Dans ce travail, un nouveau schéma de prédistorsion de non-linéarités amplificateur de puissance est développé et démontré. L'originalité de l'architecture du système proposé est que l'estimation des non-linéarités est réalisé grâce au récepteur à une séquence de formation, et renvoyé à l'émetteur pour la prédistorsion. L'architecture proposée réalise indemnisation efficace des non-linéarités amplificateur de puissance sur les normes WiMAX et LTE, sans matériel supplémentaire. Une évaluation des économies de consommation est effectuée, compte tenu de la consommation numérique de l'algorithme d'estimation au niveau du récepteur et de prédistorsion Look Up Table de rafraîchissement à l'émetteur. Les résultats montrent que l'architecture proposée peut être appliquée pour les systèmes de données à haut taux de stations de base, les stations relais et également aux stations mobiles. / In this work a novel scheme of predistortion of power amplifier nonlinearities is developed and demonstrated. The originality of the proposed system architecture is that the estimation of nonlinearities is carried out at the receiver thanks to a training sequence, and sent back to the transmitter for predistortion. The proposed architecture achieves efficient compensation of power amplifier nonlinearities on WiMAX and LTE standards without extra hardware. An evaluation of consumption savings is carried out, considering digital consumption of the estimation algorithm at the receiver and predistortion Look Up Table refreshment at the transmitter. The results show that the suggested architecture can be applied for high data rate systems at base stations, relay stations and mobile stations as well.

L'objectif de ce travail est d'étendre le concept d'interface entre sous structures a celui d'interface entre physiques afin de proposer un cadre de réflexion général pour la simulation des problèmes multi physiques. On présente ainsi une nouvelle stratégie, fondée sur la méthode latin, dont on montre la faisabilité sur le problème d'interaction fluide structure dans un sol poreux. Une technique d'approximation radiale des inconnues est ensuite mise en place afin d'accroître les performances de méthode. Le volet suivant est l'utilisation du concept d'interface entre physiques pour prendre en compte les aspects multiechelles en temps et en espace. Des techniques de couplage et de transfert sont introduites afin de permettre l'utilisation de discrétisations temporelles et de maillages spatiaux différents pour chacune des physiques. Enfin, des travaux sur le traitement des non linéarités sont présentes et montrent que ces aspects n'affectent pas les performances de la stratégie.

La sécurité routière est aujourd’hui un des objectifs principaux des constructeurs automobiles. Pour garantir un haut niveau de sécurité aux conducteurs et passagers mais aussi aux autres usages de la route, comme les piétons et les deux roues, les véhicules sont testés sous tous les angles avant leur commercialisation. Qu’ils soient virtuels ou réels, les essais jalonnent la conception et le développement d’une voiture. Aujourd’hui, la simulation numérique joue un rôle primordial dans le développement des nouveaux dispositifs et équipements. Pour que les modèles numériques offrent toujours plus de prédictivité, le domaine de la simulation numérique est en constante évolution. L’objectif de cette thèse est de contribuer à l’amélioration de la simulation des crash de véhicules. Le sujet de l’étude présentée dans ce document est composé de deux problématiques. La première consiste en la prise en compte des non-linéarités matérielles de type rupture dans le processus de dimensionnement au choc. Dans le domaine du crash, deux types de pièces sont distingués. Celles qui doivent casser en choc comme les suspensions moteur et celles dont rupture est interdite comme le carter moteur ou bien le carter d’embrayage. La rupture est un phénomène délicat à modéliser et également coûteux en temps de calcul. Par conséquent, les premiers modèles pour la simulation de la rupture ont été seulement fonctionnels (désactivation des ressorts de rupture). Avec l’arrivée de méthodes numériques telles que la méthode de suppression d’éléments, de nombreux modèles de rupture ont été développés. Comme ces modèles sont relativement récents, les bases de données matériaux sont souvent incomplètes ce qui rend difficile leur utilisation. Un des objectifs de la thèse est donc l’identification des paramètres matériaux pour le modèle de Mohr-Coulomb et le modèle de Johnson-Cook à l’aide d’essais sur éprouvettes. Une campagne d’essais sur un sous-système automobile a été également effectuée. La corrélation numérique des essais