Master-Arbeit Univ. St. Gallen, 2008.

Importance sampling is a well known variance reduction technique for Monte Carlo simulation. For quasi-Monte Carlo integration with low discrepancy sequences it was neglected in the literature although it is easy to see that it can reduce the variation of the integrand for many important integration problems. For lattice rules importance sampling is of highest importance as it can be used to obtain a smooth periodic integrand. Thus the convergence of the integration procedure is accelerated. This can clearly speed up QMC algorithms for integration problems up to dimensions 10 to 12. (author's abstract) / Series: Research Report Series / Department of Statistics and Mathematics

Cette thèse introduit un cadre théorique pour l'étude de différents schémas d'échantillonnage dans un domaine sphérique, et de leurs effets sur le calcul d'intégrales pour l'illumination globale. Le calcul de l'illumination (du transport lumineux) est un composant majeur de la synthèse d'images réalistes, qui se traduit par l'évaluation d'intégrales multidimensionnelles. Les schémas d'intégration numériques de type Monte-Carlo sont utilisés intensivement pour le calcul de telles intégrales. L'un des aspects majeurs de tout schéma d'intégration numérique est l'échantillonnage. En effet, la façon dont les échantillons sont distribués dans le domaine d'intégration peut fortement affecter le résultat final. Par exemple, pour la synthèse d'images, les effets liés aux différents schémas d'échantillonnage apparaissent sous la forme d'artéfacts structurés ou, au contrire, de bruit non structuré. Dans de nombreuses situations, des résultats complètement faux (biaisés) peuvent être obtenus à cause du schéma d'échantillonnage utilisé pour réaliser l'intégration. La distribution d'un échantillonnage peut être caractérisée à l'aide de son spectre de Fourier. Des schémas d'échantillonnage peuvent être générés à partir d'un spectre de puissance dans le domaine de Fourier. Cette technique peut être utilisée pour améliorer l'erreur d'intégration, car un tel contrôle spectral permet d'adapter le schéma d'échantillonnage au spectre de Fourier de l'intégrande. Il n'existe cependant pas de relation directe entre l'erreur dans l'intégration par méthode de Monte-Carlo et le spectre de puissance de la distribution des échantillons. Dans ces travaux, nous proposons une formulation de la variance qui établit un lien direct entre la variance d'une méthode de Monte-Carlo, les spectres de puissance du schéma d'échantillonnage ainsi que de l'intégrande. Pour obtenir notre formulation de la variance, nous utilisons la notion d'homogénéité de la distribution des échantillons qui permet d'exprimer l'erreur de l'intégration par une méthode de Monte-Carlo uniquement sous forme de variance. À partir de cette formulation de la variance, nous développons un outil d'analyse pouvant être utilisé pour déterminer le taux de convergence théorique de la variance de différents schémas d'échantillonnage proposés dans la littérature. Notre analyse fournit un éclairage sur les bonnes pratiques à mettre en œuvre dans la définition de nouveaux schémas d'échantillonnage basés sur l'intégrande / This dissertation introduces a theoretical framework to study different sampling patterns in the spherical domain and their effects in the evaluation of global illumination integrals. Evaluating illumination (light transport) is one of the most essential aspect in image synthesis to achieve realism which involves solving multi-dimensional space integrals. Monte Carlo based numerical integration schemes are heavily employed to solve these high dimensional integrals. One of the most important aspect of any numerical integration method is sampling. The way samples are distributed on an integration domain can greatly affect the final result. For example, in images, the effects of various sampling patterns appear in the form of either structural artifacts or completely unstructured noise. In many cases, we may get completely false (biased) results due to the sampling pattern used in integration. The distribution of sampling patterns can be characterized using their Fourier power spectra. It is also possible to use the Fourier power spectrum as input, to generate the corresponding sample distribution. This further allows spectral control over the sample distributions. Since this spectral control allows tailoring new sampling patterns directly from the input Fourier power spectrum, it can be used to improve error in integration. However, a direct relation between the error in Monte Carlo integration and the sampling power spectrum is missing. In this work, we propose a variance formulation, that establishes a direct link between the variance in Monte Carlo integration and the power spectra of both the sampling pattern and the integrand involved. To derive our closed-form variance formulation, we use the notion of homogeneous sample distributions that allows expression of error in Monte Carlo integration, only in the form of variance. Based on our variance formulation, we develop an analysis tool that can be used to derive theoretical variance convergence rates of various state-of-the-art sampling patterns. Our analysis gives insights to design principles that can be used to tailor new sampling patterns based on the integrand

