Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work presents an educational experiment carried out in a 9th grade class of elementary school, in order to assess the didactic and pedagogical possibilities involving the Linear Diophantine Equations theme, with the contextual support of Problem Solving. This application intends to expand the students' conceptions in arithmetic and algebra courses, also providing a concrete possibility of applicability of the greatest common divisor of two integers, a very neglected theme throughout the elementary school. In a level of elementary school, one of the main vehicles that allows you to work the initiative, creativity and exploring spirit is through Problem Solving. A Mathematics Teacher has a great opportunity to challenge the curiosity of the students by presenting them problems that are compatible with their knowledge and guiding them through incentive questions and this teacher can also try to input on them a taste for discovery and independent thinking. Thus, a very reasonable way is to prepare the student to deal with new situations, whatever they may be. The paper is organized in three chapters. In the first chapter entitled "Problem Solving in mathematics teaching" a theoretical foundation on the Teaching of Problem Solving is searched based on the Hungarian-American author George Polya and Luiz Roberto Dante and, it also presents some aspects from the learning theory proposed by Vygotsky. In the second chapter entitled "arithmetic concepts" the themes treated are: Greatest Common Divisor (gcd), Euclidean algorithm, Bèzout theorem and Linear Diophantine Equations. In the third and final chapter entitled "pedagogical experimentation" as mentioned above, the experimentation in a class of ninth grade of an elementary school. This experiment is based on the Didactic Engineering methodology, comprising the following stages: theme and scope of action; previous analyzes associated with the dimensions: epistemological, didactic and cognitive; prior analysis; experimentation; aftermost analysis and validation of Didactic Engineering. / Este trabalho apresenta uma experimentação pedagógica realizada numa turma de 9ºano do Ensino Fundamental com o objetivo de aferir as possibilidades didático-pedagógicas envolvendo a temática Equações Diofantinas Lineares, tendo como suporte contextual a Resolução de Problemas. Tal aplicação tem o intento de ampliar as concepções dos alunos nos campos da aritmética e da álgebra, dando também uma possibilidade concreta de aplicabilidade do máximo divisor comum de dois números inteiros, tema tão negligenciado ao longo do Ensino Fundamental. Em um nível de Ensino Fundamental, um dos principais veículos que permite trabalhar a iniciativa, a criatividade e o espírito explorador é a Resolução de Problemas. O professor de Matemática tem, dessa forma, uma grande oportunidade de desafiar a curiosidade de seus alunos, apresentando-lhes problemas compatíveis com os conhecimentos destes e orientando-os através de indagações incentivadoras, podendo incutir-lhes o gosto pela descoberta e pelo raciocínio independente. Assim, um caminho bastante razoável é preparar o aluno para lidar com situações novas, quaisquer que sejam elas. O trabalho está organizado em três capítulos. No primeiro capítulo intitulado A Resolução de Problemas no ensino da Matemática busca-se uma fundamentação teórica sobre a Didática da Resolução de Problemas no autor húngaro-americano George Polya e Luiz Roberto Dante e, também, são apresentados alguns aspectos da teoria da aprendizagem proposta por Vygotsky. No segundo capítulo intitulado conceitos de aritmética são tratados os temas: Máximo Divisor Comum (mdc), Algoritmo de Euclides, Teorema de Bèzout e Equações Diofantinas Lineares. No terceiro e último capítulo intitulado experimentação pedagógica é apresentada a experimentação supracitada numa turma de nono ano do Ensino Fundamental. Tal experimentação é baseada na metodologia Engenharia Didática, compreendendo os seguintes momentos: tema e campo de ação; análises prévias associadas às dimensões: epistemológica, didática e cognitiva; análise a priori; experimentação; análise a posteriori e validação da Engenharia Didática.

