Im ersten Teil der Arbeit analysieren wir BSDEs mit Generatoren, die monoton in y, convex in z, gemeinsam unterhalbstetig und von unten durch eine affine Funktion der Kontrollvariable beschränkt sind. Das erste Hauptresultat ist der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit einer minimalen Superlösung. Wir zeigen, dass für die minimale Superlösung wichtige Eigenschaften, wie zum Beispiel die Flusseigenschaft und die Projektivität gelten. Es stellt sich heraus, dass das Funktional welches die Endbedingung auf das Infimum über alle Wertprozesse zur Zeit null abbildet nicht nur den gleichen Definitionsbereich wie der Erwartungswert hat, sondern auch einige seiner wichtigsten Eigenschaften, wie monotone Konvergenz und Fatou''s Lemma teilt. Das führt im Weiteren zur Unterhalbstetigkeit und zu dualen Darstellungen dieses Funktionals. Schlussendlich zeigen wir eine Lösung des Nutzenmaximierungsproblems für die Exponentialnutzenfunktion. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir die quadratische Absicherung von finanziellen Risikopositionen unter Basisrisiko. Zuerst zeigen wir wie optimal abgesichert wird, wenn die Differenz der Logarithmen von Absicherungsinstrument und Risiko asymptotisch stationär ist. Für lineare Risikopositionen leiten wir explizite Formeln für den Absicherungsfehler her und zeigen, dass für nichtlineare Positionen eine schnelle Simulation möglich ist. Zweitens untersuchen wir ein Modell in dem die Korrelation zwischen Absicherungsinstrument und Basiswert stochastisch ist. Wir nehmen an, dass die Korrelation ein Prozess ist, der sich gemäß einer stochastischen Differentialgleichung mit Werten zwischen -1 und 1 entwickelt. Wir leiten eine Integrabilitätsbedingung bezüglich des Korrelationsprozesses her, die uns erlaubt die optimale quadratische Absicherung durch eine einfache Formel zu beschreiben. Weiterhin zeigen wir, dass unsere Bedingungen von einer großen Klasse von Korrelationsdynamiken erfüllt werden. / In the first part of the thesis we analyze BSDEs with generators that are monotone in y, convex in z, jointly lower semicontinuous, and bounded below by an affine function of the control variable. The first central result establishes existence and uniqueness of a minimal supersolution. We show that our setting allows to derive important properties of the minimal supersolution such as the flow property and the projectivity. We find that the functional which maps the terminal condition to the infimum over all value processes evaluated at time zero is not only defined on the same domain as the original expectation operator, but also shares some of its main properties such as monotone convergence and Fatou''s Lemma. Moreover, this leads to lower semincontinuity and dual representations of the functional. Finally, we demonstrate a solution of the problem of maximizing expected exponential utility. In the second part of the thesis we investigate quadratic hedging of contingent claims with basis risk. We first show how to optimally cross-hedge risk when the logspread between the hedging instrument and the risk is asymptotically stationary. For linear risk positions we derive explicit formulas for the hedge error, while for non-linear positions swift simulation analysis is possible. Secondly, we study a model where the correlation between the hedging instrument and the underlying of the contingent claim is random itself. We assume that the correlation is a process which evolves according to a stochastic differential equation with values between the boundaries -1 and 1. We derive an integrability condition on the correlation process that allows to describe the quadratic hedge by means of a simple hedging formula. Furthermore we show that our conditions are fulfilled by a large class of correlation dynamics.

In dieser Arbeit untersuchen wir Superlösungen stochastischer Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSDEs) und ein Gleichgewichtsmodell angewandt auf zwei spezifische verallgemeinerte Capital Asset Pricing Models (CAPMs). Unter der Annahme, dass Generatoren der BSDEs unterhalbstetig und von unten durch eine affine Funktion der Kontrollvariablen beschränkt sind sowie eine spezifische Normalisierungseigenschaft erfüllen, beweisen wir Existenz und Eindeutigkeit der minimalen Superlösung, wobei wir Semimartingalkonvergenz und eine geeignet definierte Präorder in Verbindung mit dem Zornschen Lemma nutzen. Anschließend betrachten wir konvexe Generatoren und restringieren admissible Kontrollen auf stetige Semimartingale, wobei wir eine Abhängigkeit des Generators von den Zerlegungsteilen zulassen. Wir beweisen Existenz von Superlösungen, die an endlich vielen Zeitpunkten minimal sind. Neben Stabilitätsresultaten für den nichtlinearen Operator, der einer Endbedingung den Wert der minimalen Superlösung zum Zeitpunk null zuordnet, leiten wir dessen duale Darstellung her und geben eine explizite Form dieser im Falle eines quadratischen Generators an. Ferner geben wir mittels der Dualität Bedingungen für die Existenz von Lösungen unter Nebenbedingungen. Im zweiten Teil der Arbeit behandeln wir ein Gleichgewichtsmodell in stetiger Zeit für verallgemeinerte CAPMs, das endlich viele Agenten und Finanzprodukte umfasst. Die Agenten maximieren exponentielle Nutzenfunktionen und ihre Anfangsausstattung wird von den gehandelten Produkten aufgespannt. Wir zeigen Existenz eines Gleichgewichts, in welchem die optimalen Handelsstrategien konstant sind und von jeweiliger Risikoaversion und Anfangsausstattung abhängen. Hiernach werden affine Prozesse sowie die Theorie des sogenannten Information-based Asset Pricing zur Modellierung herangezogen. Wir leiten semi-explizite Preisformeln her, die sich für effiziente numerische Berechnungen eignen, da keine Monte-Carlo-Methoden gebraucht werden. / In this thesis we study supersolutions of backward stochastic differential equations (BSDEs) and equilibrium pricing within two specific generalized capital asset pricing models (CAPMs). In the first part of the thesis we begin by assuming that the generators of the BSDEs under consideration are jointly lower semicontinuous, bounded from below by an affine function of the control variable, and satisfy a specific normalization property. We prove the existence and uniqueness of the minimal supersolution making use of a particular kind of semimartingale convergence and a suitably defined preorder in combination with Zorn''s lemma. Next, we assume generators to be convex and introduce constraints by restricting admissible controls to continuous semimartingales, where we allow for a dependence of the generator on the respective decomposition parts. We prove existence of supersolutions that are minimal at finitely many fixed times. Besides providing stability results for the non-linear operator that maps a terminal condition to the value of the minimal supersolution at time zero, we give a dual representation of it, including an explicit computation of the conjugate in the case of a quadratic generator, and derive conditions for the existence of solutions under constraints by means of the duality results. In the second part of the thesis we study equilibrium pricing in continuous time within generalized CAPMs. Our model comprises finitely many economic agents and tradable securities. The agents seek to maximize exponential utilities and their endowments are spanned by the securities. We show that an equilibrium exists and the agents'' optimal trading strategies are constant and dependent on their risk aversion and endowment. Affine processes, and the theory of information-based asset pricing are then used for modeling purposes. We derive semi-explicit pricing formulae which lend themselves to efficient numerical computations, as no Monte Carlo methods are needed.