Cette thèse propose et étudie deux techniques d'inférence bayésienne dans les modèles où la vraisemblance possède une composante latente. Dans ce contexte, la vraisemblance d'un jeu de données observé est l'intégrale de la vraisemblance dite complète sur l'espace de la variable latente. On s'intéresse aux cas où l'espace de la variable latente est de très grande dimension et comporte des directions de différentes natures (discrètes et continues), ce qui rend cette intégrale incalculable. Le champs d'application privilégié de cette thèse est l'inférence dans les modèles de génétique des populations. Pour mener leurs études, les généticiens des populations se basent sur l'information génétique extraite des populations du présent et représente la variable observée. L'information incluant l'histoire spatiale et temporelle de l'espèce considérée est inaccessible en général et représente la composante latente. Notre première contribution dans cette thèse suppose que la vraisemblance peut être évaluée via une approximation numériquement coûteuse. Le schéma d'échantillonnage préférentiel adaptatif et multiple (AMIS pour Adaptive Multiple Importance Sampling) de Cornuet et al. nécessite peu d'appels au calcul de la vraisemblance et recycle ces évaluations. Cet algorithme approche la loi a posteriori par un système de particules pondérées. Cette technique est conçue pour pouvoir recycler les simulations obtenues par le processus itératif (la construction séquentielle d'une suite de lois d'importance). Dans les nombreux tests numériques effectués sur des modèles de génétique des populations, l'algorithme AMIS a montré des performances numériques très prometteuses en terme de stabilité. Ces propriétés numériques sont particulièrement adéquates pour notre contexte. Toutefois, la question de la convergence des estimateurs obtenus par cette technique reste largement ouverte. Dans cette thèse, nous montrons des résultats de convergence d'une version légèrement modifiée de cet algorithme. Sur des simulations, nous montrons que ses qualités numériques sont identiques à celles du schéma original. Dans la deuxième contribution de cette thèse, on renonce à l'approximation de la vraisemblance et on supposera seulement que la simulation suivant le modèle (suivant la vraisemblance) est possible. Notre apport est un algorithme ABC séquentiel (Approximate Bayesian Computation). Sur les modèles de la génétique des populations, cette méthode peut se révéler lente lorsqu'on vise une approximation précise de la loi a posteriori. L'algorithme que nous proposons est une amélioration de l'algorithme ABC-SMC de Del Moral et al. que nous optimisons en nombre d'appels aux simulations suivant la vraisemblance, et que nous munissons d'un mécanisme de choix de niveaux d'acceptations auto-calibré. Nous implémentons notre algorithme pour inférer les paramètres d'un scénario évolutif réel et complexe de génétique des populations. Nous montrons que pour la même qualité d'approximation, notre algorithme nécessite deux fois moins de simula- tions par rapport à la méthode ABC avec acceptation couramment utilisée.

