Short summary of main work since 1999

L'homologie instanton-symplectique est un invariant associé à une variété de dimension trois close orientée, qui a été dé?ni par Manolescu et Woodward, et qui correspond conjecturalement à une version symplectique d'une homologie des instantons de Floer. Dans cette thèse nous étudions le comportement de cet invariant sous l'effet d'une somme connexe, d'une chirurgie de Dehn, et d'un cobordisme de dimension quatre. Nous établissons une formule de Künneth pour la somme connexe : si Y et Y' désignent deux variétés closes orientées de dimension trois, l'homologie instanton-symplectique associée à leur somme connexe est isomorphe à la somme directe du produit tensoriel de leurs groupes d'homologie instantonsymplectique respectifs, et de leur produit de torsion (après décalage des degrés). Nous définissons des versions tordues de cette homologie, et prouvons un analogue de la suite exacte de Floer, reliant les groupes associés à une triade de chirurgie. Cette suite exacte nous permet de calculer le rang des groupes associés à des familles de variétés, notamment les revêtements doubles ramifiés d'entrelacs quasi-alternés, des chirurgies entières de grande pente le long de certains noeuds, ainsi que certaines variétés obtenues par plombage de fibrés en disques au-dessus de sphères. Nous définissons enfin des invariants pour des cobordismes de dimension 4 prenant la forme d'applications entre groupes d'homologie instantonsymplectique des bords, et prouvons que deux des morphismes intervenant dans la suite exacte de chirurgie s'interprètent comme de telles applications, associées aux cobordismes d'attachement d'anses. Nous donnons également un critère d'annulation pour de telles applications associées à des éclatements. / Symplectic instanton homology is an invariant for closed oriented three-manifolds, defined by Manolescu and Woodward, which conjecturally corresponds to a symplectic version of a variant of Floer's instanton homology. In this thesis we study the behaviour of this invariant under connected sum, Dehn surgery, and four-dimensional cobordisms. We prove a Künneth-type formula for the connected sum: let Y and Y' be two closed oriented three-manifolds, we show that the symplectic instanton homology of their connected sum is isomorphic to the direct sum of the tensor product of their symplectic instanton homology, and a shift of their torsion product. We define twisted versions of this homology, and then prove an analog of the Floer exact sequence, relating the invariants of a Dehn surgery triad. We use this exact sequence to compute the rank of the groups associated to branched double covers of quasi-alternating links, some plumbings of disc bundles over spheres, and some integral Dehn surgeries along certain knots. We then define invariants for four dimensional cobordisms as maps between the symplectic instanton homology of the two boundaries. We show that among the three morphisms in the surgery exact sequence, two are such maps, associated to the handle-attachment cobordisms. We also give a vanishing criteria for such maps associated to blow-ups.

On étudie les déformations des applications harmoniques $f$ tordues par rapport à une représentation. Après avoir construit une application harmonique tordue "universelle", on donne une construction de toute déformations du premier ordre de $f$ en termes de la théorie de Hodge ; on applique ce résultat à l'espace de modules des représentations réductives d'un groupe de Kähler, pour démontrer que les points critiques de la fonctionnelle de l'énergie $E$ coïncident avec les représentations de monodromie des variations complexes de structures de Hodge. Ensuite, on procède aux déformations du second ordre, où des obstructions surviennent ; on enquête sur l'existence de ces déformations et on donne une méthode pour le construire. En appliquant ce résultat à la fonctionnelle de l'énergie comme ci-dessus, on démontre (pour n'importe quel groupe de présentation finie) que la fonctionnelle de l'énergie est strictement pluri sous-harmonique sur l'espace des modules des représentations. En assumant de plus que le groupe soit de Kähler, on étudie les valeurs propres de la matrice hessienne de $E$ dans les points critiques. / We study the deformations of twisted harmonic maps $f$ with respect to a representation. After constructing a continuous ``universal'' twisted harmonic map, we give a construction of every first order deformation of $f$ in terms of Hodge theory; we apply this result to the moduli space of reductive representations of a K\"ahler group, to show that the critical points of the energy functional $E$ coincide with the monodromy representations of polarized complex variations of Hodge structure. We then proceed to second order deformations, where obstructions arise; we investigate the existence of such deformations, and give a method for constructing them, as well. Applying this to the energy functional as above, we prove (for every finitely presented group) that the energy functional is strictly pluri sub-harmonic on the moduli space of representations; assuming furthermore that the group is Kähler, we study the eigenvalues of the Hessian of $E$ at critical points.

