We study Gaussian sample covariance matrices with population covariance a bounded-rank perturbation of the identity, as well as Wigner matrices with bounded-rank additive perturbations. The top eigenvalues are known to exhibit a phase transition in the large size limit: with weak perturbations they follow Tracy-Widom statistics as in the unperturbed case, while above a threshold there are outliers with independent Gaussian fluctuations. Baik, Ben Arous and Péché (2005) described the transition in the complex case and conjectured a similar picture in the real case, the latter of most relevance to high-dimensional data analysis. Resolving the conjecture, we prove that in all cases the top eigenvalues have a limit near the phase transition. Our starting point is the work of Rámirez, Rider and Virág (2006) on the general beta random matrix soft edge. For rank one perturbations, a modified tridiagonal form converges to the known random Schrödinger operator on the half-line but with a boundary condition that depends on the perturbation. For general finite-rank perturbations we develop a new band form; it converges to a limiting operator with matrix-valued potential. The low-lying eigenvalues describe the limit, jointly as the perturbation varies in a fixed subspace. Their laws are also characterized in terms of a diffusion related to Dyson's Brownian motion and in terms of a linear parabolic PDE. We offer a related heuristic for the supercritical behaviour and rigorously treat the supercritical asymptotics of the ground state of the limiting operator. In a further development, we use the PDE to make the first explicit connection between a general beta characterization and the celebrated Painlevé representations of Tracy and Widom (1993, 1996). In particular, for beta = 2,4 we give novel proofs of the latter. Finally, we report briefly on evidence suggesting that the PDE provides a stable, even efficient method for numerical evaluation of the Tracy-Widom distributions, their general beta analogues and the deformations discussed and introduced here. This thesis is based in part on work to be published jointly with Bálint Virág.

