On étudie le groupe modulaire G du plan privé d'un ensemble de Cantor et les classes de Brouwer du groupe modulaire du plan privé de Z. Ces objets apparaîssent naturellement en dynamique topologique sur les surfaces. Dans le premier chapitre, on s'intéresse au groupe G et à son action sur le graphe des rayons, qui est un analogue déni par Danny Calegari du complexe des courbes pour le plan privé d'un ensemble de Cantor. En particulier, on montre que ce graphe est de diamètre infini et hyperbolique. On utilise ensuite l'action de G sur ce graphe hyperbolique pour exhiber un quasi-morphisme non trivial explicite sur G et pour montrer que le deuxième groupe de cohomologie bornée de G est dedimension infinie. Enfin, on donne un exemple d'un élément hyperbolique de G dont la longueur stable des commutateurs est nulle. Dans le second chapitre, on développe de nouveaux outils pour la théorie de Brouwer homotopique. En particulier, on décrit un ensemble canonique de droites de réduction, l'ensemble des murs, qui sépare le plan en zones de translation maximales et en zones irréductibles. On se restreint ensuite au cas des classes de Brouwer relativement à quatre orbites, et on les décrit explicitement en ajoutant au diagramme de Handel et à l'ensemble des murs un emmêlement, qui est essentiellement une classe d'isotopie de courbes sur le cylindre privé de deux points. / We study the mapping class group G of the complement of a Cantor set in the plane and the Brouwer mapping classes of the mapping class group of the complement of Z in the plane. These objects arise naturally in topological dynamics on surfaces. In the first chapter, we study the group G and its action on the ray graph, which is the analog dened by Danny Calegari of the complex of curves for the complement of a Cantor set in the plane. In particular, we show that this graph has infinite diameter and is hyperbolic. We use the action of G on this graph to find an explicit non trivial quasimorphism on G and to show that this group has infinite dimensional second bounded cohomology. We give an example of a hyperbolic element of G with vanishing stable commutator length. In the second chapter, we give new tools for homotopy Brouwer theory. In particular, we describe a canonical reducing set, the set of "walls", which splits the plane into maximal translation areas and irreducible areas. We then focus on Brouwer mapping classes relatively to four orbits and describe them explicitly by adding to Handel's diagram and to the set of walls a "tangle", which is essentially an isotopy class of simple closed curves in the cylinder minus two points.

Ce document concerne le développement d'un cadre mathématique spécifiant une technologie capable de prendre en charge quelques unes des problématiques relevant du domaine des grands flux de données. Nous proposons de combiner le point de vue ontologique de Newell et celui épistémologique de Floridi d'abstraction pour construire des outils de transformation de modéles au moyen d'un ensemble adéquats de foncteurs au sens de la théorie des catégories de Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane. La méthode de résolution de problème proposée est basée sur un raisonnement d'abstraction temps réel qui produit, en ligne, une réduction d'un grand nombre de données sémantiquement pauvres en une donnée unique équivalente mais sémantiquement plus riche. Le prix à payer pour un tel enrichissement sémantique de l'information est la perte d'information syntaxique (i.e. le phénoméne d'oubli). Nos contributions sont les suivantes: (i) la démonstration que le concept d'observateur unaire de la théorie des observations datées (TOT) de Le Goc joue le même rôle qu'un échantillonneur de Dirac, (ii) la construction de la catégorie $TOT(\mathbb{Z})$, adéquate à la formulation du processus d'abstraction proposé et (iii) la conception de la méthode de résolution de problème TOM4A (timed observations methodology for abstraction) dont une application concrète est présentée visant à découvrir et modéliser le problème complexe de la fraude interne dans le domaine bancaire / This document concerns the development of a theoretical mathematical framework to provide a technology able to manage some of the problematics of the big data flows domain. We propose to combine Newell's ontological and Floridi's epistemological point of views of abstraction to build tools that transform models by the mean of an adequate set of functors according to Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane's category theory. The proposed problem solving method relies on a real time abstraction reasoning process to resume, on line, a lot of semantically poor data into an equivalent but richer one. The price to pay for such an information semantic enrichment is the loss of syntactic data (i.e. the oversight phenomenon). Our contributions are (i) to prove that Le Goc's timed observations theory (TOT) concept of unary observer plays the same role as Dirac's sampler, (ii) the construction of the $TOT(\mathbb{Z})$ category that is adequate to formulate the proposed abstraction based PSM and (iii) the design of TOM4A (timed observations methodology for abstraction), a specific recursive abstraction-reification based PSM whose a concrete application has been provided for detecting and modeling the complex problem of internal frauds in the banking industry

