"One inexperienced in higher mathematics may very well question the necessity of irrational numbers since all numbers used in computation are rational. For example, one computes the area of a circle by using the formula A = [pi]r² and substituting 22/7 or some other approximate value for [pi]. Furthermore, the rational numbers are dense on the straight line, and so physical means can be used to determine whether a given length or ratio is rational. However, in theoretical mathematics there is a need for a real number system to give all limiting values. Calculus, as we know it, could not exist without the irrational numbers. The purpose of this paper is to make a careful study of the real number system, to develop some criteria for the irrationality of certain numbers, and to analyze the proofs of the irrationality of a few simple irrational numbers"--Preface. / "January 1959." / Typescript. / "Submitted to the Graduate Council of Florida State University in partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science." / Advisor: Paul J. McCarthy, Professor Directing Paper. / Includes bibliographical references (leaf 36).

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Nesta dissertação são apresentadas algumas propriedades de números reais. Descrevemos de maneira breve os conjuntos numéricos N, Z, Q e R e apresentamos demonstrações detalhadas da irracionalidade dos números \'pi\' e e. Também, apresentamos um texto sobre o número e, menos técnico e mais intuitivo, na tentativa de auxiliar o professor no preparo de aulas sobre o número e para alunos do Ensino Médio, bem como, alunos de cursos de Licenciatura em Matemática / In this thesis we present some properties of real numbers. We describe briefly the numerical sets N, Z, Q and R, and we present detailed proofs of irrationality of numbers \'pi\' and e. We also present a text about the number e less technical and more intuitive in an attempt to assist the teacher in preparing lessons about number e for High School students as well as for Teaching degree in Mathematics students

Este trabalho tem como objetivo principal o estudo da expansão decimal dos números reais. Primeiramente provamos que todo número real possui ao menos uma expansão decimal. Na sequência, um método para encontrar a expansão decimal de um número entre 0 e 1 é apresentado, bem como um estudo sobre a expansão decimal de números racionais e irracionais. Em seguida, o estudo apresenta métodos que permitem encontrar aproximações racionais de números irracionais, além dos erros cometidos por essas aproximações. Na parte final, por seu turno, o foco do trabalho recai sobre a análise da regularidade (frequência) dos dígitos das expansões decimais. / This work has as main objective the study of the decimal expansion of the real numbers. First we prove that every real number has at least one decimal expansion. Further, a method to find the decimal expansion of real numbers between 0 and 1 is provided as well as a the study of the decimal expansion of rational and irrational numbers. Next, the study presents methods that provide rational approximations to irrational numbers, in addition to the errors committed by these approximations. At the end, by its turn, the focus of the work is put on the analysis of the regularity (frequency) of the digits of the decimal expansion.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este é um trabalho de pesquisa sobre um conjunto de números (irracionais) que é pouco trabalhado no ensino básico de matemática. Foi uma procura muito interessante e enriquecedora, pois encontrei matemáticos e historiadores com visões bem diferentes. Muitos deles não aceitavam este novo conjunto. Para Leopold Kronecker, só existia o conjunto dos números inteiros. Já para Cantor e Dedekind, o aparecimento dos irracionais foi extremamente importante para o desenvolvimento da matemática, abrindo novos horizontes. Menciono aqui um pouco da vida e da obra de alguns matemáticos que se envolveram com os números irracionais. Tratamos ainda da descoberta dos incomensuráveis, ou seja, como iniciou-se o problema da incomensurabilidade, e do retângulo áureo e sua importância em outras áreas. O trabalho mostra também dois grupos de números que não são mencionados quando ensinamos equações algébricas, que são os números algébricos e os números transcendentes, assim como teoremas essenciais para a prova da transcendência dos irracionais especiais e . Por fim, proponho uma aula para uma turma do 3 ano do Ensino Médio com o objetivo de mostrar a irracionalidade de alguns números, usando os teoremas pertinentes / This is a research about a set of numbers (irrationals) that is little explored in secondary school mathematics teaching. It was a very interesting and enriching search, because quite contrary facts were found. Several 19th century mathematicians did not accept this new set of numbers. To Leopold kronecker, only the set of the integers existed. To Cantor and Dedekind, the irrational numbers were extremely important for the development of mathematics, opening new horizons. I also mention the life and work of some mathematicians who were involved with the irrational numbers the discovery of the incommensurability was iniciated. The golden rectangle and its importance in other areas. The work also presents two groups of numbers that are not mentioned when algebraic equations are taught, the algebraic numbers and transcendental numbers. Essential theorems for the proof of the special irrational numbers e . Finnaly, I propose a lesson to a 3rd year high school class in order to show the irrationality of some numbers, using the relevant theorems

