L'exploration des diverses solutions liées au problème de l'éclairement global en synthèse d'images a vu l'émergence de deux disciplines fort différentes. La plus ancienne est l'application d'un principe utilisé par les physiciens dans les calculs d'échanges thermiques. Dans le cas de la synthèse d'images, ce ne sont en fait que les grandeurs échangées qui diffèrent et les ondes infrarouges sont remplacées par la lumière visible. Ce ne sont donc plus des échanges thermiques qui sont traités, mais uniquement des échanges lumineux entres différentes surfaces : la radiosité. Plus récemment, nous avons vu l'application de concepts mathématiques statistiques (les méthodes de Monte-Carlo) à un algorithme de lancer de rayons : l'équation de rendu et sa résolution par le suivi de chemins. Le travail présenté dans cette thèse fait partie de cette seconde famille. Les vecteurs d'éclairement indirect (VEI) obtenus à l'aide du lancer de rayons,s'appliquent dans le cadre de scènes d'intérieur et utilisent, pour leur calcul,une méthode de Monte-Carlo. Les recherches que nous avons menées ont pour but de développer cette jeune méthode que sont les VEI. Nous avons,pour cela,tenté d'explorer différentes voies, parfois en appliquant des principes connus,parfois en proposant des méthodes originales. Le résultat est une collections de propositions permettant de calculer les VEI plus rapidement et plus précisément. Ces propositions se séparent en deux groupes bien distincts dont le premier est l'étude du calcul d'un VEI. Le second propose des améliorations pour visualiser l'éclairement indirect calculé avec les VEI.

L'objectif de la simulation moléculaire est de comprendre et prédire les propriétés macroscopiques des matériaux à partir de leur description à l'échelle microscopique. Ce mémoire présente quelques contributions à ce sujet, pour des modèles de la physique statistique et de la physique quantique. Mes travaux en physique statistique numérique peuvent être classés en deux catégories : le calcul de propriétés d'équilibre, l'accent étant porté sur le calcul de différences d'énergie libre (chapitre 2), et l'étude de dynamiques hors d'équilibre en régime permanent pour le calcul de propriétés de transport (chapitre 3). Dans les deux cas, les méthodes numériques reposent sur des dynamiques hors d'équilibre ou nonlinéaires, la distinction entre ces classes de méthodes provenant du fait que l'état invariant du système est soit un état d'équilibre (éventuellement, à une correction près) ou un état hors d'équilibre. Le chapitre 4 présente quelques résultats pour des dynamiques quantiques : fictives, comme pour la transition adiabatique d'états dégénérés ; ou authentiques, comme pour l'évolution en temps des défauts locaux dans les cristaux.

Les voies de signalisation cellulaires permettent aux cellules de percevoir et d'échanger de l'information sous la forme de signaux chimiques. Un tel signal génère une réponse de la cellule au travers des étapes cruciales de réception et transduction. Différents types de protéines sont organisés dans une cascade de réactions de proche en proche qui relaient le signal de l'extérieur vers l'intérieur de la cellule, notamment au travers de la membrane. Les protéines de signalisation sont restreintes à des compartiments avec des degrés de liberté différents, et diffusent soit dans la membrane cellulaire qui est bidimensionnelle, soit dans le cytoplasme qui est en trois dimensions. De plus, au sein même de ces espaces, leurs distributions respectives sont hétérogènes. Or l'étude de la dynamique des voies de signalisation repose classiquement sur des modèles mathématiques supposant une homogénéité de distribution spatiale. Nous avons développé des modèles de réactions biochimiques entre populitions de molécules oú l'état et la position de chaque molécule sont caractérisés. La diffusion et les interactions entre molécules simulées sont reproduites sur la base de processus stochastiques issus de la biophysique. Ceci permet de recréer des distributions spatiales et des modes de diffusion hétérogènes tels qu'observés en biologie et d'étudier leur effet sur la dynamique de la signalisation en simulation. L'exploitation des modèles a été menée sur les différentes étapes de signalisation. Premièrement, l'étude a porté sur l'interaction entre un ligand dans le milieu extracellulaire et des récepteurs membranaires fixes. Lorsque les récepteurs forment des grappes au lieu d'être répartis uniformément, cela provoque une perte de sensibilité globale de l'étage de réception. Deuxièmement, l'analyse a été poursuivie au niveau de l'étage de transduction entre les récepteurs et un effecteur au niveau de la membrane. Là aussi, une distribution en grappe plutôt qu'uniforme des récepteurs provoque une perte de sensibilité. Enfin, l'étude s'est portée sur un modèle intégrant un mécanisme de diffusion non-homogène en mettant en interaction des récepteurs mobiles et leur substrat membranaire. Lorsque des zones restreintes de diffusion ralentie sont définies sur la membrane, deux effets opposés apparaissent sur la dynamique de transduction : un phénomène d'amplification si le ralentissement affecte les deux protéines, et un phénomène de perte de sensibilité si seuls les récepteurs sont ralentis. Globalement, les résultats illustrent comment les hétérogénéités spatiales modifient les distributions de collision et d'évènements de réaction dans le temps et l'espace à l'échelle microscopique, et comment cela se traduit par un effet sur la dynamique globale de la voie de signalisation à l'échelle macroscopique.

