Vaizdų segmentavimas yra naudojamas daugelyje mokslo sričių, tokių kaip geografija, geologija ar biologija, tam, kad galėtume atskirti bei išanalizuoti objektus apdoruojamuose paveikslėliuose. Rinkdamiesi vaizdų segmetavimo algoritmą dažniausiai atkreipiame dėmesį į jo efektyvumą, sudėtingumą, vykdymo laiką bei pritaikymą skirtingiems vaizdų tipams. Kadangi dažniausiai segmentuojame sudėtingos struktūros bei blogesnės kokybės vaizdus, labai svarbu, kad segmentavimo algoritmas tiktų visų klasių vaizdams. Mumford Shah funkcionalas yra laikomas vienu populiariausių ir efektyviausių vaizdų segmentavimo įrankių. Algoritmas pasižymi lengva realizacija programoje bei greitu įvykdymu. Didžiausiu šio algoritmo privalumu yra galimybė pritaikyti jį skirtingo tipo vaizdams. Keisdami į Mumford Shah funkcionalo formulę įeinančių parametrų reikšmes galime įtakoti segmentavimo rezultatus. Darbe yra išsamiai išnagrinėjami visi įmanomi funkcionalo formulės atvejai su skirtingomis parametrų reikšmėmis ir bandoma išanalizuoti, kokios parametrų reikšmės geriausiai tinka atskiroms vaizdų klasėms. Visi gauti rezultatai ir tezės yra pagrindžiami statistiniu tyrimu. / Image segmentation is used in many fields of science such as geography, geology and biology, so that we can distinguish and analyze objects in pictures. When selecting segmentation algorithm we usually draw attention to its performance, complexity and adaptation to different types of images. As we usually are processing complex structure and lower-quality images, it is very important that the segmentation algorithm would be suitable for all classes of images. Mumford Shah functional is one of the most popular and effective tools for image segmentation. The algorithm is characterized by easy and fast realization. The biggest advantage of this algorithm is the ability to adapt to different types of images. By changing the Mumford Shah functional formula‘s incoming parameter‘s values, we can affect the segmentation results. In this work we are selecting the most suitable parameter‘s values for different types of images in order to obtain the best segmentation results. Obtained results are based on statistical analysis.

On étudie dans cette thèse la régularité des cônes et d'ensembles de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4.Dans la première partie, on étudie d'abord la régularité Bi-Hölderienne des cônes minimaux de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4. Ceci nous permet ensuite de montrer qu'il existe un difféomorphisme locale entre un cône minimal de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4 et un cône minimal de dimension 3, de type P, Y ou T, loin d'origine. La méthode est la même que pour les ensembles minimaux de dimension 2. On construit des compétiteurs et on se ramène aux situations connues des ensembles minimaux de dimension 2 dans l'espace Euclidien de dimension 3.Dans la deuxième partie, on utilise le résultat de la première partie pour donner quelques résultats de régularité Bi-Hölderienne pour les ensembles minimaux de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4. On s'intéresse aussi aux ensembles minimaux de Mumford-Shah et on obtient un résultat de l'existence d'un point de type T. / In this thesis we study the problems of regularity of three-dimensional minimal cones and sets in l'espace Euclidien de dimension 4In the first part we study the Hölder regularity for minimal cones of dimension 3 in l'espace Euclidien de dimension 4. Then we use this for showing that there exists a local diffeomorphic mapping between a minimal cone of dimension 3 and a minimal cone of dimension 3 of type P, Y or T, away from the origin. The techniques used here are the same as the ones for the regularity of two-dimensional minimal sets. We construct some competitors to reduce to the known situation of two-dimensional minimal sets in l'espace Euclidien de dimension 3.In the second part, we use the first part to give somme results of the Hölder regularity for three-dimensional minimal sets in l'espace Euclidien de dimension 4. We interested also in Mumford-Shah minimal sets and we get a result of the existence of a T-point.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la fois aux aspects théoriques et à la résolution numérique du problème de Mumford-Shah avec anisotropie pour la restauration et la segmentation d'image. Cette fonctionnelle possède en effet la particularité de reconstruire une image dégradée tout en extrayant l'ensemble des contours des régions d'intérêt au sein de l'image. Numériquement, on utilise l'approximation d'Ambrosio-Tortorelli pour approcher un minimiseur de la fonctionnelle de Mumford-Shah. Elle Gamma-converge vers cette dernière et permet elle aussi d'extraire les contours. Les implémentations avec des schémas aux différences finies ou aux éléments finis sont toutefois peu adaptées pour l'optimisation de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli. On présente ainsi deux nouvelles formulations discrètes de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli à l'aide des opérateurs et du formalisme du calcul discret. Ces approches sont utilisées pour la restauration d'images ainsi que pour le lissage du champ de normales et la détection de saillances des surfaces digitales de l'espace. Nous étudions aussi un second problème d'optimisation de forme similaire avec conditions aux bords de Robin. Nous démontrons dans un premier temps l'existence et la régularité partielle des solutions, et dans un second temps deux approximations par Gamma-convergence pour la résolution numérique du problème. L'analyse numérique montre une nouvelle fois les difficultés rencontrées pour la minimisation d'approximations par Gamma-convergence. / In this work, we study both theoretical and numerical aspects of an anisotropic Mumford-Shah problem for image restoration and segmentation. The Mumford-Shah functional allows to both reconstruct a degraded image and extract the contours of the region of interest. Numerically, we use the Amborsio-Tortorelli approximation to approach a minimizer of the Mumford-Shah functional. It Gamma-converges to the Mumford-Shah functional and allows also to extract the contours. However, the minimization of the Ambrosio-Tortorelli functional using standard discretization schemes such as finite differences or finite elements leads to difficulties. We thus present two new discrete formulations of the Ambrosio-Tortorelli functional using the framework of discrete calculus. We use these approaches for image restoration and for the reconstruction of normal vector field and feature extraction on digital data. We finally study another similar shape optimization problem with Robin boundary conditions. We first prove existence and partial regularity of solutions and then construct and demonstrate the Gamma-convergence of two approximations. Numerical analysis shows once again the difficulties dealing with Gamma-convergent approximations.

