La méthode Symbolique Implicite Monte Carlo permet d'obtenir une approximation de la solution de l'équation du transport. Dans la méthode originelle, les fonctions d'approximation étaient choisies constantes par morceaux. On démontre qu'en prenant des fonctions linéaires par morceaux, cette méthode possède alors la limite diffusion, c'est à dire qu'en milieu diffusif, elle approche la solution de l'équation de diffusion même lorsque la taille des mailles est grande vis à vis du libre parcours, à condition que celle ci reste suffisante pour résoudre l'échelle de la diffusion. On montre que les conditions aux limites en milieu diffusif approchent, sous certaines hypothèses, les conditions aux limites exactes, ce qui autorise un traitement précis des couches limites sans devoir les mailler finement. On présente des tests numériques étayant cette analyse. On étudie également des schémas aux éléments finis linéaires discontinus et on explique pourquoi ces schémas possèdent la même limite diffusion ainsi que les mêmes conditions aux limites en milieu diffusif que la méthode Symbolique Implicite Monte Carlo.

Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique, la résolution numérique et la modélisation des équations de transport. Dans un premier temps, on s'intéresse à l'approximation numérique de la solution des équations de transport par un schéma mixte-hybride. On introduit<br />et étudie une formulation mixte de l'équation du transport. L'étude du problème variationnel mixte est menée avant d'en présenter sa discrétisation et les propriétés fondamentales du schéma obtenu.<br />On s'attache en particulier a démontrer l'efficacité de la méthode dans la limite de diffusion (lorsque le libre parcours moyen des particules est petit devant les dimensions caractéristiques du domaine physique). On présente des cas tests académiques permettant de comparer notre schéma à d'autres méthodes dans des<br />configurations physiques variées et de valider notre schéma sur des cas tests analytiques. On s'applique à valider le schéma sur des maillages non structurés même très déformés tels que ceux issus de l'hydrodynamique lagrangienne. Une seconde partie de la thèse consiste à étudier deux problèmes de transport. Le premier problème est une étude de la diffusion due aux conditions aux limites dans un problème de transport entre deux plaques planes. L'autre problème consiste à modéliser et simuler les phénomènes de transfert radiatif dans le cadre industriel de la fusion par confinement inertiel.

Le travail de la thèse concerne la modélisation et l'analyse <br />mathématique du transport d'électrons confinés dans une nanostructure<br />dans le but d'implémenter des simulations numériques. Dans de tels<br />dispositifs nanométriques, les ordres de grandeurs ne jouent pas le<br />même rôle dans chaque direction. Les électrons peuvent être<br />extrêmement confinés dans une ou plusieurs directions. Un modèle <br />quantique est nécessaire pour décrire le confinement. Dans la<br />direction non confinée, le transport est supposé de nature classique. <br />Nous proposons alors un système couplé quantique/classique. <br />Les collisions intervenant lors du transport induisent un régime<br />diffusif des porteurs de charges. Le modèle diffusif est obtenu grâce<br />à une limite de diffusion d'un modèle cinétique. L'analyse<br />mathématique de cette limite de diffusion et du modèle diffusif couplé<br />sont présentées. Une simulation numérique du transport dans un<br />nanotransistor est obtenue avec ce modèle.