Dans une première partie, on s'intéresse à un système d'EDP stochastiques variant selon deux échelles de temps, et plus particulièrement à l'approximation de la composante lente à l'aide d'un schéma numérique efficace. On commence par montrer un principe de moyennisation, à savoir la convergence de la composante lente du système vers la solution d'une équation dite moyennée. Ensuite on prouve qu'un schéma numérique de type Euler fournit une bonne approximation d'un coefficient inconnu apparaissant dans cette équation moyennée. Finalement, on construit et on analyse un schéma de discrétisation du système à partir des résultats précédents, selon la méthodologie dite HMM (Heterogeneous Multiscale Method). On met en évidence l'ordre de convergence par rapport au paramètre d'échelle temporelle et aux différents paramètres du schéma numérique- on étudie les convergences au sens fort (approximation des trajectoires) et au sens faible (approximation des lois). Dans une seconde partie, on étudie une méthode d'approximation de solutions d'EDP paraboliques, en combinant une approche semi-lagrangienne et une discrétisation de type Monte-Carlo. On montre d'abord dans un cas simplifié que la variance dépend des pas de discrétisation- enfin on fournit des simulations numériques de solutions, afin de mettre en avant les applications possibles d'une telle méthode. / In a first part, we are interested in the behavior of a system of Stochastic PDEs with two time-scales- more precisely, we focus on the approximation of the slow component thanks to an efficient numerical scheme. We first prove an averaging principle, which states that the slow component converges to the solution of the so-called averaged equation. We then show that a numerical scheme of Euler type provides a good approximation of an unknown coefficient appearing in the averaged equation. Finally, we build and we analyze a discretization scheme based on the previous results, according to the HMM methodology (Heterogeneous Multiscale Method). We precise the orders of convergence with respect to the time-scale parameter and to the parameters of the numerical discretization- we study the convergence in a strong sense - approximation of the trajectories - and in a weak sense - approximation of the laws. In a second part, we study a method for approximating solutions of parabolic PDEs, which combines a semi-lagrangian approach and a Monte-Carlo discretization. We first show in a simplified situation that the variance depends on the discretization steps. We then provide numerical simulations of solutions, in order to show some possible applications of such a method.