Dans un nombre croissant d'applications, les perturbations rencontrées s'éloignent fortement des modèles classiques qui les modélisent par une gaussienne ou un mélange de gaussiennes. C'est en particulier le cas des bruits impulsifs que nous rencontrons dans plusieurs domaines, notamment celui des télécommunications. Dans ce cas, une modélisation mieux adaptée peut reposer sur les distributions alpha-stables. C'est dans ce cadre que s'inscrit le travail de cette thèse dont l'objectif est de concevoir de nouvelles méthodes robustes pour l'estimation conjointe état-bruit dans des environnements impulsifs. L'inférence est réalisée dans un cadre bayésien en utilisant les méthodes de Monte Carlo séquentielles. Dans un premier temps, cette problématique a été abordée dans le contexte des systèmes de transmission OFDM en supposant que les distorsions du canal sont modélisées par des distributions alpha-stables symétriques. Un algorithme de Monte Carlo séquentiel a été proposé pour l'estimation conjointe des symboles OFDM émis et des paramètres du bruit $\alpha$-stable. Ensuite, cette problématique a été abordée dans un cadre applicatif plus large, celui des systèmes non linéaires. Une approche bayésienne non paramétrique fondée sur la modélisation du bruit alpha-stable par des mélanges de processus de Dirichlet a été proposée. Des filtres particulaires basés sur des densités d'importance efficaces sont développés pour l'estimation conjointe du signal et des densités de probabilité des bruits

En physique statistique, l’information macroscopique d’intérêt pour les systèmes considérés peut être dé-duite à partir de moyennes sur des configurations microscopiques réparties selon des mesures de probabilitéµ caractérisant l’état thermodynamique du système. En raison de la haute dimensionnalité du système (quiest proportionnelle au nombre de particules), les configurations sont le plus souvent échantillonnées en util-isant des trajectoires d’équations différentielles stochastiques ou des chaînes de Markov ergodiques pourla mesure de Boltzmann-Gibbs µ, qui décrit un système à température constante. Un processus stochas-tique classique permettant d’échantillonner cette mesure est la dynamique de Langevin. En pratique, leséquations de la dynamique de Langevin ne peuvent pas être intégrées analytiquement, la solution est alorsapprochée par un schéma numérique. L’analyse numérique de ces schémas de discrétisation est maintenantbien maîtrisée pour l’énergie cinétique quadratique standard. Une limitation importante des estimateurs desmoyennes sontleurs éventuelles grandes erreurs statistiques.Sous certaines hypothèsessur lesénergies ciné-tique et potentielle, il peut être démontré qu’un théorème de limite central est vrai. La variance asymptotiquepeut être grande en raison de la métastabilité du processus de Langevin, qui se produit dès que la mesure deprobabilité µ est multimodale.Dans cette thèse, nous considérons la discrétisation de la dynamique de Langevin modifiée qui améliorel’échantillonnage de la distribution de Boltzmann-Gibbs en introduisant une fonction cinétique plus généraleà la place de la formulation quadratique standard. Nous avons en fait deux situations en tête : (a) La dy-namique de Langevin Adaptativement Restreinte, où l’énergie cinétique s’annule pour les faibles moments,et correspond à l’énergie cinétique standard pour les forts moments. L’intérêt de cette dynamique est que lesparticules avec une faible énergie sont restreintes. Le gain vient alors du fait que les interactions entre lesparticules restreintes ne doivent pas être mises à jour. En raison de la séparabilité des positions et des mo-ments marginaux de la distribution, les moyennes des observables qui dépendent de la variable de positionsont égales à celles calculées par la dynamique de Langevin standard. L’efficacité de cette méthode résidedans le compromis entre le gain de calcul et la variance asymptotique des moyennes ergodiques qui peutaugmenter par rapport à la dynamique standards car il existe a priori plus des corrélations dans le tempsen raison de particules restreintes. De plus, étant donné que l’énergie cinétique est nulle sur un ouvert, ladynamique de Langevin associé ne parvient pas à être hypoelliptique. La première tâche de cette thèse est deprouver que la dynamique de Langevin avec une telle énergie cinétique est ergodique. L’étape suivante con-siste à présenter une analyse mathématique de la variance asymptotique de la dynamique AR-Langevin. Afinde compléter l’analyse de ce