a permis de valider la modélisation« volumique » de la rupture et d’identifier des voies de progrès de la méthodologie actuelle. Le deuxième sujet présenté dans ce document est la modélisation du comportement élastique linéaire des composants qui ne doivent pas casser en choc et la prise en compte des non-linéarités géométriques de type grandes rotations et de contact. Une modélisation par des super-éléments élastiques linéaires adaptés pour les calculs explicites avec grandes rotations a été proposée pour les pièces massives de fonderie. La modélisation par super-élément est réalisée dans Radioss via un fichier.fxb. Une nouvelle méthode de réduction dérivée à partir de la méthode de MacNeal a été proposée. La base de transformation de celle-ci est constituée par des modes libres complétés par des modes de souplesse résiduelle (MLSR). Le modèle réduit à l’aide de la méthode MLSR est généré avec des routines Matlab développées dans le cadre de la thèse. Afin d’intégrer la modélisation par super-élément dans le processus de dimensionnement au choc PSA, une filière de calcul Abaqus–Matlab–Radioss a été proposée. Un processus de génération du fichier.fxb à l’aide des outils CFAO utilisés chez PSA a été établi. Afin d’optimiser la performance des calculs avec super-élément, trois nouvelles modélisations pour la gestion de contact avec super-élément ont été proposées. Une application de la modélisation par super-élément a été faite pour un modèle de test et également pour un modèle de choc de véhicule. / Nowadays, road safety is one of the main aims of car makers. To guarantee a high level of security to car drivers and passengers and also to other road users, such as for example pedestrians and two wheelers, the cars are submitted to a lot of tests before their commercialisation. Whether they are virtual or real, the experiments set out the conception and the development of a car. Nowadays, the numerical simulation plays a prime role in the development of new systems and equipments. In order to offer more and more predictivity by numerical models, the domain of the numerical simulation is inconstant evolution. The aim of this thesis is to contribute to the improvement of a car crash simulation. The subject of the study presented in this document is composed by two themes. The first one consists in inclusion of the material nonlinearities as fracture in the car crash dimensioning process. In car crash, two types of components are distinguished. Those which have to brake during the shock such as engine suspensions and those which have not to brake such as crankcase or clutch housing. The fracture is a phenomenon difficult to model, moreover, its computational time is important. Thus, the first fracture models were only functional (deactivation of fracture springs). With the arrival of numerical methods such as element deletion method, a lot of fracture models were developed. Because these models are relatively recent, the material databases are often incomplete which makes their use more difficult. Thus, one of the aims of this study is the material parameters identification of Mohr-Coulomb and Johnson-Cook fracture model with the aid of experiments on specimens. Another experiment campaign on an automotive subsystem was also realized. The numerical correlation using the material fracture parameters identified in the first step enabled to validate the "volumic"fracture modelisation and to identify the ways of progress of the current methodology. The second theme presented in this document is the modeling of linear elastic behavior of components which have not to brake in car crash and inclusion of geometrical nonlinearities as large rotations and contact. A modeling by linear elastic super elements adapted for explicit simulations with large rotations was proposed for massive cast iron components. The modeling by super elements was realized in Radioss by means of the file.fxb. A new reduction method derived from that of MacNeal was proposed. Its transformation basis is constituted by a free eigen-modes completed by residual flexibility modes. The model is reduced by means of Matlab routines which were developed in the framework of the thesis. In order to integrate the modeling by superelements in the dimensioning car crash process used at PSA, a procedure Abaqus–Matlab–Radioss was proposed. A process for the generation of the file.fxb by means of the CAD/CAMtools used at PSA was established. In order to optimize the simulation performance with superelements, three new models for contact management with a superelement were proposed. The modeling by superelement was applied in a test model and also in a frontal car crash simulation.