Ce mémoire porte sur quelques éléments de la théorie des fibrés symplectiques et leurs usages en étudiant la géométrie hoferienne sur le groupe de difféomorphismes hamiltoniens. En particulier en assumant un certain confort avec les notions de base de la géométrie différentielle et de la topologie algébrique on développe dans le premier chapitre les rudiments nécessaires de la théorie des G-fibrés et, dans la deuxième, tous les faits nécessaires de la topologie symplectique et les difféomorphismes hamiltoniens pour comprendre la théorie de base des fibrés symplectiques, à voir le morphisme de flux et ses liens aux isotopies hamiltoniennes. Le troisième chapitre présente les fondements des fibrés symplectiques se conclu en construisant la forme de couplage dans un langage invariant et en présentant la caractérisation des fibrés symplectiques, dont le groupe de structure réduit au groupe hamiltonien. Le mémoire se termine en présentant quelques applications des fibrés hamiltoniens à la géométrie de Hofer, en particulier une caractérisation de la partie positive de la norme de Hofer d'un lacet hamiltonien en termes du K-aire du fibré au-dessus de la sphère associé et une démonstration de la non-dégénérescence de la norme de Hofer pour des variétés symplectiques fermées. / This thesis presents a reasonably complete account of the elements theory of symplectic and Hamiltonian fibrations. We assume a familiarity and comfort with the basic notions of differential geometry and algebraic topology but little else. Proceeding from this, the first chapter develops the necessary notions from the theory of fiber bundles and G-fiber bundles, while the second chapter develops all the notions and theorems required to understand the later theory of symplectic fibrations. Most notably the second chapter includes a detailed account of the classical relationship between the flux homomorphism and Hamiltonian isotopies. The third chapter is where we develop the theory of symplectic and locally Hamiltonian fiber bundles, and in particular give an invariant construction of the coupling form on a symplectic fibration admitting an extension class. the third chapter ends with a proof of a structure theorem characterizing those symplectic fibrations for which the structure group reduces to the Hamiltonian group. In the final chapter, we present some applications of the theory of Hamiltonian fibrations by the way of characterizing the positive part of the Hofer norm of a Hamiltonian loop as the K-area of its associated Hamiltonian bundle over the sphere, and we finish by giving a proof of the non-degeneracy of the Hofer norm for closed symplectic manifolds.

Cette thèse présente quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones. On résoud d'abord une conjecture de Barraud et Cornea dans le cadre monotone en montrant que le rayon de Gromov relatif à deux lagrangiennes dans la même classe d'isotopie hamiltonienne donne une borne inférieure à la distance de Hofer entre ces deux mêmes lagrangiennes. Le cas non-monotone de cette conjecture reste ouvert encore. On définit toutes les structures nécessaires à l'énoncé et à la preuve de cette conjecture. Deuxièmement, on définit une nouvelle version d'un morphisme de Seidel relatif à l'aide des cobordismes lagrangiens de Biran et Cornea. On montre que cette version est chaîne-homotope aux différentes autres versions apparaissant dans la littérature. Que toutes ces définitions sont équivalentes fait partie du folklore mais n'apparaît pas dans la littérature. On conclut par une conjecture qui identifie un triangle exact obtenu par chirurgie lagrangienne et un autre dû à Seidel et faisant intervenir le twist de Dehn symplectique. / We present in this thesis a few properties of monotone Lagrangian submanifolds. We first solve a conjecture of Barraud and Cornea in the monotone setting by showing that the relative Gromov radius of two Hamiltonian-isotopic Lagrangians gives a lower bound on the Hofer distance between them. The general non-monotone case remains open to this day. We define all the structures relevant to state and prove the conjecture. We then define a new version of a Lagrangian Seidel morphism through the recently introduced Lagrangian cobordisms of Biran and Cornea. We show that this new version is chain-homotopic to various other versions appearing in the litterature. That all these previous versions are the same is folklore but did not appear in the litterature. We conclude with a conjecture claiming that an exact triangle obtained by Lagrangian surgery is isomorphic to an exact triangle of Seidel involving the symplectic Dehn twist.

