Podemos considerar a caminhada determinista do turista como um processo do tipo dinâmico, que ocorre sobre uma rede composta por N pontos. Os pontos são gerados de maneira aleatória, no espaço euclidiano d dimensional. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer do meio desordenado, se movimenta seguindo uma regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos ?= µ - 1 passos. Cada uma das trajetórias geradas através dessa dinâmica possui uma parte inicial não periódica de t passos, denominada transiente, e uma parte final, periódica, de p passos, denominada atrator. Devido ao custo computacional de memória, só é possível simular sistemas com N ? O(103) e µ << N. Neste estudo uma nova implementação na estrutura de armazenamento de dados, no modelo numérico do turista, nos permitiu obter algumas distribuições estatísticas para a caminhada, com valores de memória µ ? O(N). Com estes resultados verificamos a eficiência da estrutura proposta e avançamos no conhecimento acerca do comportamento do turista em caminhadas com memória da ordem de N. Também neste trabalho, obtivemos resultados numéricos interessantes, que serviram para explicar a formação de atratores com determinados períodos na caminhada determinista do turista unidimensional, bem como a não formação de atratores com períodos 2µ+1, 2µ+2 e 2µ+3.não são constituídos. Também neste trabalho, uma nova implementação na estrutura de armazenamento de dados, no modelo numérico do turista, nos permitiu obter algumas distribuições estatísticas para a caminhada, com valores de memória ? muito acima do que se tinha alcançado anteriormente. Com estes resultados verificamos a eficiência da estrutura proposta, e avançamos o conhecimento a cerca do comportamento do turista em sistema da ordem de N. / We may consider the deterministic tourist walk as a dynamic process performed over a landscape of N points. These points are randomly spread on a d dimensional euclidean space. A walker leaves from any point of that landscape and moves according to the deterministic rule of going to the nearest point that has not been visited in the last ?= µ - 1 steps. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of t steps, called transient, and a final periodic one of p steps, called attractor. Due to computational costs of memory usage, it is possible to simulate only small sistems, with N ? O(103) and µ << N. In this work, we propose a new implementation of the structure for data storage. The numerical model of the tourist walk, allowed us to obtain some statistical distributions for the walk with a memory value µ ? O(N). Moreover, in this study we obtain interesting and useful numerical results to explain the presence of some specific attractors in deterministic walk in one-dimensional space and the absence of attractors with periods 2µ+1, 2µ+2 and 2µ+3. are not made. In this work, we propose a new implementation of the structure for storing data, the numerical model of the tourist, has allowed us to obtain some statistical distributions for the walk with a memory value ? over and above what had been achieved previously. With these results, we verifed the efficiency of the HL structure proposed, and advance knowledge about the behavior of the tourist walk in the order of N.