procédé, on estime l’accélération algorithmique du coût d’une seule itération,en fonction des paramètres de la dynamique. (b) Nous considérons aussi la dynamique de Langevin avecdes énergies cinétiques dont la croissance est plus que quadratique à l’infini, dans une tentative de réduire lamétastabilité. La liberté supplémentaire fournie par le choix de l’énergie cinétique doit être utilisée afin deréduire la métastabilité de la dynamique. Dans cette thèse, nous explorons le choix de l’énergie cinétique etnous démontrons une convergence améliorée des moyennes ergodiques sur un exemple de faible dimension.Un des problèmes avec les situations que nous considérons est la stabilité des régimes discrétisés. Afind’obtenir une méthode de discrétisation faiblement cohérente d’ordre 2 (ce qui n’est plus trivial dans le casde l’énergie cinétique générale), nous nous reposons sur les schémas basés sur des méthodes de Metropolis. / In statistical physics, the macroscopic information of interest for the systems under consideration can beinferred from averages over microscopic configurations distributed according to probability measures µcharacterizing the thermodynamic state of the system. Due to the high dimensionality of the system (whichis proportional to the number of particles), these configurations are most often sampled using trajectories ofstochastic differential equations or Markov chains ergodic for the probability measure µ, which describesa system at constant temperature. One popular stochastic process allowing to sample this measure is theLangevin dynamics. In practice, the Langevin dynamics cannot be analytically integrated, its solution istherefore approximated with a numerical scheme. The numerical analysis of such discretization schemes isby now well-understood when the kinetic energy is the standard quadratic kinetic energy.One important limitation of the estimators of the ergodic averages are their possibly large statisticalerrors.Undercertainassumptionsonpotentialandkineticenergy,itcanbeshownthatacentrallimittheoremholds true. The asymptotic variance may be large due to the metastability of the Langevin process, whichoccurs as soon as the probability measure µ is multimodal.In this thesis, we consider the discretization of modified Langevin dynamics which improve the samplingof the Boltzmann–Gibbs distribution by introducing a more general kinetic energy function U instead of thestandard quadratic one. We have in fact two situations in mind:(a) Adaptively Restrained (AR) Langevin dynamics, where the kinetic energy vanishes for small momenta,while it agrees with the standard kinetic energy for large momenta. The interest of this dynamics isthat particles with low energy are restrained. The computational gain follows from the fact that theinteractions between restrained particles need not be updated. Due to the separability of the positionand momenta marginals of the distribution, the averages of observables which depend on the positionvariable are equal to the ones computed with the standard Langevin dynamics. The efficiency of thismethod lies in the trade-off between the computational gain and the asymptotic variance on ergodic av-erages which may increase compared to the standard dynamics since there are a priori more correlationsin time due to restrained particles. Moreover, since the kinetic energy vanishes on some open set, theassociated Langevin dynamics fails to be hypoelliptic. In fact, a first task of this thesis is to prove thatthe Langevin dynamics with such modified kinetic energy is ergodic. The next step is to present a math-ematical analysis of the asymptotic variance for the AR-Langevin dynamics. In order to complementthe analysis of this method, we estimate the algorithmic speed-up of the cost of a single iteration, as afunction of the parameters of the dynamics.(b) We also consider Langevin dynamics with kinetic energies growing more than quadratically at infinity,in an attempt to reduce metastability. The extra freedom provided by the choice of the kinetic energyshould be used in order to reduce the metastability of the dynamics. In this thesis, we explore thechoice of the kinetic energy and we demonstrate on a simple low-dimensional example an improvedconvergence of ergodic averages.An issue with the situations we consider is the stability of discretized schemes. In order to obtain aweakly consistent method of order 2 (which is no longer trivial for a general kinetic energy), we rely on therecently developped Metropolis schemes.

