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The history and development of logarithmsBennett, Meaghan Whitley 2009 August 1900 (has links)
This paper outlines the evolution of the logarithm from the days of Archimedes to
the logarithm now used in modern mathematics. Each type of logarithm developed had
its particular usefulness. The Archimedean logarithm helped astronomers by drastically
shortening the time it took to multiply large numbers, while Napier’s logarithm could be
used as a tool to solve velocity problems. With the discovery of the number e, the natural
logarithm was developed. Due to the frequent use of e, many of the properties of
logarithms were defined to work nicely for the natural logarithm to make calculations
easier. This paper will explain the proofs and connections of such properties in a way
that could be presented in a calculus class. / text
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Estudo de uma conceituação geométrica para os logaritmos / Study of a geometric conceptuation for logarithmsGuido, Fernando Pavan 26 April 2017 (has links)
Este trabalho tem como objetivo principal contribuir para o aperfeiçoamento do professor de matemática seja ele em formação ou em atuação. Buscamos oferecer um material que possa servir de referência técnica, histórica e epistemológica para o estudo do Logaritmo Natural. Discutimos aqui o conceito de Conhecimento Especializado do Conteúdo, cunhado por pesquisadores da Universidade de Michigan e liderados por Deborah Ball. Em seu artigo Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? (2008), eles levantam a questão \"Qual matemática o professor deve conhecer para dar cabo do trabalho de ensinar?\", dado que o conhecimento matemático necessário para o docente difere do conhecimento matemático requerido em outras profissões. Fazemos aqui uma análise crítica da abordagem utilizada para o tema em alguns livros didáticos de Ensino Médio, descrevemos de modo detalhado a construção da Função Logarítmica como realmente ocorreu no século XVII, ou seja, por meio de áreas de regiões sob a curva xy = 1, e definimos a função exponencial como a inversa dela, enfoque esse com caráter fortemente geométrico e que deu origem à noção de integral definida. Mostramos também a estreita relação existente entre as Progressões Aritméticas, Geométricas, Trigonometria e o próprio tema principal. Obtemos ainda a formalização do número irracional e tanto pelo método tradicional usado em livros de Cálculo e Análise como a decorrente da teoria apresentada. Por fim, apresentamos algumas situações curiosas que envolvem direta ou indiretamente essa constante e que podem ser trabalhadas com alunos da Educação Básica. / The main objective of this work is to contribute to the improvement of the mathematics teacher, whether in training or acting. We seek to offer a material that can serve as a technical, historical and epistemological reference for the study of the Natural Logarithm. We discuss here the concept of Specialized Content Knowledge, coined by University of Michigan researchers and led by Deborah Ball. In your article Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? (2008), they raise the question \"What mathematics does the teacher need to know for teaching?\", since the mathematical knowledge required for the teacher differs from the mathematical knowledge required in other professions. Here we present a critical analysis of the approach used for the subject in some high school textbooks. We describe in detail the construction of the Logarithmic Function as actually occurred in the seventeenth century, that is, through areas of regions under the curve xy = 1, and we define the exponential function as the inverse of it, a focus with a strongly geometric character that gave rise to the notion of definite integral. We also show the close relationship between Arithmetic, Geometric, Trigonometry and the main theme itself. We also obtain the formalization of the irrational number e, both by the traditional method used in Calculus and Analysis books and by the theory presented. Finally, we present some curious situations that directly or indirectly involve this constant and that can be worked with Basic Education students.
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Área, Logaritmo e ExponencialCruz Neto, João 12 August 2015 (has links)
Submitted by bruna ortiz (brunaortiz.f@gmail.com) on 2016-07-18T13:54:46Z
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Previous issue date: 2015-08-12 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Many math topics are apresented in basic education without a meaningful context, both in textbooks and in the classroom, this is, for exemple, with the natural logarithm function and the exponential function. This work will make a geometric approach these issues by establishing an inter-relationship between the area of a track x y 1 = 0 hyperbole with the natural logarithm, introducing some basic aspects of the theory necessary to understand. The required prerequisites are the solid knowledge of the basic functions defined in the field of real numbers. Present a conceptual approach limits functions, sequences and numerical series, hyperbole and the study on the area of a track x y 1 = 0 hyperbole, from this area define the natural logarithm and their properties, the natural logarithm function and its inverse, the exponential function. Is inevitable, considering our proposal for this work, that some results are presented, accepted and used in demonstration. / Muitos temas da Matemática são apresentados no ensino básico sem um contexto significativo,
tanto nos livros didáticos quanto em sala de aula, isso ocorre, por exemplo, com a função
logaritmo natural e a função exponencial. Neste trabalho faremos uma abordagem geométrica
desses temas estabelecendo uma inter-relação entre a área de uma faixa da hipérbole x y1 =
0 com o logaritmo natural, introduzindo alguns aspectos básicos da teoria necessária a sua
compreensão. Os prerrequisitos exigidos são os conhecimentos sólidos das funções elementares
definidas no campo dos números reais. Apresentamos uma abordagem conceitual sobre limites
de funções, sequências e séries numéricas, a hipérbole e o estudo sobre a área de uma faixa
da hipérbole x y 1 = 0; para a partir desta área definirmos o logaritmo natural e suas
propriedades, a função logaritmo natural e sua inversa, a função exponencial. É inevitável,
levando em conta a nossa proposta para esse trabalho, que alguns resultados sejam apresentados,
admitidos e usados sem demonstração.