La modélisation de processus complexes peut impliquer un grand nombre de variables ayant entre elles une structure de corrélation compliquée. Par exemple, les phénomènes spatiaux possèdent souvent une forte régularité spatiale, se traduisant par une corrélation entre variables d’autant plus forte que les régions correspondantes sont proches. Le formalisme des graphes pondérés permet de capturer de manière compacte ces relations entre variables, autorisant la formalisation mathématique de nombreux problèmes d’analyse de données spatiales. La première partie du manuscrit se concentre sur la résolution efficace de problèmes de régularisation spatiale, mettant en jeu des pénalités telle que la variation totale ou la longueur totale des contours. Nous présentons une stratégie de préconditionnement pour l’algorithme generalized forward-backward, spécifiquement adaptée à la résolution de problèmes structurés par des graphes pondérés présentant une grande variabilité de configurations et de poids. Nous présentons ensuite un nouvel algorithme appelé cut pursuit, qui exploite les relations entre les algorithmes de flots et la variation totale au travers d’une stratégie de working set. Ces algorithmes présentent des performances supérieures à l’état de l’art pour des tâches d’agrégations de données geostatistiques. La seconde partie de ce document se concentre sur le développement d’un nouveau modèle qui étend les chaînes de Markov à temps continu au cas des graphes pondérés non orientés généraux. Ce modèle autorise la prise en compte plus fine des interactions entre noeuds voisins pour la prédiction structurée, comme illustré pour la classification supervisée de tissus urbains. / Modeling complex processes often involve a high number of variables with anintricate correlation structure. For example, many spatially-localized processes display spatial regularity, as variables corresponding to neighboring regions are more correlated than distant ones. The formalism of weighted graphs allows us to capture relationships between interacting variables in a compact manner, permitting the mathematical formulation of many spatial analysis tasks. The first part of this manuscript focuses on optimization problems with graph-structure dregularizers, such as the total variation or the total boundary size. We first present the convex formulation and its resolution with proximal splitting algorithms. We introduce a new preconditioning scheme for the existing generalized forward-backward proximal splitting algorithm, specifically designed for graphs with high variability in neighbourhood configurations and edge weights. We then introduce a new algorithm, cut pursuit, which used the links between graph cuts and total variation in a working set scheme. We also present a variation of this algorithm which solved the problem regularized by the non convex total boundary length penalty. We show that our proposed approaches reach or outperform state-of-the-art for geostatistical aggregation as well as image recovery problems. The second part focuses on the development of a new model, expanding continuous-time Markov chain models to general undirected weighted graphs. This allows us to take into account the interactions between neighbouring nodes in structured classification, as demonstrated for a supervised land-use classification task from cadastral data.