La constante de normalisation des champs de Markov se présente sous la forme d'une intégrale hautement multidimensionnelle et ne peut être calculée par des méthodes analytiques ou numériques standard. Cela constitue une difficulté majeure pour l'estimation des paramètres ou la sélection de modèle. Pour approcher la loi a posteriori des paramètres lorsque le champ de Markov est observé, nous remplaçons la vraisemblance par une vraisemblance composite, c'est à dire un produit de lois marginales ou conditionnelles du modèle, peu coûteuses à calculer. Nous proposons une correction de la vraisemblance composite basée sur une modification de la courbure au maximum afin de ne pas sous-estimer la variance de la loi a posteriori. Ensuite, nous proposons de choisir entre différents modèles de champs de Markov cachés avec des méthodes bayésiennes approchées (ABC, Approximate Bayesian Computation), qui comparent les données observées à de nombreuses simulations de Monte-Carlo au travers de statistiques résumées. Afin de pallier l'absence de statistiques exhaustives pour ce choix de modèle, des statistiques résumées basées sur les composantes connexes des graphes de dépendance des modèles en compétition sont introduites. Leur efficacité est étudiée à l'aide d'un taux d'erreur conditionnel original mesurant la puissance locale de ces statistiques à discriminer les modèles. Nous montrons alors que nous pouvons diminuer sensiblement le nombre de simulations requises tout en améliorant la qualité de décision, et utilisons cette erreur locale pour construire une procédure ABC qui adapte le vecteur de statistiques résumés aux données observées. Enfin, pour contourner le calcul impossible de la vraisemblance dans le critère BIC (Bayesian Information Criterion) de choix de modèle, nous étendons les approches champs moyens en substituant la vraisemblance par des produits de distributions de vecteurs aléatoires, à savoir des blocs du champ. Le critère BLIC (Block Likelihood Information Criterion), que nous en déduisons, permet de répondre à des questions de choix de modèle plus large que les méthodes ABC, en particulier le choix conjoint de la structure de dépendance et du nombre d'états latents. Nous étudions donc les performances de BLIC dans une optique de segmentation d'images. / Due to the Markovian dependence structure, the normalizing constant of Markov random fields cannot be computed with standard analytical or numerical methods. This forms a central issue in terms of parameter inference or model selection as the computation of the likelihood is an integral part of the procedure. When the Markov random field is directly observed, we propose to estimate the posterior distribution of model parameters by replacing the likelihood with a composite likelihood, that is a product of marginal or conditional distributions of the model easy to compute. Our first contribution is to correct the posterior distribution resulting from using a misspecified likelihood function by modifying the curvature at the mode in order to avoid overly precise posterior parameters.In a second part we suggest to perform model selection between hidden Markov random fields with approximate Bayesian computation (ABC) algorithms that compare the observed data and many Monte-Carlo simulations through summary statistics. To make up for the absence of sufficient statistics with regard to this model choice, we introduce summary statistics based on the connected components of the dependency graph of each model in competition. We assess their efficiency using a novel conditional misclassification rate that evaluates their local power to discriminate between models. We set up an efficient procedure that reduces the computational cost while improving the quality of decision and using this local error rate we build up an ABC procedure that adapts the summary statistics to the observed data.In a last part, in order to circumvent the computation of the intractable likelihood in the Bayesian Information Criterion (BIC), we extend the mean field approaches by replacing the likelihood with a product of distributions of random vectors, namely blocks of the lattice. On that basis, we derive BLIC (Block Likelihood Information Criterion) that answers model choice questions of a wider scope than ABC, such as the joint selection of the dependency structure and the number of latent states. We study the performances of BLIC in terms of image segmentation.

Les méthodes de Monte Carlo sont des méthodes probabilistes qui utilisent des ordinateurs pour résoudre de nombreux problèmes de la science à l’aide de nombres aléatoires. Leur principal inconvénient est leur convergence lente. La mise au point de techniques permettant d’accélérer la convergence est un domaine de recherche très actif. C’est l’objectif principal des méthodes déterministes quasi-Monte Carlo qui remplacent les points pseudo-aléatoires de simulation par des points quasi-aléatoires ayant une excellente répartition uniforme. Ces méthodes ne fournissent pas d’intervalles de confiance permettant d’estimer l’erreur. Nous étudions dans ce travail des méthodes stochastiques qui permettent de réduire la variance des estimateurs Monte Carlo : ces techniques de stratification le font en divisant le domaine d’échantillonnageen sous-domaines. Nous examinons l’intérêt de ces méthodes