Les microsystèmes, qui sont réalisés à partir de technologies micro-électroniques, connaissent un essor scientifique et technologique important grâce à leurs applications qui sont de plus en plus présentes dans la vie courante. Un des microsystèmes très en vogue est le transducteur ultrasonore capacitif micro-usiné, couramment appelé CMUT. Il est utilisé pour transmettre ou réceptionner des ondes ultrasonores et son domaine d’application est très vaste puisqu’on le trouve dans des sondes d’imagerie médicale, dans des hauts parleurs ultra directifs, pour le contrôle non destructif de matériaux… Dans la plupart des applications la puissance acoustique émise par le CMUT doit être très élevée ce qui implique que le CMUT va être utilisé en régime non-linéaire. En outre, même en utilisant des procédés de fabrication avancés, la microplaque mobile constituant le CMUT possède une déformation géométrique dans son état de repos. Il faudra par conséquent tenir compte des non-linéarités et des imperfections géométriques lors de l’analyse statique et dynamique du CMUT.Dans ce travail le modèle multiphysique d’un CMUT est développé en tenant compte des non-linéarités géométriques et électrostatiques ainsi que de la déflexion initiale de la microplaque. Les équations différentielles du mouvement de la microplaque, issues de la théorie des plaques de von Kármán, sont discrétisées spatialement en utilisant la méthode différentielle quadratique. La réponse statique d’un CMUT a été analysée à partir de simulations numériques et d’essais expérimentaux, en considérant des plaques planes et des plaques courbes et on montre qu’une déflexion initiale de la plaque conduit à une augmentation de la tension de pull-in. Le comportement dynamique non-linéaire du CMUT est analysé en discrétisant la variable temporelle et en utilisant la méthode des différences finies. En utilisant la technique de continuation arclength, nous déterminons la réponse en fréquence non-linéaire du CMUT. Suivant la valeur de la tension DC, le CMUT aura un comportement raidissant ou assouplissant. Une validation expérimentale du modèle numérique est réalisée en utilisant des microplaques planes et des microplaques courbes. En particulier nous montrons que l’utilisation de microplaques courbes, dues aux imperfections géométriques, change la réponse en fréquence du CMUT, passant d’un comportement raidissant à un comportement assouplissant, augmente le domaine de bi-stabilité et modifie la topologie de bifurcation.Le modèle numérique est par la suite étendu afin d’analyser les effets du film d’air sur le comportement dynamique de la microplaque en couplant les équations mécaniques du CMUT avec les équations de Reynolds du fluide. Les fréquences de résonance du problème multiphysique sont obtenues par résolution d'un système linéaire amorti. La validation expérimentale et numérique du modèle est effectuée en déterminant les fréquences de résonance du CMUT à des pressions différentes. Nous montrons que l’air comprimé change la réponse dynamique du CMUT par l’ajout d’une raideur et d’un amortissement. La diminution de la pression conduit à une diminution de la fréquence de résonance du système couplé et tend vers la fréquence de résonance de la microplaque. D'autre part la réponse en fréquence du système devient non-linéaire due à la diminution du coefficient d'amortissement. A la pression atmosphérique, on montre que le CMUT a un comportement non-linéaire de type assouplissant lorsque les excitations sont élevées. Le modèle numérique développé est un outil efficace pour analyser les CMUTs et augmenter leurs performanaces. / Micro Electro Mechanical Systems (MEMS) have attracted the interest of scientists and engineers thanks to the variety of their applications and their significant roles in our real life. One of the most important microsystems is the capacitive micromachined ultrasonic transducer (CMUT), which is used for transmitting ultrasonic waves, for instance in medical imaging and therapy. In such applications, a high-transmitted acoustic power is needed which implies driving the CMUT in the nonlinear regime. Moreover, from a manufacturing point of view, the fabrication of a CMUT with a flat surface is extremely difficult even with the recent advances in the fabrication process. Modeling this type of microsystem while including the main sources of nonlinearities and geometric imperfections is a challenging step in understanding its static and dynamic behavior.In this thesis, a multiphysics model of imperfect CMUTs is developed taking into account the geometric and electrostatic nonlinearities. The governing equations of motions are derived from the von Kármán plate theory and spatially discretized using the Differential Quadrature Method (DQM). For the static response, numerical simulations and experimental characterizations have been conducted on flat and curved CMUTs, showing that a positive initial deflection leads to an increase in the pull-in voltage. The nonlinear dynamic behavior of a CMUT is studied by discretizing the time variable using the Finite Difference Method (FDM). The nonlinear frequency and force responses have been determined by combining FDM with the arclength continuation technique. It is shown that the CMUT can exhibit a hardening or softening behavior depending on the DC voltage. An experimental validation of the numerical model is performed for the case of flat and curved microplates. We demonstrate that the geometric imperfection modifies the nonlinear frequency response of a CMUT from hardening to softening, increases its bistability domain and permits the tuning of its bifurcation topology.The numerical model is extended to investigate the effect of an air film on the dynamic behavior of the microplate by coupling the nonlinear mechanical equations with the Reynolds equation. The complex resonance frequencies of the multi-physical problem are determined by solving the damped linear system. An experimental and numerical validation of the model is performed by determining the resonance frequencies at several static pressures. We demonstrate that the air film is able to modify the dynamic response of the CMUT by adding stiffness and damping. By decreasing the static pressure, the resonance frequency of the coupled problem decreases and becomes closer to the natural resonance frequency of the microplate. Moreover, the frequency response of the system becomes nonlinear due the decrease in the damping coefficient. At atmospheric pressure, the softening type behavior of the CMUT is obtained by applying high excitation levels. The presented numerical model is a very efficient tool to understand the nonlinear dynamic behavior CMUTs and to enhance their performances.

