Dans cette thèse, nous nous intéressons à la contrôlabilité interne et à son coût pour une ou plusieurs équations aux dérivées partielles conservatives. ?Dans la première partie, nous introduisons et détaillons deux méthodes permettant d'estimer le coût du contrôle (et par dualité, de la constante d'observabilité) de l'équation des ondes avec potentiel $l^{\infty}$ en dimension un d'espace. La première utilise la propagation des ondes le long des caractéristiques en s'appuyant sur le rôle symétrique de la variable de temps et d'espace. La deuxième méthode repose sur la décomposition spectrale de l'équation des ondes et sur l'utilisation des inégalités d'ingham. L'estimation de la constante d'observabilité se ramène alors à l'étude d'un problème d'optimisation faisant intervenir les vecteurs propres du laplacien-dirichlet avec potentiel. Nous fournissons ensuite des propriétés qualitatives sur le minimiseurs ainsi qu'une estimation du minimum ne dépendant que de la mesure de l'ensemble d'observation. ?Dans la deuxième partie, nous étudions la contrôlabilité de certains systèmes d'équations avec un nombre de contrôles réduits, autrement dit le nombre de contrôles est plus petit que le nombre d'équations. En particulier, nous caractérisons exactement les données initiales qui peuvent être contrôlées pour des systèmes d'équations couplées de type schrödinger et nous énonçons une condition nécessaire et suffisante de type kalman pour des systèmes d'équations des ondes couplées. La preuve repose sur une méthode de contrôle fictif combinée à la résolution algébrique d'un système sous-déterminé et sur certains résultats de régularité. / In this work, we focus on the internal controllability and its cost for some linear partial differential equations. In the first part, we introduce and describe two methods to provide precise estimates of the cost of control (and by duality, of the observability constant) for general one dimensional wave equations with potential. The first one is based on a propagation argument along the characteristics relying on the symmetrical roles of the time and space variables. The second one uses a spectral decomposition of the solution of the wave equation and ingham's inequalities. This relates the estimation of the observability constant to the study of an optimal problem involving dirichlet eigenfunctions of laplacian with potential. We provide some qualitative properties of the minimizers, and also precise bounds on the minimum. In the second part, we are concerned with the controllability of some systems of equations by a reduced number of controls (i.e. the number of controls is less that the number of equations). In particular, in the case of coupled systems of schrödinger equations, we exactly characterize the initial conditions that can be controlled and we give a necessary and sufficient condition of kalman type for the controllability of coupled systems of wave equations. The proof relies on the fictitious control method coupled with the proof of an algebraic solvabilityproperty for some related underdetermined system, as well as on some regularity results.

Ce manuscrit de thèse traite de l'analyse asymptotique de problèmes paraboliques possédant des termes raides. Dans un premier temps, on fait l'analyse asymptotique d'un système parabolique possédant des termes de transport raide. Une analyse à deux échelles, basée sur des résultats de théorie ergodique, nous permet de dériver un système limite effectif. Ce système effectif se trouve être, de nouveau, un système parabolique dont le champ de diffusion peut être explicité par une moyenne du champ de diffusion initial le long d'un groupe d'opérateurs unitaires. L'introduction d'un correcteur nous permet d'obtenir un résultat de convergence forte, avec un ordre de convergence, pour des données initiales non nécessairement bien préparées. On propose dans un second temps une méthode numérique permettant de calculer le champ de diffusion effectif. Celle-ci est basée sur la combinaison d'un schéma Runge-Kutta et d'un schéma de type semi-Lagrangien. L'ordre de convergence obtenu théoriquement est mis en évidence de manière numérique. On propose une méthode numérique basée sur un splitting d'opérateur pour la résolution du système parabolique avec termes de transport raide. Enfin, on effectue l'analyse asymptotique d'un système parabolique fortement anisotrope. Sous de bonnes hypothèses de régularité, un système variationnel effectif est proposé et l'introduction d'un correcteur adapté permet d'obtenir un résultat de convergence forte avec un ordre de convergence. Les arguments utilisés relèvent une nouvelle fois de l'analyse à deux échelles et de la théorie ergodique. / This manuscript is devoted to the asymptotic analysis of parabolic equations with stiff terms. First, we perform the asymptotic analysis of a parabolic equation with stiff transport terms. An effective limit model is obtained by a two-scale analysis based on ergodic theory results. This effective system is again a parabolic system whose diffusion field is an average of the initial diffusion field along a group of unitary operators. The introduction of a corrector allows us to obtain a strong convergence result, with an order of convergence, for initial data not necessarily well prepared. We propose a numerical method to compute the effective diffusion field. This method is based on a Runge-Kutta scheme and a semi-Lagrangian scheme. The theoretically order of convergence is obtained numerically. We propose a numerical method based on operator splitting for the resolution of the parabolic system with stiff transport terms. Finally, we perform the asymptotic analysis of a strongly anisotropic parabolic problem. Under suitable smoothness hypotheses, an effective variational system is proposed. By using a suitable corrector, we obtain a strong convergence result and we are able to perform the error analysis. The arguments relate again to the two-scale analysis and the ergodic theory.