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Estudo de uma conceituação geométrica para os logaritmos / Study of a geometric conceptuation for logarithmsFernando Pavan Guido 26 April 2017 (has links)
Este trabalho tem como objetivo principal contribuir para o aperfeiçoamento do professor de matemática seja ele em formação ou em atuação. Buscamos oferecer um material que possa servir de referência técnica, histórica e epistemológica para o estudo do Logaritmo Natural. Discutimos aqui o conceito de Conhecimento Especializado do Conteúdo, cunhado por pesquisadores da Universidade de Michigan e liderados por Deborah Ball. Em seu artigo Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? (2008), eles levantam a questão \"Qual matemática o professor deve conhecer para dar cabo do trabalho de ensinar?\", dado que o conhecimento matemático necessário para o docente difere do conhecimento matemático requerido em outras profissões. Fazemos aqui uma análise crítica da abordagem utilizada para o tema em alguns livros didáticos de Ensino Médio, descrevemos de modo detalhado a construção da Função Logarítmica como realmente ocorreu no século XVII, ou seja, por meio de áreas de regiões sob a curva xy = 1, e definimos a função exponencial como a inversa dela, enfoque esse com caráter fortemente geométrico e que deu origem à noção de integral definida. Mostramos também a estreita relação existente entre as Progressões Aritméticas, Geométricas, Trigonometria e o próprio tema principal. Obtemos ainda a formalização do número irracional e tanto pelo método tradicional usado em livros de Cálculo e Análise como a decorrente da teoria apresentada. Por fim, apresentamos algumas situações curiosas que envolvem direta ou indiretamente essa constante e que podem ser trabalhadas com alunos da Educação Básica. / The main objective of this work is to contribute to the improvement of the mathematics teacher, whether in training or acting. We seek to offer a material that can serve as a technical, historical and epistemological reference for the study of the Natural Logarithm. We discuss here the concept of Specialized Content Knowledge, coined by University of Michigan researchers and led by Deborah Ball. In your article Content Knowledge for Teaching: What Makes It Special? (2008), they raise the question \"What mathematics does the teacher need to know for teaching?\", since the mathematical knowledge required for the teacher differs from the mathematical knowledge required in other professions. Here we present a critical analysis of the approach used for the subject in some high school textbooks. We describe in detail the construction of the Logarithmic Function as actually occurred in the seventeenth century, that is, through areas of regions under the curve xy = 1, and we define the exponential function as the inverse of it, a focus with a strongly geometric character that gave rise to the notion of definite integral. We also show the close relationship between Arithmetic, Geometric, Trigonometry and the main theme itself. We also obtain the formalization of the irrational number e, both by the traditional method used in Calculus and Analysis books and by the theory presented. Finally, we present some curious situations that directly or indirectly involve this constant and that can be worked with Basic Education students.
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O Número de EulerFigueira, Ramon Formiga 19 January 2017 (has links)
Submitted by ANA KARLA PEREIRA RODRIGUES (anakarla_@hotmail.com) on 2017-09-04T15:09:18Z
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Previous issue date: 2017-01-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The Euler's Number, denoted by e and corresponding to the base of the Natural
Logarithms, despite being one of the most important constants in Mathematics, both
by the variety of its mathematical implications and by the number of its practical
applications, remains unknown to many people. It is common to nd Engineering
or even Exact Sciences students who only became aware of the existence of e after
taking a Calculus Course. It is also not di cult to nd students who, even after such
contact, seem to never realize the importance of this number. The e is a versatile
constant. Although, in general, it appears related to results involving Di erential
and Integral Calculus, it is present in several problems of di erent Mathematics
areas. We can nd it, besides Analysis and Function Theory, in Financial Mathematics,
Combinatorial Analysis, Probability, Trigonometry, Geometry, Statistics,
Number Theory. In this work, we make a brief historical analysis about the discovery
of the Euler's Number, we present its de nition, as well as alternative ways of
characterizing it through in nite sums and products. We also address two interesting
problems in which it is present: the counting of the number of partitions of a
nite non-empty set and obtaining an approximation for the factorial of a natural
number, in which we nd the Stirling's Approximation. / O Número de Euler, denotado por e e correspondente à base dos Logaritmos
Naturais, apesar de ser uma das constantes mais importantes da Matemática, tanto
pela variedade de suas implicações matemáticas quanto pela quantidade de suas
aplicações práticas, permanece desconhecido por muitos. É comum encontrarmos
estudantes de Engenharia, ou até mesmo das Ciências Exatas, que só tomaram conhecimento
da existência do e após um curso de Cálculo. Também não é difícil nos
depararmos com alunos que, mesmo após tal contato, parecem nunca terem percebido
a importância desse número. O e é uma constante versátil. Apesar de, em
geral, aparecer relacionado a resultados envolvendo o Cálculo Diferencial e Integral,
ele se faz presente em diversos problemas de diferentes áreas da Matemática. Podemos
encontrá-lo, além da Análise e Teoria de Funções, na Matemática Financeira,
na Análise Combinatória, na Probabilidade, na Trigonometria, na Geometria, na
Estatística, na Teoria dos Números. Neste trabalho, realizamos uma breve análise
histórica sobre o descobrimento do Número de Euler, exibimos sua de nição, além de
formas alternativas de caracterizá-lo através de somas e produtos in nitos, e abordamos
dois interessantes problemas nos quais ele se faz presente: o da contagem
do número de partições de um conjunto não vazio nito e o da obtenção de uma
aproximação para o fatorial de um número natural, no qual nos deparamos com a
Fórmula de Stirling.
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