Cette thèse présente quelques propriétés des sous-variétés lagrangiennes monotones. On résoud d'abord une conjecture de Barraud et Cornea dans le cadre monotone en montrant que le rayon de Gromov relatif à deux lagrangiennes dans la même classe d'isotopie hamiltonienne donne une borne inférieure à la distance de Hofer entre ces deux mêmes lagrangiennes. Le cas non-monotone de cette conjecture reste ouvert encore. On définit toutes les structures nécessaires à l'énoncé et à la preuve de cette conjecture. Deuxièmement, on définit une nouvelle version d'un morphisme de Seidel relatif à l'aide des cobordismes lagrangiens de Biran et Cornea. On montre que cette version est chaîne-homotope aux différentes autres versions apparaissant dans la littérature. Que toutes ces définitions sont équivalentes fait partie du folklore mais n'apparaît pas dans la littérature. On conclut par une conjecture qui identifie un triangle exact obtenu par chirurgie lagrangienne et un autre dû à Seidel et faisant intervenir le twist de Dehn symplectique. / We present in this thesis a few properties of monotone Lagrangian submanifolds. We first solve a conjecture of Barraud and Cornea in the monotone setting by showing that the relative Gromov radius of two Hamiltonian-isotopic Lagrangians gives a lower bound on the Hofer distance between them. The general non-monotone case remains open to this day. We define all the structures relevant to state and prove the conjecture. We then define a new version of a Lagrangian Seidel morphism through the recently introduced Lagrangian cobordisms of Biran and Cornea. We show that this new version is chain-homotopic to various other versions appearing in the litterature. That all these previous versions are the same is folklore but did not appear in the litterature. We conclude with a conjecture claiming that an exact triangle obtained by Lagrangian surgery is isomorphic to an exact triangle of Seidel involving the symplectic Dehn twist.

Cette thèse étudie deux problèmes de nature géométrique et topologique associés au crochet de Poisson sur les variétés symplectiques. Le premier problème porte sur la notion de submersion symplectique que nous introduisons dans le présent texte et qui généralise la notion de symplectomorphisme. Il s'avère qu'une submersion symplectique est un morphisme de Poisson : il s'agit d'une application entre variétés symplectiques qui préserve le crochet de Poisson. Notre intérêt pour ces fonctions réside dans le fait que le théorème de non-tassement de Gromov porte sur l'aire minimale possible pour les images des submersions symplectiques (allant d'une boule symplectique vers le plan symplectique) obtenues comme compositions d'un plongement symplectique dans l'espace symplectique euclidien de dimension 2n et de la projection standard vers le plan de coordonnées conjuguées (p_1, q_1). Nous investiguons le problème inverse dit « de représentabilité » : nous obtenons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une submersion symplectique comme ci-dessus se factorise comme précédemment à travers un plongement ou une immersion symplectique dans l'espace euclidien. Nous montrons par ailleurs qu'il existe une submersion symplectique qui ne se factorise pas de la sorte à travers une immersion et qu'il existe aussi une submersion symplectique qui se factorise de la sorte à travers une immersion, mais pas à travers un plongement. Le deuxième problème porte sur la conjecture du crochet de Poisson de Polterovich. Étant donné une variété symplectique (M, omega) et un recouvrement U de M, nous pouvons définir l'invariant pb(F) associé à une partition de l'unité F subordonnée à U, qui est une sorte de norme sur