Les travaux menés dans cette thèse sont en lien avec les inégalités fonctionnelles et géométriques, dans le cadre continu et discret. En particulier, nous exploitons le principe de monotonie le long du flot de la chaleur, dont les conséquences ont été nombreuses en analyse, géométrie et probabilité depuis les travaux fondateurs de Bakry et Émery. Plus récemment, ce principe a été utilisé pour répondre à des questions d'informatiques théoriques via l'analyse des fonctions booléennes. Dans une première partie, nous présentons diverses inégalités à intégrales multiples et inégalités de type géométriques obtenues par monotonie le long du semi-groupe de la chaleur. Nous caractérisons, par la plupart d'entre elles, les cas d'égalités et mettons en évidence des phénomènes de rigidité dans le cas de variétés riemanniennes. En particulier nous étudions la rigidité pour le théorème de comparaison isopérimétrique de Bakry-Ledoux en utilisant leur preuve par flot de la chaleur. Cette preuve a été exploitée par Mossel et Neeman pour obtenir un résultat de stabilité robuste dans le cas gaussien. Nous reprenons cette preuve et nous la simplifions, en particulier en éliminant la plupart des arguments spécifiques au cas gaussien. Cela laisse espoir d'obtenir une version quantitative pour des mesures log-concaves plus générales ou sur les sphères euclidiennes de grandes dimensions. La deuxième partie est consacrée à l'analyse des fonctions booléennes. Le résultat principal de cette partie est l'extension d'un critère dû à Benjamini, Kalai et Schramm liant sensibilité au bruit et influences d'une fonction booléenne. Ce critère a été récemment étendu sur l'espace gaussien à travers le concept d'influences géométriques. En particulier, nous donnons une nouvelle preuve quantitative de ce résultat, basée sur des arguments de semi-groupes. Le résultat ainsi obtenu s'étend à des modèles de graphes de Schreier plus généraux que le cube ainsi qu'à des modèles continus autre que l'espace gaussien. En particulier, la version quantitative sur les tranches du cube booléen a des conséquences en théorie de la percolation. Dans une dernier chapitre, nous mettons en lien ce critère quantitatif pour donner une généralisation à des graphes produits du théorème "Junta" de Friedgut. / The general topic of this Ph.D thesis is functional and geometrical inequalities, in both continuous and discrete setting. In particular, we make use of the monotone property along the heat flow, which had led to important developments in analysis, geometry and probability since the pioneer work of Bakry and Émery. More recently, this principle has been used in the analysis of Boolean functions in view of application in theoretical computer science. In the first part, we present some multiple integrals inequalities and geometric type inequalities obtained by monotonicity along the heat flow. We characterize, for most of them, equality cases and we put forward rigidity phenomenon in the setting of Riemannian manifolds. In particular, we study rigidity for the Bakry-Ledoux isoperimetric comparison theorem using their semigroup proof. This proof has been exploited by Mossel and Neeman to derive robust dimension free bounds for the Gaussian isoperimetry. We simplify their proof an in particular remove most of Gaussian-specific parts. This gives hope to derive robust estimates to more general log-concave measures or on high dimensional Euclidean spheres. The second part is devoted to analysis of Boolean functions. The principal contribution in this field is the extension of a criterion of Benjamini, Kalai and Schramm linking noise sensitivity and influences of a Boolean function. Such a criterion has been extended recently in continuous setting via the concept of geometric influence. We give a new, semigroup, proof of a quantitative version of it previously established in the discrete cube and in the Gaussian space. This quantitative version generalizes both to various models of Schreier graphs and more general continuous spaces. In particular, the quantitative version over the slices of the Boolean cube has consequences in percolation theory. In the last chapter, we link this quantitative criterion with a generalization over graph products of the "Junta" theorem of Friedgut.

Cette thèse est consacrée à l'étude des mesures convexes ainsi qu'aux analogies entre la théorie de Brunn-Minkowski et la théorie de l'information. Je poursuis les travaux de Costa et Cover qui ont mis en lumière des similitudes entre deux grandes théories mathématiques, la théorie de Brunn-Minkowski d'une part et la théorie de l'information d'autre part. Partant de ces similitudes, ils ont conjecturé, comme analogue de la concavité de l'entropie exponentielle, que la racine n-ième du volume parallèle de tout ensemble compact de $R^n$ est une fonction concave, et je résous cette conjecture de manière détaillée. Par ailleurs, j'étudie les mesures convexes définies par Borell et je démontre pour ces mesures une inégalité renforcée de type Brunn-Minkowski pour les ensembles convexes symétriques. Cette thèse se décompose en quatre parties. Tout d'abord, je rappelle un certain nombre de notions de base. Dans une seconde partie, j'établis la validité de la conjecture de Costa-Cover sous certaines conditions et je démontre qu'en toute généralité, cette conjecture est fausse en exhibant des contre-exemples explicites. Dans une troisième partie, j'étends les résultats positifs de cette conjecture de deux manières, d'une part en généralisant la notion de volume et d'autre part en établissant des versions fonctionnelles. Enfin, je prolonge des travaux récents de Gardner et Zvavitch en améliorant la concavité des mesures convexes sous certaines hypothèses telles que la symétrie / This thesis is devoted to the study of convex measures as well as the relationships between the Brunn-Minkowski theory and the Information theory. I pursue the works by Costa and Cover who highlighted similarities between two fundamentals inequalities in the Brunn-Minkowski theory and in the Information theory. Starting with these similarities, they conjectured, as an analogue of the concavity of entropy power, that the n-th root of the parallel volume of every compact subset of $R^n$ is concave, and I give a complete answer to this conjecture. On the other hand, I study the convex measures defined by Borell and I established for these measures a refined inequality of the Brunn-Minkowski type if restricted to convex symmetric sets. This thesis is split in four parts. First, I recall some basic facts. In a second part, I prove the validity of the conjecture of Costa-Cover under special conditions and I show that the conjecture is false in such a generality by giving explicit counterexamples. In a third part, I extend the positive results of this conjecture by extending the notion of the classical volume and by establishing functional versions. Finally, I generalize recent works of Gardner and Zvavitch by improving the concavity of convex measures under different kind of hypothesis such as symmetries