Il est souvent important de trouver une représentation compacte des propriétés morphologiques d'un ensemble d'objets. C'est le cas lors du déplacement de robots autonomes dans des environnements naturels, qui doivent utiliser les objets dispersés dans la région de travail pour naviguer. Cette thèse est une contribution à la définition de formalismes et méthodes pour l'identification de tels modèles. Les formes que nous voulons caractériser sont des courbes fermées correspondant aux contours des objets détectés dans l'environnement, et notre caractérisation des leurs propriétés sera probabiliste. Nous formalisons la notion de forme en tant que classes d'équivalence par rapport à des groupes d'opérateurs géométriques basiques, introduisant deux approches : discrète et continue. La théorie discrète repose sur l'existence d'un ensemble de points remarquables et est sensible à leur sélection. L'approche continue, qui représente une forme par des objets de dimension infinie, correspond mieux à la notion intuitive de forme mais n'est pas parcimonieuse. Nous combinons les avantages des deux approches en représentant les formes à l'aide de splines : fonctions continues, flexibles, définies par un ensemble de noeuds et de points de contrôle. Nous étudions d'abord l'ajustement d'un modèle spline à une courbe, comme la recherche d'un compromis entre la parcimonie de la représentation et sa fidélité aux données, approche classique dans le cadre de familles imbriquées de dimension croissante. Nous passons en revue les méthodes utilisées dans la littérature, et nous retenons une approche en deux étapes, qui satisfait nos pré-requis : détermination de la complexité du modèle (par une chaîne de Markov à sauts réversibles), suivie de l'estimation des paramètres (par un algorithme de recuit simulé). Nous discutons finalement le lien entre l'espace de formes discrètes et les représentations splines lorsque l'on prend comme points remarquables les points de contrôle. Nous étudions ensuite le problème de modélisation d'un ensemble de courbes, comme l'identification de la distribution des paramètres de leur représentation par des splines où les points de contrôles et les noeuds sont des variables latentes du modèle. Nous estimons ces paramètres par un critère de vraisemblance marginale. Afin de pouvoir traiter séquentiellement un grand nombre de données nous adaptons une variante de l'algorithme EM proposée récemment. Le besoin de recourir à des approximations numériques (méthodes de Monte-Carlo) pour certains calculs requis par la méthode EM, nous conduit à une nouvelle variante de cet algorithme, proposée ici pour la première fois.