Cette thèse a été préparée à l'IMT atlantique dans le contexte du projet FITNESS. Ce projet Européen vise à moderniser les radios PMR (Professional Mobile Radio), utilisées par les services de sûretés. L'objectif est de développer un nouveau récepteur compatible avec les 4 normes européennes, tout en ajoutant de nouvelles fonctionnalités. Les contributions de cette thèse à FITNESS concernent la rétrocompatibilité du nouveau récepteur avec les standards actuels. Un filtre de sélection de canal de fréquence centrale reconfigurable a été utilisé pour gérer cette interopérabilité. Toutefois on notera que sa bande passante est trop large et que plusieurs canaux de communications insuffisamment atténués serons présents au niveau des convertisseurs. Pour relâcher les contraintes de linéarité et les marges de numérisation, nous proposons de rendre le récepteur conscient de son environnement spectral.L'intérêt de cette méthode a été développé dans une première partie de la thèse. Une méthode de détection aveugle basée sur les propriétés cyclostationnaires du signal de communication a été proposée. Nous utilisons ensuite cet outil pour détecter la présence d'harmoniques indésirables créés lors d'un fonctionnement en régime non linéaire du récepteur. Nous montrons qu'il est ainsi possible de détecter très tôt le mode de fonctionnement du récepteur. Enfin, basé sur les deux études précédentes nous proposons une méthode permettant d'adapter automatiquement les paramètres de la chaine analogique. Cette preuve de concept basé sur une boucle de rétroaction permet une amélioration significative du taux d'erreur binaire tout en relâchant les contraintes au niveau analogique. / This thesis was prepared at IMT Atlantique, in the context of the FITNESS project. This European project aims to modernize PMR (Professional Mobile Radio) radios, used by security services. The objective is to develop a new receiver compatible with the 4 European standards, while adding new features. The contributions of this thesis to FITNESS concern the backwards compatibility of the new receiver with current standards. A reconfigurable central frequency channel selection filter was used to manage this interoperability. However, it should be noted that its bandwidth is too large and that several insufficiently attenuated communication channels are present at the A/D converters input. To relax linearity constraints and digitization margins, we propose to make the receiver aware of its spectral environment.The interest of this method has been developed in a first part of this document. A method for blind detection based on the cyclostationary properties of the communication signal has been proposed. We then use this tool to detect the presence of unwanted harmonics created during non-linear operation of the receiver. We show that it is possible to detect the operating mode of the receiver before the useful signal degradation. Finally, based on the two previous studies, we propose a method to automatically adapt the parameters of the analog receiver. This proof of concept based on a feedback loop allows a significant improvement in the bit error rate while relaxing constraints at the analog level.

Les composites stratifiés sont aujourd'hui fortement utilisés dans l'industrie. Ils permettent en effet une conception optimisée des structures et offrent ainsi une réponse aux contraintes énergétiques auxquelles font face les industriels. Cependant, la prévision par le calcul de leur comportement sous charge et de leur dégradation progressive soulève une difficulté : la modélisation du matériau doit être réalisée à une échelle très inférieure à celle de la structure. On se concentre ici sur les modèles de zone cohésive qui, depuis les vingt dernières années, ont démontré leur aptitude à la prédiction du délaminage. La taille des problèmes résultant de la simulation de l'évolution de structures industrielles par ce type de modèle est considérable. Leur résolution requiert alors l'utilisation de stratégies de calcul intensif. Dans ces travaux, le problème non linéaire posé à chaque piquet de temps du schéma d'intégration temporel est résolu par une méthode de décomposition de domaine à trois échelles. L'introduction des différents niveaux de résolution permet de traiter les informations de l'échelle fine, de l'échelle du pli et de l'échelle de la structure de manière adaptée au cours des itérations, et ainsi d'assurer l'efficacité de la méthode proposée, en termes de taux de convergence et d'aptitude à la parallélisation. Cette stratégie est ensuite aménagée pour résoudre les difficultés liées aux non-linéarités fortement localisées et aux éventuelles instabilités engendrées par le comportement adoucissant du matériau simulé.