L’échantillonnage est une étape clé dans le rendu graphique. Il permet d’intégrer la lumière arrivant en un point de la scène pour en calculer sa couleur. Généralement, la méthode utilisée est l’intégration Monte Carlo qui approxime cette intégrale en choisissant un nombre fini d’échantillons. La réduction du biais et de la variance de l’intégration Monte Carlo est devenue une des grandes problématiques en rendu réaliste. Les techniques trouvées consistent à placer les points d’échantillonnage avec intelligence de façon à rendre la distribution la plus uniforme possible tout en évitant les régularités. Les années 80 ont été de ce point de vue un tournant dans ce domaine, avec l’apparition de nouvelles méthodes stochastiques. Ces méthodes ont, grâce à une meilleure compréhension des liens entre intégration Monte Carlo et échantillonnage, permis de réduire le bruit et la variance des images générées, et donc d’améliorer leur qualité. En parallèle, la complexité des méthodes d’échantillonnage s’est considérablement améliorée, permettant d’obtenir des méthodes à la fois rapides et efficaces en termes de qualité. Cependant, ces avancées ont jusqu’à là été faites par tâtonnement et se sont axées sur deux points majeurs : l’amélioration de l’uniformité du motif d’échantillonnage et la suppression des régularités. Bien que des théories permettant de borner l’erreur d’intégration existent, elles sont souvent limitées, voire inapplicables dans le domaine de l’informatique graphique. Cette thèse propose de rassembler les outils d’analyse des motifs d’échantillonnages et de les mettre en relation. Ces outils peuvent caractériser des propriétés spatiales, comme la distribution des distances entre points, ou bien spectrales à l’aide de la transformée de Fourier. Nous avons ensuite utilisé ces outils afin de donner une expression simple de la variance et du biais dans l’intégration Monte Carlo, en utilisant des prérequis compatibles avec le rendu d’image. Finalement, nous présentons une boite à outils théorique permettant de déterminer la vitesse de convergence d’une méthode d’échantillonnage à partir de son profil spectral. Cette boite à outils est notamment utilisée afin de classifier les méthodes d’échantillonnage existantes, mais aussi pour donner des indications sur les principes fondamentaux nécessaires à la conception de nouveaux algorithmes d’échantillonnage / Sampling is a key step in rendering pipeline. It allows the integration of light arriving to a point of the scene in order to calculate its color. Monte Carlo integration is generally the most used method to approximate that integral by choosing a finite number of samples. Reducing the bias and the variance of Monte Carlo integration has become one of the most important issues in realistic rendering. The solutions found are based on smartly positioning the samples points in a way that maximizes the uniformity of the distribution while avoiding the regularities. From this point of view, the 80s were a turning point in this domain, as new stochastic methods appeared. With a better comprehension of links between Monte Carlo integration and sampling, these methods allow the reduction of noise and of variance in rendered images. In parallel, the complexity of sampling methods has considerably enhanced, enabling to have fast as well as good quality methods. However, these improvements have been done by trial and error focusing on two major points : the improvement of sampling pattern uniformity, and the suppression of regularities. Even though there exists some theories allowing to bound the error of the integration, they are usually limited, and even inapplicable in computer graphics. This thesis proposes to gather the analysis tools of sampling patterns and to connect them together. These tools can characterize spatial properties such as the distribution of distances between points, as well as spectral properties via Fourier transformation. Secondly, we have used these tools in order to give a simple expression of the bias and the variance for Monte Carlo integration ; this is done by using prerequisites compatible with image rendering. Finally, we present a theoretical toolbox allowing to determine the convergence speed of a sampling method from its spectral profile. This toolbox is used specifically to give indications about the design principles necessary for new sampling algorithms

Changing in variance or volatility with time can be modeled as deterministic by using autoregressive conditional heteroscedastic (ARCH) type models, or as stochastic by using stochastic volatility (SV) models. This study compares these two kinds of models which are estimated on Turkish / USA exchange rate data. First, a GARCH(1,1) model is fitted to the data by using the package E-views and then a Bayesian estimation procedure is used for estimating an appropriate SV model with the help of Ox code. In order to compare these models, the LR test statistic calculated for non-nested hypotheses is obtained.

For producing realistic images, reflection is an important visual effect. Reflections of the environment are important not only for highly reflective objects, such as mirrors, but also for more common objects such as brushed metals and glossy plastics. Generating these reflections accurately at real-time rates for interactive applications, however, is a difficult problem. Previous works in this area have made assumptions that sacrifice accuracy in order to preserve interactivity. I will present an algorithm that tries to handle reflection accurately in the general case for real-time rendering. The algorithm uses a database of prerendered environment maps to render both the original object itself and an additional bidirectional reflection distribution function (BRDF). The algorithm performs image-based rendering in reflection space in order to achieve accurate results. It also uses graphics processing unit (GPU) features to accelerate rendering.