[ES] El Análisis Matricial proporciona herramientas muy útiles en la Matemática Aplicada. La teoría de matrices inversas generalizadas constituye una de estas herramientas. Su aplicación a otras áreas de las matemáticas y a otras disciplinas es importante. En esta tesis doctoral se definen e investigan nuevas inversas generalizadas, y se encuentran y caracterizan nuevos órdenes parciales definidos a partir de algunas de ellas. Por lo tanto, esta tesis doctoral se enmarca en dos importantes áreas: el Análisis Matricial y la Teoría de Matrices, y el Algebra de la Lógica (Estructuras Algebraicas Ordenadas). En la primera parte de esta tesis se define e investiga una nueva clase de inversas generalizadas híbridas, las inversas GDMP (y dualmente, las MPGD inversas) en el conjunto de matrices cuadradas de índice arbitrario, como una extensión de las inversas DMP a una clase más general. En esta tesis se presentan las nuevas inversas generalizadas GDMP como cierto producto de matrices que involucra las inversas G-Drazin y la inversa de Moore- Penrose. Se investigan sus propiedades mediante diferentes enfoques y se las caracteriza desde diferentes puntos de vista. Como complemento, se proporciona un algoritmo para hallarlas, que además permite encontrar una inversa G-Drazin. El estudio de proyectores es un área importante en diferentes ramas de las Matemáticas y en el Análisis Matricial en particular. La teoría de inversas generalizadas se utiliza como herramienta para analizarlos y operar con ellos. En la segunda parte de esta tesis se estudia el comportamiento de ciertos proyectores oblicuos definidos mediante inversas generalizadas. A partir de la definición de una adecuada relación de equivalencia en conjuntos particulares de matrices complejas, se introduce una nueva clase de matrices inversas generalizadas como el representante "más simple" de cada clase de equivalencia. Además, se representan como combinación de una inversa interior y la inversa de Moore-Penrose. Esta es la razón por la que se las ha denominado inversas 1MP y MP1. De manera similar se introducen las inversas 2MP y sus duales, las MP2. M. Mehdipour y A. Salemi definieron en [53j la inversa CMP de una matriz cuadrada A poniendo el énfasis en la parte core de la propia matriz A. En esta tesis doctoral se realiza un análisis similar, centrando el enfoque en las inversas 2MP. Surgen de esta manera las inversas generalizadas C2MP. La teoría de inversas generalizadas se relaciona estrechamente con la de órdenes parciales. En esta tesis se retoma el estudio, comenzado en [45], de las propiedades del orden diamante en conjuntos de matrices rectangulares. Como una aplicación de las inversas generalizadas 1MP y MP1, se definen dos nuevas relaciones de orden en conjuntos de matrices rectangulares. Esta tesis está organizadas en cuatro capítulos. En el Capítulo 1 se desarrollan algunos antecedentes del tema de la tesis y se presentan los resultados preliminares necesarios para el desarrollo del resto de los capítulos. En el Capítulo 2 se presentan las clases de matrices GDMP y MPGD, se demuestran propiedades de estas inversas y se describe un algoritmo para hallarlas. El Capítulo 3 se aboca al estudio de ciertos proyectores que permiten definir las clases de inversas generalizadas 1MP, MP1, 2MP y MP2. Al tomar un caso particular de inversa exterior, se definen las inversas C2MP. Además, se presentan las inversas definidas en esta tesis como inversas con espacio rango y espacio nulo prescrito. Finalmente, en el Capítulo 4, con la intención de estudiar una aplicación de la teoría de inversas generalizadas, se profundiza el estudio de órdenes parciales, proporcionando nuevas propiedades del orden diamante. También, se presentan e investigan dos nuevas relaciones de orden en el conjunto de matrices rectangulares y se analizan sus propiedades. Algunos de los resultados obtenidos en esta tesis pueden encontrarse en [37, 38, 39, 40, 41j. / [CA] L'Analisi Matricial proporciona eines molt útils en la Matematica Aplicada. La teoria de matrius inverses generalitzades constitueix una d'aquestes eines. La seua aplicació a altres arees de les matematiques i a altres disciplines és important. En aquesta tesi doctoral es defineixen i investiguen noves inverses generalitzades, i es troben i caracteritzen nous ordres parcials definits a partir d'algunes d'elles. Per tant, aquesta tesi doctoral s'emmarca en dues importants arees: l'Analisi Matricial i la Teoria de Matrius, i l' Álgebra de la Lógica (Estructures Algebraiques Ordenades). En la primera part d'aquesta tesi es defineix i investiga una nova classe d'inverses generalitzades híbrides, les invernes GDMP (i dualment, les MPGD invernes) en el conjunt de matrius quadrades d'índex arbitrari, com una extensió de les invernes DMP a una classe més general. En aquesta tesi es presenten les noves invernes generalitzades GDMP com a cert producte de matrius que involucra les invernes G-Drazin i la inversa de Moore-Penrose. S'investiguen les seues propietats mitjanc;ant diferents enfocaments i es caracteritzen des de diferents punts de vista. Com a complement, es proporciona un algorisme per a trabar-les, que a més permet trabar una inversa G-Drazin. L'estudi de projectors és una area important en diferents branques de les Matemati­ ques i en l' Analisi Matricial en particular. La teoría d'inverses generalitzades s'utilitza com a eina per a analitzar-los i operar amb ells. En la segona part d'aquesta tesi s'estudia el comportament d'uns certs projectors oblics definits mitjanc;ant invernes generalitzades. A partir de la definició d'una adequada relació d'equivalencia en conjunts particulars de matrius complexes, s'introdueix una nova classe de matrius invernes generalitzades com el representant "més simple" de cada classe d'equivalencia. A més, es representen com a combinació d'una inversa interior i la inversa de Moore­ Penrose. Aquesta és la raó per la qual se les ha denominades