In dieser Arbeit entwickeln wir Rechenwerkzeuge zur Berechnung von Baum– und Einschleifensuperstringamplituden. Insbesondere stellen wir eine rekursive Methode zur Konstruktion kinematischer Faktoren für die Amplitude offener Superstrings auf Baumniveau bereit und präsentieren systematischeWerkzeuge, um die supersymmetrischen Auslöschungen in n-Boson- Zwei-Fermion Amplituden auf Einschleifenniveau des RNS Superstrings zu manifestieren. Für offene Superstringamplituden auf Baumniveau stellen wir vereinfachte Rekursionen für Mehrteilchensuperfelder vor, mit denen kinematische Teile von offenen Superstringamplituden auf Baumniveau konstruiert werden können. Wir diskutieren auch die Eichtransformationen, die ihre Lie-Symmetrien erzwingen, wie dies durch die Bern-Carrasco-Johansson-Dualität zwischen Farbe und Kinematik nahegelegt wird. Eine weitere Eichtransformation aufgrund von Harnad und Shnider soll die Theta-Expansion von Mehrteilchensuperfeldern vereinfachen und die Notwendigkeit umgehen, ihre Rekursionsrelationen über die niedrigsten Komponenten hinaus zu verwenden. Die Ergebnisse dieser Arbeit vereinfachen die Komponentenextraktion aus kinematischen Faktoren im reinen Spinor Superspace erheblich. Wir untersuchen dann masselose n-Punkt-Ein-Schleifen-Amplituden des offenen RNS Superstrings mit zwei externen Fermionen und bestimmen ihre Weltflächen-Integranden. Die beitragenden Korrelationsfunktionen, an denen Spin-1/2– und Spin-3/2-Operatoren aus den Fermionen-Vertices beteiligt sind, werden zu einer beliebigen Multiplizität ausgewertet. Darüber hinaus führen wir Techniken ein, um diese Korrelatoren über die Spinstrukturen derWeltflächen- Fermionen zu summieren, um alle Auslöschungen aufgrund der Supersymmetrie der Raumzeit zu manifestieren. Diese spinsummierten Korrelatoren können in Form von doppeltperiodischen Funktionen ausgedrückt werden, die aus der mathematischen Literatur über elliptische Multiple-Zeta-Werte bekannt sind. Unsere spinsummierten Korrelatoren an der Grenze des Modulraums sind auf kompakte Darstellungen von fermionischen Ein-Schleifen-Integranden für ambitwistorische Strings spezialisiert. / In this thesis, we develop computational tools to calculate tree and one-loop superstring amplitudes. In particular, we provide a recursive method to construct kinematic factors of tree level open superstring amplitudes and present systematic tools to manifest the supersymmetric cancellations in n-boson-two-fermion amplitudes at the one-loop order of the RNS superstring. For tree level open superstring amplitudes, we present simplified recursions for multiparticle superfields, which can be applied to construct kinematic parts of open superstring amplitudes at tree level. We also discuss the gauge transformations which enforce their Lie symmetries as suggested by the Bern-Carrasco-Johansson duality between color and kinematics. Another gauge transformation due to Harnad and Shnider is shown to streamline the theta-expansion of multiparticle superfields, bypassing the need to use their recursion relations beyond the lowest components. The findings of this work greatly simplify the component extraction from kinematic factors in pure spinor superspace. We then investigate massless n-point one-loop amplitudes of the open RNS superstring with two external fermions and determine their world-sheet integrands. The contributing correlation functions involving spin-1/2 and spin-3/2 operators from the fermion vertices are evaluated to any multiplicity. Moreover, we introduce techniques to sum these correlators over the spin structures of the world-sheet fermions, such as to manifest all cancellations due to spacetime supersymmetry. These spin-summed correlators can be expressed in terms of doubly-periodic functions known from the mathematics literature on elliptic multiple zeta values. On the boundary of moduli space, our spin-summed correlators specialize to compact representations of fermionic one-loop integrands for ambitwistor strings.