Le problème isopérimétrique consiste, dans un espace métrique mesuré, à trouver les ensembles qui, à volume fixé, ont la plus petite mesure de surface. Il peut être formulé dans de nombreux cadres (espaces métriques mesurés généraux, variétés riemanniennes à poids, parties de l'espace euclidien...). Deux questions se dégagent de ce problème : - Quels sont les ensembles solutions, c'est-à-dire ayant la plus petite mesure de surface ? (Il faut noter que ces ensembles n'existent pas toujours). - Que vaut la plus petite mesure de surface ? La solution à la deuxième question peut être formulée sous la forme d'une fonction, appelée profil isopérimétrique, qui, à une valeur de volume (pondéré) donnée, associe la plus petite mesure de surface correspondante. La notion de mesure de surface, quant à elle, peut être définie de plusieurs manières (contenu de Minkowski, périmètre géométrique...), toutes dépendant étroitement à la fois de la distance et de la mesure ambiantes. L'objet principal de cette thèse est l'étude du problème isopérimétrique dans des espaces produits, que ce soit pour transférer des inégalités isopérimétriques d'espaces facteurs vers ces produits, ou pour comparer le profil isopérimétrique de l'espace produit à ceux des facteurs. La thèse se découpe en quatre parties : - Étude de l'opération de symétrisation (pour les ensembles) et de réarrangement (pour les fonctions), notions analogues, du point de vue de la théorie de la mesure géométrique et des fonctions à variations bornée. Ces opérations agissent de sorte à ce que n'augmente pas la mesure de surface (pour les ensembles), ou la variation (pour les fonctions). Nous introduisons notamment une nouvelle classe d'espaces modèles, pour lesquels nous obtenons des résultats qualitativement similaires à ceux obtenus pour les espaces modèles classiques : inégalités isopérimétriques transférées aux produits, comparaison d'énergies (pour des fonctionnelles convexes). - Détail d'un argument de minoration du profil isopérimétrique d'un espace métrique produit XxY par une fonction dépendant des profils de X et Y, pour une large classe de distances produits sur XxY. L'étude de ce problème est faite via la minimisation d'une fonctionnelle sur la classe des mesures de Radon. - Étude du problème isopérimétrique dans un espace métrique mesuré produit (le produit d'ordre quelconque du même espace métrique mesuré), muni de la combinaison uniforme de sa distance (élargissement uniforme). Nous donnons un critère pour que tous les profils isopérimétriques (quel que soit l'ordre d'itération du produit) soient minorés par un multiple du minorant du profil isopérimétrique de l'espace originel. Ceci est fait en utilisant notamment des méthodes ayant trait aux inégalités fonctionnelles. Nous appliquons ensuite les résultats aux influences géométriques. - Étude d'inégalités fonctionnelles dites isopérimétriques, permettant d'appréhender le comportement isopérimétrique dans l'espace produit correspondant d'ordre quelconque. Nous résumons l'état des connaissances à propos des inégalités de ce type et proposons une autre méthode qui pourrait aboutir à prouver une telle inégalité dans le cas de mesures réelles particulières, pour lesquelles le problème est ouvert. / The isoperimetric problem in a metric measured space consists in finding the sets having minimal boundary measure, with prescribed volume. It can be formulated in various settings (general metric measured spaces, Riemannian manifolds, submanifolds of the Euclidean space, ...). At this point, two questions arise : - What are the optimal sets, namely the sets having smallest boundary measure (it has to be said that they do not always exist) ? - What is the smallest boundary measure ? The solution to the second answer can be expressed by a function called the isoperimetric profile. This function maps a value of (prescribed) measure onto the corresponding smallest boundary measure. As for the precise notion of boundary measure, it can be defined in different ways (Minkowski content, geometric perimeter, ...), all of them closely linked to the ambient distance and measure. The main object of this thesis is the study of the isoperimetric problem in product spaces, in order to transfer isoperimetric inequalities from factor spaces to the product spaces, or to compare their isoperimetric profiles. The thesis is divided into four parts : - Study of the symmetrization operation (for sets) and the rearrangement operation (for functions), analogous notions, from the point of view of Geometric Measure Theory and Bounded Variation functions. These operations cause the boundary measure to decrease (for sets), or the variation (for functions). We introduce a new class of model spaces, for which we obtain similar results to those concerning classic model spaces : transfer of isoperimetric inequalities to the product spaces, energy comparison (for convex functionals). - Detailed proof of an argument of minorization of the isoperimetric profile of a metric measured product space XxY by a function depending on the profiles of X and Y, for a wide class of product distances over XxY. The study of this problem uses the minimization of a functional defined on Radon measures class. - Study of the isoperimetric problem in a metric measured space (n times the same space) equipped with the uniform combination of its distance (uniform enlargement). We give a condition under which every isoperimetric profile (whatever the order of iteration might be) is bounded from below by a quantity which is proportional to the isoperimetric profile of the underlying space. We then apply the result to geometric influences. - Study of isoperimetric functional inequalities, which give information about the isoperimetric behavior of the product spaces. We give an overview of the results about this kind of inequalities, and suggest a method to prove such an inequality in a particular case of real measures for which the problem reamins open.