Soit $F_n$ le groupe libre de rang $n$. On considère le groupe $IA_n$ des automorphismes de $F_n$ qui agissent trivialement sur son abélianisé. Deux filtrations canoniques de $IA_n$ sont définies : la première est sa suite centrale descendante $\Gamma_*$ ; la seconde est la filtration d’Andreadakis $\mathcal A_*$, définie à partir de l’action sur $F_n$. Le problème d’Andreadakis est l’étude de la différence entre ces deux filtrations. Après avoir mis en place un cadre général pour l’étude de telles filtrations et des filtrations sur les algèbres de groupes qui leur sont associées, nous étudions différentes versions de ce problème. En particulier, nous examinons sa restriction à certains sous-groupes de $IA_n$ : nous montrons que les deux filtrations coïncident si on les restreint aux groupes triangulaires et aux groupes de tresses. Nous examinons aussi le problème stable : nous montrons que le morphisme canonique entre les algèbres de Lie associées aux filtrations est surjectif si $n$ est assez grand devant le degré considéré. Nous étudions également une version $p$-restreinte du problème, calculant au passage l’algèbre de Lie du groupe de congruence. Les méthodes employées sont essentiellement d’ordre algébrique. Elles proviennent de la théorie combinatoire des groupes ainsi que d’outils développés pour l’étude des groupes de difféotopie, et sont souvent reformulées avec un langage catégorique approprié. / Let $F_n$ be the free group on $n$ generators. Consider the group $IA_n$ of automorpisms of $F_n$ acting trivially on its abelianization. There are two canonical filtrations on $IA_n$: the first one is its lower central series $\Gamma_*$; the second one is the Andreadakis filtration $\mathcal A_*$, defined from the action on $F_n$. Andreadakis asked if and how these filtrations were different. We begin by describing a framework adapted to the study of such filtrations and their counterparts on group algebras. We then study several versions of the problem. In particular, we look at its restriction to some subgroups of $IA_n$ : we show that the two filtration coïncide when restricted to the triangular subroups and to braid groups. We also consider a stable version of the problem : we establish that the canonical morphism between the associated graded Lie rings is surjective when $n$ is big enough compared to a fixed degree. We also investigate a $p$-restricted version of the Andreadakis problem, and provide a calculation of the Lie algebra of the classical congruence group. Our methods are algebraic in nature. The tools come from combinatorial group theory and the study of mapping class groups; we often introduce some categorical langage to reformulate them.

Ce mémoire fait partie du domaine de la combinatoire des mots et plus particulièrement de l'étude de la complexité palindromique (le nombre de facteurs palindromes) des mots infinis. La conjecture de Hof, Knill et Simon, énoncée pour la première fois en 1995, donne une caractérisation des points fixes dont la complexité palindromique est infinie. Récemment, elle a été résolue pour les points fixes sur un alphabet binaire (Tan, 2007). Dans ce mémoire, nous la démontrons pour les points fixes de morphismes uniformes sur un alphabet binaire (ce n'est pas plus général que le résultat de Tan). De plus, notre approche permet d'obtenir une démonstration d'un résultat similaire pour les points fixes contenant une infinité d'antipalindromes. Afin d'atteindre notre objectif, nous établissons un ensemble de résultats combinatoires sur les mots. En effet, nous faisons une étude des ƒ-palindromes et de certaines équations qui en contiennent. Ensuite, nous introduisons les morphismes de classe P, P¹ et ƒ-P et nous démontrons notamment que l'ensemble des morphismes de classe P¹ est un monoïde. Nous rassemblons également les résultats d'un travail précédent sur les morphismes conjugués. Finalement, nous étudions les chevauchements de mots et nous construisons un graphe de chevauchements, assise de notre démonstration de la conjecture. Toutes ces recherches ont contribué au développement d'un outil informatique voué à l'étude de questions soulevées en combinatoire des mots. Ce dernier est constitué d'un ensemble de classes et de fonctions écrites en langage Python annexées à ce mémoire. Elles seront bientôt incluses dans un paquetage sur la combinatoire des mots associé au logiciel libre Sage. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Combinatoire des mots, ƒ-palindrome, Complexité palindromique, Conjecture de Hof, Knill et Simon, Point fixe de morphisme, Chevauchement, Automates.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Dans ce travail, nous étudions différents invariants de nature algébrique et dynamique définis sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface fermée orientée. Occasionnellement, nous considérerons également le groupe des difféomorphismes hamiltoniens de certaines variétés symplectiques de dimension supérieure. Ces invariants peuvent être vus comme des généralisations du nombre de rotation de Poincaré, et des vecteurs de rotations associés aux difféomorphismes des surfaces. D'autre part, tous ces invariants sont reliés à la théorie de la cohomologie bornée. <br /><br />Dans le premier chapitre nous construisons des quasi-morphismes sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une surface de genre strictement positif, qui sont des homomorphismes en restriction au sous-groupe des difféomorphismes à support dans un ouvert difféomorphe à un disque. Ces constructions sont motivées par une question de Entov et Polterovich. Dans le second chapitre nous construisons un quasi-morphisme défini sur le revêtement universel du groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique monotone. <br /><br />Le troisième chapitre contient quelques résultats concernant les actions préservant l'aire sur les surfaces de réseaux dans les groupes de Lie semi-simples. Dans l'esprit du "programme de Zimmer", nous montrons comment l'existence de nombreux quasi-morphismes, combinée avec des théorèmes d'annulation en cohomologie bornée, pourrait être utile pour exclure l'existence d'actions de réseaux de rang supérieur. Le dernier chapitre contient quelques remarques autour de la distance de Hofer.