pour l’approximation des chaînes de Markov, la simulation de la diffusion physique et la résolution numérique de la fragmentation.Dans un premier chapitre, nous présentons les méthodes de Monte Carlo pour l’intégration numérique. Nous donnons le cadre général des méthodes de stratification. Nous insistons sur deux techniques : la stratification simple (MCS) et la stratification Sudoku (SS), qui place les points sur des grilles analogues à celle du jeu. Nous pressentons également les méthodesquasi-Monte Carlo qui partagent avec les méthodes de stratification certaines propriétés d'équipartition des points d’échantillonnage.Le second chapitre décrit l’utilisation des méthodes de Monte Carlo stratifiées pour la simulation des chaînes de Markov. Nous considérons des chaînes homogènes uni-dimensionnelles à espace d’états discret ou continu. Dans le premier cas, nous démontrons une réduction de variance par rapport `a la méthode de Monte Carlo classique ; la variance des schémas MCSou SS est d’ordre 3/2, alors que celle du schéma MC est de 1. Les résultats d’expériences numériques, pour des espaces d’états discrets ou continus, uni- ou multi-dimensionnels montrent une réduction de variance liée à la stratification, dont nous estimons l’ordre.Dans le troisième chapitre, nous examinons l’intérêt de la méthode de stratification Sudoku pour la simulation de la diffusion physique. Nous employons une technique de marche aléatoire et nous examinons successivement la résolution d’une équation de la chaleur, d’une équation de convection-diffusion, de problèmes de réaction-diffusion (équations de Kolmogorov et équation de Nagumo) ; enfin nous résolvons numériquement l’équation de Burgers. Dans chacun de ces cas, des tests numériques mettent en évidence une réduction de la variance due à l’emploi de la méthode de stratification Sudoku.Le quatrième chapitre décrit un schéma de Monte Carlo stratifie permettant de simuler un phénomène de fragmentation. La comparaison des performances dans plusieurs cas permet de constater que la technique de stratification Sudoku réduit la variance d’une estimation Monte Carlo. Nous testons enfin un algorithme de résolution d’un problème inverse, permettant d’approcher le noyau de fragmentation, à partir de résultats de l’évolution d’une distribution ;nous utilisons dans ce cas des points quasi-Monte Carlo pour résoudre le problème direct. / Monte Carlo methods are probabilistic schemes that use computers for solving various scientific problems with random numbers. The main disadvantage to this approach is the slow convergence. Many scientists are working hard to find techniques that may accelerate Monte Carlo simulations. This is the aim of some deterministic methods called quasi-Monte Carlo, where random points are replaced with special sets of points with enhanced uniform distribution. These methods do not provide confidence intervals that permit to estimate the errordone. In the present work, we are interested with random methods that reduce the variance of a Monte Carlo estimator : the stratification techniques consist of splitting the sampling area into strata where random samples are chosen. We focus here on applications of stratified methods for approximating Markov chains, simulating diffusion in materials, or solving fragmentationequations.In the first chapter, we present Monte Carlo methods in the framework of numerical quadrature, and we introduce the stratification strategies. We focus on two techniques : the simple stratification (MCS) and the Sudoku stratification (SS), where the points repartitions are similar to Sudoku grids. We also present quasi-Monte Carlo methods, where quasi-random pointsshare common features with stratified points.The second chapter describes the use of stratified algorithms for the simulation of Markov chains. We consider time-homogeneous Markov chains with one-dimensional discrete or continuous state space. We establish theoretical bounds for the variance of some estimator, in the case of a discrete state space, that indicate a variance reduction with respect to usual MonteCarlo. The variance of MCS and SS methods is of order 3/2, instead of 1 for usual MC. The results of numerical experiments, for one-dimensional or multi-dimensional, discrete or continuous state spaces show improved variances ; the order is estimated using linear regression.In the third chapter, we investigate the interest of stratified Monte Carlo methods for simulating diffusion in various non-stationary physical processes. This is done by discretizing time and performing a random walk at every time-step. We propose algorithms for pure diffusion, for convection-diffusion, and reaction-diffusion (Kolmogorov equation or Nagumo equation) ; we finally solve Burgers equation. In each case, the results of numerical tests show an improvement of the variance due to the use of stratified Sudoku sampling.The fourth chapter describes a stratified Monte Carlo scheme for simulating fragmentation phenomena. Through several numerical comparisons, we can see that the stratified Sudoku sampling reduces the variance of Monte Carlo estimates. We finally test a method for solving an inverse problem : knowing the evolution of the mass distribution, it aims to find a fragmentation kernel. In this case quasi-random points are used for solving the direct problem.