In dieser Doktorarbeit untersuchen wir einige Modulräume der Prym-Paaren, Prym-Varietäten und Spin-Kurven. Nachdem der passende theoretische Rahmen eingeführt wird, erhalten wir neue Ergebnisse zu zwei verschiedenen Aspekten ihrer Geometrie, die wir in zwei entsprechenden Kapiteln beschreiben. In Kapitel 1 betrachten wir die universelle Prym-Varietät über dem Modulraum R_g der Prym-Paaren vom Geschlecht g und bestimmen ihre Unirationalität für g=3. Dazu bilden wir eine explizite rationale Parametrisierung der universellen 2-fachen Prym-Kurve über R_3, die die universelle Prym-Varietät durch die globale Version der Abel-Prym-Abbildung dominiert. Darüber hinaus passen wir den Beweis an den Rahmen von Nikulin-Flächen an und zeigen, dass die universelle doppelte Nikulin-Fläche ebenfalls unirational ist. In Kapitel 2 untersuchen wir die Wechselwirkung zwischen R_g und dem Modulraum S_g der (stabilen) Spin-Kurven vom Geschlecht g. Wenn man den Divisor der Kurven, die mit einem verschwindenden Thetanull ausgestattet sind, von S_g^+ nach R_g versetzt, erhält man zwei geometrische Divisoren der (stabilen) Prym-Kurven mit einem verschwindenden Thetanull. Wir verwenden Testkurventechniken, um die Klassen dieser (Prym-Null-)Divisoren für g>=5 zu berechnen, und werten die Prymnull-Klassen auf einigen weiteren Familien von Kurven aus, um ihre verschwindenden Thetanulls zu analysieren. Darüber hinaus diskutieren wir am Ende von Kapitel 2 eine mögliche Kompaktifizierung des Modulraums der Kurven, die eine doppelte Quadratwurzel tragen. Anschließend untersuchen wir den Rand des Modulraums RS_g der (stabilen) Prym-Spin-Kurven vom Geschlecht g und überprüfen die Prymnull-Klassen anhand des Diagramms R_g<--RS_g-->S_g. Zum Schluss schlagen wir eine Erweiterung des Produkts von Wurzeln, das über glatten Kurven durch das Tensorprodukt definiert ist, zu einer Operation auf stabilen Doppelwurzeln vor. / In this thesis, we study several moduli spaces of Prym pairs, Prym varieties, and spin curves. After the appropriate theoretical framework is introduced, we obtain new results concerning two different aspects of their geometry, which we describe across two corresponding chapters. In Chapter 1, we consider the universal Prym variety over the moduli space R_g of Prym pairs of genus g, and determine its unirationality for g=3. To do this, we build an explicit rational parametrization of the universal 2-fold Prym curve over R_3, which dominates the universal Prym variety through the global version of the Abel-Prym map. Furthermore, we adapt the proof to the setting of Nikulin surfaces and show that the universal double Nikulin surface is also unirational. In Chapter 2, we explore the interaction between R_g and the moduli space S_g of (stable) spin curves of genus g. When the divisor of curves equipped with a vanishing theta-null is moved from S_g^+ to R_g, it yields two geometric divisors of (stable) Prym curves with a vanishing theta-null. We use test curve techniques to compute the classes of these (Prym-null) divisors for g>=5, and evaluate the Prym-null classes on some more families of curves in order to analyse their vanishing theta-nulls. In addition, at the end of Chapter 2 we discuss a potential compactification of the moduli space of curves carrying a double square root. We then examine the boundary of the moduli space RS_g of (stable) Prym-spin curves of genus g and check the Prym-null classes against the diagram R_g<--RS_g-->S_g. Finally, we propose an extension of the product of roots, defined over smooth curves by the tensor product, to an operation on stable double roots.

Nous allons étudier les automorphismes des variétés symplectiques holomorphes irréductibles de type K3^[n], c'est-à-dire des variétés équivalentes par déformation au schéma de Hilbert de n points sur une surface K3, pour n > 1.Dans la première partie de la thèse, nous classifions les automorphismes du schéma de Hilbert de n points sur une surface K3 projective générique, dont le réseau de Picard est engendré par un fibré ample. Nous montrons que le groupe des automorphismes est soit trivial soit engendré par une involution non-symplectique et nous déterminons des conditions numériques et géométriques pour l’existence de l’involution.Dans la deuxième partie, nous étudions les automorphismes non-symplectiques d’ordre premier des variétés de type K3^[n]. Nous déterminons les propriétés du réseau invariant de l'automorphisme et de son complément orthogonal dans le deuxième réseau de cohomologie de la variété et nous classifions leurs classes d’isométrie. Dans le cas des involutions, e des automorphismes d’ordre premier impair pour n = 3, 4, nous montrons que toutes les actions en cohomologie dans notre classification sont réalisées par un automorphism non-symplectique sur une variété de type K3^[n]. Nous construisons explicitement l’immense majorité de ces automorphismes et, en particulier, nous présentons la construction d’un nouvel automorphisme d’ordre trois sur une famille de dimension dix de variétés de Lehn-Lehn-Sorger-van Straten de type K3^[4]. Pour n < 6, nous étudions aussi les espaces de modules de dimension maximal des variétés de type K3^[n] munies d’une involution non-symplectique. / We study automorphisms of irreducible holomorphic symplectic manifolds of type K3^[n], i.e. manifolds which are deformation equivalent to the Hilbert scheme of n points on a K3 surface, for some n > 1. In the first part of the thesis we describe the automorphism group of the Hilbert scheme of n points on a generic projective K3 surface, i.e. a K3 surface whose Picard lattice is generated by a single ample line bundle. We show that, if it is not trivial, the automorphism group is generated by a non-symplectic involution, whose existence depends on some arithmetic conditions involving the number of points n and the polarization of the surface. We also determine necessary and sufficient conditions on the Picard lattice of the Hilbert scheme for the existence of the involution.In the second part of the thesis we study non-symplectic automorphisms of prime order on manifolds of type K3^[n]. We investigate the properties of the invariant lattice and its orthogonal complement inside the second cohomology lattice of the manifold, providing a classification of their isometry classes. We then approach the problem of constructing examples (or at least proving the existence) of manifolds of type K3^[n] with a non-symplectic automorphism inducing on cohomology each specific action in our classification. In the case of involutions, and of automorphisms of odd prime order for n=3,4, we are able to realize all possible cases. In order to do so, we present a new non-symplectic automorphism of order three on a ten-dimensional family of Lehn-Lehn-Sorger-van Straten eightfolds of type K3^[4]. Finally, for n < 6 we describe deformation families of large dimension of manifolds of type K3^[n] equipped with a non-symplectic involution.