Este trabalho, cuja metodologia foi inspirada na Engenharia Didática, discute e investiga a viabilidade de inserir o ensino/estudo das equações diofantinas lineares no ensino médio. Foi desenvolvida e aplicada uma sequência didática em uma turma do 1º semestre do ensino médio integrado de química do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense, Campus Pelotas. Através das atividades executadas pelos alunos, das anotações feitas pela mestranda e da filmagem de todas as aulas, foi possível coletar os dados sobre toda a experiência. Esta foi iniciada e baseada em um jogo nomeado “escova diofantina”, derivado do jogo “escova”, seguido de atividades estruturadas com exercícios, questionamentos e debates que encaminharam os alunos, de forma natural, para a construção e estudo do conteúdo desejado. Elaboramos a sequência didática com objetivos bem definidos em cada atividade. Após o término das aulas, analisamo-las e reformulamo-las. Assim, no Apêndice B, apresentamos uma proposta de sequência didática renovada e pronta para ser aplicada por qualquer professor interessado em lecionar equações diofantinas no ensino médio. Os resultados das análises dos dados indicaram que os alunos do primeiro ano do ensino médio apresentam plenas condições matemáticas para a compreensão e construção dos conceitos e propriedades básicas relacionadas às equações diofantinas lineares. / This work, whose methodology is inspired by didactical engineering, discusses and investigates the viability of introducing linear diophantine equations at High School level study and teaching. We developed and applied a didactical sequence to a first semester chemistry oriented high school at the Pelotas campus of the Sul-Rio-Grandense Federal Institute. We collected the data of this whole experience, starting with all the activities performed by the students and continuing with notes taken by the author as well as the whole class footage. We started the seminars with a card game that we called “diophantine escova”, derived from the usual “escova” card game. We followed it by structured activities with exercises and several debates that led the students, in a natural way, to understand the definitions, concepts and results about Diophantine Equations. The didactical sequence we have created had very clear and specific goals in each activity. When the seminars ended, we analyzed and reformulated the sequence and therefore, in Appendix C, we present a totally improved and ready to use sequence for any teacher interested in developing linear diophantine equations in high school. The data analysis indicated that fist year high school students have the necessary mathematical skills to understand all concepts and results of basic linear diofantine equations.

Este trabalho, cuja metodologia foi inspirada na Engenharia Didática, discute e investiga a viabilidade de inserir o ensino/estudo das equações diofantinas lineares no ensino médio. Foi desenvolvida e aplicada uma sequência didática em uma turma do 1º semestre do ensino médio integrado de química do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense, Campus Pelotas. Através das atividades executadas pelos alunos, das anotações feitas pela mestranda e da filmagem de todas as aulas, foi possível coletar os dados sobre toda a experiência. Esta foi iniciada e baseada em um jogo nomeado “escova diofantina”, derivado do jogo “escova”, seguido de atividades estruturadas com exercícios, questionamentos e debates que encaminharam os alunos, de forma natural, para a construção e estudo do conteúdo desejado. Elaboramos a sequência didática com objetivos bem definidos em cada atividade. Após o término das aulas, analisamo-las e reformulamo-las. Assim, no Apêndice B, apresentamos uma proposta de sequência didática renovada e pronta para ser aplicada por qualquer professor interessado em lecionar equações diofantinas no ensino médio. Os resultados das análises dos dados indicaram que os alunos do primeiro ano do ensino médio apresentam plenas condições matemáticas para a compreensão e construção dos conceitos e propriedades básicas relacionadas às equações diofantinas lineares. / This work, whose methodology is inspired by didactical engineering, discusses and investigates the viability of introducing linear diophantine equations at High School level study and teaching. We developed and applied a didactical sequence to a first semester chemistry oriented high school at the Pelotas campus of the Sul-Rio-Grandense Federal Institute. We collected the data of this whole experience, starting with all the activities performed by the students and continuing with notes taken by the author as well as the whole class footage. We started the seminars with a card game that we called “diophantine escova”, derived from the usual “escova” card game. We followed it by structured activities with exercises and several debates that led the students, in a natural way, to understand the definitions, concepts and results about Diophantine Equations. The didactical sequence we have created had very clear and specific goals in each activity. When the seminars ended, we analyzed and reformulated the sequence and therefore, in Appendix C, we present a totally improved and ready to use sequence for any teacher interested in developing linear diophantine equations in high school. The data analysis indicated that fist year high school students have the necessary mathematical skills to understand all concepts and results of basic linear diofantine equations.