Konstanz, Univ., Diss., 2008.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den finiten matriziellen Momentenproblemen von Stieltjes-Typ und beschreibt unter Verwendung der Methode der Fundamentalen Matrixungleichungen die Lösungsmenge durch gebrochen lineare Transformationen.

Zugl.: Vallendar, Wiss. Hochsch. für Unternehmensführung, Diss., 2005

In der vorliegenden Dissertation behandeln wir spezielle matrizielle Potenzmomentenprobleme: Das rechtsseitige bzw. linksseitige alpha-Stieltjes Momentenproblem für beliebige reelle alpha. Wir widmen uns in dieser Arbeit vorwiegend dem vollständig nichtdegenerierten Fall. Im Verlauf der Arbeit werden wir mehrere Parametrisierungen der vorgegebenen Momentenfolge einführen, untersuchen und untereinander in Verbindung bringen. Speziell befassen wir uns mit der alpha-Stieltjes-Parametrisierung, der kanonischen Hankel-Parametrisierung, dem Favard-Paar, der alpha-Dyukarev-Stieltjes-Parametrisierung, dem alpha-Dyukarev-Quadrupel und dem alpha-Stieltjes-Quadrupel. Wir werden das betrachtete Potenzmomentenproblem mithilfe der sogenannten Stieltjes-Transformation in ein äquivalentes Interpolationsproblem überführen. Durch die Heranziehung des Systems von Potapovschen fundamentalen Matrixungleichungen können wir eine vollständige Beschreibung der Lösungsmenge in Form einer gebrochen linearen Transformation vornehmen, deren erzeugende Matrixfunktion ein aus dem alpha-Dyukarev-Quadrupel gebildetes 2qx2q-Matrixpolynom, auch Resolventenmatrix genannt, ist und als deren Parametermenge eine spezielle Klasse von geordneten Paaren von meromorphen qxq-Matrixfunktionen, den sogenannten Stieltjes-Paaren, fungiert. Hierbei spielt die Signaturmatrix Jq-Schlange eine wichtige Schlüsselrolle. Weiterhin erfolgt eine ausführliche Diskussion zweier in gewissem Sinne extremaler Lösungen des umformulierten Potenzmomentenproblems, eine multiplikative Zerlegung der Resolventenmatrix in lineare Matrixpolynome, wodurch eine Verbindung zu einem möglichen Algorithmus vom Schur-Typ geschaffen wird, eine alternative Beschreibung der Lösungsmenge mit einer Teilmenge von qxq-Schurfunktionen als Parametermenge und eine Betrachtung einiger Zusammenhänge zum Hausdorffschen Momentenproblem.:0 Einleitung 1 Erste Beobachtungen zu matriziellen alpha-Stieltjes Momentenproblemen 2 Über einige zu Matrizenfolgen gehörige Parametrisierungen und Matrixpolynome 3 Die alpha-Dyukarev-Stieltjes-Parametrisierung von alpha-Stieltjes-positiv definiten Folgen 4 Konstruktion einer Resolventenmatrix für vollständig nichtdegenerierte matrizielle alpha-Stieltjes Momentenprobleme 5 Die multiplikative Struktur der Folge von 2qx2q-alpha-Dyukarev-Matrixpolynomen bezüglich alpha-Stieltjes-positiv definiter Folgen 6 Eine alternative Beschreibung der Lösungsmenge für vollständig nichtdegenerierte matrizielle alpha-Stieltjes Momentenprobleme 7 Das alpha-Stieltjes-Quadrupel bezüglich alpha-Stieltjes-positiv definiter Folgen 8 Weitere Zusammenhänge zwischen einigen Parametrisierungen alpha-Stieltjes-positiv definiter Folgen 9 Einige Zusammenhänge zum matriziellen Hausdorffschen Momentenproblem A Einige Aussagen zur Integrationstheorie nichtnegativ hermitescher Maße B Über die Stieltjes-Transformation von nichtnegativ hermiteschen Maßen C Einige Aussagen der Matrizentheorie D Einige Aussagen der J-Theorie E Einige Aussagen über ganze Funktionen aus J-Potapov-Klassen bezüglich Halbebenen F Einige Aussagen über Stieltjes-Paare von meromorphen Matrixfunktionen G Einige Aussagen über Teilklassen von Schur-Funktionen auf Halbebenen

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den finiten matriziellen Momentenproblemen von Stieltjes-Typ und beschreibt unter Verwendung der Methode der Fundamentalen Matrixungleichungen die Lösungsmenge durch gebrochen lineare Transformationen.

Es wird ein Ansatz und ein Algorithmus zur Lösung von stochastischen Stoppproblemen vorgestellt, der auf einer dualen Formulierung zum klassischen Lösungsansatz für Stoppprobleme mittels Variationsungleichungen basiert. Unter bestimmten Voraussetzungen kann man für diese duale Formulierung ein äquivalentes unendlichdimensionales lineares Programm aufstellen, das die Momente des Aufenthaltsmaßes des stochastischen Prozesses bis zum Stoppzeitpunkt und die Momente der Verteilung des Prozesses zum Zeitpunkt des Stoppens als Variablen enthält. Für dieses unendlichdimensionale Problem werden endlichdimensionale Approximationen formuliert und gelöst, wobei die Momente nur bis zu einer endlichen Ordnung berücksichtigt werden. Die Güte der numerischen Resultate hängt davon ab, wie genau der Träger des Maßes zum Stoppzeitpunkt identifiziert werden kann. Aus diesem Grund wird ein Verfeinerungsalgorithmus entwickelt, mit dem diese Identifizierung in einer Reihe von Fällen gelingt und sich sehr genaue Ergebnisse erzielen lassen. Der für Stoppprobleme entwickelte Algorithmus kann auch bei der Ermittlung von optimalen Steuerungen für stetige stochastische Prozesse angewandt werden. Für einzelne Beispiele wird gezeigt, welche Resultate dabei erzielt werden können. / We present an approach to, and an algorithm for solving optimal stopping problems. The approach is based on a dual formulation of the classical method for solving stopping problems using variational inequalities. Under suitable conditions it is possible to express the dual formulation as an infinite-dimensional linear program. This linear program uses the moments of the occupation measure and the moments of the stopping measure as variables. We formulate and solve finite-dimensional approximations to this infinite-dimensional program by restricting the number of moments. The accuracy of the numerical results depend on how well the support of the stopping measure can be identified. To this end we develop an iterative procedure which works very well in many cases. In the second part of the dissertation we show how the algorithm, developed for stopping problems, can be used for solving stochastic control problems.