invernes lMP i MPl. De manera similar, es defineixen les inverses 2MP i els seus duals, les MP2. M. Mehdipour i A. Salemi van definir en [53] la inversa CMP d'una matriu quadrada A posant l'emfasi en la part core de la propia matriu A. En aquesta tesi doctoral es realitza una analisi similar, centrant l'enfocament en les inverses 2MP. Sorgeixen d'aquesta manera les inverses generalitzades C2MP. En aquesta tesi es reprén l'estudi, començat a [45], de les propietats de l'ordre diamant en conjunts de matrius rectangulars. Comuna aplicació de les inverses generalitzades lMP i MPl, es defineixen dues noves relacions d'ordre en conjunts de matrius rectangulars. Finalment, es troba una altra caracterització de l'ordre diamant. Aquesta tesis esta organitzada en quatre capítols. En el Capítol 1 es desenvolupen alguns antecedents del tema de la tesi i es presenten els resultats preliminars necessaris per al desenvolupament de la resta dels capítols. En el Capítol 2 es presenten les classes de matrius GDMP i MPGD, es demostren propietats d'aquestes inverses i es descriu un algorisme per a trobar-les. El Capítol 3 es dedica a l'estudi d'uns certs projectors que permeten definir les classes d'inverses generalitzades lMP, MPl, 2MP i MP2. Particularitzant la inversa exterior considerada, es defineixen les inverses C2MP. A més, es presenten les inverses definides en aquesta tesi com a inverses amb espai rang i espai nul prescrit. Finalment, en el Capítol 4, amb la intenció d'estudiar una aplicació de la teoría d'inverses generalitzades, s'aprofundeix en l'estudi d'ordres parcials, proporcionant noves propietats de l'ordre diamant. També, es presenten i investiguen dues noves relacions d'ordre en el conjunt de matrius rectangulars i s'analitzen les seues propietats. Alguns dels resultats obtinguts en aquesta tesi poden trobar-se en [37, 38, 39, 40, 41]. / [EN] The Matrix Analysis provides with very useful tools for the Applied Mathematics. The theory of Generalized Inverse Matrices constitutes one of these tools. Its application is important for other areas of mathematics and other disciplines. In this PhD. thesis, new generalized inverses are defined and investigated, and new partial orders defined by sorne of them are found and characterized. Therefore, this PhD. thesis is based on two important areas: the Matrix Analysis and the Theory of Matrices, and the Algebra of Logic (Ordered Algebraic Structures). In the first part this PhD. thesis, a new kind of hybrid generalized inverse is defined and investigated, the GDMP-inverses (and their duals, the MPGD-inverses), in the setting of square matrices of an arbitrary index, as an extension of the DMP inverses to a more general class. In this PhD. thesis, generalized GDMP-inverses are introduced as a certain product of matrices that involve the G-Drazin inverse and the Moore-Penrose inverse. The pro­ perties are investigated by different methods and characterized from different points of view. As a complement, it is provided an algorithm to compute them, which also allows to find a G-Drazin inverse. The study of projectors is an important area in different branches of Mathematics and particularly in the Matrix Analysis. The theory of generalized inverses is used as a tool to analyze them and operate with them. In the second part of this PhD. thesis, the behaviour of certain oblique projectors defined by generalized inverses is studied. From the definition of an adequate equivalence relation in particular sets of complex matrices, a new class of generalized inverse matrices is introduced as the "simplest" representant of each class of equivalence. Besides, they are represented as a product of an inner inverse and the Moore-Penrose inverse. This is the reason why they have been named lMP and MPl inverses. Both the core inverse and the DMP inverse are expressed as an adequate product involving a specific outer inverse and the Moore-Penrose inverse. Similarly, the 2MP inverses and their duals, the MP2 inverses, are defined. M. Mehdipour and A. Salemi defined in [53] the CMP inverse of a square matrix A, emphasizing the care part of the A matrix itself. In this PhD. thesis, a similar analysis is done, focusing on the care part of 2MP inverses. In this way, the generalized C2MP inverses are investigated. The study of the diamond order properties in sets of rectangular matrices is inves­ tigated in this PhD. thesis. Two new order relations in sets of rectangular matrices are defined as an application of the generalized lMP and MPl inverses. Finally, another characterization of the diamond order is investigated in this PhD. thesis. This PhD. thesis is organized into four chapters. In Chapter 1, sorne introduction of the PhD. thesis topic are developed and the preliminary results needed for the development of the rest of the chapters are presented. In Chapter 2, the classes of GDMP and MPGD matrices are presented, properties of these inverses are proved and an algorithm to find them is described. Chapter 3 is focused on the study of certain projectors that allow to define the classes of generalized lMP, MPl, 2MP and MP2 inverses. When taking a particular case of outer inverse, the C2MP inverses are defined. Moreover, the inverses defined in this PhD. thesis are presented as inverses with prescribed range and null space. Finally, in Chapter 4, the partial orders are studied in more detail, providing new properties of the diamond order, with the purpose of studying an application of the theory of generalized inverses. Finally, two new order relations are presented and investigated in the set of rectangular matrices and their properties are analyzed. Sorne of the results obtained in this PhD. thesis can be found in [37, 38, 39, 40, 41]. / Hernández, MV. (2022). Matrices inversas generalizadas definidas mediante proyectores y su aplicación a órdenes parciales matriciales [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/186007