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Ao longo das Ãltimas dÃcadas, a transmissÃo do conhecimento matemÃtico na EducaÃÃo BÃsica sofreu diversas mudanÃas. âO Ensino Tradicionalâ da matemÃtica era baseado na memorizaÃÃo de fÃrmulas, havendo assim uma mecanizaÃÃo no processo de resoluÃÃo de problemas, onde o discente era visto como um ser passivo. A nova visÃo de ensino, que busca significar o que conteÃdo exposto em sala, motivou a escolha desse tema, visto que situaÃÃes problemas envolvendo equaÃÃes diofantinas podem ser facilmente percebidas em nosso cotidiano. O objetivo deste trabalho à oportunizar a realizaÃÃo de uma leitura consultiva para o professor do Ensino BÃsico, e asseverar que essas equaÃÃes podem ser aplicadas na EducaÃÃo BÃsica como uma ferramenta que instiga o pensamento lÃgico, o raciocÃnio, a compreensÃo e a interpretaÃÃo matemÃtica. A formulaÃÃo desse material que està dividido em cinco capÃtulos se deu atravÃs de levantamento bibliogrÃfico por meio de pesquisas descritivas. A introduÃÃo compÃe o primeiro capÃtulo. O segundo capÃtulo versa sobre o Legado de Diofanto: vida e obras, ressaltando sua obra titulada âArithmeticaâ que contribuiu significativamente para o desenvolvimento da teoria dos nÃmeros. O terceiro capÃtulo trata das equaÃÃes diofantinas lineares de n variÃveis. O quarto capÃtulo aborda as ternas itagÃricas, o MÃtodo das Secantes e Tangentes de Fermat na busca de soluÃÃes racionais para quaÃÃes, com coeficientes racionais, da forma ax2+by2 = c, e um caso particular do Ãltimo Teorema de Fermat. O quinto capÃtulo à composto de problemas sobre equaÃÃes diofantinas lineares. / Over the past decades, the transmission of mathematical knowledge in basic education has undergone several changes. The âTeaching Traditionalâ math was based on memorizing formulas, so there mechanization in problem solving where the student was seen as a liability to be process. The new vision of education that seeks to signify exposed to room content, motivated the choice of this theme, as diophantine equations involving situations problems can be easily noticed in our daily lives. The objective of this work is an opportunity for a realization of an advisory reading for the teacher of basic education, and assert that these equations can be applied in basic education as a tool that encourages the logical thinking, reasoning, understanding and mathematical interpretation. The formulation of this material which is divided into five chapters was through literature review through descriptive research. The introduction comprises the first chapter. The second chapter deals with the Legacy of Diophantus: life and works, emphasizing his work entitled âArithmeticaâ which contributed significantly to the development of number theory. The third chapter deals with linear Diophantine equations in n variables. The fourth chapter discusses the Pythagorean tender, Fermatâs of secants and Tangents method, in finding rational solutions to equations with rational coefficients, of the form ax2 + by2 = c and a particular case Fermatâs Last Theorem. The fifth chapter is composed of problems on linear diophantine equations.

Este trabalho, cuja metodologia foi inspirada na Engenharia Didática, discute e investiga a viabilidade de inserir o ensino/estudo das equações diofantinas lineares no ensino médio. Foi desenvolvida e aplicada uma sequência didática em uma turma do 1º semestre do ensino médio integrado de química do Instituto Federal Sul-Rio-Grandense, Campus Pelotas. Através das atividades executadas pelos alunos, das anotações feitas pela mestranda e da filmagem de todas as aulas, foi possível coletar os dados sobre toda a experiência. Esta foi iniciada e baseada em um jogo nomeado “escova diofantina”, derivado do jogo “escova”, seguido de atividades estruturadas com exercícios, questionamentos e debates que encaminharam os alunos, de forma natural, para a construção e estudo do conteúdo desejado. Elaboramos a sequência didática com objetivos bem definidos em cada atividade. Após o término das aulas, analisamo-las e reformulamo-las. Assim, no Apêndice B, apresentamos uma proposta de sequência didática renovada e pronta para ser aplicada por qualquer professor interessado em lecionar equações diofantinas no ensino médio. Os resultados das análises dos dados indicaram que os alunos do primeiro ano do ensino médio apresentam plenas condições matemáticas para a compreensão e construção dos conceitos e propriedades básicas relacionadas às equações diofantinas lineares. / This work, whose methodology is inspired by didactical engineering, discusses and investigates the viability of introducing linear diophantine equations at High School level study and teaching. We developed and applied a didactical sequence to a first semester chemistry oriented high school at the Pelotas campus of the Sul-Rio-Grandense Federal Institute. We collected the data of this whole experience, starting with all the activities performed by the students and continuing with notes taken by the author as well as the whole class footage. We started the seminars with a card game that we called “diophantine escova”, derived from the usual “escova” card game. We followed it by structured activities with exercises and several debates that led the students, in a natural way, to understand the definitions, concepts and results about Diophantine Equations. The didactical sequence we have created had very clear and specific goals in each activity. When the seminars ended, we analyzed and reformulated the sequence and therefore, in Appendix C, we present a totally improved and ready to use sequence for any teacher interested in developing linear diophantine equations in high school. The data analysis indicated that fist year high school students have the necessary mathematical skills to understand all concepts and results of basic linear diofantine equations.