Cette thèse porte essentiellement sur l'étude d'algorithmes d'optimisation. Les problèmes de programmation intervenant en apprentissage automatique ou en traitement du signal sont dans beaucoup de cas composites, c'est-à-dire qu'ils sont contraints ou régularisés par des termes non lisses. Les méthodes proximales sont une classe d'algorithmes très efficaces pour résoudre de tels problèmes. Cependant, dans les applications modernes de sciences des données, les fonctions à minimiser se représentent souvent comme une espérance mathématique, difficile ou impossible à évaluer. C'est le cas dans les problèmes d'apprentissage en ligne, dans les problèmes mettant en jeu un grand nombre de données ou dans les problèmes de calcul distribué. Pour résoudre ceux-ci, nous étudions dans cette thèse des méthodes proximales stochastiques, qui adaptent les algorithmes proximaux aux cas de fonctions écrites comme une espérance. Les méthodes proximales stochastiques sont d'abord étudiées à pas constant, en utilisant des techniques d'approximation stochastique. Plus précisément, la méthode de l'Equation Differentielle Ordinaire est adaptée au cas d'inclusions differentielles. Afin d'établir le comportement asymptotique des algorithmes, la stabilité des suites d'itérés (vues comme des chaines de Markov) est étudiée. Ensuite, des généralisations de l'algorithme du gradient proximal stochastique à pas décroissant sont mises au point pour resoudre des problèmes composites. Toutes les grandeurs qui permettent de décrire les problèmes à résoudre s'écrivent comme une espérance. Cela inclut un algorithme primal dual pour des problèmes régularisés et linéairement contraints ainsi qu'un algorithme d'optimisation sur les grands graphes. / This thesis mainly studies optimization algorithms. Programming problems arising in signal processing and machine learning are composite in many cases, i.e they exhibit constraints and non smooth regularization terms. Proximal methods are known to be efficient to solve such problems. However, in modern applications of data sciences, functions to be minimized are often represented as statistical expectations, whose evaluation is intractable. This cover the case of online learning, big data problems and distributed computation problems. To solve this problems, we study in this thesis proximal stochastic methods, that generalize proximal algorithms to the case of cost functions written as expectations. Stochastic proximal methods are first studied with a constant step size, using stochastic approximation techniques. More precisely, the Ordinary Differential Equation method is adapted to the case of differential inclusions. In order to study the asymptotic behavior of the algorithms, the stability of the sequences of iterates (seen as Markov chains) is studied. Then, generalizations of the stochastic proximal gradient algorithm with decreasing step sizes are designed to solve composite problems. Every quantities used to define the optimization problem are written as expectations. This include a primal dual algorithm to solve regularized and linearly constrained problems and an optimization over large graphs algorithm.

