Quantenfeldtheorien, die auf Räumen mit nichtkommutierenden Koordinaten definiert sind, finden in den letzten Jahren zunehmend Interesse. Mögliche Anwendungen dieser Modelle gibt es unter anderem in der Stringtheorie, der Phänomenologie der Elementarteilchen und in der Festkörperphysik. In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir nichtstörungstheoretisch solche nichtkommutativen Feldtheorien mit Hilfe von Monte-Carlo Simulationen. Wir betrachten eine zweidimensionale reine U(1) Eichfeldtheorie und eine dreidimensionale skalare Feldtheorie. Dazu bilden wir die entsprechenden Gittertheorien auf dimensional reduzierte Modelle ab, die mittels N x N Matrizen formuliert sind. Die 2d Eichtheorie auf dem Gitter ist äquivalent zum twisted Eguchi-Kawai Modell, das wir für N=25 bis 515 simulierten. Wir beobachteten ein deutliches Skalierungsverhalten der Ein- und Zweipunktfunktionen von Wilson-Schleifen sowie von Zweipunktfunktionen von Polyakov-Linien bei großen N. Die Zweipunktfunktionen stimmen mit einer universellen Wellenfunktionsrenormierung überein. Der Doppel-Skalierungslimes bei N gegen unendlich entspricht dem Kontinuumslimes in der nichtkommutativen Gittereichtheorie. Das beobachtete Skalierungsverhalten bei großen N zeigt die nichtstörungstheoretische Renormierbarkeit dieser nichtkommutativen Feldtheorie. Für kleine Flächen gilt das Flächengesetz der Wilson-Schleifen wie in der kommutativen 2d planaren Eichtheorie. Für große Flächen finden wir jedoch stattdessen ein oszillierendes Verhalten. In diesem Bereich wächst die Phase der Wilson-Schleifen linear mit der Fläche. Identifiziert man den Nichtkommutativitätsparameter mit einem inversen Magnetfeld, entspricht dies dem Aharonov-Bohm-Effekt. Als nächstes untersuchen wir das 3d lambda phi^4 Modell mit zwei nichtkommutierenden Dimensionen. Wir analysieren das Phasendiagramm. Unsere Ergebnisse stimmen mit einer Vermutung von Gubser und Sondhi in vier Dimensionen überein. Sie sagen vorher, daß sich der geordnete Bereich in eine uniforme und eine nichtuniforme Phase aufspaltet. Desweiteren zeigen wir Ergebnisse für Korrelatoren und der Dispersionsrelation. In der nichtkommutativen Feldtheorie ist die Lorentz-Symmetrie explizit gebrochen, was zu einer deformierten Dispersionsrelation führt. In der Ein-Schleifen Störungstheorie ergibt sich ein zusätzlicher infrarot divergenter Term. Unsere Daten bestätigen dieses störungstheoretische Ergebnis. Wir bestätigen ebenso eine Beobachtung von Ambjorn und Catterall, daß eine nichtuniforme Phase auch in zwei Dimensionen existiert, obwohl dies eine spontane Brechung der Translationssymmetrie impliziert. / In the recent years there is a surge of interest in quantum field theories on spaces with non-commutative coordinates. The potential applications of such models include string theory, particle phenomenology as well as solid state physics. We perform a non-perturbative study of such non-commutative field theories by the means of Monte Carlo simulations. In particular we consider a two dimensional pure U(1) gauge field theory and a three dimensional scalar field theory. To this end we map the corresponding lattice theories on dimensionally reduced models, which are formulated in terms of N x N matrices. The 2d gauge theory on the lattice is equivalent to the twisted Eguchi-Kawai model, which we simulated at N ranging from 25 to 515. We observe a clear large N scaling for the 1- and 2-point function of Wilson loops, as well as the 2-point function of Polyakov lines. The 2-point functions agree with a universal wave function renormalization. The large N double scaling limit corresponds to the continuum limit of non-commutative gauge theory, so the observed large N scaling demonstrates the non-perturbative renormalizability of this non-commutative field theory. The area law for the Wilson loops holds at small physical area as in commutative 2d planar gauge theory, but at large areas we find an oscillating behavior instead. In that regime the phase of the Wilson loop grows linearly with the area. This agrees with the Aharonov-Bohm effect in the presence of a constant magnetic field, identified with the inverse non-commutativity parameter. Next we investigate the 3d lambda phi^4 model with two non-commutative coordinates and explore its phase diagram. Our results agree with a conjecture by Gubser and Sondhi in d=4, who predicted that the ordered regime splits into a uniform phase and a phase dominated by stripe patterns. We further present results for the correlators and the dispersion relation. In non-commutative field theory the Lorentz invariance is explicitly broken, which leads to a deformation of the dispersion relation. In one loop perturbation theory this deformation involves an additional infrared divergent term. Our data agree with this perturbative result. We also confirm the recent observation by Ambjorn and Catterall that stripes occur even in d=2, although they imply the spontaneous breaking of the translation symmetry.