Podemos considerar a caminhada determinista do turista como um processo do tipo dinâmico, que ocorre sobre uma rede composta por N pontos. Os pontos são gerados de maneira aleatória, no espaço euclidiano d dimensional. Um caminhante, partindo de um ponto qualquer do meio desordenado, se movimenta seguindo uma regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos ?= µ - 1 passos. Cada uma das trajetórias geradas através dessa dinâmica possui uma parte inicial não periódica de t passos, denominada transiente, e uma parte final, periódica, de p passos, denominada atrator. Devido ao custo computacional de memória, só é possível simular sistemas com N ? O(103) e µ << N. Neste estudo uma nova implementação na estrutura de armazenamento de dados, no modelo numérico do turista, nos permitiu obter algumas distribuições estatísticas para a caminhada, com valores de memória µ ? O(N). Com estes resultados verificamos a eficiência da estrutura proposta e avançamos no conhecimento acerca do comportamento do turista em caminhadas com memória da ordem de N. Também neste trabalho, obtivemos resultados numéricos interessantes, que serviram para explicar a formação de atratores com determinados períodos na caminhada determinista do turista unidimensional, bem como a não formação de atratores com períodos 2µ+1, 2µ+2 e 2µ+3.não são constituídos. Também neste trabalho, uma nova implementação na estrutura de armazenamento de dados, no modelo numérico do turista, nos permitiu obter algumas distribuições estatísticas para a caminhada, com valores de memória ? muito acima do que se tinha alcançado anteriormente. Com estes resultados verificamos a eficiência da estrutura proposta, e avançamos o conhecimento a cerca do comportamento do turista em sistema da ordem de N. / We may consider the deterministic tourist walk as a dynamic process performed over a landscape of N points. These points are randomly spread on a d dimensional euclidean space. A walker leaves from any point of that landscape and moves according to the deterministic rule of going to the nearest point that has not been visited in the last ?= µ - 1 steps. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of t steps, called transient, and a final periodic one of p steps, called attractor. Due to computational costs of memory usage, it is possible to simulate only small sistems, with N ? O(103) and µ << N. In this work, we propose a new implementation of the structure for data storage. The numerical model of the tourist walk, allowed us to obtain some statistical distributions for the walk with a memory value µ ? O(N). Moreover, in this study we obtain interesting and useful numerical results to explain the presence of some specific attractors in deterministic walk in one-dimensional space and the absence of attractors with periods 2µ+1, 2µ+2 and 2µ+3. are not made. In this work, we propose a new implementation of the structure for storing data, the numerical model of the tourist, has allowed us to obtain some statistical distributions for the walk with a memory value ? over and above what had been achieved previously. With these results, we verifed the efficiency of the HL structure proposed, and advance knowledge about the behavior of the tourist walk in the order of N.

Considere um meio caracterizado por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. Um caminhante parte de cada ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). As probabilidades de vizinhança são expressas através da fórmula de Cox, que é parametrizada pela função beta incompleta normalizada $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Enfati-zamos aqui que a distribuição relevante é $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, a distribuição conjunta de $t$ e $p$, que tem como casos particulares as distribuições marginais, previamente estudadas. O objetivo deste estudo é obter analiticamente estas distribuições para a caminhada determinista do turista sem memória no espaço euclideano, no modelo de distâncias aleatórias (que corresponde ao limite $d ightarrow infty$) e no modelo de mapeamento aleatório (que é um caso limite das redes de Kauffman). As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. A distribuição conjunta de tempos de transiente e período de atratores, no limite termodinâmico para uma dimensionalidade arbitrária vale: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, onde $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ é a função gama e $delta_{i,j}$ é o delta de Kronecker. A caminhada determinista do turista sem memória no modelo de mapeamento aleatório produz uma distribuição de períodos não-trivial ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), que é obtida de $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, onde enfatizamos que o número de pontos explorados $n_e=t+p$ é a grandeza fundamental nos problemas considerados. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). The neighborhood probabilities are given by the Cox formula, which is parameterized by the normalized incomplete beta function $I_d = I_{1/4}[1/2,(d+1)/2]$. Here we stress that the relevant distribution is the joint $t$ and $p$ distribution $S_{mu,d}^{(N)}(t,p)$, which has as particular cases, the marginal distributions previously studied. The objective of this study is to obtain analytically these distributions for the memoryless deterministic tourist walk in the euclidean space, random link model (which corresponds to $d ightarrow infty$ limit) and random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). The obtained distributions have been validated by numerical experiments. The joint transient time and attractor period distribution in the thermodynamic limit for an arbitrary dimensionality is: $S_{1,d}^{(infty)}(t,p) = [Gamma(1+I_d^{-1}) cdot (t+I_d^{-1})/Gamma(t+p+I_d^{-1})] cdot delta_{p,2}$, where $t=0,1,2,ldots,infty$; $Gamma(z)$ is the gamma function and $delta_{i,j}$ is the Kronecker's delta. The memoryless deterministic tourist walk in the random map leads to a non-trivial cycle distribution ($S_{0,rm}^{(N)}(p) propto p^{-1}$), which is obtained from $S_{0,rm}^{(N)}(t,p) = Gamma(N)/{Gamma[N+1-(t+p)]N^{t+p}}$, where we stress that the number of explored points $n_e=t+p$ is the fundamental quantity in the considered problems.