En 1999, M.Chas et D.Sullivan ont mis en évidence sur l'homologie de l'espace des lacets libres d'une variété une structure de BV-algèbre. C'est ce qui fonde la théorie topologique des cordes. Dans cette thèse, nous montrons comment la compatibilité de la suite spectrale de Serre aux morphismes de Gysin de plongements lisses de codimension finie entre vari étés permet d'effectuer des calculs de ces structures de topologie des cordes. Nous étudions essentiellement le ”loop produit” et le ”loop coproduit” qui munissent l'homologie de l'espace des lacets libres d'une vari été d'une structure d'algèbre de Frobenius sans counité.

Soit \M un espace de modules de groupes p-divisibles introduit par Rapoport et Zink. Supposons que cet espace \M soit non-ramifié de type EL ou PEL unitaire ou symplectique. Soit \Mrig la fibre générique de Berthelot de \M. C'est un espace rigide analytique au-dessus duquel il existe une tour de revêtements étales finis (\M_K)_K qui classifient les structures de niveau. On définit un morphisme déterminant \det_K de la tour (\M_K)_K vers une tour d'espaces rigides analytiques étales de dimension 0 associée au cocentre du groupe réductif relié à cet espace. C'est un analogue local en des places non-archimédiennes du morphisme déterminant pour les variétés de Shimura défini par Deligne. Comme pour les variétés de Shimura, on montre que les fibres géométriques du morphisme déterminant \det_K sont les composantes connexes géométriques de \M_K. On définit aussi les morphismes puissances extérieures qui généralisent le morphisme déterminant sur la tour d'espaces rigides analytiques associée à un espace de Lubin-Tate.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Les thèmes de cette thèse se situent dans le domaine de la géométrie conforme et l'étude des champs de particules sans masse. Elle est portée sur l'étude des morphismes harmoniques et des applications semi-conformes entre les variétés riemanniennes et semi-riemannienes avec ses aspects spinoriels.\\ La base de notre étude est la correspondance twistorielle de Penrose qui associe à chaque géodésique dans l'espace de Minkowski, un point d'une hypersurface de l'espace complexe projectif de dimension 3, ainsi, la résolution d'une équation aux dérivées partielles devient un problème (d'ordre 1) de la géométrie complexe analytique. Les deux objects qui nous permettront de généraliser des constructions connues à d'autres situations, par exemple aux espaces temps avec courbure, aux graphes finis, sont (i) une application semi-conforme, et (ii) une congruence de rayons de lumière sans cisaillement ("shear-free ray congruence" que nous abrégerons ultérieurement par SFR). En effet, une SFR correspond à une famille d'applications semi-conformes évoluant dans le temps (voir le chapitre 3), cette dernière est bien adaptée à un cadre plus général. Cette perspective nous permet d'achever partiellement notre but c'est-à-dire d'obtenir une description combinatoire des champs dans l'esprit des "spin networks" introduits par Penrose en 1971 \cite{R.PENROSE}.\\ Un aspect de mon travail est l'étude des morphismes harmoniques, définis sur un espace-temps à valeurs dans une surface, leurs relations avec les applications semi-conformes (considérées comme des champs physiques) en dimension 3 ainsi que l'évolution de celles-ci au cours du temps. D'autre part, on développe la théorie des applications semi-conformes adaptée à nos besoins. On démontre notamment l'existence des coordonnées canoniques pour de telles applications ; une loi de conservation lorsque les fibres sont de dimension $1$ ; la conservation de la semi-conformalité d'une application par rapport a une évolution naturelle ; on classifie les applications semi-conformes biharmoniques dans $R^3$ dont les fibres sont des arcs de cercles et on obtient une formule intégrale pour la representation d'une famille d'applications biharmoniques (pas nécessairement semi-conformes) plus générale. On va mettre au point un formalisme élégant pour étudier les espaces-temps à quatre dimensions, les applications semi-conformes et les morphismes harmoniques définis sur cet espace, en faisant appel à des objets appelés spineurs. Ce formalisme nous permet d'étudier l'évolution des applications semi-conformes, ainsi l'évolution d'un champ de vecteurs tangents aux feuilletages conformes de ces applications.\\ Lorsqu'on prolonge nos idées aux graphes, on étudie la notion d'applications harmoniques et semi-conformes dans les graphes, dont la définition est proposée par H.Urakawa en 1997 \cite{Ura}. On étudie les applications définies sur les graphes ainsi que leur évolution par rapport à l'équation de la chaleur (en temps discret). On définit la notion de courbure sur un graphe et on donne un analogue au théorème de Gauss-Bonnet \cite{Bonnet} dans le cas discret. Afin de développer la théorie des twisteurs sur un graphe, on introduit notre propre définition d'une fonction holomorphe sur un graphe. Par ailleurs, on introduit la notion de graphe dual twistoriel, autrement connue sous le nom de "line graph". La correspondance entre un graphe et son dual twistoriel montre des aspects tout à fait analogues au cas continu, par exemple un sommet du graphe correspond à un sous graphe complet du graphe dual, qu'on doit considérer comme la correspondance entre un point de l'espace de Minkowski et une copie de $\mathbb{C}P^1$ dans l'espace des twisteurs