Diese Arbeit befasst sich mit Quantenfeldtheorien auf nicht-kommutativen Räumen. Solche Modelle treten im Zusammenhang mit der Stringtheorie und mit der Quantengravitation auf. Ihre nicht-störungstheoretische Behandlung ist üblicherweise schwierig. Hier untersuchen wir jedoch drei nicht-kommutative Quantenfeldtheorien nicht-perturbativ, indem wir die Wirkungsfunktionale in eine äquivalente Matrixformulierung übersetzen. In der Matrixdarstellung kann die jeweilige Theorie dann numerisch behandelt werden. Als erstes betrachten wir ein regularisiertes skalares Modell auf der nicht-kommutativen Ebene und untersuchen den Kontinuumslimes bei festgehaltener Nicht-Kommutativität. Dies wird auch als Doppelskalierungslimes bezeichnet. Insbesondere untersuchen wir das Verhalten der gestreiften Phase. Wir finden keinerlei Hinweise auf die Existenz dieser Phase im Doppelskalierungslimes. Im Anschluss daran betrachten wir eine vier-dimensionale U(1) Eichtheorie. Hierbei sind zwei der räumlichen Richtungen nicht-kommutativ. Wir untersuchen sowohl die Phasenstruktur als auch den Doppelskalierungslimes. Es stellt sich heraus, dass neben den Phasen starker und schwacher Kopplung eine weitere Phase existiert, die gebrochene Phase. Dann bestätigen wir die Existenz eines endlichen Doppelskalierungslimes, und damit die Renormierbarkeit der Theorie. Weiterhin untersuchen wir die Dispersionsrelation des Photons. In der Phase mit schwacher Kopplung stimmen unsere Ergebnisse mit störungstheoretischen Berechnungen überein, die eine Infrarot-Instabilität vorhersagen. Andererseits finden wir in der gebrochenen Phase die Dispersionsrelation, die einem masselosen Teilchen entspricht. Als dritte Theorie betrachten wir ein einfaches, in seiner Kontinuumsform supersymmetrisches Modell, welches auf der "Fuzzy Sphere" formuliert wird. Hier wechselwirken neutrale skalare Bosonen mit Majorana-Fermionen. Wir untersuchen die Phasenstruktur dieses Modells, wobei wir drei unterschiedliche Phasen finden. / This work deals with three quantum field theories on spaces with noncommuting position operators. Noncommutative models occur in the study of string theories and quantum gravity. They usually elude treatment beyond the perturbative level. Due to the technique of dimensional reduction, however, we are able to investigate these theories nonperturbatively. This entails translating the action functionals into a matrix language, which is suitable for numerical simulations. First we explore a scalar model on a noncommutative plane. We investigate the continuum limit at fixed noncommutativity, which is known as the double scaling limit. Here we focus especially on the fate of the striped phase, a phase peculiar to the noncommutative version of the regularized scalar model. We find no evidence for its existence in the double scaling limit. Next we examine the U(1) gauge theory on a four-dimensional spacetime, where two spatial directions are noncommutative. We examine the phase structure and find a new phase with a spontaneously broken translation symmetry. In addition we demonstrate the existence of a finite double scaling limit which confirms the renormalizability of the theory. Furthermore we investigate the dispersion relation of the photon. In the weak coupling phase our results are consistent with an infrared instability predicted by perturbation theory. If the translational symmetry is broken, however, we find a dispersion relation corresponding to a massless particle. Finally, we investigate a supersymmetric theory on the fuzzy sphere, which features scalar neutral bosons and Majorana fermions. The supersymmetry is exact in the limit of infinitely large matrices. We investigate the phase structure of the model and find three distinct phases. Summarizing, we study noncommutative field theories beyond perturbation theory. Moreover, we simulate a supersymmetric theory on the fuzzy sphere, which might provide an alternative to attempted lattice formulations.