Das Standardmodell der Teilchenphysik hat sich bis heute, mit Ausnahme der allgemeinen Relativitätstheorie, als erfolgreichste Theorie zur Beschreibung der Natur erwiesen. Störungstheoretische Rechnungen für bestimmte Mengen in Quantenchromodynamik (QCD) haben bisher unerreicht präzise Vorraussagen ermöglicht, die experimentell nachgewiesen wurden. Trotz dieser Erfolge gibt es Teile des Standardmodells und Energieskalen bei denen die Störungstheorie versagt und man nach Alternativen suchen muss. Vieles können wir hierbei verstehen, indem wir eine ähnliche Theorie untersuchen, die sogenannte planare N=4 Super Yang-Millstheorie in vier Dimensionen (N=4 SYM). Es existieren viele Indizien dafür, dass die Theorie exakte Lösungen zulässt. Dies lässt sich zurückführen auf die Integrabilität der Theorie, eine unendlich dimensionale Symmetriealgebra, die die Theorie stark einschränkt. Neben besagter Integrabilität besitzt diese Theorie auch andere spezielle Eigenschaften. So ist sie des am besten verstandenen Beispiels der Eich-/Gravitations Dualität durch die AdS/CFT Korrespondenz. Ausserdem sind die Streuamplituden von Gluonen auf Baumgraphenniveau in N=4 SYM die selben wie in Quantenchromodynamik. Diese Streuamplituden besitzen eine elegante Struktur und stellen sich als deutlich simpler heraus, als die dazugehörigen Feynmangraphen vermuten lassen. Tatsächlich umgehen viele der zur Berechnung von Streuamplituden entwickelten Masseschalenmethoden die Feynmangraphen, indem sie vorrübergehend manifeste Unitarität und Lokalität aufgeben und dadurch die Rechnungen stark vereinfachen. Alle diese Entwicklungen suggerieren, dass der konventionelle Formalismus der Theorie mit Hilfe der Wirkung im Minkowskiraum nicht der aufschlussreichste oder effizienteste Weg ist, die Theorie zu untersuchen. Diese Arbeit untersucht der Hypothese, ob dass stattdessen Twistorvariablen besser geeignet sind, die Theorie zu beschreiben. Der Twistorformalismus wurde zuerst von Roger Penrose eingeführt. Auf dem klassischen Level ist die holomorphe Chern-Simonstheorie im Twistorraum äquivalent zur klassischen selbst-dualen Yang-Mills Lösung in der Raumzeit. Die volle Twistorwirkung, welche eine Störung um diesen klassisch integrablen Sektor ist und durch eine Eichbedingung auf die N=4 SYM Wirkung reduziert werden kann, produziert unter einer anderen Eichbedingung alle sogenannten maximalhelizitätsverletzenden (MHV) Amplituden auf Baumgraphenniveau. Durch die Einführung eines Twistorpropagators konnten auch NkMHV Amplituden effizient beschrieben werden. In dieser Arbeit erweitern wir den Twistorformalismus um auch Größen, die sich nicht auf den Masseschalen befinden, beschreiben zu können. Wir untersuchen alle lokalen eichinvarianten zusammengesetzten Operatoren im Twistorraum und zeigen, dass sie alle Baumgraphenniveau-Formfaktoren des sogenannten MHV-Typs erzeugen. Wir erweitern diese Methode zu NMHV und öher NkMHW Level in Anlehnung an die Amplituden. Schliess lich knüpfen wir an die Integrabilität an, indem wir den ein-Schleifen Dilatationsoperator in dem skalaren Sektor der Theorie im Twistorraum berechnen. / The Standard Model of particle physics has proven to be, with the exception of general relativity, the most accurate description of nature to this day. Perturbative calculations for certain quantities in Quantum Chromo Dynamics (QCD) have led to the highest precision predictions that have been experimentally verified. However, for certain sectors and energy regimes, perturbation theory breaks down and one must look for alternative methods. Much can be learned from studying a close cousin of the standard model, called planar N = 4 super Yang-Mills theory in four dimensions (N = 4 SYM), for which a lot of evidence exists that it admits exact solutions. This exact solvability is due to its quantum integrability, a hidden infinite symmetry algebra that greatly constrains the theory, which has led to a lot of progress in solving the spectral problem. Integrability aside, this non-Abelian quantum field theory is special in yet other ways. For example, it is the most well understood example of a gauge/gravity duality via the AdS/CFT correspondence. Furthermore, at tree level the scattering amplitudes in its gluon sector coincide with those of Quantum Chromo Dynamics. These scattering amplitudes exhibit a very elegant structure and are much simpler than the corresponding Feynman diagram calculation would suggest. Indeed, many on-shell methods that have been developed for computing these scattering amplitudes circumvent the tedious Feynman calculation, by giving up manifest unitarity and locality at intermediate stages of the calculation, greatly simplifying the work. All these developments suggest that the conventional way in which the theory is presented, i.e. in terms of the well- known action on Minkowski space, might not be the most revealing or in any case not the most efficient way. This thesis investigates whether instead twistor variables provide a more suitable description. The twistor formalism was first introduced by Roger Penrose. At the classical level, a holomorphic Chern-Simons theory on twistor space is equivalent to classically integrable self-dual Yang-Mills solutions in space-time. A quantum perturbation around this classically integrable sector reduces to the conventional N = 4 SYM action by imposing a partial gauge condition. This action generates all so-called maximally helicity violating (MHV) amplitudes at tree level directly, when a different gauge was chosen. By including a twistor propagator into the formalism, also higher degree NkMHV amplitudes can be described efficiently. In this thesis we extend this twistor formalism to encompass (partially) off-shell quantities. We describe all gauge-invariant local composite operators in twistor space and show that they immediately generate all tree-level form factors of the MHV type. We use the formalism to compute form factors at NMHV and higher NkMHV level in parallel to how this was done for amplitudes. Finally, we move on to integrability by computing the one-loop dilatation operator in the scalar sector of the theory in twistor space.