Ce travail a pour objectif de développer des techniques théoriques et expérimentales pour la détermination des propriétés thermophysiques et terme source. Deux formes de comportement temporel pour le terme source ont été étudiées : un constant et un qui varie dans le temps. La variation dans le temps a été considérée comme une pulse carrée ou une variation sinusoïdale. Deux formes d’échauffement ont été utilisées : une résistance électrique et un laser diode. Pour l’acquisition des données une caméra de thermographie par infrarouge a été utilisée. La stratégie nodale a été utilisée pour contourner le problème des grosses quantités de données générées par la caméra. Le problème direct a été résolu par différences finies, et deux approches pour la solution du problème inverse ont été utilisées, en fonction du comportement temporel du terme source. Les deux approches sont basées sur des méthodes d’inférence statistiques dans une approche Bayésienne, avec la méthode de Monte Carlo via les Chaînes de Markov pour le terme source constant, et le filtre de Kalman pour le problème dont le terme source varie dans le temps. Des manipulations contrôlées ont été faites dans un échantillon avec des propriétés thermophysiques déterminées par des méthodes classiques dans la littérature. / This work deals with the development of new theoretical and experimental techniques for the efficient estimation of thermophysical properties and source-term in micro and macro-scale. Two kinds of source term were studied: a constant and a time varying source term. The time wise variation of the source term had a sinusoidal and a pulse form. Two devices were used for the sample heating: An electrical resistance and a laser diode. For the data acquisition, an infrared camera was used, providing a full cartography of properties of the medium and also non-contact temperature measurements. The direct problem was solved by the finite differences method, and two approaches were used for the solution of the inverse problem, depending on the time varying behavior of the source term. Both approaches deal with the parameters estimation within the Bayesian framework, using the Markov Chain Monte Carlo (MCMC) method via the Metropolis Hastings (MH) algorithm for the constant source term, and the Kalman filter for the time-varying source term. The nodal strategy is presented as a method to deal with the large number of experimental data problems. Experiments were carried out in a sample with well-known thermophysical properties, determined by classical methods.

La thèse est consacrée à la modélisation et à l'analyse par voie numérique de l'écoulement dans une pompe à vide turbomoléculaire hybride, combinant une succession d'étages de type rotor et stator et un Holweck. Une approche de type Test Particle Monte Carlo 3D a été développée pour des configurations de pompes industrielles (géométries complexes d'aubes, gestion des étages rotor et stator) dans un souci d'optimisation des coûts de simulation. L'outil numérique développé a été validé pour des configurations académiques et industrielles, en s'appuyant notamment sur des résultats expérimentaux obtenus grâce au banc d'essai de l'entreprise aVP. L'apport de l'approche TPMC3D par rapport aux méthodes de design disponibles en début de thèse a été clairement démontré pour le régime moléculaire libre. Quelques préconisations de design ont également pu être formulées en utilisant le code développé. Le potentiel d'une approche de type Direct Simulation Monte Carlo, prenant en compte les interactions entre molécules du gaz, a également été établi en 2D pour le régime de transition. / The thesis is devoted to the modeling and the numerical analysis of the flow in a turbomolecular vacuum pump of hybrid type, that is combining a succession of rotor and stator stages with an Holweck. A 3D Test Particle Monte Carlo approach has been developed for simulating industrial pump configurations (complex blade geometries, management of rotor and stator stages), with attention paid to the optimization of the computational cost. The numerical tool developed in the thesis has been validated for academic and industrial test cases, relying in particular on reference experimental results obtained on the test rig of the aVP company. The prediction improvement brought by the TPMC 3D approach with respect to the design tools available at the start of the thesis has been clearly demonstrated for the free molecular flow regime. Some design recommendations have also been formulated using the developed solver. The potential of a Direct Simulation Monte Carlo approach, taking into account the interactions between gas molecules, has also been established in 2D for the transition regime.