Die maximal supersymmetrische Yang-Mills-Theorie im vierdimensionalen Minkowski-Raum ist ein außergewöhnliches Modell der mathematischen Physik. Dies gilt vor allem im planaren Limes, in dem die Theorie integrabel zu sein scheint. So sind etwa ihre Streuamplituden auf Baumgraphenniveau Invarianten einer Yangschen Algebra, die die superkonforme Algebra psu(2,2|4) beinhaltet. Diese unendlichdimmensionale Symmetrie ist ein Kennzeichen für Integrabilität. In dieser Dissertation untersuchen wir Verbindungen zwischen solchen Amplituden und integrablen Modellen, um Grundlagen für eine effiziente, auf der Integrabilität basierende Berechnung von Amplituden zu legen. Dazu charakterisieren wir Yangsche Invarianten innerhalb der Quanten-Inverse-Streumethode, die Werkzeuge zur Behandlung integrabler Spinketten bereitstellt. In diesem Rahmen entwickeln wir Methoden zur Konstruktion Yangscher Invarianten. Wir zeigen, dass der algebraische Bethe-Ansatz für die Erzeugung von Yangschen Invarianten für u(2) anwendbar ist. Die zugehörigen Bethe-Gleichungen lassen sich leicht lösen. Unser Zugang erlaubt es zudem diese Invarianten als Zustandssummen von Vertexmodellen zu interpretieren. Außerdem führen wir ein unitäres Graßmannsches Matrixmodell zur Berechnung Yangscher Invarianten mit Oszillatordarstellungen von u(p,q|m) ein. In einem Spezialfall reduziert es sich zu dem Brezin-Gross-Witten-Model. Wir wenden eine auf Bargmann zurückgehende Integraltransformation auf unser Matrixmodell an, welche die Oszillatoren in Spinor-Helizitäts-artige Variablen überführt. Dadurch gelangen wir zu einer Weiterentwicklung der Graßmann-Integralformulierung bestimmter Amplituden. Die maßgeblichen Unterschiede sind, dass wir in der Minkowski-Signatur arbeiten und die Integrationskontur auf die unitäre Gruppenmannigfaltigkeit festgelegt ist. Wir vergleichen durch unser Integral gegebene Yangsche Invarianten mit Amplituden und kürzlich eingeführten Deformationen derselben. / The maximally supersymmetric Yang-Mills theory in four-dimensional Minkowski space is an exceptional model of mathematical physics. Even more so in the planar limit, where the theory is believed to be integrable. In particular, the tree-level scattering amplitudes were shown to be invariant under the Yangian of the superconformal algebra psu(2,2|4). This infinite-dimensional symmetry is a hallmark of integrability. In this dissertation we explore connections between these amplitudes and integrable models. Our aim is to lay foundations for an efficient integrability-based computation of amplitudes. To this end, we characterize Yangian invariants within the quantum inverse scattering method, which is an extensive toolbox for integrable spin chains. Making use of this setup, we develop methods for the construction of Yangian invariants. We show that the algebraic Bethe ansatz can be specialized to yield Yangian invariants for u(2). Our approach also allows to interpret these Yangian invariants as partition functions of vertex models. What is more, we establish a unitary Graßmannian matrix model for the construction of u(p,q|m) Yangian invariants with oscillator representations. In a special case our formula reduces to the Brezin-Gross-Witten model. We apply an integral transformation due to Bargmann to our unitary Graßmannian matrix model, which turns the oscillators into spinor helicity-like variables. Thereby we are led to a refined version of the Graßmannian integral formula for certain amplitudes. The most decisive differences are that we work in Minkowski signature and that the integration contour is fixed to be a unitary group manifold. We compare Yangian invariants defined by our integral to amplitudes and recently introduced deformations thereof.