Die Doppelkopie-Relation besagt, dass Observable in einer Gravitationstheorie durch "Quadrieren" entsprechender Größen in einer Eichtheorie abgeleitet werden können. Es ermöglicht die Verwendung moderner Techniken der Eichtheorien, um Probleme wie die Streuung von Schwarzen Löchern in der Gravitation anzugehen. Wir betrachten zunächst die massive skalare Quantenchromodynamik und führen die Doppelkopie für deren Streuamplituden durch. Aus den resultierenden Amplituden rekonstruieren wir die effektive Lagrange-Funktion. Diese besteht aus einer Graviationstheorie gekoppelt an massive Skalare, ein Axion und ein Dilaton. Der entstehende Lagrangian wird explizit bis zur sechsten Ordnung von Skalarfeldern konstruiert, und es wird eine Form aller Ordnungen postuliert. Es folgt die Erforschung der Doppelkopie massiver Punktteilchen. Die Quellen werden durch Weltlinien-Quantenfeldtheorien formuliert, die mit Yang-Mills, biadjungiertem Skalar und Zwei-Form-Dilaton-Gravitation gekoppelt sind. Wir schlagen eine Doppelkopievorschrift für die eikonalen Phase vor, und explizit bis zur nächstführenden Ordnung zu überprüfen. Wir untersuchen ferner die nicht-perturbative Doppelkopie klassischer Lösungen. Insbesondere erweitern wir die Kerr-Schild-Abbildung auf den Fall eines Probeteilchens, das sich im Kerr-Schild-Hintergrund bewegt. Wir finden darüberhinaus eine neue Doppelkopie zwischen den erhaltenen Ladungen auf der Eichtheorie und den Gravitationsseiten. Schließich untersuchen wir die Post-Minkowski'sche (PM) und Post-Newton'sche Entwicklungen des gravitativen effektiven Drei-Körper-Potentials. Wir liefern auf 2PM Ebene ein formelles nicht-lokales Ergebnis und entwickeln es in der Geschwindigkeit. / This thesis focuses on the double copy relation between gauge theories and gravity and its application in the classical scattering of massive compact objects. The double copy relation states that observables in a gravitational theory can be derived from “squaring” corresponding quantities in a gauge theory. It allows using modern techniques of gauge theories to tackle problems such as black hole scattering in gravity. We first consider massive scalar quantum chromodynamics and perform the double copy procedure for the scattering amplitudes. We reconstruct the effective Lagrangian from the resulting amplitudes. It yields a gravitational theory of massive scalars coupled to gravity, axion, and dilaton. The emerging Lagrangian is constructed explicitly up to the sixth order of scalar fields, and an all-order form is conjectured. It is followed by exploring the double copy of classical massive point particles. The source objects are formulated by worldline quantum field theories coupled to Yang-Mills, bi-adjoint scalar, and two-form-dilaton-gravity. We propose a double copy prescription for the eikonal phases, and check it explicitly up to next-to-leading order. We also investigate the non-perturbative double copy of classical solutions. Specifically, we extend the Kerr-Schild mapping, which allows obtaining solutions of the Einstein equation from that of gauge theory, to the case of a probe particle moving in the Kerr-Schild background. We find a new double copy between the conserved charges on the gauge theory and the gravity sides, which works naturally for both bound and unbound states. Additionally, we study the Post-Minkowskian (PM) and Post-Newtonian expansions of the gravitational three-body effective potential. We provide a formal non-local result at 2PM and expand it in the slow-motion limit.

