Dans un contexte de pression toujours plus grande sur les ressources naturelles, une gestion rationnelle des ressources hydriques s'impose. La principale difficulté de leur gestion provient du caractère aléatoire des apports en eau dans le système. Le sujet de cette recherche consiste à développer des méthodes d'optimisation stochastique capable de bien représenter les processus aléatoires. Le cas de Kemano, située en Colombie-Britannique (Canada), illustre les travaux de recherche. L'importante accumulation de neige sur les bassins versants engendre une hydrologie complexe, rendant la gestion du système délicate. La programmation dynamique stochastique est la méthode la plus utilisée pour déterminer la politique de gestion des réservoirs. Mais, son étude fait ressortir que cette méthode ne peut gérer que des modèles simplifiés des processus stochastiques, ne rendant pas compte des complexes corrélations spatio-temporelles des apports hydriques. Ainsi, la politique obtenue peut être de mauvaise qualité. Cette méthode est comparée avec la recherche directe de politique qui n'utilise pas de modèles pour représenter les processus stochastiques, mais évalue la politique sur des scénarios d'apports. Ainsi la recherche directe de politique se révèle globalement plus performante en prenant bien en considération la complexité des apports, mais est limitée par la forme prédéterminée de la politique. De plus, l'optimisation des paramètres en utilisant un algorithme évolutionnaire s'avère lente. La conception d'un algorithme de descente par gradient, combinée à une architecture "acteur-critique" appropriée, permet de réduire notablement le temps d'optimisation. Combinée à une fonction plus complexe employée pour la paramétrisation de la politique de gestion, la méthode permet d'obtenir une politique de qualité significativement supérieure à celle obtenue avec la programmation dynamique stochastique. Les travaux effectués dans le cadre de cette thèse ouvrent la voie à une application opérationnelle de la méthode de recherche directe de politique. L'évaluation en simulation devrait être appréciée des opérateurs en permettant une bonne représentation du système et des apports.

Nous nous sommes penchés sur différents aspects des problèmes<br />d'optimisation stochastique qui, à notre connaissance, ont été peu<br />étudiés. Ainsi, nous nous sommes intéressés au problème de l'effet dual,<br />puis à la discrétisation des contraintes de mesurabilité, à la<br />résolution numérique de problèmes avec contraintes en information statique et enfin,<br />nous avons étudié les conditions d'optimalité d'un problème<br />d'optimisation stochastique, le but recherché étant de mieux<br />comprendre comment intervient la contrainte de mesurabilité dans la<br />caractérisation de la (ou des) solution(s) optimale(s). Notre approche<br />numérique du problème est originale de deux points de vue :<br />Elle utilise les topologies sur l'espace des sigma-algèbres<br /> pour mesurer la perte d'information due à la discrétisation de la<br /> contrainte de mesurabilité. L'étude de cet espace nous a permis entre<br /> autres d'apporter de nouveaux résultats qui constituent des éléments<br /> essentiels dans notre étude~;<br />Nous montrons que l'erreur de discrétisation provient de la<br /> contribution de deux termes d'erreur : une erreur issue de la <br /> discrétisation de la contrainte de mesurabilité et une autre erreur<br /> issue de l'approximation de l'espérance.<br /><br />Nous donnons dans ce mémoire des résultats asymptotiques de<br />convergence d'une suite de problèmes discrets vers le problème<br />d'origine. Nous avons également, sur des problèmes particuliers, des<br />résultats de type Lipschitz sur la fonction valeur. Par ailleurs,<br />l'étude des conditions d'optimalité nous a permis d'obtenir deux<br />possibilités différentes d'approche d'un problème de commande optimale<br />stochastique.

L'utilisation d'équipes de robots a pris de l'ampleur ces dernières années. Cela est dû aux avantages que peut offrir une équipe de robot par rapport à un robot seul pour la réalisation d'une même tâche. Cela s'explique aussi par le fait que ce type de plates-formes deviennent de plus en plus abordables et fiables. Ainsi, l'utilisation d'une équipe de véhicules aériens devient une alternative viable. Cette thèse se concentre sur le problème du déploiement d'une équipe de Micro-Véhicules Aériens (MAV) pour effectuer des missions de surveillance sur un terrain inconnu de morphologie arbitraire. Puisque la morphologie du terrain est inconnue et peut être complexe et non-convexe, les algorithmes standards ne sont pas applicables au problème particulier traité dans cette thèse. Pour y remédier, une nouvelle approche basée sur un algorithme d'optimisation cognitive et adaptatif (CAO) est proposée et évaluée. Une propriété fondamentale de cette approche est qu'elle partage les mêmes caractéristiques de convergence que les algorithmes de descente de gradient avec contraintes qui exigent une connaissance parfaite de la morphologie du terrain pour optimiser la couverture. Il est également proposé une formulation différente du problème afin d'obtenir une solution distribuée, ce qui nous permet de surmonter les inconvénients d'une approche centralisée et d'envisager également des capacités de communication limitées. De rigoureux arguments mathématiques et des simulations étendues établissent que l'approche proposée fournit une méthodologie évolutive et efficace qui intègre toutes les contraintes physiques particulières et est capable de guider les robots vers un arrangement qui optimise localement la surveillance. Finalement, la méthode proposée est mise en œuvre sur une équipe de MAV réels pour réaliser la surveillance d'un environnement extérieur complexe.