L'objectif de cette thèse est de mieux comprendre la traversée du courant-jet de son côté chaud vers son côté froid par un certain nombre de tempêtes des moyennes latitudes. En effet, on a observé que ces tempêtes croissent de manière explosive juste après cette traversée, d'où l'intérêt porté à la question de la traversée. On se demande par quel mécanisme la structure spatialement inhomogène du courant-jet influence, au-delà de l'instabilité barocline, la trajectoire et le creusement des dépressions de surface pendant la traversée du jet. On étudie d'abord, dans un cadre numérique barotrope idéalisé, comment les effets de déformation grande échelle modulent le déplacement méridien d'un tourbillon cyclonique. Ce déplacement est, en premier lieu, dû à l'effet non linéaire du gradient méridien de la vorticité potentielle grande échelle (concept de beta-drift, connu dans le contexte des cyclones tropicaux et des tourbillons océaniques). On montre que les effets de déformation renforcent l'anticyclone qui est créé par la génération d'ondes de Rossby due à la présence du gradient de vorticité potentielle, et avec lequel le tourbillon cyclonique interagit. Puis on généralise ce mécanisme à une atmosphère barocline en étudiant la traversée par un tourbillon cyclonique de surface d'un courant-jet avec méandres et instable barocliniquement, dans un modèle à deux couches. On montre qu'un gradient de vorticité potentielle barotrope positif induit un fort anticyclone d'altitude, responsable de la traversée du jet par le tourbillon de surface avec lequel il interagit. En outre, le cycle de vie énergétique d'un tourbillon idéalisé subissant les effets de la déformation est similaire à celui de certaines tempêtes réelles, avec notamment une intensification juste après la traversée du jet.

Une structure ordonnée, périodique et non cohésive de billes sphériques monodisperses forme un cristal phononique granulaire. L'objet de ce travail de thèse porte sur la propagation d'une onde acoustique à l'intérieur de ce type de structure. Lors de la propagation d'une onde acoustique à travers un cristal granulaire, les propriétés des cristaux phononiques (dispersion due à la périodicité géométrique) sont combinées avec les propriétés de propagation dans les milieux granulaires (non-linéarités, degrés de liberté de rotation). Dans ce travail de thèse, les relations de dispersion des modes de volumes se propageant dans une structure granulaire hexagonale compacte sont déterminées théoriquement. La structure est modélisée par une structure masses- ressorts. Deux ressorts modélisent les interactions au niveau du contact entre deux billes, alors considérées comme des masses rigides, suivant la théorie de Hertz-Mindlin, avec un ressort pour les interactions normales et un ressort pour les interactions transverses. Dans un premier temps, le spectre des modes de volume est déterminé dans le cas où les interactions transverses sont négligées, les relations de dispersion des modes de translation se propageant dans le cristal sont obtenues. Dans un deuxième temps, les rigidités transverses sont prises en compte. L'existence de l'interaction transverse ainsi que la distance non nulle séparant les contacts des centres de billes nécéssitent la prise en compte des degrés de liberté de rotation de chaque bille. La modélisation de la structure s'inscrit alors dans le cadre d'une théorie généralisée de l'élasticité appelée théorie de Cosserat ou théorie micropolaire. Ceci conduit à la prédiction de modes de translation, de modes de rotation et de modes couplés de rotation-translation. Les modes induits par la théorie de Cosserat (modes de rotation et modes couplés translation-rotation) n'ont auparavant pas été observés expérimentalement dans les milieux granulaires. Après l'étude théorique de la propagation des ondes dans une direction particulère, l'observation expérimentale de modes couplés rotation-translation dans cette direction dans un cristal phononique granulaire est reportée, validant ainsi les effets de la théorie de Cosserat dans les milieux granulaires. Finalement, la non-réciprocité de l'effet non linéaire classique d'auto-démodulation par rapport à la direction de propagation de l'onde acoustique dans un cristal granulaire soumis à la gravité est démontrée.