Wir behandeln einige Spezialfälle von Beziehungen zwischen Eich- und Gravitationstheorien. Wir setzen den Schwerpunkt auf Baumlevelstreuamplituden in Einstein-(Skalar-)-Chromo-Dynamik, welche Streuungen zwischen Gluonen, massiven fundamentalen Quarks (Skalaren) und Gravitonen beschreibt. Wir untersuchen den endlichen Anteil von reiner Gluonenstreuung mit zwei kollinearen Gluonen. Basierend auf einem Vorschlag von S. Stieberger und T. Taylor, stehen diese in Beziehung zu Steuamplituden in Einstein-Yang-Mills Theorie, in welchen die kollinearen Gluonen durch ein Graviton ersetzt werden. Wir führen einen Beweis dieser Beziehungen unter der Ausnutzung des Cachazo-He-Yuan Formalismus durch. Parallel dazu werden wir einen Einblick in mysteriöse Wechselwirkunen dieser Beziehungen mit Eichinvarianzverletzungen des kollinearen Gluon Grenzwertes von Yang-Mills Streuampliuden geben. Danach behandeln wir eine andere Art von linearen Beziehungen zwischen Streuamplituden in Yang-Mills Theorie und Einstein-Yang-Mills Theorie, welche ebenfalls von S. Stieberger und T. Taylor vorgeschlagen wurden und direkt einzelne Gluonen mit einzelnen Gravitonen verbinden. Wir beweisen die Universalität dieser Beziehungen, in Anwesenheit von fundamental geladenen und massiven Fermionen und Skalaren. Schliesslich formulieren wir eine neue Zweifachkopiebeziehung zwischen klassisch effektiven Wirkungen. Die effektive Wirkung eines Systems von farblich geladenen, massiven und klassischen Weltlinien, welche über Yang-Mills wechselwirken, wird mit einem System von dilatonisch geladenen, massiven und klassischen Weltlinien, welche über Dilatongravitation wechselwirken, in Verbindung gesetzt. Somit verbessern wir eine, aus dem Kontext von Lösungen zu störungstheoretischen Bewegungsgleichungen, sowohl für das Gluon als auch für das Graviton, derselben Systeme, bekannte Zweifachkopievorschrift, formuliert von W. Goldberger und A. Ridgway. / We analyze several cases of mysterious connections between gauge and gravity theories, known as double copy relations. We focus on tree level scattering amplitudes in Einstein-(scalar-)-chromo-dynamics, i.e. scattering scenarios between gluons, massive fundamental quarks (scalars) and gravitons. In these scenarios we study the sub leading contribution to the adjacent collinear gluon limits in pure Yang-Mills amplitudes. Recently, S. Stieberger and T. Taylor have proposed a linear combination of amplitudes with a pair of collinear gluons to an Einstein-Yang-Mills amplitude. We present a proof of such relations using a novel representation of bosonic tree level amplitudes based on a localized integral on the Riemann sphere, called the Cachazo-He-Yuan formalism. Moreover, we give insight into an intriguing interplay between those relations and surprising gauge invariance violations of the sub-leading collinear gluon limit of Yang-Mills amplitudes. Next, we will focus on yet another set of relations between Yang-Mills amplitudes and Einstein-Yang-Mills amplitudes that were also proposed by S. Stieberger and T. Taylor. They directly relate single gluons to single gravitons. We show universality of such relations, i.e. their validity in the presence of massive fundamental quarks and scalars. For that purpose, we will use a Feynman diagrammatic approach which results in a novel color-to-kinematics rule, mapping gluons to gravitons in these scattering scenarios. Finally, we establish a novel double copy connection between classical effective actions of two massive classical worldlines which are colored and interacting in Yang-Mills theory and dilaton charged and interacting through dilaton-gravity. Doing so, we extend and improve existing work relating the same system of worldlines through a double copy at the level of perturbative solutions to the involved equations of motion for the gluon and graviton fields, as has been proposed by W. Goldberger and A. Ridgway.

