On propose quatre familles de méthodes itératives pour le raffinement d'éléments propres approches d'un opérateur compact dans un espace de Banach complexe. Ces méthodes sont de type Newton et le calcul de l'inverse de la dérivée de l'opérateur non linéaire dont on calcule un zéro est fait à l'aide de techniques fondées sur le principe de correction du résidu. Selon la précision de ce calcul, on peut atteindre une convergence quadratique, superlinéaire ou linéaire. On pressente des applications aux opérateurs intégraux à noyau continu ou faiblement singulier. Les discrétisations considérées sont les approximations de Galerkin, projection et Sloan avec ou sans quadrature - et les approximations de Fredholm et Nystroem. On donne des exemples numériques

Ce travail est dédié à la mise en place de modèles d'écoulements de fluides complexes, à leur analyse théorique ainsi qu'au développement et à l'analyse de convergence de schémas numériques appropriés. <br /><br />Une première partie du travail concerne l'étude de modèles dits à interface diffuse pour les écoulements incompressibles multiphasiques. Après une étude assez précise du cadre diphasique, on propose la généralisation au cadre triphasique, ce qui nécessite d'introduire la notion importante de consistance des modèles. Des résultats numériques confirment la pertinence des modèles proposés. Ensuite, on s'intéresse au modèle plus classique de Navier-Stokes non-homogène incompressible pour lequel on établit le caractère bien posé du problème pour des conditions aux limites ouvertes non-linéaires en sortie d'un écoulement. Une brique essentielle de ce travail est l'étude détaillée du problème de traces pour l'équation de transport associée à un champ de vitesse peu régulier. Ce travail, dont l'intérêt dépasse le cadre applicatif décrit ci-dessus, fait l'objet d'un chapitre à part entière.<br /><br />Dans une seconde partie, on s'intéresse à l'approximation numérique par des méthodes de volumes finis des solutions de problèmes elliptiques non-linéaires monotones (du type p-laplacien). Un premier chapitre décrit un certain nombre de résultats obtenus dans le contexte de maillages cartésiens. Un second chapitre est consacré à l'étude d'un cadre géométrique plus général par le biais de méthodes dites en dualité discrète. Une attention particulière est portée au cas où les coefficients du problème présentent des discontinuités spatiales, ce qui mène à des problèmes de transmission non-linéaire entre deux milieux.<br /><br />Le mémoire s'achève par la description de quelques travaux connexes, d'une part sur une classe de schémas VF pour les équations elliptiques linéaires adaptés à des maillages non orthogonaux, et d'autre sur l'étude numérique de problèmes elliptiques couplés 2D/1D issus de la description asymptotique d'écoulements dans des milieux poreux fracturés.

Les Guides de Bonnes Pratiques Cliniques sont des documents normalisés destinés à l'amélioration de la qualité des soins. L'informatisation des Guides de Bonnes Pratiques est un enjeu majeur pour leur diffusion mais aussi pour les différentes étapes de leur cycle de vie depuis leur rédaction. De nombreux travaux de recherche ont été consacrés à l'informatisation des Guides de Bonnes Pratiques. Parmi eux, les approches documentaires utilisent les développements récents des langages à base de balises pour la structuration des documents, facilitant le traitement informatisé de ces documents. Nous proposons une extension de l'approche documentaire qui est basée sur une analyse intelligente des marqueurs de structuration des recommandations utilisant un analyseur à états finis. Cette approche a été intégrée à l'environnement informatique G-DEE (Guideline Document Engineering Environment) dédié à l'étude des Guides de Bonnes Pratiques, et peut servir pour une aide à la rédaction, un support au consensus lors de l'écriture, et un support pour la maintenance et l'actualisation des Guides de Bonnes Pratiques.

Ce mémoire a pour but de présenter un panorama des recherches que j'ai effectuées depuis la soutenance de ma thèse en 1998. J'en ai également profité pour réordonner mes résultats et émailler le texte de réflexions parfois nouvelles afin de tenter de combiner l'introduction au sujet avec la synthèse de mes recherches. Il sera question de systèmes hamiltoniens complètement intégrables, de leur étude locale, de leurs singularités, de leurs aspects globaux et de certains liens qu'il entretiennent avec les variétés toriques, tout ceci du point de vue de la mécanique classique ainsi que de celui de leur quantification semi-classique. Une étude détaillée des singularités dites non-dégénérées sera présentée.