La première partie du mémoire concerne l'étude de modèles multi-échelles (ou micro-macro) pour les fluides complexes. L'intérêt de ces modèles est d'éviter d'avoir à postuler des lois de comportements phénoménologiques, en couplant une description macroscopique classique (lois de conservations de la quantité de mouvement et de la masse) sur la vitesse et la pression, à des modèles microscopiques pour l'évolution des microstructures dans le fluide, à l'origine du caractère non-newtonien du fluide. La loi de comportement consiste alors à exprimer le tenseur des contraintes en fonction de la conformation des microstructures. Durant la thèse, nous avons obtenu quelques résultats d'existence et de convergence des méthodes numériques utilisées pour ces modèles. Plus récemment, nous proposons une méthode numérique pour coupler des modèles micro-macro (fins mais chers) avec des modèles macroscopiques (plus grossiers, mais beaucoup plus économiques en temps de calcul). Nous analysons par ailleurs une méthode de résolution des équations aux dérivées partielles en grande dimension qui a été proposée dans le contexte de la résolution numérique des modèles à l'échelle microscopique pour les fluides polymériques.<br /><br />L'essentiel de nos travaux les plus récents sur le sujet concerne le comportement en temps long de ces modèles, avec un double objectif : théoriquement, la compréhension des modèles physiques passe souvent par l'étude de la stabilité des solutions stationnaires, et de la vitesse de convergence vers l'équilibre ; numériquement, la stabilité des schémas en temps long est cruciale, car on utilise typiquement des simulations instationnaires en temps long pour calculer des solutions stationnaires. Nous montrons comment analyser le comportement des modèles micro-macro en temps long, en utilisant des méthodes d'entropie. Cette étude a ensuite permis de comprendre le comportement en temps long de modèles macroscopiques standard (type Oldroyd-B), et de préciser sous quelles conditions les schémas numériques vérifient des propriétés similaires de stabilité en temps long.<br /><br /><br />La seconde partie du mémoire résume des travaux en simulation moléculaire, à l'échelle quantique, ou à l'échelle de la dynamique moléculaire classique. A l'échelle quantique, nous nous intéressons aux méthodes Quantum Monte Carlo. Il s'agit de méthodes numériques probabilistes pour calculer l'état fondamental d'une molécule (plus petite valeur propre de l'opérateur de Schrödinger à N corps). Essentiellement, il s'agit de donner une interprétation probabiliste du problème par des formules de Feynman-Kac, afin de pouvoir appliquer des méthodes de Monte Carlo (bien adaptées pour des problèmes de ce type, en grande dimension). Nous proposons tout d'abord une étude théorique de la méthode Diffusion Monte Carlo, et notamment<br />d'un biais introduit par l'interprétation probabiliste (appelé fixed node approximation). Nous analysons ensuite les méthodes numériques utilisées en Diffusion Monte Carlo, et proposons une nouvelle stratégie pour améliorer l'échantillonnage des méthodes Variational Monte Carlo.<br /><br />En dynamique moléculaire, nous étudions des méthodes numériques pour le calcul de différences d'énergie libre. Les modèles consistent à décrire l'état d'un système par la position (et éventuellement la vitesse) de particules (typiquement les positions des noyaux dans un système moléculaire), qui interagissent au travers d'un potentiel (qui idéalement proviendrait d'un calcul de mécanique quantique pour déterminer l'état fondamental des électrons pour une position donnée des noyaux). L'objectif est de calculer des moyennes par rapport à la mesure de Boltzmann-Gibbs associée à ce potentiel (moyennes dans l'ensemble canonique). Mathématiquement, il s'agit d'un problème d'échantillonnage de mesures métastables (ou multi-modales), en très grande dimension. La particularité de la dynamique moléculaire est que, bien souvent, on a quelques informations sur les "directions de métastabilité" au travers de coordonnées de réaction. En utilisant cette donnée, de nombreuses méthodes ont été proposées pour permettre l'échantillonnage de la mesure de Boltzmann-Gibbs. Dans une série de travaux, nous avons analysé les méthodes basées sur des équations différentielles stochastiques avec contraintes (dont les solutions vivent sur des sous-variétés définies comme des lignes de niveaux de la coordonnée de réaction). Il s'agit en fait d'analyser des méthodes d'échantillonnage de mesures définies sur des sous-variétés de grande dimension. Plus récemment, nous avons étudié des méthodes adaptatives qui ont été proposées pour se débarrasser des métastabilités. Mathématiquement, il s'agit de méthodes d'échantillonnage préférentiel, avec une fonction d'importance qui est calculée au cours de la simulation de manière adaptative. Nous avons étudié la vitesse de convergence vers la mesure d'équilibre pour ces méthodes adaptatives, en utilisant des méthodes d'entropie. Nous avons proposé de nouvelles méthodes numériques à la communauté appliquée pour utiliser au mieux ces idées.<br /><br /><br />La troisième partie du mémoire résume des travaux issus d'une collaboration avec l'entreprise Rio Tinto (anciennement Pechiney puis Alcan), leader mondial pour la technologie des cuves d'électrolyse de l'aluminium. Cette collaboration a été entamée il y a plusieurs années par C. Le Bris, et notamment au travers de la thèse de J-F. Gerbeau. Mathématiquement, il s'agit d'analyser et de discrétiser les équations de la magnétohydrodynamique pour deux fluides incompressibles non miscibles, séparés par une interface libre. Nous expliquons le contexte industriel et la modélisation, nous résumons la méthode numérique adoptée (méthode Arbitrary Lagrangian Eulerian) et donnons quelques propriétés satisfaites par le schéma (stabilité, conservation de la masse). Nous montrons ensuite comment ce modèle permet d'étudier un phénomène (potentiellement déstabilisant) observé dans les cuves d'électrolyse : le rolling. Ces résultats ont été pour la plupart obtenus durant la thèse.<br /><br />Plus récemment, dans le prolongement de l'étude industrielle, nous nous sommes intéressés à un problème de modélisation fondamentale pour les écoulements à surface (ou interface) libre: le mouvement de la ligne de contact (i.e. le bord de la surface libre qui glisse le long de la paroi). En résumé, nos travaux consistent essentiellement en deux contributions: (i) une compréhension variationnelle d'une condition aux limites permettant de modéliser correctement le mouvement de la ligne de contact (Generalized Navier Boundary Condition), et son implémentation dans un schéma Arbitrary Lagrangian Eulerian, (ii) une analyse de la stabilité du schéma obtenu.