In dieser Dissertation untersuchen wir die Niedrigenergieentwicklung von Streuamplituden geschlossener Strings auf Einschleifenniveau (d.h. auf Genus eins) in einem zehndimensionalen Minkowski-Hintergrund mit Hilfe einer speziellen Klasse von Funktionen, den sogenannten modularen Graphenformen. Diese erlauben eine systematische Berechnung der Niedrigenergieentwicklung und erfüllen viele nicht-triviale algebraische- und Differentialgleichungen. Wir studieren diese Relationen detailliert und leiten Basiszerlegungen für eine große Zahl modularer Graphenformen her. Eines der Ergebnisse dieser Dissertation ist ein Mathematica-Paket, welches diese Vereinfachungen automatisiert. Wir benutzen diese Techniken, um die führenden Niedrigenergieordnungen der Streuamplitude von vier Gluonen im heterotischen String auf Einschleifenniveau zu berechnen. Für Stringamplituden auf Baumniveau bildet die Einwertigkeitsabbildung multipler Zetawerte offene Stringamplituden auf geschlossene Stringamplituden ab. Wir zeigen, dass ein bestimmter Vorschlag für die Definition einer geeigneten einschleifen-Verallgemeinerung, der sogenannten elliptische Einwertigkeitsabbildung, nicht alle Terme im heterotischen String reproduzieren kann. Ferner studieren wir eine Erzeugendenfunktion, die vermutlich die Torusintegrale aller perturbativen Theorien geschlossener Strings enthält. Wir bestimmen eine Differentialgleichung, die von dieser Erzeugendenfunktion erfüllt wird und lösen sie mit Hilfe von pfadgeordneten Exponentialen, was auf iterierte Integrale von holomorphen Eisensteinreihen führt. Da eine ähnliche Konstruktion im offenen String zur Verfügung steht, eröffnet dies außerdem eine neue Perspektive auf die elliptische Einwertigkeitsabbildung. / In this thesis, we investigate the low-energy expansion of scattering amplitudes of closed strings at one-loop level (i.e. at genus one) in a ten-dimensional Minkowski background using a special class of functions called modular graph forms. These allow for a systematic evaluation of the low-energy expansion and satisfy many non-trivial algebraic and differential relations. We study these relations in detail, leading to basis decompositions for a large number of modular graph forms which greatly reduce the complexity of the expansions of the integrals appearing in the amplitude. One of the results of this thesis is a Mathematica package which automatizes these simplifications. We use these techniques to compute the leading low-energy orders of the scattering amplitude of four gluons in the heterotic string at one-loop level. For tree-level string amplitudes, the single-valued map of multiple zeta values maps open-string amplitudes to closed-string amplitudes. The definition of a suitable one-loop generalization, a so-called elliptic single-valued map, is an active area of research and we show that a certain conjectural definition for this map, which was successfully applied to maximally supersymmetric amplitudes, cannot reproduce all terms in the heterotic string which has half-maximal supersymmetry. In order to arrive at a more systematic treatment of modular graph forms and at a different perspective on the elliptic single-valued map, we then study a generating function which conjecturally contains the torus integrals of all perturbative closed-string theories. We determine a differential equation satisfied by this generating function and solve it in terms of path-ordered exponentials, leading to iterated integrals of holomorphic Eisenstein series. Since a similar construction is available for the open string, this opens a new perspective on the elliptic single-valued map.

In dieser Dissertation wird eine Methode zur Berechnung der genus-eins Korrekturen von offenen Strings zu Feldtheorie-Amplituden konstruiert. Hierzu werden Vektoren von Integralen definiert, die ein elliptisches Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) System auf dem punktierten Torus erfüllen, und die entsprechenden Matrizen aus dem KZB System berechnet. Der elliptische KZB Assoziator erzeugt eine Relation zwischen zwei regulierten Randwerten dieser Vektoren. Die Randwerte enthalten die genus-null und genus-eins Korrekturen. Das führt zu einer Rekursion im Genus und der Anzahl externer Zustände, die einzig algebraische Operationen der bekannten Matrizen aus dem KZB System umfasst. Geometrisch werden zwei externe Zustände der genus-null Weltfläche der offenen Strings zu einer genus-eins Weltfläche zusammengeklebt. Die Herleitung dieser genus-eins Rekursion und die Berechnung der relevanten Matrizen wird durch eine graphische Methode erleichtert, mit der die Kombinatorik strukturiert werden kann. Sie wurde durch eine erneute Untersuchung der auf Genus null bekannten Rekursion entwickelt, bei welcher der Drinfeld Assoziator Korrekturen offener Strings auf Genus null auf solche mit einem zusätzlichen externen Zustand abbildet. Diese genus-null Rekursion umfasst ebenfalls ausschliesslich Matrixoperationen und basiert auf einem Vektor von Integralen, der eine Knizhnik-Zamolodchikov (KZ) Gleichung erfüllt. Die in der Rekursion gebrauchten Matrizen aus der KZ Gleichung werden als Darstellungen einer Zopfgruppe identifiziert und rekursiv berechnet. Der elliptische KZB Assoziator ist die Erzeugendenreihe der elliptischen Multiplen Zeta-Werte. Die Konstruktion der genus-eins Rekursion benötigt verschiedene Eigenschaften dieser Werte und ihren definierenden Funktionen, den elliptischen Multiplen Polylogarithmen. So werden Relationen verschiedener Klassen von elliptischen Polylogarithmen und Funktionalrelationen erzeugt durch elliptische Funktionen hergeleitet. / In this thesis, a method to calculate the genus-one, open-string