Cette thèse est consacrée à l'étude des interactions rovibroniques au sein de complexes octaédriques pour lesquels l'approximation de Born-Oppenheimer n'est plus valide. Pour la première fois, un modèle rovibronique tensoriel effectif complet a été développé à partir des travaux portant sur les toupies sphériques dans un état électronique non dégénéré. Ce modèle inclut le cas de systèmes moléculaires possédant un nombre pair ou impair d'électrons et sa validité a pu être testée sur deux molécules, toutes deux octaédriques : V(CO)6 et ReF6. Pour ces deux systèmes, nous avons alors considéré quatre sous-niveaux vibroniques en interaction. Dans les deux cas, la comparaison entre les profils simulés et observés à basse résolution est satisfaisante. En parallèle, nous avons mis en place, par une approche de type algébrique, un modèle permettant le traitement d'un état électronique doublet, triplet ou quadruplet. L'effet Jahn-Teller a pu alors être rééxaminé au moyen de ce type d'approche.

Dans cette thèse, nous étudions les opérateurs de Berezin-Toeplitz sur les variétés kähleriennes et leur généralisation aux variétés symplectiques compactes. Le premier chapitre porte sur l'intégrale de Feynman : nous exprimons le noyau du propagateur quantique à l'aide d'une intégrale de Wiener en fonction de l'action classique. Dans le second chapitre, nous proposons un ansatz pour le noyau des opérateurs de Berezin-Toeplitz, grâce auquel on donne une preuve directe des résultats connus sur ces opérateurs et l'on décrit le calcul des symboles covariants et contravariants en fonction de la métrique kählerienne. Ceci mène à la définition de plusieurs star-produits sur les variétés kähleriennes par une formule universelle. Dans le troisième chapitre, nous généralisons l'ansatz précédent afin de quantifier les sous-variétés lagrangiennes des variétés kähleriennes. Nous appliquons ceci de diverses manières : construction de quasi-modes, énoncé des conditions de Bohr-Sommerfeld, quantification des symplectomorphismes, réalisation d'équivalence microlocale. En comparaison avec la théorie des opérateurs pseudodifférentiels, les invariants de la géométrie des cotangents sont remplacés par des invariants de la géométrie kählerienne. Dans le dernier chapitre, nous entreprenons la généralisation des résultats précédents aux variétés symplectiques compactes, notamment nous quantifions les sous-variétés lagrangiennes et décrivons le calcul symbolique des opérateurs de Berezin-Toeplitz.

Dans le cadre d'intersections de classes non quasi-analytiques à croissance modérée, J. Chaumat et A. M. Chollet ont démontré, notamment, un théorème d'extension de Whitney, pour des jets définis sur un compact et un théorème de Lojasiewicz sur la régulière situation. Ces intersections sont contenues dans l'intersection des classes de Gevrey. On établit ici un théorème d'extension dans une famille d'intersections de classes plus vaste, en ce sens que, tout jet de Whitney appartient à l'une des intersections considérées. Ensuite, en utilisant une méthode d'interpolation à l'aide de polynômes de Lagrange, due à W. Pawlucki et W. Plesniak, on établit aussi un théorème d'extension linéaire pour les jets définis sur des compacts ayant la propriété de Markov. Ces extensions de jets peuvent être choisies réelles analytiques sur le complémentaire du compact. Ces résultats sont complétés par trois exemples de situations pour lesquelles il n'existe pas d'opérateur d'extension linéaire continu. Enfin, on démontre un théorème de Lojasiewicz. Tous ces résultats sont étroitement reliés aux théorèmes classiques de la théorie des fonctions infiniment dérivables.

