Witten, Reshetikhin et Turaev ont défini des invariants des variétés topologiques de dimension 3, dits "quantiques" qui s'étendent en une structure de TQFT, c'est-à-dire un foncteur monoïdal d'une catégorie de cobordismes vers la catégorie des espaces vectoriels complexes. Nous étudions ici leur asymptotique. Dans ce cadre, les courbes sur une surface induisent des endomorphismes des espaces de TQFT, appelés opérateurs courbes, qui sont l'un des objets centraux du mémoire. Tous ces invariants dépendant d'un paramètre entier r, on s'intéresse à leur comportement quand r tend vers l'infini. On s'aperçoit alors que les invariants quantiques sont liés à des objets plus géométriques, comme les espaces des modules des représentations dans SU2 du groupe fondamental d'une surface. La première partie de la thèse introduit la notion de TQFT et les invariants de Witten-Reshetikhin-Turaev, puis donne des rudiments de géométrie de l'espace des modules SU2 d'une surface et de quantification géométrique. La deuxième partie présente un résultat sur l'asymptotique des coefficients de matrices des opérateurs courbes en TQFT. A partir de calcul d'écheveau et d'un théorème de Bullock, on relie les deux premiers termes de leur développement aux fonctions traces associées aux multicourbes. Cette thèse aboutit dans la troisième partie à un résultat asymptotique pour les coefficients de matrices des représentations quantiques. Un modèle géométrique est proposé pour les espaces de TQFT associés aux surfaces, et il est montré que les opérateurs courbes s'identifient alors à des opérateurs de Toeplitz. Des méthodes standards d'analyse semi-classiques permettent d'en déduire le résultat. / In this thesis we study the asymptotics of some invariants of 3-manifolds, known as "quantum invariants" which were defined by Witten, Reshetikhin and Turaev. These invariants are part of a TQFT structure, that is a monoidal functor for a category of cobordism to the category of complex vector spaces. In this setting, curves on surfaces induce endomorphisms of TQFT vector spaces, called curve operators, which are one of the main object in our study. All these invariants depend of an integer parameter r, and we are interested in their behavior when r tends to infinity. We can then see that quantum invariants are related to more geometric objects, like the moduli space of conjugacy classes of SU2 representations of the fundamental group of a surface. The thesis is divided in 3 parts: in the first one we introduce the notion of TQFT and the Witten-Reshetikhin-Turaev invariants, then we give basic properties of the SU2-moduli spaces and explain the general approach of geometric quantification. In the second one we present a result on the asymptotics of matrix coefficients of curve operators. Using skein calculus and a theorem of Bullock, we express the first two terms of their expansion in terms of trace functions on the SU2-moduli space associated to multicurves. The final part gives an asymptotic expansion of matrix coefficents of quantum representations. A geometric model for TQFT vector spaces is defined, and we show that curve operators can be seen as Toeplitz operators in this model. Standard tools of semi-classical analysis allow us to deduce the result from this.

Dans ce travail de thèse , je présente comment extraire les géométries discrètes de l'espace-temps de la formulation covariante de la gravitaté quantique à boucles, qui est appelé le formalisme de la mousse de spin. LQG est une théorie quantique de la gravité qui non-perturbativement quantifie la relativité générale indépendante d'un fond fixe. Il prédit que la géométrie de l'espace est quantifiée, dans lequel l'aire et le volume ne peuvent prendre que la valeur discrète. L'espace de Hilbert cinématique est engendré par les fonctions du réseau de spin. L'excitation de la géométrie peut être parfaitement visualisée comme des polyèdres floue qui collées à travers leurs facettes. La mousse de spin définit la dynamique de la LQG par une amplitude de la mousse de spin sur un complexe cellulaire avec un état du réseau de spin comme la frontiére. Cette thèse présente deux résultats principaux. Premièrement, la limite semi-classique de l'amplitude de la mousse de spin sur un complexe simplicial arbitraire avec une frontière est complètement étudiée. La géométrie discrète classique de l'espace-temps est reconstruite et classée par les configurations critiques de l'amplitude de la mousse de spin. Deuxièmement, la fonction de trois-point de LQG est calculé. Il coïncide avec le résultat de la gravité discrète. Troisièmement, la description des géométries discrètes de hypersurfaces nulles est explorée dans le cadre de la LQG. En particulier, la géométrie nulle est décrit par une structure singulière euclidienne sur la surface de type espace à deux dimensions définie par un feuilletage de l'espace-temps par hypersurfaces nulles. / In this thesis, I will present how to extract discrete geometries of space-time fromthe covariant formulation of loop quantum gravity (LQG), which is called the spinfoam formalism. LQG is a quantum theory of gravity that non-perturbative quantizesgeneral relativity independent from a fix background. It predicts that the geometryof space is quantized, in which area and volume can only take discrete value. Thekinematical Hilbert space is spanned by Penrose's spin network functions. The excita-tion of geometry can be neatly visualized as fuzzy polyhedra that glued through theirfacets. The spin foam defines the dynamics of LQG by a spin foam amplitude on acellular complex, bounded by the spin network states. There are three main results inthis thesis. First, the semiclassical limit of the spin foam amplitude on an arbitrarysimplicial cellular complex with boundary is studied completely. The classical discretegeometry of space-time is reconstructed and classified by the critical configurations ofthe spin foam amplitude. Second, the three-point function from LQG is calculated.It coincides with the results from discrete gravity. Third, the description of discretegeometries of null hypersurfaces is explored in the context of LQG. In particular, thenull geometry is described by a Euclidean singular structure on the two-dimensionalspacelike surface defined by a foliation of space-time by null hypersurfaces. Its quan-tization is U(1) spin network states which are embedded nontrivially in the unitaryirreducible representations of the Lorentz group.