Considere um meio desordenado constituído por $N$ pontos cujas coordenadas são geradas aleatoriamente de maneira uniforme e independente nas arestas unitárias de um hipercubo $d$-dimensional. As probabilidades de vizinhança entre os pares de pontos deste meio são expressas através da fórmula de Cox. Um caminhante parte de um dado ponto deste meio desordenado e se movimenta obedecendo à regra determinista de ir para o ponto mais próximo que não tenha sido visitado nos últimos $\\mu$ passos. Este processo foi denominado de caminhada determinista do turista. Cada trajetória gerada por esta dinâmica possui uma parte inicial não-periódica de $t$ passos (transiente) e uma parte final periódica de $p$ passos (atrator). Neste trabalho, obtemos analiticamente algumas distribuições estatísticas para a caminhada determinista do turista com memória $\\mu$ arbitrária em sistemas unidimensionais e com memória $\\mu=2$ no modelo Random Link (que corresponde ao limite $d ightarrow 1$). Estes resultados nos permitiram compreender o papel da memória no comportamento exploratório do turista e explicar a equivalência não-trivial entre o modelo Random Link e o modelo Random Map (que é um caso limite das redes de Kauffman). Enfatizamos que o número de pontos explorados pelo turista é a grandeza fundamental nos problemas considerados. As distribuições analíticas obtidas foram validadas através de experimentos numéricos. Também obtivemos uma dedução alternativa para a fórmula de Cox, apresentando os resultados finais em termos de distribuições estatísticas elementares. / Consider a medium characterized by $N$ points whose coordinates are randomly and independently generated by a uniform distribution along the unitary edges of a $d$-dimensional hypercube. The neighborhood probabilities between any pair of points in this medium are given by the Cox formula. A walker leaves from each point of this disordered medium and moves according to the deterministic rule to go the nearest point which has not been visited in the preceding $\\mu$ steps. This process has been called the deterministic tourist walk. Each trajectory generated by this dynamics has an initial non-periodic part of $t$ steps (transient) and a final periodic part of $p$ steps (attractor). In this work, we obtain analytically some statistical distributions for the deterministic tourist walk with arbitrary memory $\\mu$ in one-dimensional systems and with memory $\\mu=2$ in the random link model (which corresponds to $d ightarrow 1$ limit). These results enable us to understand the main role played by the memory on the tourist\'s exploratory behavior and explain the non-trivial equivalence between the random link model and the random map model (which is a limiting case of the Kauffman model). We stress that the number of explored points is the fundamental quantity in the considered problems. The obtained distributions have been validated by numerical experiments. We also obtain an alternative derivation for the Cox formula, writing the final results in terms of known statistical distributions.

This thesis considers new methods that exploit recent developments in computer technology to address three extant problems in the area of Finance and Econometrics. The problem of Asian option pricing has endured for the last two decades in spite of many attempts to find a robust solution across all parameter values. All recently proposed methods are shown to fail when computations are conducted using standard machine precision because as more and more accuracy is forced upon the problem, round-off error begins to propagate. Using recent methods from numerical analysis based on multi-precision arithmetic, we show using the Mathematica platform that all extant methods have efficacy when computations use sufficient arithmetic precision. This creates the proper framework to compare and contrast the methods based on criteria such as computational speed for a given accuracy. Numerical methods based on a deformation of the Bromwich contour in the Geman-Yor Laplace transform are found to perform best provided the normalized strike price is above a given threshold; otherwise methods based on Euler approximation are preferred. The same methods are applied in two other contexts: the simulation of stable distributions and the computation of unit root densities in Econometrics. The stable densities are all nested in a general function called a Fox H function. The same computational difficulties as above apply when using only double-precision arithmetic but are again solved using higher arithmetic precision. We also consider simulating the densities of infinitely divisible distributions associated with hyperbolic functions. Finally, our methods are applied to unit root densities. Focusing on the two fundamental densities, we show our methods perform favorably against the extant methods of Monte Carlo simulation, the Imhof algorithm and some analytical expressions derived principally by Abadir. Using Mathematica, the main two-dimensional Laplace transform in this context is reduced to a one-dimensional problem.