Le travail de cette thèse a porté sur le développement de techniques numériques pour l'homogénéisation d'équations dont les coefficients présentent des hétérogénéités aléatoires à petite échelle. Les difficultés liées à la résolution de telles équations aux dérivées partielles peuvent être résolues grâce à la théorie de l'homogénéisation stochastique. On substitue alors la résolution d'une équation dont les coefficients sont aléatoires et oscillants à l'échelle la plus fine du problème par la résolution d'une équation à coefficients constants. Cependant, une difficulté subsiste : le calcul de ces coefficients dits homogénéisés sont définis par une moyenne ergodique, que l'on ne peut atteindre en pratique. Seuls des approximations aléatoires de ces quantités déterministes sont calculables, et l'erreur commise lors de l'approximation est importante. Ces questions sont développées en détail dans le Chapitre 1 qui tient lieu d'introduction. L'objet du Chapitre 2 de cette thèse est de réduire l'erreur de cette approximation dans un cas nonlinéaire, en réduisant la variance de l'estimateur par la méthode des variables antithétiques. Dans le Chapitre 3, on montre comment obtenir une meilleure réduction de variance par la méthode des vari- ables de contrôle. Cette approche repose sur un modèle approché, disponible dans le cas étudié. Elle est plus invasive et moins générique, on l'étudie dans un cas linéaire. Dans le Chapitre 4, à nouveau dans un cas linéaire, on introduit une méthode de sélection pour réduire l'erreur commise. Enfin, le Chapitre 5 porte sur l'analyse d'un problème in- verse, où l'on recherche des paramètres à l'échelle la plus fine, ne connaissant que quelques quantités macroscopiques, par exemple les coefficients homogénéisés du modèle / In this thesis, we design numerical techniques to address the homogenization of equations the coefficients of which exhibit small scale random heterogeneities. Solving such elliptic partial differential equations is prohibitively expensive. One may use stochastic homogenization theory to reduce the complexity of this task. We then substitute the random, fine scale oscillating coefficients of the equation with constant homogenized coefficients. These coefficients are defined through an ergodic average inaccessible to practical computation. Only random approximations thereof are available. The error committed in this approximation is significant. These issues are detailed in the introductory Chapter 1. In Chapter 2, we show how to reduce the error in this approximation, in a nonlinear case, by using an antithetic variable estimator that has a smaller variance than the standard Monte Carlo estimator. In Chapter 3, in a linear case, we show how to obtain an even better variance reduction with the control variate method. Such a method is based on a surrogate model. In Chapter 4, we use a selection method to reduce the global error. Chapter 5 is devoted to the analysis of an inverse problem, wherein we seek parameters at the fine scale whilst only being provided with a handful of macroscopic quantities, among which the homogenized coefficients

Cette thèse s’intéresse au problème de l’inférence bayésienne dans les modèles probabilistes dynamiques. Plus précisément nous nous focalisons sur les méthodes de Monte Carlo pour l’intégration. Nous revisitons tout d’abord le mécanisme d’échantillonnage d’importance avec rééchantillonnage, puis son extension au cadre dynamique connue sous le nom de filtrage particulaire, pour enfin conclure nos travaux par une application à la poursuite multi-cibles.En premier lieu nous partons du problème de l’estimation d’un moment suivant une loi de probabilité, connue à une constante près, par une méthode de Monte Carlo. Tout d’abord,nous proposons un nouvel estimateur apparenté à l’estimateur d’échantillonnage d’importance normalisé mais utilisant deux lois de proposition différentes au lieu d’une seule. Ensuite,nous revisitons le mécanisme d’échantillonnage d’importance avec rééchantillonnage dans son ensemble afin de produire des tirages Monte Carlo indépendants, contrairement au mécanisme usuel, et nous construisons ainsi deux nouveaux estimateurs.Dans un second temps nous nous intéressons à l’aspect dynamique lié au problème d’inférence bayésienne séquentielle. Nous adaptons alors dans ce contexte notre nouvelle technique de rééchantillonnage indépendant développée précédemment