corrections to the field-theory amplitudes is constructed. For this purpose, vectors of integrals satisfying an elliptic Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) system on the punctured torus are defined and the matrices from the KZB system are calculated. The elliptic KZB associator is used to relate two regularised boundary values of these vectors. The boundary values are shown to contain the open-string corrections at genus zero and genus one. This yields a recursion in the genus and the number of external states, solely involving algebraic operations on the known matrices from the KZB system. Geometrically, two external states of the genus-zero, open-string worldsheet are glued together to form a genus-one, open-string worldsheet. The derivation of this genus-one recursion and the calculation of the relevant matrices is facilitated by a graphical method to structure the combinatorics involved. It is motivated by the reinvestigation of the recursion in the number of external states known at genus zero, where the Drinfeld associator maps the genus-zero, open-string corrections to the corrections with one more external state. This genus-zero recursion also involves matrix operations only and is based on a vector of integrals satisfying a Knizhnik-Zamolodchikov (KZ) equation. The matrices in the KZ equation and used in the recursion are shown to be braid matrices and a recursive method for their calculation is provided. The elliptic KZB associator is the generating series of elliptic multiple zeta values. The construction of the genus-one recursion requires various properties of these values and their defining functions, the elliptic multiple polylogarithms. Thus, the third part of this thesis consists of an analysis of elliptic multiple polylogarithms, which in particular leads to relations among different classes of elliptic polylogarithms and functional relations generated by elliptic functions.

Die maximal supersymmetrische Yang-Mills-Theorie im vierdimensionalen Minkowski-Raum ist ein außergewöhnliches Modell der mathematischen Physik. Dies gilt vor allem im planaren Limes, in dem die Theorie integrabel zu sein scheint. So sind etwa ihre Streuamplituden auf Baumgraphenniveau Invarianten einer Yangschen Algebra, die die superkonforme Algebra psu(2,2|4) beinhaltet. Diese unendlichdimmensionale Symmetrie ist ein Kennzeichen für Integrabilität. In dieser Dissertation untersuchen wir Verbindungen zwischen solchen Amplituden und integrablen Modellen, um Grundlagen für eine effiziente, auf der Integrabilität basierende Berechnung von Amplituden zu legen. Dazu charakterisieren wir Yangsche Invarianten innerhalb der Quanten-Inverse-Streumethode, die Werkzeuge zur Behandlung integrabler Spinketten bereitstellt. In diesem Rahmen entwickeln wir Methoden zur Konstruktion Yangscher Invarianten. Wir zeigen, dass der algebraische Bethe-Ansatz für die Erzeugung von Yangschen Invarianten für u(2) anwendbar ist. Die zugehörigen Bethe-Gleichungen lassen sich leicht lösen. Unser Zugang erlaubt es zudem diese Invarianten als Zustandssummen von Vertexmodellen zu interpretieren. Außerdem führen wir ein unitäres Graßmannsches Matrixmodell zur Berechnung Yangscher Invarianten mit Oszillatordarstellungen von u(p,q|m) ein. In einem Spezialfall reduziert es sich zu dem Brezin-Gross-Witten-Model. Wir wenden eine auf Bargmann zurückgehende Integraltransformation auf unser Matrixmodell an, welche die Oszillatoren in Spinor-Helizitäts-artige Variablen überführt. Dadurch gelangen wir zu einer Weiterentwicklung der Graßmann-Integralformulierung bestimmter Amplituden. Die maßgeblichen Unterschiede sind, dass wir in der Minkowski-Signatur arbeiten und die Integrationskontur auf die unitäre Gruppenmannigfaltigkeit festgelegt ist. Wir vergleichen durch unser Integral gegebene Yangsche Invarianten mit Amplituden und kürzlich eingeführten Deformationen derselben. / The maximally supersymmetric Yang-Mills theory in four-dimensional Minkowski space is an exceptional model of mathematical physics. Even more so in the planar limit, where the theory is believed to be integrable. In particular, the tree-level scattering amplitudes were shown to be invariant under the Yangian of the superconformal algebra psu(2,2|4). This infinite-dimensional symmetry is a hallmark of integrability. In this dissertation we explore connections between these amplitudes and integrable models. Our aim is to lay foundations for an efficient integrability-based computation of amplitudes. To this end, we characterize Yangian invariants within the quantum inverse scattering method, which is an extensive toolbox for integrable spin chains. Making use of this setup, we develop methods for the construction of Yangian invariants. We show that the algebraic Bethe ansatz can be specialized to yield Yangian invariants for u(2). Our approach also allows to interpret these Yangian invariants as partition functions of vertex models. What is more, we establish a unitary Graßmannian matrix model for the construction of u(p,q|m) Yangian invariants with oscillator representations. In a special case our formula reduces to the Brezin-Gross-Witten model. We apply an integral transformation due to Bargmann to our unitary Graßmannian matrix model, which turns the oscillators into spinor helicity-like variables. Thereby we are led to a refined version of the Graßmannian integral formula for certain amplitudes. The most decisive differences are that we work in Minkowski signature and that the integration contour is fixed to be a unitary group manifold. We compare Yangian invariants defined by our integral to amplitudes and recently introduced deformations thereof.