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Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao_eduardo_sad_costa.pdf: 3568903 bytes, checksum: 4e09f1b15f7714b64ad56708b0bd9974 (MD5) Previous issue date: 2007-05-21 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work involves a qualitative study about whether and how mathematics High-School teachers work with their students the trouble-situations regarding linear Diophantine equations. The study was performed by means of analyzing semi-structured interviews applied on six mathematics teachers from the states of São Paulo and Minas Gerais, teaching at high-school level. The Numbers Elementary Theory has been treated by several researchers on Mathematical Education, as Campbell e Zazkis (2002), Resende (2007), as an adequate subject for the introduction and development of fundamental Mathematical ideas in High- School. However, the results of such investigation show that, although the interviewed teachers affirmed that they did work with problems of discreet mathematics that can be modeled through linear Diophantine equations, none of them seemed to work with their students using the knowledge of these equations properties in order to decide whether they have solution, and what these solutions would be / Neste trabalho apresento um estudo qualitativo sobre se, e como, professores de Matemática do Ensino Médio trabalham com seus alunos situações-problema que recaem em equações diofantinas lineares. O estudo foi feito por meio da análise de entrevistas semi-estruturadas realizadas com seis professores de Matemática dos estados de São Paulo e Minas Gerais que lecionam no Ensino Médio. A Teoria Elementar dos Números vem sendo tratada por diversos pesquisadores de Educação Matemática, como Campbell & Zazkis (2002), Resende (2007), como assunto propício para a introdução e desenvolvimento de idéias Matemáticas fundamentais no Ensino Básico. No entanto os resultados desta investigação indicam que embora os professores entrevistados afirmassem trabalhar com problemas de matemática discreta modeláveis via equação diofantina linear, nenhum deles deu indícios de trabalhar com seus alunos utilizando conhecimentos das propriedades dessas equações para decidir se as mesmas tem solução e quais seriam essas soluções

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:42Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao_silvio_barbosa_oliveira.pdf: 371682 bytes, checksum: 4f27d9c132d5173732426c8e48699248 (MD5) Previous issue date: 2006-05-24 / This work involves a qualitative study of how the theme of linear Diophantine equations is approached in mathematics textbooks for high school students. Using the methods associated with content analysis (Bardin, 1977), I search for references, in both explicit and implicit forms, to these equations in two different sets of high school mathematics textbooks, both of which had been approved in the last PNLEM (a national project for the assessment of high school textbooks). Although elementary number theory has been highlighted by researchers in mathematics education, such as Campbell and Zazkis (2002), as a subject apt for the introduction and development of fundamental mathematical ideas in compulsory education, the results of this investigation indicate that it receives little attention in the textbooks analysed / Neste trabalho apresento um estudo qualitativo sobre a abordagem dada pelo livro didático do Ensino Médio ao tema equações diofantinas lineares . Por meio de uma análise de conteúdo, segundo Bardin (1977), busquei o assunto em sua forma explícita e implícita em duas coleções de Matemática para o Ensino Médio, aprovadas no último PNLEM. Embora a Teoria Elementar dos Números venha sendo tratada por pesquisadores de Educação Matemática, como Campbell e Zazkis (2002), como assunto propício para a introdução e desenvolvimento de idéias matemáticas fundamentais, no Ensino Básico, os resultados desta investigação indicam a pouca exploração do assunto por parte das coleções analisadas