Cette thèse concerne l'homogénéisation, ou limite semi-classique, des transformées de Wigner associées à des suites bornées L^2 solutions d'une équation de Schrödinger ou d'un système hyperbolique linéaire du premier ordre. On établit diverses équations de transport satisfaites par les mesures de Wigner limites lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. <br /><br />Une première partie résume les propriétés générales de la transformation en rappelant son lien avec le calcul pseudo-différentiel. <br /><br />Une seconde partie étudie la perturbation des hamiltoniens périodiques par des potentiels réguliers apériodiques au moyen d'estimations de commutation concernant les décompositions de Bloch. <br /><br />Une troisième partie étudie sous une hypothèse de couplage faible l'homogénéisation de certains milieux aléatoires évoluant chaotiquement selon une dynamique réversible mais gouvernés en moyenne par une dynamique irréversible de type Bolztmann. <br /><br />Une quatrième partie clarifie au moyen du formalisme des transformées de Wigner un résultat connu d'existence-unicité pour la hiérarchie infinie BBGKY du problème de Schrödinger à N particules, lorsque N tend vers l'infini, dans l'approximation de champ moyen.

Partie I: Modèles de spin collectif On utilise le formalisme des états cohérents de spin pour étudier des modèles de spin collectif, qui ont plusieurs champs d'application en physique. Le modèle de Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) a en particulier été analysé à la limite thermodynamique. La méthode développée au cours de ce travail peut être utilisée, en principe, pour des Hamiltoniens plus généraux, s'écrivant en fonction des générateurs de l'algèbre su(2). Nous avons pu dériver exactement la densité d'états intégrée du modèle. La nature des singularités de la densité d'états a été mise en évidence. Les premières corrections de taille finie ont également été calculées. Les valeurs moyennes d'observables ont été étudiées. Près des singularités, la quantification de Bohr-Sommerfeld, adaptée aux spins, n'est pas valable. Pour traiter ces cas, nous avons développé une nouvelle approche, permettant alors de décrire le spectre au voisinage des points critiques. Partie II : Calcul quantique adiabatique Nous avons construit un modèle simple permettant de mettre en évidence la relation entre les transitions de phase quantiques et le calcul (quantique) adiabatique. Ce modèle met en évidence l'importance du choix du Hamiltonien initial et du chemin adiabatique considéré dans l'espace des paramètres, et peut servir comme un cas d'école pour des modèles plus réalistes. Nous avons enfin étudié la dynamique des populations des états à travers une transition de phase, pour le cas du modèle LMG abordé dans la première partie. Une analyse numérique nous a montré que ces changements de population sont très sensibles à la présence des points exceptionnels dans le spectre, ce qu'un modèle simplifié de l'évolution quantique permettait de suggérer.

Cette thèse est consacrée à des problèmes liés à l'étude de la limite semi-classique en mécanique quantique. Le premier chapitre présente une formulation géométrique qui est équivalente au principe variationnel. Elle consiste à concevoir la dynamique classique comme une projection orthogonale de la dynamique quantique sur la famille des états cohérents. L'angle de la projection nous renseigne sur la validité de l'approximation obtenue. Ces résultats sont illustrés par un exemple numérique. Le deuxième chapitre s'attache à la mécanique quantique sur le tore en tant qu'espace de phase, et en particulier à l'étude des dégénérécences dans le spectre de modèles du type Harper, ou Harper pulsé qui manifestent du chaos classique. Ce type de modèles trouve ses applications essentiellement en physique du solide, notamment pour l'effet Hall quantique. Cette étude se fait d'une part à l'aide de l'indice de Chern qui caractérise de fa¸con topologique la local- isation des fonctions d'ondes lorsque des conditions de périodicité sont changées, et d'autre part par la distribution de Husimi permet de représenter un état quantique dans l'espace de phase. Nous discutons le rˆole joué par les états associés à une séparatrice, par l'effet tunnel et par la nature chaotique de la dynamique.

Cette thèse traite de certaines propriétés spectrales de deux classes spécifiques des opérateurs périodiques. Nous nous intéressons tout d’abord à un modèle périodique perturbée par un opérateur dépendant d’un petit paramètre semi-classique. Nous obtenons alors le comportement asymptotique de la fonction du comptage des valeurs propres dans les gaps spectrales avec une estimation optimale du reste. Le second modèle étudié dans cette thèse est un modèle elliptique périodique d’ordre deux perturbée par un opérateur dépendant d’une grande constante de couplage. Nous donnons également la description de la fonction de compactage des valeurs propres lorsque la constante de couplage tend vers l’infini. La dernière partie de cette thèse discute l’étude du spectre discret de l’opérateur de Schrödinger avec un potentiel très oscillent dépendant d’un petit paramètre semi-classique. / This Ph.D thesis deals with some spectral properties of two specific classes of two periodic operators. We are firstly interested in the model periodic perturbed by operator depending on a small semi-classical constant. We obtain an asymptotic behavior of the eigenvalue counting function in the spectral gaps with scharp remainder estimate. The second model studied in this thesis is a two-dimensional periodic elliptic second order opera-tor perturbed by operator depending on a large coupling constant. We also give the description of the counting function of eigenvalues when the coupling constant tends to infinity. The last part of this thesis highlights the study the spectrum of a Schrödinger operator perturbed by a fast oscillatingdecaying potential depending on a small parameter.