Streuamplituden der Quantenchromodynamik (QCD), N = 4 Super-Yang-Mills-Theorie (SYM-Theorie) und der sechsdimensionalen N = (1, 1) SYM-Theorie werden untersucht, mit einem Fokus auf die Symmetrien und Relationen zwischen den Streuamplituden dieser Eichtheorien auf dem Baum-Niveau. Die Baum-Niveau- und Ein-Schleifen-Farbzerlegung beliebiger QCD-Amplituden in primitive Amplituden wird bestimmt und Identitäten hergeleitet, welche den Nullraum unter den primitiven Amplituden aufspannen. Anschließend wird bewiesen, dass alle farbgeordneten Baum-Niveau-Amplituden der masselosen QCD aus der N = 4 SYM-Theorie erhalten werden können. Analytische Formeln für alle für die QCD relevanten N = 4 SYM-Amplituden werden bestimmt und die Effizienz und Genauigkeit der numerischen Auswertung der analytischen Formeln für farbgeordnete QCD-Baum-Niveau-Amplituden mit einer effizienten numerischen Implementierung der Berends-Giele-Rekursion verglichen. Die Symmetrien der massive Amplituden auf dem Coulomb-Zweig der N = 4 SYM-Theorie werden hergeleitet. Diese können durch eine dimensionale Reduktion der masselosen Baum-Niveau-Amplituden der sechsdimensionalen N = (1, 1) SYM-Theory erhalten werden. Darüber hinaus wird bezeigt, wie es mit Hilfe einer numerischen Implementierung der BCFW-Rekursion möglich ist analytische Formeln für die Baum-Niveau-Superamplituden der N = (1, 1) SYM-Theory zu erhalten und die Möglichkeit eines Uplifts der masselose Baum-Niveau-Amplituden der N = 4 SYM-Theory untersucht. Schließlich wird eine Alternative zur dimensionalen Regularisierung der N = 4 SYM-Theorie untersucht. Die Infrarotdivergenzen werden hierbei durch Massen regularisiert, die durch einen Higgs-Mechanismus erhalten wurden. Die korrespondierende Stringtheorie-Beschreibung deutet auf eine exakte duale konforme Symmetrie der Streuamplituden hin. Durch explizite Rechnungen wird dies bestätigt und Vorteile des Regulators werden demonstriert. / We study scattering amplitudes in quantum chromodynamics (QCD), N = 4 super Yang-Mills (SYM) theory and the six-dimensional N = (1, 1) SYM theory, focusing on the symmetries of and relations between the tree-level scattering amplitudes in these three gauge theories. We derive the tree level and one-loop color decomposition of an arbitrary QCD amplitude into primitive amplitudes. Furthermore, we derive identities spanning the null space among the primitive amplitudes. We prove that every color ordered tree amplitude of massless QCD can be obtained from gluon-gluino amplitudes of N = 4 SYM theory. Furthermore, we derive analytical formulae for all gluon-gluino amplitudes relevant for QCD. We compare the numerical efficiency and accuracy of evaluating these closed analytic formulae for color ordered QCD tree amplitudes to a numerically efficient implementation of the Berends-Giele recursion. We derive the symmetries of massive tree amplitudes on the coulomb branch of N = 4 SYM theory, which in turn can be obtained from N = (1, 1) SYM theory by dimensional reduction. Furthermore, we investigate the tree amplitudes of N = (1, 1) SYM theory and explain how analytical formulae can be obtained from a numerical implementation of the supersymmetric BCFW recursion relation and investigate a potential uplift of the massless tree amplitudes of N = 4 SYM theory. Finally we study an alternative to dimensional regularization of N = 4 SYM theory. The infrared divergences are regulated by masses obtained from a Higgs mechanism. The corresponding string theory set-up suggests that the amplitudes have an exact dual conformal symmetry. We confirm this expectation and illustrate the calculational advantages of the massive regulator by explicit calculations.