Depuis leur découverte dans les années 80, les supraconducteurs à haute température critique ont suscité beaucoup d'intérêt en physique du solide. Comprendre l'origine des phases observées dans ces matériaux, telle la supraconductivité, est l'un des grands défis de la physique théorique du solide des 25 dernières années. L'un des mécanismes pressentis pour expliquer ces phénomènes est la forte interaction électron-électron. Le modèle de Hubbard est l'un des modèles les plus simples pour tenir compte de ces interactions. Malgré la simplicité apparente de ce modèle, certaines de ses caractéristiques, dont son diagramme de phase, ne sont toujours pas bien établies, et ce malgré plusieurs avancements théoriques dans les dernières années. Cette étude se consacre à faire une analyse de méthodes numériques permettant de calculer diverses propriétés du modèle de Hubbard en fonction de la température. Nous décrivons des méthodes (la VCA et la CPT) qui permettent de calculer approximativement la fonction de Green à température finie sur un système infini à partir de la fonction de Green calculée sur un amas de taille finie. Pour calculer ces fonctions de Green, nous allons utiliser des méthodes permettant de réduire considérablement les efforts numériques nécessaires pour les calculs des moyennes thermodynamiques, en réduisant considérablement l'espace des états à considérer dans ces moyennes. Bien que cette étude vise d'abord à développer des méthodes d'amas pour résoudre le modèle de Hubbard à température finie de façon générale ainsi qu'à étudier les propriétés de base de ce modèle, nous allons l'appliquer à des conditions qui s'approchent de supraconducteurs à haute température critique. Les méthodes présentées dans cette étude permettent de tracer un diagramme de phase pour l'antiferromagnétisme et la supraconductivité qui présentent plusieurs similarités avec celui des supraconducteurs à haute température.