Ce document de synthèse s'articule autour de l'analyse convexe, de l'analyse quasi-convexe et des applications en optimisation. Dans le premier domaine on aborde les thèmes de la continuité, de la différentiabilité et des critères de coïncidence pour les fonctions convexes, puis la convexification des fonctions semi-continues inférieurement. Pour l'étude des fonctions quasi-convexes deux approches sont adoptées : une approche analytique, via un sous-différentiel généralisé, et une approche géométrique, basée sur les normales aux tranches. La dernière partie est consacrée à des applications à l'intégration d'opérateurs multivoques, aux inéquations variationnelles et à des problèmes d'optimisation multicritères en dimension finie et infinie. Parmi les nouveautés de ce travail, on trouve la notion de monotonie fortement cyclique, qui caractérise le sous-différentiel d'une fonction convexe dont la restriction à son domaine est continue, la quasi-monotonie cyclique, qui est une propriété intrinsèque du sous-différentiel d'une fonction quasi-convexe avec des applications importantes en économie mathématique, et la notion de quasi-monotonie propre, qui caractérise les opérateurs pour lesquels l'inéquation variationnelle associée a toujours des solutions sur toute sous-partie convexe et faiblement compacte de leur domaine. Notons encore une nouvelle caractérisation de la propriété de Radon-Nikodym, et une extension à la dimension infinie d'un résultat de Janin concernant l'intégration d'un opérateur maximal cycliquement sous-monotone, résultat qui généralise le théorème classique de Rockafellar pour les opérateurs maximaux cycliquement monotones.

L'étude des processus évoluant au cours du temps, comme les lésions de sclérose en plaques, peut dans certains cas être une aide considérable au diagnostic. Elle peut aussi servir au suivi d'un patient pour surveiller l'évolution de sa pathologie ou pour étudier les effets d'un nouveau traitement. Notre travail a tout d'abord consisté à choisir et à appliquer des prétraitements sur des séries d'images issues de l'imagerie par résonance magnétique (IRM) de patients atteints de sclérose en plaques ; ceci est nécessaire lorsqu'on veut mener une analyse temporelle automatique. Nous avons ensuite pu développer des méthodes de détection et de quantification des zones évolutives dans des ces images. Une première étude repose sur la comparaison de deux images en utilisant un champ de déplacements apparents d'une image vers l'autre. Ce champ de vecteurs peut être analysé par le biais d'opérateurs différentiels tels que le jacobien. Il est également possible d'extraire une segmentation des régions évolutives en 3D+t avec une telle analyse. Avec cette approche, on suppose que chaque point a une intensité fixe, et qu'il a un mouvement apparent. Une seconde étude consiste à mener une analyse statistique rétrospective sur une série complète d'images (typiquement plus de dix), en s'appuyant sur un modèle paramétrique de zone évolutive. Dans notre cas, les points dont la variation temporelle de l'intensité est significativement due à une lésion sont détectés. Les méthodes statistiques utilisées permettent de prendre en compte la cohérence spatiale des images. Pour cette seconde approche, on suppose que chaque point est immobile et que son intensité varie au cours du temps. Ces travaux ont été réalisés avec plusieurs partenaires cliniques afin de mener une étude expérimentale de nos algorithmes sous le contrôle d'experts médicaux, mais aussi d'entamer un travail de validation clinique.

La résolution numérique de l'équation de Schrödinger en domaine extérieur nécessite l'utilisation de conditions aux limites appropriées sur la frontière du domaine de calcul. Les conditions aux limites à utiliser sont directement reliées à la fonction de potentiel intervenant dans l'équation. Pour l'équation à potentiel nul, la condition aux limites exacte est connue, ainsi que des méthodes efficaces de discrétisation et d'implémentation numérique. L'objectif de cette thèse est d'étendre les méthodes mises en jeu à potentiel nul dans le cas d'un potentiel aussi général que possible, à l'image des situations physiques variées faisant intervenir un potentiel, linéaire ou non linéaire. Nous prenons le parti de renoncer à établir des conditions aux limites exactes, au profit d'une plus grande généralité de la méthode et d'une bonne adaptation à une implémentation numérique. En se basant sur le calcul pseudodifférentiel, on propose alors une recherche détaillée de méthodes permettant de prendre en compte le potentiel dans une condition aux limites artificielle (CLA). Cette thèse traite le cas de l'équation en dimension un ou deux avec potentiel linéaire ou non linéaire, ainsi que de l'équation stationnaire en dimension un. La construction de ces CLA repose sur l'analyse microlocale et le calcul symbolique associé aux opérateurs pseudodifférentiels fractionnaires. La discrétisation en temps est effectuée à l'aide de convolutions discrètes ou d'approximants de Padé, et la discrétisation en espace repose sur des éléments finis linéaires. On utilise la méthode de relaxation de Besse pour résoudre l'équation non linéaire. L'analyse mathématique des conditions construites dans cette thèse permet de démontrer dans certains cas des estimations a priori, sur le plan continu et sur le plan semi-discret. De nombreuses simulations numériques permettent de tester l'efficacité des conditions aux limites proposées et de les comparer entre elles.