For producing realistic images, reflection is an important visual effect. Reflections of the environment are important not only for highly reflective objects, such as mirrors, but also for more common objects such as brushed metals and glossy plastics. Generating these reflections accurately at real-time rates for interactive applications, however, is a difficult problem. Previous works in this area have made assumptions that sacrifice accuracy in order to preserve interactivity. I will present an algorithm that tries to handle reflection accurately in the general case for real-time rendering. The algorithm uses a database of prerendered environment maps to render both the original object itself and an additional bidirectional reflection distribution function (BRDF). The algorithm performs image-based rendering in reflection space in order to achieve accurate results. It also uses graphics processing unit (GPU) features to accelerate rendering.

La synthèse d’images réalistes repose sur des modèles physiques décrivant les interactions entre la lumière et les matériaux attachés aux objets dans une scène tridimensionnelle. Ces modèles mathématiques sont complexes et, dans le cas général, n’admettent pas de solution analytique. Pour cette raison, l’utilisation de méthodes numériques robustes et efficaces est nécessaire. Les méthodes de Monte Carlo ou techniques alternatives comme l’utilisation de développement par fonction de base sont appropriées pour résoudre ce type de problème. Dans cette thèse par articles, nous présentons deux nouvelles techniques permettant l’in- tégration numérique efficace de matériaux complexes. En premier lieu, nous introduisons une nouvelle méthode permettant d’intégrer simultanément plusieurs dimensions définies dans le domaine angulaire et spatiale. Avoir une technique efficace est essentiel pour intégrer des matériaux avec des normales variant rapidement sous différentes conditions d’éclairage. Notre technique utilise une nouvelle formulation basée sur un histogramme sphérique définie de façon directionnelle et spatial. Ce dernier nous permet d’utiliser des harmoniques sphé- riques pour intégrer les différentes dimensions rapidement, réduisant le temps de calcul d’un facteur approximatif de 30× par rapport aux méthodes de l’état de l’art. Dans notre second travail, nous introduisons une nouvelle stratégie d’échantillonnage pour estimer le transport de lumière à l’intérieur de matériaux multicouches. En identifiant les meilleures stratégies d’échantillonnage, nous proposons une technique efficace et non biaisée pour construire des chemins de lumière à l’intérieur de ce type de matériau. Notre nouvelle approche permet d’obtenir un estimateur de Monte Carlo efficace et de faible variance dans des matériaux contenant un nombre arbitraire de couches. / Realistic computer generated images and simulations require physically-based models to properly capture and reproduce light-material interactions. The underlying mathematical formulations are complex and mandate the use of efficient numerical methods, since analytic solutions are not available. Monte Carlo integration is one such commonly used numerical method, although, alternative approaches leveraging, e.g., basis expansions, may be suitable to solve these challenging problems. In this thesis by articles, we present two works where we efficiently devise numerical integration strategies for the rendering of complex materials. First, we propose a method to compute a spatial-angular multi-dimensional integration problem present when rendering materials with high-frequency normal variation under large, angularly varying illumination. By computing and manipulating a novel spherical histogram data representation, we are able to use spherical harmonics to efficiently solve the integral, outperforming the state-of-the-art by a factor of roughly 30×. Our second work describes a high-performance Monte Carlo integration strategy for rendering layered materials. By identifying the best path sampling strategies in the micro-scale light transport context, we are able to tailor an unbiased and efficient path construction method to evaluate high throughput, low variance paths through an arbitrary number of layers.

>Magister Scientiae - MSc / The case of pricing options under constant volatility has been common practise for decades. Yet market data proves that the volatility is a stochastic phenomenon, this is evident in longer duration instruments in which the volatility of underlying asset is dynamic and unpredictable. The methods of valuing options under stochastic volatility that have been extensively published focus mainly on stock markets and on options written on a single reference asset. This work probes the effect of valuing European call option written on a basket of currencies, under constant volatility and under stochastic volatility models. We apply a family of the stochastic models to investigate the relative performance of option prices. For the valuation of option under constant volatility, we derive a closed form analytic solution which relaxes some of the assumptions in the Black-Scholes model. The problem of two-dimensional random diffusion of exchange rates and volatilities is treated with present value scheme, mean reversion and non-mean reversion stochastic volatility models. A multi-factor Gaussian distribution function is applied on lognormal asset dynamics sampled from a normal distribution which we generate by the Box-Muller method and make inter dependent by Cholesky factor matrix decomposition. Furthermore, a Monte Carlo simulation method is adopted to approximate a general form of numeric solution The historic data considered dates from 31 December 1997 to 30 June 2008. The basket contains ZAR as base currency, USD, GBP, EUR and JPY are foreign currencies.

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Distributed Ray Tracing, also called distribution ray tracing and stochastic ray tracing, is a refinement of ray tracing that allows for the rendering of "soft" phenomena, area light, depth of field and motion blur.