les crochets de Poisson entre les paires de fonctions de la partition. En dénotant e(U) l'énergie de disjonction de Hofer maximale d'un ouvert du recouvrement U, la conjecture demande s'il existe une constante positive C indépendante de U et de F telle que le produit de pb(F) et de e(U) soit supérieur à C. Cette conjecture a été établie récemment par Buhovski-Logunov-Tanny dans le cas des surfaces ; en nous inspirant de travaux antérieurs de Buhovski-Tanny, nous avons aussi démontré la conjecture pour les surfaces de genre plus grand que 1. Nous exposons notre approche dans le second chapitre de cette thèse. À l'aide des submersions symplectiques, nous généralisons nos méthodes afin d'attaquer la conjecture en dimensions supérieures ; nous obtenons ainsi une nouvelle preuve d'un théorème de Polterovich et de Buhovski-Tanny concernant l'invariant pb pour des recouvrements formés de petits ouverts. Afin de rendre cette thèse aussi accessible et auto-suffisante que possible, nous débutons par une introduction à la topologie symplectique. Des annexes recueillent les faits plus particuliers que nous utilisons tout au long de ce travail. / This thesis studies two problems of geometric and topological nature associated to the Poisson bracket on symplectic manifolds. The first problem concerns the notion of "symplectic submersion" that we introduce here and which generalizes the concept of symplectomorphism. A symplectic submersion turns out to be a Poisson morphism, namely a map between symplectic manifolds which preserves the Poisson bracket. Our interest in those maps stems from the fact that Gromov's nonsqueezing theorem is a statement about the minimal area possible for the images of the symplectic submersions (going from a symplectic ball to a symplectic plane) which are compositions of a symplectic embedding into the Euclidean symplectic space and of the standard projection onto the plane of conjugated variables (p_1, q_1). We investigate the inverse "representability" problem: we give necessary and sufficient conditions for a symplectic submersionas above to factorize in the previous way either through a symplectic embedding or through a symplectic immersion into Euclidean space. We show moreover that there exists a symplectic submersion which does not factorize in this way through an immersion, and also that there exists a symplectic submersion which does factorize in this way through an immersion, but not through an embedding. The second problem concerns Polterovich's Poisson bracket conjecture. Given a symplectic manifold (M, omega) and an open cover U of M, we can define the invariantpb(F) of a partition of unity F subordinated to U, which is a sort of norm on the pairwise Poisson brackets of the functions in F. Denoting e(U) the maximal Hofer displacement energy of a set in U, the conjecture asks whether there exists a positive constant C independent of U and F such that the product of pb(F) and e(U) is greater than C. This conjecture was proved recently by Buhovsky-Logunov-Tanny in the case of surfaces; based on earlier work of Buhovsky-Tanny , we also proved the conjecture for surfaces of genus one and above. We present our approach in the second chapter of this thesis. Using symplectic submersions, we generalize our methods in order to tackle the conjecture in higher dimensions; in particular, we obtain a new proof of a theorem of Polterovich and Buhovsky-Tanny about the pb invariant of covers made up of small open sets. In order to make this thesis as accessible and self-contained as possible, we first give an introduction to symplectic topology. The appendices also collect the more specialized facts we use throughout this work.