Cette thèse, intitulée méthodes particulaires en commande optimale stochastique s'intéresse aux problèmes d'optimisation dans l'incertain et a leur résolution. Le terme particulaire renvoie au fait que nous considèrons des méthodes basées sur une approche de type Monte-Carlo, contrairement aux méthodes par programmation dynamiques stochastiques qui utilisent une discrétisation faite a priori.<br />La résolution des problèmes d'optimisation stochastique nécessite deux étapes : une étape d'approximation et une étape d'optimisation. Les deux premiers chapitres de ce manuscrit seront consacrées a la partie optimisation. Nous traiterons dans les chapitres qui suivront de l'approximation des problèmes d'optimisation dans l'incertain. Nous commencerons, dans ce manuscrit, (chapitre I) par présenter les problèmes qui seront abordés ; nous nous attarderons surtout sur la représentation de la structure d'information d'un probléme d'optimisation stochastique. Deux principales représentations se dégagent : une représentation algébrique et une représentation fonctionnelle. A partir de la nature de cette structure d'information, nous ferons la typologie des problémes d'optimisation stochastique : boucle ouverte, boucle fermée, information statique ou information dynamique. Le deuxième chapitre (chapitre II) traitera des conditions d'optimalité pour les problèmes de commande optimale stochastique : à partir des représentations algébriques ou fonctionnelles de l'information, nous présenterons des conditions d'optimalité du type Karush-Kuhn-Tucker. Les conditions présentées dans le chapitre II comportent presque invariablement des opérateurs d'espérance conditionnelle. La résolution de ces problèmes impose alors d'approximer ces opérateurs. Nous commencerons dans le chapitre III par motiver notre approche avant de passer à une revue de la littérature des problèmes d'estimation de densité, densité conditionnelle et espérance conditionnelle. Dans le chapitre IV, nous présentons la méthode des élements finis particulaires qui consiste en l'approximation de la structure d'information par une restriction du feedback à une classe donnée a priori de fonctions de base. Différents résultats de convergence et d'erreur asymptotique seront donné. L'avant dernier chapitre (chapitre V) présentera un algorithme chaotique de gradient pour la résolution de problémes d'optimisation stochastique en boucle fermée. Un résultat de convergence, de vitesse ainsi qu'une application numérique seront donnés. Nous nous intéresserons dans le dernier chapitre (chapitre VI) aux aspects numérique de la résolution des problèmes de commande optimale stochastique à partir des difféerentes méthodes présentes dans les chapitres précedents. Nous présenterons diffèrents algorithmes et heuristiques pour résoudre un problème de gestion de production d'un barrage hydro-électrique.

Nous considérons des problèmes d'optimisation stochastique et de théorie des jeux avec des mesures de risque. Dans une première partie, nous mettons l'accent sur la cohérence temporelle. Nous commençons par prouver une équivalence entre cohérence temporelle et l'existence d'une formule imbriquée pour des fonctions. Motivés par des exemples bien connus dans les mesures de risque, nous étudions trois classes de fonctions: les fonctions invariantes par translation, les transformées de Fenchel-Moreau et les fonctions supremum. Ensuite, nous étendons le concept de cohérence temporelle à la cohérence entre joueurs, en remplaçant le temps séquentiel par un ensemble non ordonné et les fonctions par des relations binaires. Enfin, nous montrons comment la cohérence entre joueurs est liée à des formes de décomposition séquentielles et parallèles en optimisation. Dans une seconde partie, nous étudions l'impact des mesures de risque sur la multiplicité des équilibres dans les problèmes de jeux dynamiques dans les marchés complets et incomplets. Nous concevons un exemple où l'introduction de mesures de risque conduit à l'existence de trois équilibres au lieu d'un dans le cas risque neutre. Nous analysons la capacité de deux algorithmes différents à trouver les différents équilibres. Nous discutons des liens entre la cohérence des joueurs et les problèmes d'équilibre dans les jeux. Dans une troisième partie, nous étudions l'optimisation robuste pour l'apprentissage automatique. En utilisant des mesures de risque convexes, nous fournissons un cadre unifié et proposons un algorithme adapté couvrant trois ensembles d'ensembles d'ambiguïté étudiés dans la littérature / We consider stochastic optimization and game theory problems with risk measures. In a first part, we focus on time consistency. We begin by proving an equivalence between time consistent mappings and the existence of a nested formula. Motivated by well-known examples in risk measures, we investigate three classes of mappings: translation invariant, Fenchel-Moreau transform and supremum mappings. Then, we extend the concept of time consistency to player consistency, by replacing the sequential time by any unordered set and mappings by any relations. Finally, we show how player consistency relates to sequential and parallel forms of decomposition in optimization. In a second part, we study how risk measures impact the multiplicity of equilibria in dynamic game problems in complete and incomplete markets. We design an example where the introduction of risk measures leads to the existence of three equilibria instead of one in the risk neutral case. We analyze the ability of two different algorithms to recover the different equilibria. We discuss links between player consistency and equilibrium problems in games. In a third part, we study distribution ally robust optimization in machine learning. Using convex risk measures, we provide a unified framework and propose an adapted algorithm covering three ambiguity sets discussed in the literature