Cette thèse porte sur une approche probabiliste de l'équation de Landau, aussi appelée équation de Fokker-Planck-Landau. Cette équation aux dérivées partielles a été obtenue comme limite asymptotique d'équations de Boltzmann lorsque les collisions rasantes deviennent prépondérantes dans un gaz. Elle décrit le comportement de la densité de particules ayant la même vitesses au même instant (on considère ici le ca s spatialement homogène). Cette équation a été jusqu'à maintenant étudiées par des méthodes d'analyse, ce travail propose une nouvelle approche. La première partie de la thèse est consacrée à l'étude de l'existence de solution de l'équation de Landau pour des gaz dit de 'potentiels modérément mous'. L'existence de mesures de probabilité solutions est obtenue par des outils du calcul stochastique. Pour des gaz plus particuliers, il y a en fait unicité de la solution et, grâce au calcul de Malliavin, on en déduit l'existence d'une densité solution de l'équation de Landau. L'approche probabiliste permet d'avoir des conditions initiales assez générales. La seconde partie de la thèse donne une interprétation probabiliste du lien entre les équations de Boltzmann et de Landau. Tout d'abord, les résultats d'existence de solutions au sens probabiliste de l'équation de Boltzmann sont étendus aux 'potentiels modérément mous'. Puis, on montre la convergence de ces solutions vers une solution de l'équation de Landau lorsque les collisions deviennent rasantes dans le gaz. Enfin, dans le cas particulier d'un gaz de Maxwell, la convergence ponctuelle des densités est obtenue en utilisant les techniques du calcul de Malliavin. L'approche probabiliste permet une meilleure compréhension du passage Boltzmann - Landau et permet de le simuler à l'aide d'un système de particules. Quelques simulations sont présentées dans cette thèse.

Ce travail présente quelques contributions à l'étude théorique et numérique des modèles utilisés en pratique pour la simulation moléculaire de la matière. En particulier, on présente et on analyse des méthodes numériques stochastiques dans le domaine de la physique statistique, permettant de calculer plus efficacement des moyennes d'ensemble. Une application particulièrement importante est le calcul de différences d'énergies libres, par dynamiques adaptatives ou hors d'équilibre. On étudie également quelques techniques, stochastiques ou déterministes, utilisées en chimie quantique et permettant de résoudre de manière approchée le problème de minimisation associé à la recherche de l'état fondamental d'un opérateur de Schrödinger en dimension grande. On propose enfin des modèles réduits permettant une description microscopique simplifiée des ondes de choc et de détonation par le biais d'une dynamique stochastique sur des degrés de liberté moyens, approchant la dynamique hamiltonienne déterministe du système complet.

Lors d'un refroidissement sous champ magnétique extérieur nul, les supraconducteurs à haute température critique ont la capacité d'expulser les lignes de champ de leur volume. Nous proposons d'utiliser cette propriété pour réaliser un inducteur de machine électrique utilisant des écrans supraconducteurs pour concentrer l'induction magnétique. L'étude théorique du système nécessitant l'utilisation d'outils de calcul numérique, nous avons utilisé une modélisation coulombienne du système et nous avons développé un logiciel de calcul du champ magnétique en 3D basé sur une méthode de Monte-Carlo à base de chaînes de Markov. Cette méthode probabiliste conduit à une erreur quantifiable<br />de calcul que nous avons minimisé en appliquant une méthode de régularisation. Nous avons dimensionné et réalisé un inducteur modèle qui a ainsi permis de vérifier l'efficacité de la structure ainsi que les outils de calcul développés.

Dans une première partie, on s'intéresse à un système d'EDP stochastiques variant selon deux échelles de temps, et plus particulièrement à l'approximation de la composante lente à l'aide d'un schéma numérique efficace. On commence par montrer un principe de moyennisation, à savoir la convergence de la composante lente du système vers la solution d'une équation dite moyennée. Ensuite on prouve qu'un schéma numérique de type Euler fournit une bonne approximation d'un coefficient inconnu apparaissant dans cette équation moyennée. Finalement, on construit et on analyse un schéma de discrétisation du système à partir des résultats précédents, selon la méthodologie dite HMM (Heterogeneous Multiscale Method). On met en évidence l'ordre de convergence par rapport au paramètre d'échelle temporelle et aux différents paramètres du schéma numérique; on étudie les convergences au sens fort (approximation des trajectoires) et au sens faible (approximation des lois). Dans une seconde partie, on étudie une méthode d'approximation de solutions d'EDP paraboliques, en combinant une approche semi-lagrangienne et une discrétisation de type Monte-Carlo. On montre d'abord dans un cas simplifié que la variance dépend des pas de discrétisation; enfin on fournit des simulations numériques de solutions, afin de mettre en avant les applications possibles d'une telle méthode.