Rapid development in nanofabrication has led to the design of new materials with very unusual properties. The exhibition of negative and zero indices of refraction are among the most striking properties of these materials, which have become the focus of intensive research worldwide. The potential for applications that is possible due to the new light manipulation capabilities of these materials has been the driving force behind this research. Most of the research in this field has primarily been experimental while the theoretical studies have mainly been limited to computer modeling, which in itself is a challenging problem. This research requires considerable computational resources and the development of new computer algorithms.The origin of the unusual properties in these materials comes from the combination of dielectric host materials with metallic nanosructures. These materials are often referred to as nanocomposite metamaterials. The plasmonic resonance in properly engineered metallic nanostructures gives rise to the resonant interaction of the incident electromagnetic field with metamaterials in such a way as to stimulate a magnetic permeability and an electric permittivity with negative real parts. The resonant nature of this phenomenon leads to considerable losses in metamaterials, which has made the study of loss compensation one of the key subjects in this field.The two techniques of loss compensation in metamaterials are considered in this dissertation. One of these techniques consists of doping the host material with active atoms. In the second technique, loss compensation is achieved by embedding these active atomic inclusions directly into the nanostructures. This dissertation presents the derivation of the systems of governing equations and studies the coherent pulse amplification for both cases.

Optical precursor is the sharp optical pulse front that does not show delay in absorptive media. In this thesis, optical precursor behavior in rubidium (Rb) vapor was investigated in the picoseconds regime. An amplified femtosecond laser was shaped to a 7-ps square pulse with sharp rising and trailing edges. This pulse was then sent into a hot rubidium vapor, and the center frequency of the laser pulse was absorbed. The output pulses were measured by a fast streak camera with 2-picosecond resolution. By varying the temperature of the Rb vapor, the measured pulse shapes showed the progression of formation of optical precursors. The measured pulses shapes showed good agreement with theory. On the other hand, a connection between optical precursors and femtosecond laser pumped 3-photon superradiance was investigated in this thesis. Maxwell-Bloch equations were numerically solved in two steps with commercial software Mathematica 8. A good agreement was found between simulation and experiment. It was confirmed that, at low excitation regime, superradiance generated from hot rubidium vapor, which were pumped by a femtosecond laser, can be understood as the formation of optical precursors.

Die vorliegende Dissertation befasst sich mit der mathematischen Modellierung semi-klassischer Licht-Materie-Interaktion. Im semiklassischen Bild wird Materie durch eine Dichtematrix "rho" beschrieben. Das Konzept der Dichtematrizen ist quantenmechanischer Natur. Auf der anderen Seite wird Licht durch ein klassisches elektromagnetisches Feld "(E,H)" beschrieben. Wir stellen einen mathematischen Rahmen vor, in dem wir systematisch dissipative Effekte in die Liouville-von-Neumann-Gleichung inkludieren. Bei unserem Ansatz sticht ins Auge, dass Lösungen der resultierenden Gleichung eine intrinsische Liapunov-Funktion besitzen. Anschließend koppeln wir die resultierende Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen und erhalten ein neues selbstkonsistentes, dissipatives Modell vom Maxwell-Bloch-Typ. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der intensiven mathematischen Studie des dissipativen Modells vom Maxwell-Bloch-Typ. Da das Modell Lipschitz-Stetigkeit vermissen lassen, kreieren wir eine regularisierte Version des Modells, das Lipschitz-stetig ist. Wir beschränken unsere Analyse im Wesentlichen auf die Lipschitz-stetige Regularisierung. Für regularisierte Versionen des dissipativen Modells zeigen wir die Existenz von Lösungen des zugehörigen Anfangswertproblems. Der Kern des Existenzbeweises besteht aus einem Resultat von ``compensated compactness'''', das von P. Gérard bewiesen wurde, sowie aus einem Lemma vom Rellich-Typ. In Teilen folgt dieser Beweis dem Vorgehen einer älteren Arbeit von J.-L. Joly, G. Métivier und J. Rauch. / This thesis deals with the mathematical modeling of semi-classical matter-light interaction. In the semi-classical picture, matter is described by a density matrix "rho", a quantum mechanical concept. Light on the other hand, is described by a classical electromagnetic field "(E,H)". We give a short overview of the physical background, introduce the usual coupling mechanism and derive the classical Maxwell-Bloch equations which have intensively been studied in the literature. Moreover, We introduce a mathematical framework in which we state a systematic approach to include dissipative effects in the Liouville-von-Neumann equation. The striking advantage of our approach is the intrinsic existence of a Liapunov function for solutions to the resulting evolution equation. Next, we couple the resulting equation to the Maxwell equations and arrive at a new self-consistent dissipative Maxwell-Bloch type model for semi-classical matter-light interaction. The main focus of this work lies on the intensive mathematical study of the dissipative Maxwell-Bloch type model. Since our model lacks Lipschitz continuity, we create a regularized version of the model that is Lipschitz continuous. We mostly restrict our analysis to the Lipschitz continuous regularization. For regularized versions of the dissipative Maxwell-Bloch type model, we prove existence of solutions to the corresponding Cauchy problem. The core of the proof is based on results from compensated compactness due to P. Gérard and a Rellich type lemma. In parts, this proof closely follows the lines of an earlier work due to J.-L. Joly, G. Métivier and J. Rauch.