Ce mémoire s'attarde aux possibilités que peuvent présenter les tests psychométriques dans une perspective de caractérisation des publics et de mise en marché de produits de communication. Il s'intéresse tout particulièrement à la pertinence de tels outils dans le cas du marketing qui touche les quotidiens d'information de la presse écrite. Ainsi, les lectorats de trois quotidiens québécois francophones ont été évalués en fonction de leurs résultats au test de la version avancée des Matrices Progressives de Raven.Ce test tend à mesurer la capacité d'une personne à répondre à un problème inédit, et ce, par un raisonnement inductif Les résultats de cette première évaluation auront permis de déceler des différences entre certains groupes de lecteurs de journaux. Ceci tend à valider l'idée que les outils psychométriques seraient en mesure de fournir de l'information qui, combinée aux données sociodémographiques, pourrait participer à une meilleure connaissance des groupes de consommateurs et donc permettre un marketing mieux adapté et plus efficace.

Intelligens handlar om förmågan att förstå, lösa problem, planera, tänka abstrakt, bearbeta information, tillgodogöra sig ny kunskap, samt förmågan att anpassa sig till sin miljö. Tidigare studier visar att kvällsmänniskor har högre IQ än morgonmänniskor. En orsak är att intelligenta personer är mer progressiva. Studier visar också att det inte finns könsskillnader i IQ. I denna studie undersöks om det finns ett samband mellan intelligens och dygnsrytm, samt mellan intelligens och faktiska sovtider. Ett annat syfte med denna undersökning var att undersöka om det finns skillnader i intelligens mellan män och kvinnor. Experimentet bistod av 250 deltagare, varav 151 kvinnor och 99 män i åldrarna 15-60. Ravens Standard Progressive Matrices användes för att mäta deltagarnas IQ. Morningness-Eveningness Questionnaire (MEQ) användes för att ta reda på deltagarnas dygnsrytm, och deltagarnas faktiska sovtider skrevs i timme och minut. Resultaten visade att kvällsmänniskor har i genomsnitt högre IQ än morgonmänniskor. Ett samband mellan deltagarnas faktiska sovtider och IQ fanns inte. Vidare visade resultaten att det inte finns någon skillnad i IQ mellan män och kvinnor.

Thesis (PhD (Mathematics))--University of Stellenbosch, 2010. / ENGLISH ABSTRACT: THE concept of a k-matrix in the full 2 2 matrix ring M2(R=hki), where R is an arbitrary unique factorization domain (UFD) and k is an arbitrary nonzero nonunit in R, is introduced. We obtain a concrete description of the centralizer of a k-matrix bB in M2(R=hki) as the sum of two subrings S1 and S2 ofM2(R=hki), where S1 is the image (under the natural epimorphism fromM2(R) toM2(R=hki)) of the centralizer in M2(R) of a pre-image of bB, and where the entries in S2 are intersections of certain annihilators of elements arising from the entries of bB. Furthermore, necessary and sufficient conditions are given for when S1 S2, for when S2 S1 and for when S1 = S2. It turns out that if R is a principal ideal domain (PID), then every matrix in M2(R=hki) is a k-matrix for every k. However, this is not the case in general if R is a UFD. Moreover, for every factor ring R=hki with zero divisors and every n > 3 there is a matrix for which the mentioned concrete description is not valid. Finally we provide a formula for the number of elements of the centralizer of bB in case R is a UFD and R=hki is finite. / AFRIKAANSE OPSOMMING: DIE konsep van ’n k-matriks in die volledige 2 2 matriksring M2(R=hki), waar R ’n willekeurige unieke faktoriseringsgebied (UFG) en k ’n willekeurige nie-nul nie-inverteerbare element in R is, word bekendgestel. Ons verkry ’n konkrete beskrywing van die sentraliseerder van ’n k-matriks bB in M2(R=hki) as die som van twee subringe S1 en S2 van M2(R=hki), waar S1 die beeld (onder die natuurlike epimorfisme van M2(R) na M2(R=hki)) van die sentraliseerder in M2(R) van ’n trubeeld vanbB is, en die inskrywings van S2 die deursnede van sekere annihileerders van elemente afkomstig van die inskrywings van bB is. Verder word nodige en voldoende voorwaardes gegee vir wanneer S1 S2, vir wanneer S2 S1 en vir wanneer S1 = S2. Dit blyk dat as R ’n hoofideaalgebied (HIG) is, dan is elke matriks in M2(R=hki) ’n k-matriks vir elke k. Dit is egter nie in die algemeen waar indien R ’n UFG is nie. Meer nog, vir elke faktorring R=hki met nuldelers en elke n > 3 is daar ’n matriks waarvoor die bogenoemde konkrete beskrywing nie geldig is nie. Laastens word ’n formule vir die aantal elemente van die sentraliseerder van bB verskaf, indien R ’n UFG en R=hki eindig is.

published_or_final_version / Mathematics / Doctoral / Doctor of Philosophy

.

It is known that finite gap potentials of Hill's equation y" + q(τ)y = Ey can be obtained as solutions of an integrable dynamical system: uncoupled harmonic oscillators constrained to move on the unit sphere in configuration space--The Neumann System. This Dissertation systematizes and generalizes this result. First, the theory of Baker-Akhiezer functions is placed on a solid mathematical foundation. Guided by the theory of Baker-Akhiezer functions and Riemann surfaces, trace formulas, particle systems, constraints, integrals and Lax pairs are systematically constructed for the particle system of the ℓ x ℓ matrix differential operator of order n.

No description available.