Le développement rapide des technologies de l’information dans l’usine du futur nécessite de repenser l’organisation des systèmes de production. Si l’importance des opérateurs est bien reconnue dans l’industrie 4.0, les facteurs humains restent cependant insuffisamment pris en considération dans les méthodes d’organisation. La simulation est parmi les méthodes largement utilisées pour étudier les systèmes de production et évaluer leurs performances. Toutefois, les approches de simulation existantes et les logiciels disponibles sont centrés sur les dimensions techniques de ces systèmes (machines, transport, règles de priorité, etc.). Malheureusement, les facteurs humains, particulièrement la fatigue des opérateurs, semble être très insuffisamment pris en compte dans les modèles de simulation. Dans ce contexte, la présente thèse vise à étudier dans quelle mesure la fatigue pourrait être intégrée dans les modèles de simulation des ateliers de production. Un cadre conceptuel combinant différents paradigmes de modélisation est ainsi proposé pour aider à concevoir de tels modèles. Le paradigme de simulation à événements discrets est utilisé pour décrire la dynamique de fonctionnement des ateliers. Le paradigme d’agent intelligent est utilisé pour modéliser les opérateurs et intégrer leur comportement de fatigue que nous avons modélisé en utilisant la simulation continue. Nous avons également utilisé la logique floue pour caractériser les facteurs de pénibilité, connus de façon imprécise, et leur impact sur l’évolution de la fatigue. Nous avons montré comment le cadre conceptuel proposé peut être mis en œuvre de façon assez générique avec le logiciel Anylogic. L’approche proposée a ensuite été utilisée pour aborder deux différents problèmes de production: le premier concerne l’affectation dynamique des opérateurs sur les machines et le deuxième est relatif à l’agencement de machines lors de la phase de conception des ateliers. Ceci nous a permis d’illustrer l’utilité de l’approche propose et montrer sa pertinence. L’analyse des résultats de simulation permet d’apporter des connaissances à la fois sur les performances des systèmes et sur les tendances d’évolution de la fatigue des opérateurs durant le travail. De tels résultats aident à réfléchir sur la façon dont laquelle nous pourrions améliorer les méthodes d’organisation et de gestion des ateliers pour contribuer à l’amélioration de leurs performances et au bien-être de leurs opérateurs. / The quick development of information technology in the factory of the future requires rethinking about the organization of production systems. Although the importance of the workers in the industry 4.0, human factors are still insufficiently taken into consideration in the organizational methods. Simulation is among the methods widely used to study production systems and evaluate their performances. However, the existing simulation approaches and the available softwares mainly focus on technical dimensions of these systems (machines, transport, priority rules, etc.). Unfortunately, human factors, particularly workers’ fatigue, seem to be very insufficiently taken into account in the simulation models. In this context, this thesis aims to study how the workers’ fatigue could be integrated into the simulation models of workshops. A framework combining different modelling paradigms is proposed to help in designing such models. Discrete event simulation is used to describe the dynamic of the working process in workshops. The paradigm of intelligent agent is used to model operators and integrate their behavior of fatigue, which has been modeled using continuous simulation paradigms. We have also used fuzzy logic in order to characterize the arduousness’s factors, known imprecisely, and impacts on the evolution of the workers’ fatigue. We have shown how the proposed framework can be implemented can be implemented generically enough with the software ANYLOGIC. The proposed approach has been then used to address two different production problems: the first one concerns the dynamic assignment of workers to machines and the second is related to the machines layout in the design stage of the system. This illustrated the utility of the proposed approach and showed its relevance. The analysis of the simulation results yields some knowledge on both the performance of the systems and on trends of the evolution the operators’ fatigue during the work. Such results help to thank on how to improve the methods of organization and management of the workshops so to contribute to the improvement of their performances and the well-being of their operators.