dans un cadre statique.Ceci produit le mécanisme de filtrage particulaire avec rééchantillonnage indépendant, que nous interprétons comme cas particulier de filtrage particulaire auxiliaire. En raison du coût supplémentaire en tirages requis par cette technique, nous proposons ensuite une procédure de rééchantillonnage semi-indépendant permettant de le contrôler.En dernier lieu, nous considérons une application de poursuite multi-cibles dans un réseau de capteurs utilisant un nouveau modèle bayésien, et analysons empiriquement les résultats donnés dans cette application par notre nouvel algorithme de filtrage particulaire ainsi qu’un algorithme de Monte Carlo par Chaînes de Markov séquentiel / This thesis deals with integration calculus in the context of Bayesian inference and Bayesian statistical filtering. More precisely, we focus on Monte Carlo integration methods. We first revisit the importance sampling with resampling mechanism, then its extension to the dynamic setting known as particle filtering, and finally conclude our work with a multi-target tracking application. Firstly, we consider the problem of estimating some moment of a probability density, known up to a constant, via Monte Carlo methodology. We start by proposing a new estimator affiliated with the normalized importance sampling estimator but using two proposition densities rather than a single one. We then revisit the importance sampling with resampling mechanism as a whole in order to produce Monte Carlo samples that are independent, contrary to the classical mechanism, which enables us to develop two new estimators. Secondly, we consider the dynamic aspect in the framework of sequential Bayesian inference. We thus adapt to this framework our new independent resampling technique, previously developed in a static setting. This yields the particle filtering with independent resampling mechanism, which we reinterpret as a special case of auxiliary particle filtering. Because of the increased cost required by this technique, we next propose a semi independent resampling procedure which enables to control this additional cost. Lastly, we consider an application of multi-target tracking within a sensor network using a new Bayesian model, and empirically analyze the results from our new particle filtering algorithm as well as a sequential Markov Chain Monte Carlo algorithm

Cette thèse présente des contributions à la littérature des méthodes de Monte Carlo utilisé dans l'analyse des modèles complexes en statistique Bayésienne; l'accent est mis à la fois sur la complexité des modèles et sur les difficultés de calcul.Le premier chapitre élargit Delayed Acceptance, une variante computationellement efficace du Metropolis--Hastings, et agrandit son cadre théorique fournissant une justification adéquate pour la méthode, des limits pour sa variance asymptotique par rapport au Metropolis--Hastings et des idées pour le réglage optimal de sa distribution instrumentale.Nous allons ensuite développer une méthode Bayésienne pour analyser les processus environnementaux non stationnaires, appelées Expansion Dimension, qui considère le processus observé comme une projection depuis une dimension supérieure, où l'hypothèse de stationnarité pourrait etre acceptée. Le dernier chapitre sera finalement consacrée à l'étude des structures de dépendances conditionnelles par une formulation entièrement Bayésienne du modèle de Copule Gaussien graphique. / This thesis presents contributions to the Monte Carlo literature aimed toward the analysis of complex models in Bayesian Statistics; the focus is on both complexity related to complicate models and computational difficulties.We will first expand Delayed Acceptance, a computationally efficient variant ofMetropolis--Hastings, to a multi-step procedure and enlarge its theoretical background, providing proper justification for the method, asymptotic variance bounds relative to its parent MH kernel and optimal tuning for the scale of its proposal.We will then develop a flexible Bayesian method to analyse nonlinear environmentalprocesses, called Dimension Expansion, that essentially consider the observed process as a projection from a higher dimension, where the assumption of stationarity could hold.The last chapter will finally be dedicated to the investigation of conditional (in)dependence structures via a fully Bayesian formulation of the Gaussian Copula graphical model.