Le Morphisme Electroactif est un axe multidisciplinaire, associant l’aérodynamique, les matériaux innovants et la mécatronique. Ce concept consiste en l’amélioration des performances aérodynamiques par l’utilisation d’actionneurs déformant la surface portante d’un aéronef en temps réel. Soutenue par Airbus, la modélisation, conception et réalisation d’un démonstrateur petite échelle est une première étape. Basée sur un profil d’aile A320, il est équipé d’actionnements pour le morphisme électroactif hybride : de grandes déformations à faibles vitesses par des Alliages à Mémoire de Forme sont associés à l’intégration au bord de fuite d’actionneurs piézoélectriques permettant de hautes fréquences d’actionnement à amplitude moindre. Une seconde étape de la thèse est dédiés aux essais en soufflerie. La mesure de forces et la vélocimétrie d’images de particules permettent de comprendre la physique de l’écoulement et de la turbulence. L’étude de ce couplage fluide-structure-actionneurs présente les effets du morphisme par actionnement indépendant ; puis le couplage non linéaire de l’actionnement hybride. La troisième étape consiste au passage vers une échelle réaliste des actionneurs, par la conception d’un volet « électro-morphé ». Une approche de dimensionnement par optimisation est proposée. Basé sur des technologies nouvelles d’actionnement, un prototype d’un tel macroactionneur est alors conçu pour être testé. / Electroactive Morphing is a multidisciplinary axis, combining aerodynamics, innovative materials and mechatronics. This concept consists in improving the aerodynamic performance by the use of actuators deforming the airfoil of an aircraft in real time. Supported by Airbus, the modeling, design and implementation of a small scale demonstrator is a first step. Based on an A320 wing profile, it is equipped with actuators for hybrid electroactive morphing: large deformations at low speeds by Shape Memory Alloys are associated with the integration at the trailing edge of piezoelectric actuators allowing high operating frequencies at lower amplitude. A second step of the thesis is dedicated to wind tunnel tests. The measurement of forces and the Particle Image Velocimetries allow for the understanding of the flow and turbulence physics. The study of this fluid-structure-actuator coupling presents the effects of the morphism by independent actuation; then the nonlinear coupling of the hybrid actuation. The third step is the transition to a realistic scale of actuators, by designing an "electro-morphed" macro-actuator. An optimization sizing approach is proposed. Based on new actuation technologies, a prototype of such a macro-actuator is then designed to be tested.

Soit \M un espace de modules de groupes p-divisibles introduit par Rapoport et Zink. Supposons que cet espace \M soit non-ramifié de type EL ou PEL unitaire ou symplectique. Soit \Mrig la fibre générique de Berthelot de \M. C'est un espace rigide analytique au-dessus duquel il existe une tour de revêtements étales finis (\M_K)_K qui classifient les structures de niveau. On définit un morphisme déterminant \det_K de la tour (\M_K)_K vers une tour d'espaces rigides analytiques étales de dimension 0 associée au cocentre du groupe réductif relié à cet espace. C'est un analogue local en des places non-archimédiennes du morphisme déterminant pour les variétés de Shimura défini par Deligne. Comme pour les variétés de Shimura, on montre que les fibres géométriques du morphisme déterminant \det_K sont les composantes connexes géométriques de \M_K. On définit aussi les morphismes puissances extérieures qui généralisent le morphisme déterminant sur la tour d'espaces rigides analytiques associée à un espace de Lubin-Tate. / Let \M be a moduli space of p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. Assume that \M is unramified of EL or PEL type which is unitary or symplectic. Let \Mrig be the generic fiber of Berthelot of \M. This is a rigid analytic space over which there exist a tower of finite etale coverings (\M_K)_K classifing the level structures. We define a determinant morphism \det_K from the tower (\M_K)_K to a tower of rigid analytic spaces of dimension 0 associated to the cocenter of the reductive group related to the space \M. This is a local analogue on the nonarchimedean places of the determinant morphism for Shimura varieties defined by Deligne. As for Shimura varieties, we prove that the geometric fibers of the determinant morphism \det_K are the geometrically connected components of \M_K. We define also the exterior power morphisms which generalize the determinant morphism on the tower of rigid analytic spaces associated to a Lubin-Tate space.