Cette thèse s'intéresse à des familles de fonctions zêta spectrales (séries de Dirichlet) qui peuvent être associées à certaines algèbres d'opérateurs sur des espaces de Hilbert. Dans ce mémoire, la principale question étudiée sur ces fonctions zêta est l'existence d'un prolongement méromorphe à partir d'un demi-plan ouvert du plan complexe au plan complexe tout entier. Généralisant une idée de Nigel Higson, on propose dans la partie I, une méthode pour prouver l'existence de ce prolongement méromorphe pour certains fonction zêta spectrales. Cette méthode s’effectue dans le cadre d'algèbres d'opérateurs différentiels généralisés et elle s'appuie sur une suite de réduction. Le théorème principal donne, sous certaines conditions, l'existence d'un prolongement méromorphe, une localisation des pôles dans les supports de suites arithmétiques et une borne supérieure pour l'ordre de ces pôles. Dans la partie II, on reformule la méthode de la partie I dans le contexte et avec le vocabulaire des triplets spectraux de Connes et Moscovici. Dans la troisième partie, on donne une application pour des fonctions zêta associées à des opérateurs de type Laplace sur des variétés lisses, compactes et sans bord. Cet exemple a été initialement traité par Nigel Higson avec cette approche en 2006. Une deuxième application traite de fonctions zêta associées au tore non commutatif. Dans la partie IV, on utilise le calcul pseudodifférentiel associé à des algèbres de Lie nilpotentes et développé par Dominique Manchon, pour construire de nouveaux triplets spectraux. Dans la partie V se trouve la principale application de la méthode exposée dans ce mémoire. On prouve l'existence du prolongement méromorphe pour des fonctions zêta provenant de représentations de Kirillov d'une classe d'algèbre de Lie nilpotentes. / The thesis is about a families of zeta functions (Dirichlet series) that may be associated to certain algebras of Hilbert space operators. In this thesis, the main question in studying these zeta functions is to establish their meromorphic continuation from a half-plane in the complex plane to the full plane.Following an idea of Nigel Higson, we develop, in part I, a method for proving the existence of a meromorphic continuation for some spectral zeta functions. The method is based on algebras of generalized differential operators. The more important tool is the reduction sequence. The main theorem states, under some conditions, the existence of a meromorphic continuation, a localization of the poles in supports of arithmetic sequences and an upper bound of their order. A formulation of the method into the framework of Connes and Moscovici, the regular spectral triples, setting in part II. In the third part, we give an application for zeta functions associate to a Laplace-type operator on a smooth, closed manifold. This example was initially treated in this way by Nigel Higson in 2006. We give another application for zeta functions associate to the noncommutative torus. In part IV, using the work of Dominique Manchon on algebras of pseudodifferential operators associated to unitary representations of nilpotent Lie group, we construct new spectral triples. In part V, set the main application of the method. We applicate the reduction method for some algebras of generalized differential operators, arising from a Kirillov representation of a class of nilpotent Lie algebras.

Dans cette thèse, nous avons développé deux approches pour la construction de contrôleurs approchés semi-décentralisés. La thèse est partagée en deux parties, chaque partie décrivant une approche précise. Première Partie: elle traite de l'approximation semi-décentralisée d'un contrôle optimal pour des équations aux dérivées partielles (EDPs) dans un domaine borné. Dans cette partie on présente une méthode de calcul de contrôle optimal pour des systèmes distribués linéaires avec un opérateur d'entré borné ou non borné. Sa construction repose sur le calcul fonctionnel des opérateurs auto-adjoints et sur la formule de Dunford- Schwartz. Elle est conçue pour des architectures de calcul à très fine granularité, avec coordination semi-décentralisée. Enfin, elle est illustrée par des exemples portant en particulier sur la stabilisation interne de la chaleur, la stabilisation des vibrations d'une poutre, la stabilisation des vibrations dans une matrice de micro-cantilevers... Deuxième Partie: elle est consacrée à l'obtention de réalisations d'état, d'opérateurs linéaires solutions de quelques équations opératorielles différentielles linéaires dans des domaines bornés mono-dimensionnels. Nous proposons deux approches dans le cadre de réalisations diffusives. La première utilise des symboles complexes et la seconde des symboles réels sur l'axe réel. Puis, on illustre la théorie et on développe des méthodes numériques pour le contexte d'une application à l'équation de Lyapunov issue de la théorie du contrôle optimal pour l'équation de la chaleur. Un intérêt pratique pour cette approche est le calcul en temps réel sur des processeurs organisés pour une architecture semi-décentralisée.

Les équipements de communications numériques intègrent de plus en plus de standards. La commutation d'un standard à l'autre doit pouvoir se faire au prix d'un surcoût matériel modéré, ce qui impose l'utilisation de ressources communes dans des instanciations différentes. La plateforme matérielle nécessaire à l'exécution d'une couche physique multistandard est le segment du système présentant le plus de contraintes par rapport à la reconfiguration : réactivité, consommation et occupation de ressources matérielles. Nos travaux se focalisent sur la paramétrisation qui vise une implémentation multistandards efficace. L'objectif de cette technique est d'identifier des traitements communs entre les standards, voire entre blocs de traitement au sein d'un même standard, afin de définir des blocs génériques pouvant être réutilisés facilement. Nous définissons le management d'opérateurs mutualisés (opérateurs communs) et nous étudions leur implémentation en se basant essentiellement sur des évaluations de complexité pour quelques standards utilisant la modulation OFDM. Nous proposons en particulier l'architecture d'un opérateur commun permettant la gestion efficace des ressources matérielles entre les algorithmes FFT et décodage de Viterbi. L'architecture, que nous avons proposé et implémenté sur FPGA, permet d'adapter le nombre d'opérateurs communs alloués à chaque algorithme et donc permet l'accélération des traitements. Les résultats montrent que l'utilisation de cette architecture commune offre des gains en complexité pouvant atteindre 30% dans les configurations testées par rapport à une implémentation classique avec une réduction importante de l'occupation mémoire.