Dans cette thèse nous nous intéressons aux singularités d'espaces analytiques complexes définis comme le lieu des zéros d'un morphisme sans pente. Nous étudions dans un premier temps les cycles proches et les cycles évanescents associés à un tel morphisme. Dans un deuxième temps nous cherchons à comprendre la théorie de Hodge des morphismes sans pente.La première partie de cette thèse est consacrée à apporter des compléments au travail de P. Maisonobe sur les morphismes sans pente. Nous commençons par construire un morphisme de comparaison entre cycles proches algébriques (pour les $mathscr{D}$-modules) et cycles proches topologiques (pour les faisceaux pervers). Nous montrons ensuite que ce morphisme est un isomorphisme dans le cas d'un morphisme sans pente. Enfin nous construisons un foncteur cycles évanescents topologiques pour un morphisme sans pente et nous démontrons que ce foncteur et le foncteur cycles proches topologiques de P. Maisonobe se placent dans le diagramme de triangles exacts attendu.Dans la seconde partie de cette thèse nous étudions les morphismes sans pente pour les modules de Hodge mixtes. Nous démontrons dans un premier temps la commutativité des cycles proches et des cycles évanescents itérés appliqués à un module de Hodge mixte dans le cas d'un morphisme sans pente. Dans un deuxième temps nous définissons la notion << strictement sans pente >> pour un module de Hodge mixte et nous démontrons sa stabilité par image directe propre. Nous démontrons comme application la compatibilité de la filtration de Hodge et des filtrations de Kashiwara-Malgrange pour certains modules de Hodge purs supportés sur une hypersurface à singularités quasi-ordinaires. / In this thesis we are interested in singularities of complex varieties defined as the zero locus of a morphism without slope. In a first time we study nearby cycles and vanishing cycles associated to such morphisms. In a second time we want to understand Hodge theory of morphisms without slope.The first part of this thesis is devoted to add some complements to the work of P. Maisonobe on morphisms without slope. We start with the construction of a comparison morphism between algebraic nearby cycles (for $mathscr{D}$-modules) and topological nearby cycles (for perverse sheaves). Then we show that this morphism is an isomorphism in the case of a morphism without slope. Finally we construct a topological vanishing cycles functor for a morphism without slope et we prove that this functor and the topological nearby cycles functor of P. Maisonobe fit into the expected diagram of exact triangles.In the second part of the thesis we study morphisms without slope for mixed Hodge modules. We first show the commutativity of iterated nearby cycles and vanishing cycles applied to a mixed Hodge module in the case of a morphism without slope. Second we define the notion "strictly without slope" for a mixed Hodge module and we show that it is preserved by proper direct image. As an application we prove the compatibility of the Hodge filtration and Kashiwara-Malgrange filtrations for some pure Hodge modules with support an hypersurface with quasi-ordinary singularities.

Le thème de cette thèse est les différents aspects de la théorie de Borel-Moore dans le monde motivique. Classiquement, sur le corps des nombres complexes, l’homologie de Borel-Moore, aussi appelée “homologie à support compact”, possède des propriétés assez différentes comparée avec l’homologie singulière. Dans cette thèse on étudiera quelques généralisations et applications de cette théorie dans les catégories triangulées de motifs.La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie on définit l'homologie motivique de Borel-Moore dans les catégories triangulées de motifs mixtes définies par Cisinski et Déglise et étudie ses diverses propriétés fonctorielles, tout particulièrement une fonctorialité analogue au morphisme de Gysin raffiné défini par Fulton. Ces résultats nous serviront ensuite à identifier le coeur de la structure de poids de Chow définie par Hébert et Bondarko: il se trouve que le coeur, autrement dit la catégorie des éléments de poids zéro, est équivalente à une version relative des motifs purs de Chow sur une base définie par Corti et Hanamura.Dans la deuxième partie on démontre la représentabilité de la G-théorie de Quillen, sous la reformulation de Thomason, dans un premier temps dans la catégorie A1-homotopique des schémas de Morel-Voevodsky, mais aussi dans la catégorie homotopique stable construite par Jardine. On établit une identification de celle-ci comme la théorie de Borel-Moore associée à la K-théorie algébrique, en utilisant le formalisme des six foncteurs établi par Ayoub et Cisinski-Déglise. / The theme of this thesis is different aspects of Borel-Moore theory in the world of motives. Classically, over the field of complex numbers, Borel-Moore homology, also called “homology with compact support”, has some properties quite different from singular homology. In this thesis we study some generalizations and applications of this theory in triangulated categories of motives.The thesis is composed of two parts. In the first part we define Borel-Moore motivic homology in the triangulated categories of mixed motives defined by Cisinski and Déglise and study its various functorial properties, especially a functoriality similar to the refined Gysin morphism defined by Fulton. These results are then used to identify the heart of the Chow weight structure defined by Hébert and Bondarko: it turns out that the heart, namely the category of elements of weight zero, is equivalent to a relative version of pure Chow motives over a base defined by Corti and Hanamura.In the second part we show the representability of Quillen’s G-theory, reformulated by Thomason, firstly in the A1-homotopy category of schemes of Morel-Voevodsky, but also in the stable homotopy category constructed by Jardine. We establish an identification of G-theory as the Borel-Moore theory associated to algebraic K-theory, by using the six functors formalism settled by Ayoub and Cisinski-Déglise.