Les sources X-UV sont l'objet d'un développement important depuis une dizaine d'années. Dans cette gamme spectrale, nous sommes maintenant capables de produire des sources cohérentes, collimatées et de forte brillance. De telles sources ont des applications dans l'imagerie médicale, la photolithographie, ou encore le diagnostic de plasmas denses... Cette thèse a été consacrée à la modélisation du laser X-UV "OFI", source X-UV étudiée au LOA (ENSTA, Palaiseau). Ce type de laser X-UV est généré suite à l'ionisation d'un gaz (Kr, Xe) par un laser infrarouge de forte puissance. Le plasma créé par cette interaction constitue la source X-UV. Le travail produit au cours de la thèse a porté sur l'amplification d'un signal X-UV injecté dans ce plasma. L'objectif était d'obtenir une analyse plus détaillée du profil spatio-temporel du signal. Un nouveau code numérique 3D a alors été élaboré. Il utilise un modèle de transfert radiatif décrit par les équations de Maxwell-Bloch. Les résultats du code ont d'une part montré que le profil temporel du signal X-UV changeait considérablement au cours de l'amplification. Notamment il peut, à forte saturation, révéler des pics d'intensité de très courte durée (<100fs). La forte saturation ne pouvant être obtenue qu'avec un plasma de plusieurs centimètres de long, ceci nous amène à considérer avec intérêt les expériences utilisant le guidage du laser infrarouge, permettant la création de tels plasmas. D'autre part, l'analyse de la structure du profil transverse du signal X-UV en sortie calculé à partir de ce même code, nous a permis de mettre en évidence que le plasma amplifi cateur agissait comme un filtre spatial sur l'impulsion X-UV injectée.

Nous avons consacré cette thèse à l'étude des différents processus non-linéaires de l'interaction rayonnement-matière et en particulier à la génération des solitons de gap dans les milieux non-linéaires à bandes interdites. Dans la première partie nous avons utilisé un modèle semi-classique de Maxwell-Bloch pour décrire l'interaction d'un milieu à deux niveaux quantiques avec charges avec un champ électromagnétique classique à travers la densité de population, qui est à l'origine même de la non-linéarité. Le couplage non-linéaire qui en résulte génère des phénomènes particulièrement intéressants (génération et diffusion des solitons de gap) à la résonance, quand la pulsation du champ appliqué est proche de la fréquence de transition du milieu à deux niveaux. La dynamique non-linéaire observée numériquement est expliquée à l'aide d'un modèle de Schrödinger non-linéaire dans un potentiel lié aux charges du milieu. La deuxième partie concerne l'étude théorique de la dynamique des solitons quadratiques dans les amplificateurs paramétriques optiques (OPA). Les équations décrivant l'interaction à trois ondes dégénérée dans un cristal biréfringent non-linéaire ont été établies en prenant en compte la diffraction transverse et le walk-off spatial. Nous avons proposé une méthode pour résoudre le problème ardu de la détermination du seuil de supratransmission non-linéaire dans les OPA et nous avons généralisé les résultats obtenus à une grande classe de systèmes non-linéaires non-intégrables à composantes multiples.