Cette thèse présente quelques résultats de la théorie des probabilités quantiques et de l'analyse harmonique non commutative. Elle est constituée de trois parties. La première partie démontre l'analogue non commutatif de l'inégalité de John-Nirenberg et la décomposition atomique pour les martingales non commutatives. Ces résultats étendent et améliorent ceux qui existent déjà, et correspondent exactement à ceux que l'on connaît dans le cas classique. La deuxième partie est consacrée à l'étude des espaces de Hardy à valeurs opérateurs via la méthode d'ondelettes. Il est montré que les espaces de Hardy définis par ondelettes coïncident avec ceux définis par les fonctions carrées de Littlewood-Paley et Lusin. Cette approche est similaire à celle du cas des martingales non commutatives, mais l'utilisation des outils de martingales en analyse harmonique permet une démonstration plus rapide. Dans la troisième partie, nous nous tournons vers des applications de la théorie bien établie des espaces de Hardy, c'est-à-dire des opérateurs de Calderón-Zygmund (OCZ pour abréviation) associés à des noyaux à valeurs matricielles. On obtient des estimations de type faible (1, 1) pour des OCZ dyadiques parfaites et des shifts de Haar annulateurs associés à des noyaux non commutatifs, ainsi que des estimations de type H1 → L1 pour des OCZ arbitaires d'après une décomposition d'une fonction en ligne/colonne. En conjonction avec L∞ → BMO, nous établissons certaines estimations de type Lp. Cette approche s'applique aussi à des paraproduits et des transformées de martingales avec des symboles et coefficients non commutatifs respectivement.

Face à l’incapacité de l’État à offrir des services de base aux ménages pauvres des zones urbaines périphériques et marginales, ce sont les opérateurs informels (individuels et collectifs) qui s’activent à répondre aujourd’hui aux besoins croissants des ménages. Mais leurs actions sont ponctuelles, éparpillées sur le territoire, non intégrées dans un plan de développement local, et beaucoup de ménages n’ont toujours pas accès à l’eau potable. Cette recherche, de type exploratoire, porte donc sur l’examen d’un type de partenariat entre les acteurs publics et les opérateurs informels collectifs, susceptible de créer la synergie entre les partenaires locaux et de pérenniser la fourniture de l’eau potable. Elle vise à analyser et à comprendre les mécanismes de collaboration entre l’État et les opérateurs informels collectifs en vue d’améliorer la qualité de la vie dans les quartiers urbains pauvres grâce à la résolution des problèmes d’accès à l’eau potable. À partir de l’étude de cas d’une zone pauvre de la ville de Kinshasa (République Démocratique du Congo), nous avons donc cherché à dégager ce qui peut éclairer le fonctionnement du partenariat État-opérateurs informels collectifs. Comme cadre d’analyse, nous avons recouru à l’analyse stratégique et, pour l’examen des expériences de partenariat, nous avons utilisé le modèle de Coston (1998) et recouru aux approches de régulation État-tiers secteur (approche socio-étatique et approche socio-communautaire). La méthode qualitative a été privilégiée. Les données analysées proviennent d’entrevues semi-dirigées, de la recherche documentaire et de l’observation. À partir du modèle de Coston (1998), les résultats obtenus montrent que les relations qui correspondent le mieux au partenariat entre les acteurs publics et les opérateurs informels collectifs sont de type « contractuel » et correspondent à l’orientation socio-étatique. Mais le système formel actuel de gestion de l’eau potable et les relations de pouvoir sont plus proches du type « rivalité ». Notre étude montre également que les partenariats, entre les acteurs publics et les opérateurs informels collectifs, sont très difficiles à instituer, car il n’existe pas encore d’environnement socio-politique solidaire. Le contexte institutionnel n’est pas propice à l’émergence d’un partenariat dynamique. Les déficiences structurelles, humaines et institutionnelles constatées sont la résultante directe de la pauvreté dont sont victimes les individus et les institutions. Les réseaux sociaux (à base de parenté, ethnique ou religieux) affectent les relations entre les individus, membres d’une association locale et les représentants des institutions locales ou nationales. Une complémentarité, négociée entre l’État et les opérateurs informels collectifs, ne pourra se réaliser que par la mise en place de nouvelles politiques favorisant la démocratie, la décentralisation et la promotion du mouvement associatif avec une société civile forte, dynamique, soucieuse du bien commun, privilégiant les qualités managériales plutôt que l’assistance perpétuelle. / Faced with incapacity of the