Diese Arbeit untersucht die N = 4 super-Yang-Mills-Theorie bei schwacher Kopplung, mit dem Ziel eines tieferen Verständnisses von Größen der Theorie als Zustände des integrablen Modells dass der planaren Theorie zu Grunde liegt. Wir leiten On-Shell-Diagramme für Formfaktoren des chiralen Energie-Impuls-Tensor-Multipletts aus der BCFW-Rekursion her, und untersuchen deren Eigenschaften. Dies erlaubt die Herleitung eines Graßmannschen Integrals. Für NMHV-Formfaktoren bestimmen wir die Integrationskontur. Dies erlaubt es das Integral mit einer Twistor-String-Formulierung in Beziehung zu setzen. Mit Hilfe dieser Methoden zeigen wir dass Formfaktoren des chiralen Energie-Impuls-Tensor-Multipletts und On-Shell-Funktionen mit Einfügungen beliebiger Operatoren Eigenzustände integrabler Transfermatrizen sind. Diese Identitäten verallgemeinern die Yangsche Invarianz der On-Shell-Funktionen von Amplituden. Wir zeigen weiterhin dass ein Teil der Yangschen Symmetrien erhalten bleibt. Wir erweitern unsere Untersuchung auf nichtplanare On-Shell-Funktionen und zeigen dass sie ebenfalls solche Symmetrien besitzen. Weitere Identitäten mit Transfermatrizen werden hergeleitet, und zeigen insbesondere dass Diagramme auf Zylindern als Intertwiner fungieren. Als Schritt hin zur Berechnung der Eigenzustände des integrablen Modells zu höheren Schleifenordnungen untersuchen wir Einspuroperatoren. Hier erlaubt die Quantum Spectral Curve die nichtperturbative Berechnung ihres Spektrums, liefert jedoch keine Information zu den Zustände. Die QSC kann als Q-System verstanden werden, welches durch Baxter Q-Operatoren formulierbar sein sollte. Um darauf hinzuarbeiten untersuchen wir die Q-Operatoren nichtkompakter Superspinketten und entwickeln ein effiziente Methode zur Berechnung ihrer Matrixelemente. Dies erlaubt es das gesamte Q-System durch Matrizen für jeden Anregungssektor zu realisieren, und liefert die Grundlage für perturbative Rechnungungen mit der QSC in Operatorform. / This thesis investigates weakly coupled N = 4 super Yang-Mills theory, aiming at a better understanding of various quantities as states of the integrable model underlying the planar theory. We use the BCFW recursion relations to develop on-shell diagrams for form factors of the chiral stress-tensor multiplet, and investigate their properties. The diagrams allow to derive a Graßmannian integral for these form factors. We devise the contour of this integral for NMHV form factors, and use this knowledge to relate the integral to a twistor string formulation. Based on these methods, we show that both form factors of the chiral stress-tensor multiplet as well as on-shell functions with insertions of arbitrary operators are eigenstates of integrable transfer matrices. These identities can be seen as symmetries generalizing the Yangian invariance of amplitude on-shell functions. In addition, a part of these Yangian symmetries are unbroken. We furthermore consider nonplanar on-shell functions and prove that they exhibit a partial Yangian invariance. We also derive identities with transfer matrices, and show that on-shell diagrams on cylinders can be understood as intertwiners. To make progress towards the calculation of the higher loop eigenstates of the integrable model, we consider single trace operators, for which the Quantum Spectral Curve determines their spectrum non-perturbatively. This formulation however carries no information about the states. The QSC is an algebraic Q-system, for which an operatorial form in terms of Baxter Q-operators should exist. To initiate the development such a formulation we investigate the Q-operators of non-compact super spin chains and devise efficient methods to evaluate their matrix elements. This allows to obtain the entire Q-system in terms of matrices for each magnon sector. These can be used as input data for perturbative calculations using the QSC in operatorial form.