TORRES, Máro Règis Rebouças. Números algébricos e transcendentes. 66 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática) - Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Jessyca Silva (jessyca@mat.ufc.br) on 2017-09-15T05:05:08Z No. of bitstreams: 1 2017_dis_mrrtorres.pdf: 1191154 bytes, checksum: bcb31593bd1a02e84caee6bd47906dab (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-09-15T11:00:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_dis_mrrtorres.pdf: 1191154 bytes, checksum: bcb31593bd1a02e84caee6bd47906dab (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-15T11:00:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_dis_mrrtorres.pdf: 1191154 bytes, checksum: bcb31593bd1a02e84caee6bd47906dab (MD5) Previous issue date: 2017 / The present work deals with algebraic and transcendent numbers characterizing them under different aspects. In particular we bring some demonstrations of the irrationality of the number π and the number of Euler, base of the natural logarithm. We will also present a demonstration of the transcendence of the number and based on the script of exercises proposed by D.G. de Figueiredo, in addition to a small historical survey on π, and, algebraic and transcendent numbers. / O presente trabalho trata sobre números algébricos e transcendentes caracterizando-os sob diferentes aspectos. Em particular trazemos algumas demonstrações da irracionalidade do número π e do número de Euler, base do logaritmo natural. Também apresentaremos uma demonstração da transcendência do número e baseada no roteiro de exercícios propostos por D.G. de Figueiredo em [4], além de um pequeno apanhado histórico sobre π, e, números algébricos e transcendentes.

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este é um trabalho de pesquisa sobre um conjunto de números (irracionais) que é pouco trabalhado no ensino básico de matemática. Foi uma procura muito interessante e enriquecedora, pois encontrei matemáticos e historiadores com visões bem diferentes. Muitos deles não aceitavam este novo conjunto. Para Leopold Kronecker, só existia o conjunto dos números inteiros. Já para Cantor e Dedekind, o aparecimento dos irracionais foi extremamente importante para o desenvolvimento da matemática, abrindo novos horizontes. Menciono aqui um pouco da vida e da obra de alguns matemáticos que se envolveram com os números irracionais. Tratamos ainda da descoberta dos incomensuráveis, ou seja, como iniciou-se o problema da incomensurabilidade, e do retângulo áureo e sua importância em outras áreas. O trabalho mostra também dois grupos de números que não são mencionados quando ensinamos equações algébricas, que são os números algébricos e os números transcendentes, assim como teoremas essenciais para a prova da transcendência dos irracionais especiais e . Por fim, proponho uma aula para uma turma do 3 ano do Ensino Médio com o objetivo de mostrar a irracionalidade de alguns números, usando os teoremas pertinentes / This is a research about a set of numbers (irrationals) that is little explored in secondary school mathematics teaching. It was a very interesting and enriching search, because quite contrary facts were found. Several 19th century mathematicians did not accept this new set of numbers. To Leopold kronecker, only the set of the integers existed. To Cantor and Dedekind, the irrational numbers were extremely important for the development of mathematics, opening new horizons. I also mention the life and work of some mathematicians who were involved with the irrational numbers the discovery of the incommensurability was iniciated. The golden rectangle and its importance in other areas. The work also presents two groups of numbers that are not mentioned when algebraic equations are taught, the algebraic numbers and transcendental numbers. Essential theorems for the proof of the special irrational numbers e . Finnaly, I propose a lesson to a 3rd year high school class in order to show the irrationality of some numbers, using the relevant theorems