On étudie dans cette thèse la régularité des cônes et d'ensembles de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4.Dans la première partie, on étudie d'abord la régularité Bi-Hölderienne des cônes minimaux de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4. Ceci nous permet ensuite de montrer qu'il existe un difféomorphisme locale entre un cône minimal de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4 et un cône minimal de dimension 3, de type P, Y ou T, loin d'origine. La méthode est la même que pour les ensembles minimaux de dimension 2. On construit des compétiteurs et on se ramène aux situations connues des ensembles minimaux de dimension 2 dans l'espace Euclidien de dimension 3.Dans la deuxième partie, on utilise le résultat de la première partie pour donner quelques résultats de régularité Bi-Hölderienne pour les ensembles minimaux de dimension 3 dans l'espace Euclidien de dimension 4. On s'intéresse aussi aux ensembles minimaux de Mumford-Shah et on obtient un résultat de l'existence d'un point de type T.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:29:40Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2010-02-01Bitstream added on 2014-06-13T18:59:19Z : No. of bitstreams: 1 araujo_af_me_sjrp.pdf: 2505898 bytes, checksum: cb768a03165a1307255a1888187c915a (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / O diagnóstico médico auxiliado por computador tem se tornado cada vez mais frequente, como por exemplo, no diagnóstico de lesões de pele, para o qual técnicas para a extração automática dos contornos das mesmas torna-se crucial. Muitas vezes, algumas lesões passam despercebidas pelo deramtologista porque este pode estar com a visão cansada e ter dificuladade para identificar corretamente as características das regiões doentes. O método apresentado neste trabalho utiliza a difusão anisotrópica para fazer a suavização seletiva da imagem, preservando as bordas e permitindo a extração de contornos com suas principais características: forma e rugosidade. a aplicação do crescimento de regiões Mumford-Shah possibilitou a extração de um contorno inicial, refinado pelos métodos de watershed e contorno ativo. As características das bordas detectadas foram extraídas de acordo com a regra ABCD, sendo os resultados validados por um especialista em doenças dermatológicas. / The computer aided medical diagnosis has become increasingly common, such as the diagnosis of skin lesions, where the techniques for automatic extraction of their contours becomes cricial. Often, some lesions are overlooked by the dermatologist because his vision may be tired making it difficukt for him to properly identify characteristics of the injured regions. The method presented in this work uses anisotropic diffusion for a selective image smoothing, preserving the contour of the image, and allowing the extraction of the main characteristics of the identified contour: shape and roughness. The application of the Mumford-Shah method allows the extraction of an initial contour, wich is then refined by the methods of watershed and active contour. The characteristics of the detected edges are extracted according to the ABCD rule, and the results are validated by an expert in dermatological diseases.

Orientador: Aledir Silveira Pereira / Banca: Norian Marranghello / Banca: Ivan Nunes da Silva / Resumo: O diagnóstico médico auxiliado por computador tem se tornado cada vez mais frequente, como por exemplo, no diagnóstico de lesões de pele, para o qual técnicas para a extração automática dos contornos das mesmas torna-se crucial. Muitas vezes, algumas lesões passam despercebidas pelo deramtologista porque este pode estar com a visão cansada e ter dificuladade para identificar corretamente as características das regiões doentes. O método apresentado neste trabalho utiliza a difusão anisotrópica para fazer a suavização seletiva da imagem, preservando as bordas e permitindo a extração de contornos com suas principais características: forma e rugosidade. a aplicação do crescimento de regiões Mumford-Shah possibilitou a extração de um contorno inicial, refinado pelos métodos de watershed e contorno ativo. As características das bordas detectadas foram extraídas de acordo com a regra ABCD, sendo os resultados validados por um especialista em doenças dermatológicas. / Abstract: The computer aided medical diagnosis has become increasingly common, such as the diagnosis of skin lesions, where the techniques for automatic extraction of their contours becomes cricial. Often, some lesions are overlooked by the dermatologist because his vision may be tired making it difficukt for him to properly identify characteristics of the injured regions. The method presented in this work uses anisotropic diffusion for a selective image smoothing, preserving the contour of the image, and allowing the extraction of the main characteristics of the identified contour: shape and roughness. The application of the Mumford-Shah method allows the extraction of an initial contour, wich is then refined by the methods of watershed and active contour. The characteristics of the detected edges are extracted according to the ABCD rule, and the results are validated by an expert in dermatological diseases. / Mestre