Compressed sensing has been proposed as a computationally efficient method to estimate the finite-dimensional signals. The idea is to develop an undersampling operator that can sample the large but finite-dimensional sparse signals with a rate much below the required Nyquist rate. In other words, considering the sparsity level of the signal, the compressed sensing samples the signal with a rate proportional to the amount of information hidden in the signal. In this dissertation, first, we employ compressed sensing for physical layer signal processing of directional millimeter-wave communication. Second, we go through the theoretical aspect of compressed sensing by running a comprehensive theoretical analysis of compressed sensing to address two main unsolved problems, (1) continuous-extension compressed sensing in locally convex space and (2) computing the optimum subspace and its dimension using the idea of equivalent topologies using Köthe sequence. In the first part of this thesis, we employ compressed sensing to address various problems in directional millimeter-wave communication. In particular, we are focusing on stochastic characteristics of the underlying channel to characterize, detect, estimate, and track angular parameters of doubly directional millimeter-wave communication. For this purpose, we employ compressed sensing in combination with other stochastic methods such as Correlation Matrix Distance (CMD), spectral overlap, autoregressive process, and Fuzzy entropy to (1) study the (non) stationary behavior of the channel and (2) estimate and track channel parameters. This class of applications is finite-dimensional signals. Compressed sensing demonstrates great capability in sampling finite-dimensional signals. Nevertheless, it does not show the same performance sampling the semi-infinite and infinite-dimensional signals. The second part of the thesis is more theoretical works on compressed sensing toward application. In chapter 4, we leverage the group Fourier theory and the stochastical nature of the directional communication to introduce families of the linear and quadratic family of displacement operators that track the join-distribution signals by mapping the old coordinates to the predicted new coordinates. We have shown that the continuous linear time-variant millimeter-wave channel can be represented as the product of channel Wigner distribution and doubly directional channel. We notice that the localization operators in the given model are non-associative structures. The structure of the linear and quadratic localization operator considering group and quasi-group are studied thoroughly. In the last two chapters, we propose continuous compressed sensing to address infinite-dimensional signals and apply the developed methods to a variety of applications. In chapter 5, we extend Hilbert-Schmidt integral operator to the Compressed Sensing Hilbert-Schmidt integral operator through the Kolmogorov conditional extension theorem. Two solutions for the Compressed Sensing Hilbert Schmidt integral operator have been proposed, (1) through Mercer's theorem and (2) through Green's theorem. We call the solution space the Compressed Sensing Karhunen-Loéve Expansion (CS-KLE) because of its deep relation to the conventional Karhunen-Loéve Expansion (KLE). The closed relation between CS-KLE and KLE is studied in the Hilbert space, with some additional structures inherited from the Banach space. We examine CS-KLE through a variety of finite-dimensional and infinite-dimensional compressible vector spaces. Chapter 6 proposes a theoretical framework to study the uniform convergence of a compressible vector space by formulating the compressed sensing in locally convex Hausdorff space, also known as Fréchet space. We examine the existence of an optimum subspace comprehensively and propose a method to compute the optimum subspace of both finite-dimensional and infinite-dimensional compressible topological vector spaces. To the author's best knowledge, we are the first group that proposes continuous compressed sensing that does not require any information about the local infinite-dimensional fluctuations of the signal.