Submitted by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2018-09-12T18:22:03Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Saulo Ferreira Felix - 2018.pdf: 1677659 bytes, checksum: 857a3b7c28b7d35b954e9f9013c30c8b (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2018-09-12T18:22:12Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Saulo Ferreira Felix - 2018.pdf: 1677659 bytes, checksum: 857a3b7c28b7d35b954e9f9013c30c8b (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-09-12T18:22:12Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Saulo Ferreira Felix - 2018.pdf: 1677659 bytes, checksum: 857a3b7c28b7d35b954e9f9013c30c8b (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2018-06-29 / This work aimed to carry out an investigation in the approaches developed on the set of irrational numbers in the final years of elementary school. The methodology used is of a qualitative and technical nature of documentary analysis. Therefore, it does not need immediate interference in empirical practice and does not impose immediate interaction of the construction of theory and practice. In this way it was observed how the teaching of these numbers is exposed to these students and how this subject is approached in the textbooks of mathematics of this series. As support for the work is presented the exposition of mathematical procedures of the elements pertinent to the study and analysis of literatures in two collections of primary school mathematics. An alternative model is proposed. There was a static and repetitive approach to the teaching of irrational numbers, which is summarized in a didactic material without changes related to this approach or methodology applied to the teaching of rational and irrational numbers. / Este trabalho objetivou realizar uma investigação nas abordagens desenvolvidas sobre o conjunto dos números irracionais nos anos finais do ensino fundamental A metodologia utilizada é de natureza qualitativa e técnica de análise documental. Portanto, não necessita de interferência imediata na prática empírica e não impõe interação de imediato da construção da teoria e a prática. Deste modo foi observado como o ensino destes números é exposto a estes alunos e como este assunto é abordado nos livros didáticos de matemática destas séries. Como suporte para o trabalho é apresentada a exposição de procedimentos matemáticos dos elementos pertinentes ao estudo e à análise de literaturas em duas coleções de matemática do ensino fundamental. Um modelo alternativo é proposto. Verificou-se uma abordagem estática e repetitiva para o ensino dos números irracionais, a qual se resume em um material didático sem mudanças relacionadas a essa abordagem ou metodologia aplicada ao ensino dos números racionais e irracionais.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-02-11T11:30:44Z No. of bitstreams: 1 jorgemagestedacruzjunior.pdf: 2261526 bytes, checksum: 2e39ac93f53b7c28ef8a81bcdcd222af (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-02-26T11:58:03Z (GMT) No. of bitstreams: 1 jorgemagestedacruzjunior.pdf: 2261526 bytes, checksum: 2e39ac93f53b7c28ef8a81bcdcd222af (MD5) / Made available in DSpace on 2016-02-26T11:58:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 jorgemagestedacruzjunior.pdf: 2261526 bytes, checksum: 2e39ac93f53b7c28ef8a81bcdcd222af (MD5) Previous issue date: 2014-04-22 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O presente trabalho tem por objetivo descrever e conceituar a importância dos números áureos. Sua aplicabilidade acompanha o ser humano e frequentemente são vivenciados em situações cotidianas. Durante a elaboração deste estudo procurou-se demonstrar as diferentes aparições do número áureo, nas mais diversas áreas em que vivemos, seja na natureza, nos animais, na arquitetura e até mesmo no corpo humano. A pesquisa foi realizada através de consultas em livros escritos por autores renomados e em artigos publicados em bases de dados confiáveis. Esta pesquisa visa ampliar o conhecimento e apresentar aos alunos uma maneira diferente de ver e entender a matemática e sua aplicabilidade e influência no dia-a-dia. / The present work aims to describe and conceptualize the importance of golden numbers. Its applicability with humans and often are experienced in everyday situations. During the preparation of this study sought to demonstrate the different appearances of the Golden number, in the most diverse areas in which we live, whether in nature, animals and even in the human body. The survey was conducted through consultations in books written by renowned authors and in articles published in reliable databases. This research aims to expand the knowledge and present to students a different way to see and understand the mathematics and its applicability and influence in everyday life.

Nesta dissertação são apresentadas algumas propriedades de números reais. Descrevemos de maneira breve os conjuntos numéricos N, Z, Q e R e apresentamos demonstrações detalhadas da irracionalidade dos números \'pi\' e e. Também, apresentamos um texto sobre o número e, menos técnico e mais intuitivo, na tentativa de auxiliar o professor no preparo de aulas sobre o número e para alunos do Ensino Médio, bem como, alunos de cursos de Licenciatura em Matemática / In this thesis we present some properties of real numbers. We describe briefly the numerical sets N, Z, Q and R, and we present detailed proofs of irrationality of numbers \'pi\' and e. We also present a text about the number e less technical and more intuitive in an attempt to assist the teacher in preparing lessons about number e for High School students as well as for Teaching degree in Mathematics students