sur des problèmes sans contraintes utilise un modèle de calcul se basant sur le nombre d'appels à un oracle de premier ordre plutôt que sur le nombre d'itérations. Enfin, une application de ces variantes sur trois instances de problèmes en imagerie numérique ainsi qu'une analyse empirique des résultats obtenus en confrontation avec la méthode optimale FISTA et l'algorithme classique L-BFGS-B viennent clore ce mémoire.

Les masques de phase sont des dispositifs réfractifs situés généralement au niveau de la pupille d’un système optique pour en modifier la réponse impulsionnelle (PSF en anglais), par une technique habituellement connue sous le nom de codage de front d’onde. Ces masques peuvent être utilisés pour augmenter la profondeur du champ (DoF en anglais) des systèmes d’imagerie sans diminuer la quantité de lumière qui entre dans le système, en produisant une PSF ayant une plus grande invariance à la défocalisation. Cependant, plus le DoF est grand plus l’image acquise est floue et une opération de déconvolution doit alors lui être appliquée. Par conséquent, la conception des masques de phase doit prendre en compte ce traitement pour atteindre le compromis optimal entre invariance de la PSF à la défocalisation et qualité de la déconvolution.. Cette approche de conception conjointe a été introduite par Cathey et Dowski en 1995 et affinée en 2002 pour des masques de phase continus puis généralisée par Robinson et Stork en 2007 pour la correction d’autres aberrations optiques.Dans cette thèse sont abordés les différents aspects de l’optimisation des masques de phase pour l’augmentation du DoF, tels que les critères de performance et la relation entre ces critères et les paramètres des masques. On utilise la « qualité d’image » (IQ en anglais), une méthode basée sur l’écart quadratique moyen définie par Diaz et al., pour la co-conception des divers masques de phase et pour évaluer leur performance. Nous évaluons ensuite la pertinence de ce critère IQ en comparaison d’autres métriques de conception optique, comme par exemple le rapport de Strehl ou la fonction de transfert de modulation (MTF en anglais). Nous nous concentrons en particulier sur les masques de phase annulaires binaires, l’étude de leur performance pour différents cas comme l’augmentation du DoF, la présence d’aberrations ou l’impact du nombre de paramètres d’optimisation.Nous appliquons ensuite les outils d’analyse exploités pour les masques binaires aux masques de phase continus qui apparaissent communément dans la littérature, comme les masques de phase polynomiaux. Nous avons comparé de manière approfondie ces masques entre eux et aux masques binaires, non seulement pour évaluer leurs avantages, mais aussi parce qu’en analysant leurs différences il est possible de comprendre leurs propriétésLes masques de phase fonctionnent comme des filtres passe-bas sur des systèmes limités par la diffraction, réduisant en pratique les phénomènes de repliement spectral. D’un autre côté, la technique de reconstruction connue sous l’appellation de « superresolution » utilise des images d’une même scène perturbées par du repliement de spectre pour augmenter la résolution du système optique original. Les travaux réalisés durant une période de détachement chez le partenaire industriel de la thèse, KLA-Tencor à Louvain, Belgique, illustrent le propos. A la fin du manuscrit nous étudions la pertinence de la combinaison de cette technique avec l’utilisation de masques de phase pour l’augmentation du DoF. / Phase masks are wavefront encoding devices typically situated at the aperture stop of an optical system to engineer its point spread function (PSF) in a technique commonly known as wavefront coding. These masks can be used to extend the depth of field (DoF) of imaging systems without reducing the light throughput by producing a PSF that becomes more invariant to defocus; however, the larger the DoF the more blurred the acquired raw image so that deconvolution has to be applied on the captured images. Thus, the design of the phase masks has to take into account image processing in order to reach the optimal compromise between invariance of PSF to defocus and capacity to deconvolve the image. This joint design approach has been introduced by Cathey and Dowski in 1995 and refined in 2002 for continuous-phase DoF enhancing masks and generalized by Robinson and Stork in 2007 to correct other optical aberrations.In this thesis we study the different aspects of phase mask optimization for DoF extension, such as the different performance criteria and the relation of these criteria with the different mask parameters. We use the so-called image quality (IQ), a mean-square error based criterion defined by Diaz et al., to co-design different phase masks and evaluate their performance. We then compare the relevance of the IQ criterion against other optical design metrics, such as the Strehl ratio, the modulation transfer function (MTF) and others. We focus in particular on the binary annular phase masks, their performance for various conditions, such as the desired DoF range, the number of optimization parameters, presence of aberrations and others.We use then the analysis tools used for the binary phase masks for continuous-phase masks that appear commonly in the literature, such as the polynomial-phase masks. We extensively compare these masks to each other and the binary masks, not only to assess their benefits, but also because by analyzing their differences we can understand their properties.Phase masks function as a low-pass filter on diffraction limited systems, effectively reducing aliasing. On the other hand, the signal processing technique known as superresolution uses several aliased frames of the same scene to enhance the resolution of the final image beyond the sampling resolution of the original optical system. Practical examples come from the works made during a secondment with the industrial partner KLA-Tencor in Leuven, Belgium. At the end of the manuscript we study the relevance of using such a technique alongside phase masks for DoF extension.