State to offer basic services to households in poor urban neighbourhoods, informal operators, both individual and collective, are left to meet the current increasing needs of households. But as their actions are only occasional and randomly scattered throughout the region, and are not integrated into a local development plan, many households still do not have access to a secure water supply. Our research investigates partnerships between the public sector and collective informal operators that is likely to create synergy between them, in order to provide a constant and reliable water supply to poor urban neighbourhoods. It seeks to analyze and understand the mechanisms of collaboration between the State and community organizations in order to improve the quality of life in poor urban neighbourhoods, by resolving the problems associated with access to water. Using the case study of an area on the outskirts of the city of Kinshasa (Democratic Republic of Congo), we seek to discover how State and collective informal operators could function in partnership to manage a grassroots urban water-delivery service. As a frame of analysis, we used strategic analysis ; to examine the type of partnership, we used the model by Coston (1998) and the approaches used to regulate State-third sector (socio-state approach ; socio-community approach). The qualitative method was emphasized. The data analyzed was derived from semi-directed interviews, documentary research and observation. The results obtained show that the relationships that best correspond to the desired partnership between the public actors and collective informal operators are a type of « contracting » and relate to the socio-state orientation. But the current formal system of management of water supply and the relations of power are closer to the type of « rivalry ». Our study also shows that the partnerships between the public actors and collective informal operators are very difficult to institute because public policies do not promote interdependence between local actors. The current institutional context is not favourable to the emergence of a dynamic partnership. New forms of cooperation, negotiated between the State and collective informal operators will be successful only if new policies supporting democracy and decentralization are instituted. The promotion of associative movements with a strong and dynamic civil society, seeking the common good, must emphasize managerial qualities.

Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $\lambda \nearrow \infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $\sqrt{\lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $\sqrt{\lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal. / In this thesis, we study eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator - or simply the Laplacian - on a closed surface, i.e. a two dimensional smooth, compact Riemannian manifold without boundary. These functions satisfy $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ and the eigenvalues form an infinite sequence. The nodal set of a Laplace eigenfunction is its zero set and is of interest since the vibrating plates experiments of Chladni at the beginning of the 19th century as well as, more recently, in the context of quantum mechanics. The size of the nodal sets has been largely studied recently, notably by Donnelly and Fefferman, Colding and Minicozzi, Hezari and Sogge, Mangoubi as well as Sogge and Zelditch.The study of eigenfunction growth is also an active topic, with the recent works of Donnelly and Fefferman, Sogge, Toth and Zelditch to name only a few. Our thesis follows the work of Nazarov, Polterovich and Sodin and links growth and nodal sets of eigenfunctions in the asymptotic $\lambda \nearrow \infty$. To do so, we first consider growth exponents, which measure the local growth of eigenfunctions via their uniform norm. The average local growth of an eigenfunction is built by averaging growth exponents defined on small disks of wavelength like radius over the whole surface. We show that the size of the nodal set is controlled by the product of this average local growth with the frequency $\sqrt{\lambda}$. This result allows a function theoretical reformulation of the famous conjecture of Yau, which predicts that the size of the nodal set grows like the frequency. Our work also strengthens the common intuition that an eigenfunction behaves in many ways like a polynomial of degree $\sqrt{\lambda}$. We then generalize our results to growth exponents built upon $L^q$ norms. We are also led to study functions belonging to the kernel of Schrödinger operators with small potential in the plane. For such functions, we obtain two results linking growth and size of nodal sets.