L'objectif de ce travail de thèse est le développement d'une approximation polynomiale axiale dans un solveur basé sur la Méthode des Caractéristiques. Le contexte, est celui de la solution stationnaire de l'équation de transport des neutrons pour des systèmes critiques, et l'implémentation pratique a été réalisée dans le solveur "Two/three Dimensional Transport" (TDT), faisant partie du projet APOLLO3®. Un solveur MOC pour des géométries en trois dimensions a été implémenté dans ce code pendant un projet de thèse antécédent, se basant sur une approximation constante par morceaux du flux et des sources des neutrons. Les développements présentés dans la suite représentent la continuation naturelle de ce travail. Les solveurs MOC en trois dimensions sont capables de produire des résultats précis pour des géométries complexes. Bien que précis, le coût computationnel associé à ce type de solveur est très important. Une représentation polynomiale en direction axiale du flux angulaire des neutrons a été utilisée pour réduire ce coût computationnel.Le travail réalisé pendant cette thèse peut être considéré comme divisé en trois parties: transport, accélération et autres. La première partie est constituée par l'implémentation de l'approximation polynomiale choisie dans les équations de transmission et de bilan typiques de la Méthode des Caractéristiques. Cette partie a aussi été caractérisée par le calcul d'une série de coefficients numériques qui se sont révélés nécessaires afin d'obtenir un algorithme stable. Pendant la deuxième partie, on a modifié et implémenté la solution des équations de la méthode d'accélération DPN. Cette méthode était déjà utilisée pour l'accélération et des itérations internes et externes dans TDT pour les solveurs deux et trois dimensionnels avec l'approximation des flux plat, quand ce travail a commencé. L'introduction d'une approximation polynomiale a demandé plusieurs développements numériques regardant la méthode d'accélération. Dans la dernière partie de ce travail on a recherché des solutions pour un mélange de différents problèmes liés aux premières deux parties. En premier lieux, on a eu à faire avec des instabilités numériques associées à une discrétisation spatiale ou angulaire pas suffisamment précise, soit pour la partie transport que pour la partie d'accélération. Ensuite, on a essayé d'utiliser différentes méthodes pour réduire l'empreinte mémoire des coefficients d'accélération. L'approche qu'on a finalement choisie se base sur une régression non-linéaire au sens des moindres carrés de la dépendance en fonction des sections efficaces typique de ces coefficients. L'approche standard consiste dans le stockage d'une série de coefficients pour chaque groupe d'énergie. La méthode de régression permet de remplacer cette information avec une série de coefficients calculés pendant la régression qui sont utilisés pour reconstruire les matrices d'accélération au cours des itérations. Cette procédure ajoute un certain coût computationnel à la méthode, mais nous pensons que la réduction de la mémoire rende ce surcoût acceptable.En conclusion, le travail réalisé a été concentré sur l'application d'une simple approximation polynomiale avec l'objectif de réduire le coût computationnel et l'empreinte mémoire associées à un solveur basée sur la Méthodes des Caractéristiques qui est utilisé pour calculer le flux neutroniques pour des géométries à trois dimensions extrudées. Même si cela ne constitue pas une amélioration radicale des performances, l'approximation d'ordre supérieur qu'on a introduit permet une réduction en termes de mémoire et de temps de calcul d'un facteur compris entre 2 et 5, selon le cas. Nous pensons que ces résultats constitueront une base fertile pour des futures améliorations. / The purpose of this PhD is the implementation of an axial polynomial approximation in a three-dimensional Method Of Characteristics (MOC) based solver. The context of the work is the solution of the steady state Neutron Transport Equation for critical systems, and the practical implementation has been realized in the Two/three Dimensional Transport (TDT) solver, as a part of the APOLLO3® project. A three-dimensional MOC solver for 3D extruded geometries has been implemented in this code during a previous PhD project, relying on a piecewise constant approximation for the neutrons fluxes and sources. The developments presented in the following represent the natural continuation of this work. Three-dimensional neutron transport MOC solvers are able to produce accurate results for complex geometries. However accurate, the computational cost associated to this kind of solvers is very important. An axial polynomial representation of the neutron angular fluxes has been used to lighten this computational burden.The work realized during this PhD can be considered divided in three major parts: transport, acceleration and others. The first part is constituted by the implementation of the chosen polynomial approximation in the transmission and balance equations typical of the Method Of Characteristics. This part was also characterized by the computation of a set of numerical coefficients which revealed to be necessary in order to obtain a stable algorithm. During the second part, we modified and implemented the solution of the equations of the DPN synthetic acceleration. This method was already used for the acceleration of both inners and outers iteration in TDT for the two and three dimensional solvers at the beginning of this work. The introduction of a polynomial approximation required several equations manipulations and associated numerical developments. In the last part of this work we have looked for the solutions of a mixture of different issues associated to the first two parts. Firstly, we had to deal with some numerical instabilities associated to a poor numerical spatial or angular discretization, both for the transport and for the acceleration methods. Secondly, we tried different methods to reduce the memory footprint of the acceleration coefficients. The approach that we have eventually chosen relies on a non-linear least square fitting of the cross sections dependence of such coefficients. The default approach consists in storing one set of coefficients per each energy group. The fit method allows replacing this information with a set of coefficients computed during the regression procedure that are used to re-construct the acceleration matrices on-the-fly. This procedure of course adds some computational cost to the method, but we believe that the reduction in terms of memory makes it worth it.In conclusion, the work realized has focused on applying a simple polynomial approximation in order to reduce the computational cost and memory footprint associated to a Method Of Characteristics solver used to compute the neutron fluxes in three dimensional extruded geometries. Even if this does not a constitute a radical improvement, the high order approximation that we have introduced allows a reduction in terms of memory and computational times of a factor between 2 and 5, depending on the case. We think that these results will constitute a fertile base for further improvements.