Cette thèse est une contribution au problème de détection de fines structures tubulaires dans une image2-D ou 3-D. Nous avons plus précisément en vue le cas des images angiographiques. Celles-ci étant bruitées, les vaisseaux ne se détachent pas nettement du reste de l’image, la question est donc de segmenter avec précision le réseau sanguin. Le cadre théorique de ce travail est le calcul des variations eten particulier l'énergie de Mumford-Shah. Cependant, ce modèle n'est adapté qu'à la détection de structures volumiques étendues dans toutes les directions de l’image. Le but de ce travail est donc deconstruire une énergie qui favorise les ensembles qui ne sont étendus que dans une seule direction, cequi est le cas de fins tubes. Pour cela, une nouvelle inconnue est introduite, une métrique Riemannienne,qui a pour but la détection de la structure géométrique de l’image. Une nouvelle formulation de l’énergie de Mumford-Shah est donnée avec cette nouvelle métrique. La preuve de l'existence d'une solution au problème de la minimisation de l’énergie est apportée. De plus, une approximation par gamma-convergence est démontrée, ce qui permet ensuite de proposer et de mettre en oeuvre une implémentation numérique. / This thesis is a contribution to the fine tubular structures detection problem in a 2-D or 3-D image. We arespecifically interested in the case of angiographic images. The vessels are surrounded by noise and thenthe question is to segment precisely the blood network. The theoretical framework of our work is thecalculus of variations and we focus on the Mumford-Shah energy. Initially, this model is adapted to thedetection of volumetric structures extended in all directions of the image. The aim of this study is to buildan energy that favors sets which are extended in one direction, which is the case of fine tubes. Then, weintroduce a new unknown, a Riemannian metric, which captures the geometric structure at each point ofthe image and we give a new formulation of the Mumford-Shah energy adapted to this metric. Thecomplete analysis of this model is done: we prove that the associated problem of minimization is wellposed and we introduce an approximation by gamma-convergence more suitable for numerics. Eventually,we propose numerical experimentations adapted to this approximation.

On étudie dans cette thèse certains aspects de la régularité de l'ensemble singulier d'un minimiseur pour la fonctionnelle de Mumford-Shah. On se place principalement en dimension 3 même si certains résultats fonctionnent encore en dimension supérieure. Dans une première partie on étudie les minimiseurs globaux dans R^N et on montre que si (u;K) est un minimiseur global et que si K est un cône assez régulier, alors u (modulo les constantes) est une fonction homogène de degré 1/2 dans R^N\K. Ceci nous permet de lier l'existence d'un minimiseur global et le spectre du laplacien sphérique dans la sphère unité privée de K. Une conséquence est qu'un secteur angulaire stricte ne peut pas être l'ensemble singulier d'un minimiseur global de Mumford-Shah dans R^3. Dans la deuxième partie on montre un théorème de régularité au voisinage des cônes minimaux P, Y et T. On montre que si K est proche (en distance) d'un Y ou d'un T dans une certaine boule, alors K est l'image C^1,alpha d'un P, Y ou d'un T dans une boule légèrement plus petite, ce qui généralise un théorème de L. Ambrosio, N. Fusco et D. Pallara [AFP07]. Les techniques employées ne sont pas exclusives à la dimension 3 et devraient permettre de démontrer des résultats analogues en toute dimension pour un minimiseur de Mumford-Shah, dès lors qu'un résultat de régularité sur les ensembles presque minimaux existerait.

Recently, solutions to the problem of image segmentation and denoising are developed based on the Mumford-Shah model. The model provides an energy functional, called the Mumford-Shah functional, which should be minimized. Since the minimization of the functional has some difficulties, approximate approaches are proposed. Two such methods are the gradient flows method and the Chan-Vese active contour method. The performance evolution in terms of speed shows that the gradient flows method converges to the boundaries of the smooth parts faster / but for the hierarchical four-phase segmentation, it is observed that this method sometimes gives unsatisfactory results. In this work, a fast hierarchical four-phase segmentation method is proposed where the Chan-Vese active contour method is applied following the gradient flows method. After the segmentation process, the segmented regions are denoised using diffusion filters. Additionally, for the low signal-to-noise ratio applications, the prefiltering scheme using nonlinear diffusion filters is included in the proposed method. Simulations have shown that the proposed method provides an effective solution to the image segmentation and denoising problem.