Le travail de thèse propose une nouvelle approche du dimensionnement courant des tunnels. Par le biais d'une double démarchehiérarchique, en terme de méthode de calcul d'une part et en terme de loi de comportement d'autre part, différentes lois d'endommagement sont proposées afin de mieux comprendre la mécanique du creusement-soutènement

L'augmentation de l'efficacité spectrale des transmissions mono-porteuses sur un lien de diffusion par satellite est devenu un défi d'envergure afin de pallier la demande croissante en débits de transmission. Si des techniques émergentes de transmissions encouragent l'utilisation de modulations à ordre élevé telles que les modulations de phase et d'amplitude (APSK), certaines dégradations sont encourues lors du traitement à bord du satellite. En effet, en raison de l'utilisation d'amplificateurs de puissance ainsi que de filtres à mémoires, les modulations d'ordre élevé subissent des distorsions non-linéaires dues à la fluctuation de leur enveloppe, ce qui nécessite des traitements au sein de l'émetteur ou bien au sein du récepteur. Dans cette thèse, nous nous intéressons au traitement de l'interférence non-linéaire au sein du récepteur, avec une attention particulière aux égaliseurs itératifs qui améliorent les performances du système au prix d'une complexité élevée. A partir du modèle temporel des interférences non-linéaires induites par l'amplificateur de puissance, des algorithmes de réception optimaux et sous optimaux sont dérivés, et leurs performances comparées. Des égaliseurs à complexité réduite sont aussi étudiés dans le but d'atteindre un compromis performances-complexité satisfaisant. Ensuite, un modèle des non-linéarités est dérivé dans le domaine fréquentiel, et les égaliseurs correspondants sont présentés. Dans un second temps, nous analysons et dérivons des récepteurs itératifs pour l'interférence entre symboles non linéaire. L'objectif est d'optimiser les polynômes de distributions d'un code externe basé sur les codes de contrôle de parité à faible densité (LDPC) afin de coller au mieux à la sortie de l'égaliseur. Le récepteur ainsi optimisé atteint de meilleures performances comparé à un récepteur non optimisé pour le canal non-linéaire. Finalement, nous nous intéressons à une classe spécifique de techniques de transmissions mono-porteuse basée sur le multiplexage par division de fréquence (SC-OFDM) pour les liens satellites. L'avantage de ces formes d'ondes réside dans l'efficacité de leur égaliseur dans le domaine fréquentiel. Des formules analytiques de la densité spectrale de puissance et du rapport signal sur bruit et interférence sont dérivées et utilisées afin de prédire les performances du système. / Increasing both the data rate and power efficiency of single carrier transmissions over broadcast satellite links has become a challenging issue to comply with the urging demand of higher transmission rates. If emerging transmission techniques encourage the use of high order modulations such as Amplitude and Phase Shift Keying (APSK) and Quadrature Amplitude Modulation (QAM), some channel impairments arise due to onboard satellite processing. Indeed, due to satellite transponder Power Amplifiers (PA) as well as transmission filters, high order modulations incur non linear distortions due to their high envelope fluctuations which require specific processing either at the transmitter or at the receiver. In this thesis, we investigate on non linear interference mitigation at the receiver with a special focus on iterative equalizers which dramatically enhance the performance at the cost of additional complexity. Based on the time domain model of the non linear interference induced by the PA, optimal and sub-optimal receiving algorithms are proposed and their performance compared. Low complexity implementations are also investigated for the sake of a better complexity-performance trade-off. Then, a non linear frequency domain model is derived and the corresponding frequency equalizers are investigated. In the second part, we analyse and design an iterative receiver for the non linear Inter Symbol Interference (ISI) channel. The objective is to optimize an outer Low Density Parity Check (LDPC) code distribution polynomials so as to best fit the inner equalizer Extrinsic information. The optimized receiver is shown to achieve better performance compared to a code only optimized for linear ISI channel. Finally, we investigate on a specific class of single carrier transmissions relying on Single Carrier Orthogonal Frequency Division Multiplexing (SCO-FDM) for satellite downlink. The advantage of such waveforms lies in their practical receiver implementation in the frequency domain. General analytical formulas of the power spectral density and signal to noise and interference ratio are derived and used to predict the bit error rate for frequency selective multiplexers.