L'objectif de cette thèse est de modéliser et de développer des outils numériques adaptés à l'étude de l'écoulement des eaux souterraines ainsi que la propagation des polluants en milieux poreux. La motivation de ce travail est un benchmark du GDR Momas et de l'Andra pour la simulation de la propagations 3-D des radionucléides autour d'un stockage profond de déchets nucléaires. Premièrement on a construit une nouvelle méthode d'éléments finis mixtes sur un maillage formé d'hexaèdres généraux. La convergence de la méthode est prouvée et confirmée par des tests numériques. Deuxièment, nous présentons une méthode de discrétisation en temps pour une équation d'advection telle que des pas de temps différents sont utilisés dans différents sous-domaines afin de prendre en compte les hétérogèneités.<br />Enfin une méthode numérique pour le calcul de transport de contaminants est proposée. Les techniques précédentes sont implémentées en 3-D et des résultats numériques sont présentés sur le benchmark 3-D champ lointain du GDR Momas et de l'Andra.

Dans cette thèse on s'est intéressé à l'étude de problèmes concernant la théorie des écoulements compressibles. Dans une première partie on a traité le problème de transport instationnaire avec un champ de vitesse peu régulier, on a établi un résultat d'existence en passant à la limite sur des schémas numériques volumes finis avec un choix décentré amont qui garantie la positivité de la masse volumique. Pour le problème de Stokes, le résultat est démontré par deux approches : une approche par schéma numérique et une approche par régularité visqueuse.Dans la première méthode on propose une discrétisation qui combine la méthode des éléments finis et la méthode des volumes finis qui repose sur les espaces Crouzeix-Raviart. Une première difficulté de ce travail est de démontrer les estimations sur la solution discrète, en particulier à cause de la présence de la gravité dans le terme source de l'équation de quantité de mouvement. Le fait de considérer une loi d'état très générale conduit des difficultés supplémentaires en particulier dans le passage à la limite sur cette équation.Dans la deuxième méthode, le résultat d'existence est démontré en utilisant une approximation par viscosité. Ceci consiste essentiellement en deux parties : l'étude du problème de convection diffusion (qui apparait dans le problème régularisé) où on démontre l'existence et l'unicité de solution et en deuxième partie le passage à la limite sur le problème régularisé. / This thesis is concerned with the study of problems relating in the theory of compressible flows . We prove the existence of the considered problems in a first part by passing to the limit on the numerical schemes proposed for the discretisation of these problems. In the second part, the existence result is obtained by passing to the limit on the approximate solutions given by a corresponding regularized problem.The main result is to prove the existence of a solution of the stationnary compressible Stokes problem with a general equation of state.We first prove this result by passing to the limit on the numerical scheme as the mesh size tends to zero. The fact to consider a general E.O.S induces some additional difficulties in particular to get estimates on the discrete solution (which comes also from the presence of the gravity in the momentum equation) and in the passage to the limit on the E.O.S.We also prove the existence result by passing to the limit on a regularized problem. We first treat the convection-diffusion problem (which appears in the regularized problem), we give an existence and uniqueness result, and we then prove estimates on the approwimate solutions and pass to the limit on the regularized problem.