Avec l’intégration des appareils photos dans les appareils mobiles, leur démocratisation et la réduction de la taille de l’imageur, de l’optique et de la taille pixels, les photos sont de plus en plus sujettes au flou de bougé dû aux tremblements de la main. À cette tendance s’ajoute un accroissement constaté dans l’exigence de qualité d’image de la part des utilisateurs. Pour réduire ce flou, des systèmes de stabilisation d’image ont été développés. Néanmoins ceux-ci ne permettent pas de garantir la qualité de netteté des images et souffrent parfois d’une intégration limitée. En réponse à ces limitations, ces travaux de recherche proposent, d’une part, un modèle de tremblement physiologique permettant de simuler de manière fidèle les flous de bougé et, d’autre part, une étude sur la perception visuelle du flou permettant le développement d’une métrique de qualité. Enfin des architectures de stabilisations, exploitant ces nouveaux outils, sont proposées. Ces nouvelles architectures permettent de réduire le nombre de composants externes ainsi que de garantir la netteté des images stabilisées. / With the integration of cameras in mobile devices, their democratization and the reduction of the imager’s size, the optical system dimensions and the pixels miniaturization, the photos become more and more subject to motion blur due to the hand tremor. In addition, the requirements in terms of image quality become higher and higher. Hence, in order to reduce this blur, several image stabilization systems have been developed. Nevertheless, they cannot guarantee the sharpness quality of resulting images and in some cases, they show integration difficulties. In order to overcome these limitations, the research work presented in this thesis proposes, first of all, a physiological tremor model that aims to simulate realistic camera shake and secondly, presents a study on visual perception of blur. This study enables the development of a quality metric. Finally, stabilization algorithms and architectures exploiting these new tools are presented. These new architectures reduce the number of external components and ensure sharp stabilized images.

Les objets numériques 3D sont utilisés dans de nombreux domaines, les films d'animations, la visualisation scientifique, l'imagerie médicale, la vision par ordinateur.... Ces objets sont généralement représentés par des maillages à faces triangulaires avec un nombre énorme de triangles. La simplification de ces objets, avec préservation de la géométrie originale, a fait l'objet de nombreux travaux durant ces dernières années. Dans cette thèse, nous proposons un algorithme de simplification qui permet l'obtention d'objets simplifiés de grande précision. Nous utilisons des fusions de couples de sommets avec une relocalisation du sommet résultant qui minimise une métrique d'erreur. Nous utilisons deux types de mesures quadratiques de l'erreur : l'une uniquement entre l'objet simplifié et l'objet original (Accurate Measure of Quadratic Error (AMQE) ) et l'autre prend aussi en compte l'erreur entre l'objet original et l'objet simplifié ((Symmetric Measure of Quadratic Error (SMQE)) . Le coût calculatoire est plus important pour la seconde mesure mais elle permet une préservation des arêtes vives et des régions isolées de l'objet original par l'algorithme de simplification. Les deux mesures conduisent à des objets simplifiés plus fidèles aux originaux que les méthodes actuelles de la littérature. / Complex 3D digital objects are used in many domains such as animation films, scientific visualization, medical imaging and computer vision. These objects are usually represented by triangular meshes with many triangles. The simplification of those objects in order to keep them as close as possible to the original has received a lot of attention in the recent years. In this context, we propose a simplification algorithm which is focused on the accuracy of the simplifications. The mesh simplification uses edges collapses with vertex relocation by minimizing an error metric. Accuracy is obtained with the two error metrics we use: the Accurate Measure of Quadratic Error (AMQE) and the Symmetric Measure of Quadratic Error (SMQE). AMQE is computed as the weighted sum of squared distances between the simplified mesh and the original one. Accuracy of the measure of the geometric deviation introduced in the mesh by an edge collapse is given by the distances between surfaces. The distances are computed in between sample points of the simplified mesh and the faces of the original one. SMQE is similar to the AMQE method but computed in the both, direct and reverse directions, i.e. simplified to original and original to simplified meshes. The SMQE approach is computationnaly more expensive than the AMQE but the advantage of computing the AMQE in a reverse fashion results in the preservation of boundaries, sharp features and isolated regions of the mesh. For both measures we obtain better results than methods proposed in the literature.