Cette thèse concerne l'homogénéisation, ou limite semi-classique, des transformées de Wigner associées à des suites bornées L^2 solutions d'une équation de Schrödinger ou d'un système hyperbolique linéaire du premier ordre. On établit diverses équations de transport satisfaites par les mesures de Wigner limites lorsque qu'un petit paramètre tend vers zéro. <br /><br />Une première partie résume les propriétés générales de la transformation en rappelant son lien avec le calcul pseudo-différentiel. <br /><br />Une seconde partie étudie la perturbation des hamiltoniens périodiques par des potentiels réguliers apériodiques au moyen d'estimations de commutation concernant les décompositions de Bloch. <br /><br />Une troisième partie étudie sous une hypothèse de couplage faible l'homogénéisation de certains milieux aléatoires évoluant chaotiquement selon une dynamique réversible mais gouvernés en moyenne par une dynamique irréversible de type Bolztmann. <br /><br />Une quatrième partie clarifie au moyen du formalisme des transformées de Wigner un résultat connu d'existence-unicité pour la hiérarchie infinie BBGKY du problème de Schrödinger à N particules, lorsque N tend vers l'infini, dans l'approximation de champ moyen.

Le travail de thèse s'inscrit dans le cadre des travaux de recherche appliquée qui ont lieu au Laboratoire de Mécanique de Lille et à l'Institut de Recherche de l'Ecole Navale dans le domaine respectif des machines tournantes de type turbomachines ou celui des hélices marines et appendices de type surfaces portantes équipant les navires (stabilisateurs, safrans,...). L'objectif principal de la thèse est d'étudier les instabilités de cavitation. Pour cela, des simulations numériques associant des modèles de cavitation déjà existants sont mises en oeuvre et une comparaison de ces modèles est effectuée. On s'intéresse particulièrement aux modèles de cavitation homogènes pour lesquels le mélange liquide/vapeur est considéré comme un fluide unique à densité variable. Le transfert de masses entre les deux phases est contrôlé soit par une loi d'état barotrope qui relie la densité à la pression soit par une équation de transport de taux de vide avec des termes sources appropriées. En parallèle, des mesures expérimentales basées sur la mesure de pression pariétale et d'acquisition vidéo sont menées dans le Tunnel de cavitation de l'Ecole Navale. Cette étude expérimentale est complétée par l'étude menée par O. Coutier-Delgosha à l'Ecole Nationale Supérieure de Techniques Avancées à Paris et qui a permis d'obtenir les profils de taux de vide instantanés par des mesures Rayon X. Les résultats expérimentaux et numériques sont analysés par des techniques de traitement du signal originales.

Les temps de trajet, amplitudes et angles à la source des ondes sismiques sont utilisés dans de nombreuses applications telles que la migration, la tomographie, l'estimation de la sensibilité de détection et la localisation des microséismes. Dans le contexte de la microsismicité, il est nécessaire de calculer en quasi temps réel ces attributs avec précision. Nous avons développé ici un ensemble d'algorithmes rapides et précis en 3D pour des modèles à fort contraste de vitesse.Nous présentons une nouvelle méthode pour calculer les temps de trajet, les amplitudes et les angles à la source des ondes correspondant aux premières arrivées. Plus précisément, nous résolvons l'équation Eikonal, l'équation de transport et l'équation des angles en nous basant sur une approche par différences finies pour des modèles de vitesse en 3D. Nous proposons une nouvelle méthode hybride qui bénéficie des avantages respectifs de plusieurs approches existantes de résolution de l'équation Eikonal. En particulier, les approches classiques proposent généralement de résoudre directement les équations et font l'approximation localement d'une onde plane. Cette approximation n'est pas bien adaptée au voisinage de la source car la courbure du front d'onde est importante. Des erreurs de temps de trajet sont alors générées près de la position de la source, puis propagées à travers tout le modèle de vitesse. Ceci empêche de calculer correctement les amplitudes et les angles à la source puisqu'ils reposent sur les gradients des temps. Nous surmontons cette difficulté en introduisant les opérateurs sphériques ; plus précisément nous reformulons les temps de trajet, amplitudes et angles à la source par la méthode des perturbations.Nous validons nos nouvelles méthodes pour différents modèles à fort contraste de vitesse en 2D et 3D et montrons notre contribution par rapport aux approches existantes. Nos résultats sont similaires à ceux calculés en utilisant la modélisation de la forme d'onde totale alors qu'ils sont bien moins coûteux en temps de calcul. Ces résultats ouvrent donc de nouvelles perspectives pour de nombreuses applications telles que la migration, l'estimation de la sensibilité de détection et l'inversion des mécanismes au foyer.

Pour la conception des cœurs de réacteurs de 4ème génération, une précision accrue est requise pour les calculs des différents paramètres neutroniques. Les ressources mémoire et le temps de calcul étant limités, une solution consiste à utiliser des méthodes de raffinement de maillage afin de résoudre l'équation de transport des neutrons. Le flux neutronique, solution de cette équation, dépend de l'énergie, l'angle et l'espace. Les différentes variables sont discrétisées de manière successive. L'énergie avec une approche multigroupe, considérant les différentes grandeurs constantes sur chaque groupe, l'angle par une méthode de collocation, dite approximation Sn. Après discrétisation énergétique et angulaire, un système d'équations hyperboliques couplées ne dépendant plus que de la variable d'espace doit être résolu. Des éléments finis discontinus sont alors utilisés afin de permettre la mise en place de méthodes de raffinement dite hp. La précision de la solution peut alors être améliorée via un raffinement en espace (h-raffinement), consistant à subdiviser une cellule en sous-cellules, ou en ordre (p-raffinement) en augmentant l'ordre de la base de polynômes utilisée.Dans cette thèse, les propriétés de ces méthodes sont analysées et montrent l'importance de la régularité de la solution dans le choix du type de raffinement. Ainsi deux estimateurs d'erreurs permettant de mener le raffinement ont été utilisés. Le premier, suppose des hypothèses de régularité très fortes (solution analytique) alors que le second utilise seulement le fait que la solution est à variations bornées. La comparaison de ces deux estimateurs est faite sur des benchmarks dont on connaît la solution exacte grâce à des méthodes de solutions manufacturées. On peut ainsi analyser le comportement des estimateurs au regard de la régularité de la solution. Grâce à cette étude, une stratégie de raffinement hp utilisant ces deux estimateurs est proposée et comparée à d'autres méthodes rencontrées dans la littérature. L'ensemble des comparaisons est réalisé tant sur des cas simplifiés où l'on connaît la solution exacte que sur des cas réalistes issus de la physique des réacteurs.Ces méthodes adaptatives permettent de réduire considérablement l'empreinte mémoire et le temps de calcul. Afin d'essayer d'améliorer encore ces deux aspects, on propose d'utiliser des maillages différents par groupe d'énergie. En effet, l'allure spatiale du flux étant très dépendante du domaine énergétique, il n'y a a priori aucune raison d'utiliser la même décomposition spatiale. Une telle approche nous oblige à modifier les estimateurs initiaux afin de prendre en compte le couplage entre les différentes énergies. L'étude de ce couplage est réalisé de manière théorique et des solutions numériques sont proposées puis testées. / The different neutronic parameters have to be calculated with a higher accuracy in order to design the 4th generation reactor cores. As memory storage and computation time are limited, adaptive methods are a solution to solve the neutron transport equation. The neutronic flux, solution of this equation, depends on the energy, angle and space. The different variables are successively discretized. The energy with a multigroup approach, considering the different quantities to be constant on each group, the angle by a collocation method called Sn approximation. Once the energy and angle variable are discretized, a system of spatially-dependent hyperbolic equations has to be solved. Discontinuous finite elements are used to make possible the development of $hp-$refinement methods. Thus, the accuracy of the solution can be improved by spatial refinement (h-refinement), consisting into subdividing a cell into subcells, or by order refinement (p-refinement), by increasing the order of the polynomial basis.In this thesis, the properties of this methods are analyzed showing the importance of the regularity of the solution to choose the type of refinement. Thus, two error estimators are used to lead the refinement process. Whereas the first one requires high regularity hypothesis (analytical solution), the second one supposes only the minimal hypothesis required for the solution to exist. The comparison of both estimators is done on benchmarks where the analytic solution is known by the method of manufactured solutions. Thus, the behaviour of the solution as a regard of the regularity can be studied. It leads to a hp-refinement method using the two estimators. Then, a comparison is done with other existing methods on simplified but also realistic benchmarks coming from nuclear cores.These adaptive methods considerably reduces the computational cost and memory footprint. To further improve these two points, an approach with energy-dependent meshes is proposed. Actually, as the flux behaviour is very different depending on the energy, there is no reason to use the same spatial discretization. Such an approach implies to modify the initial estimators in order to take into account the coupling between groups. This study is done from a theoretical as well as from a numerical point of view.