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Les réseaux électriques doivent absorber une production d'énergie renouvelable croissante, de façon décentralisée. Leur gestion optimale amène à des problèmes spécifiques. Nous étudions dans cette thèse la formulation mathématique de tels problèmes en tant que problèmes d'optimisation stochastique multi-pas de temps. Nous analysons plus spécifiquement la décomposition en temps et en espace de tels problèmes. Dans la première partie de ce manuscrit, Décomposition temporelle pour l'optimisation de la gestion de microgrid domestique, nous appliquons les méthodes d'optimisation stochastique à la gestion de microgrid de petite taille. Nous comparons différents algorithmes d'optimisation sur deux exemples: le premier considère une microgrid domestique équipée avec une batterie et une centrale de micro-cogénération; le deuxième considère quant à lui une autre microgrid domestique, cette fois équipée avec une batterie et des panneaux solaires. Dans la seconde partie, Décomposition temporelle et spatiale de problèmes d'optimisation de grande taille, nous étendons les études précédentes à des microgrids de plus grandes tailles, avec différentes unités et stockages connectés ensemble. La résolution frontale de tels problèmes de grande taille par Programmation Dynamique s'avère impraticable. Nous proposons deux algorithmes originaux pour pallier ce problème en mélangeant une décomposition temporelle avec une décomposition spatiale --- par les prix ou par les ressources. Dans la dernière partie, Contributions à l'algorithme Stochastic Dual Dynamic Programming, nous nous concentrons sur l'algorithme emph{Stochastic DualDynamic Programming} (SDDP) qui est actuellement une méthode de référence pour résoudre des problèmes d'optimisation stochastique multi-pas de temps. Nous étudions un nouveau critère d'arrêt pour cet algorithme basé sur une version duale de SDDP, qui permet d'obtenir une borne supérieure déterministe pour le problème primal / New energy systems are designed to absorb a large share of renewableenergy in a decentralized fashion. Their optimized management raises specificissues. We study mathematical formulation as large scale multistagestochastic optimization problems. We focus on time and space decompositionmethods in a stochastic setting.In the first part of this manuscript, Time decomposition inoptimization and management of home microgrids, we apply stochasticoptimization algorithms to the management of small scale microgrids. We compare different optimization algorithms on two examples:a domestic microgrid equipped with a microCombined Heat and Power generator and a battery;a domestic microgrid equipped with a battery and solar panels.In the second part, Mixing time and spatial decomposition inlarge-scale optimization problems, we extend the previous studies tolarger microgrids, where different units and storage devices are connected together. As a direct resolution by Dynamic Programming of such large scale systemsis untractable, we propose original algorithms mixing time decomposition on the one hand, and price and resource spatial decomposition on the other hand.In the third part, Contributions to Stochastic Dual Dynamic Programming,we focus on the Stochastic Dual Dynamic Programming (SDDP) algorithm,a well-known algorithm to solve multistage stochastic optimizationproblems. We present a new stopping criteria based on a dual versionof SDDP which gives a deterministic upper-bound for the primal problem

Cette thèse s'intéresse à la résolution de problèmes d'optimisation non-differentiable de grandes tailles résultant le plus souvent d'une relaxation Lagrangienne d'un problème difficile. Cette technique est couramment utilisée pour appréhender des problèmes linéaires avec nombres entiers ou des problèmes convexes complexes. Le problème dual obtenu est non-différentiable - éventuellement séparable - et peut être résolu par exemple par un algorithme de faisceau. Le Chapitre 2 propose une revue de littérature des méthodes d'optimisation non-différentiable. Dans certaines situations, le problème dual peut être lui-même très difficile à résoudre et nécessiter des stratégies adaptées. Par exemple, lorsque le nombre de contraintes dualisées est très élevé, une dualisation explicite peut s'avérer impossible ou la mise a jour des variables duales peut échouer. Au Chapitre 3, nous étudions les propriétés de convergence lorsqu'une relaxation Lagrangienne dynamique est effectuée : seul un sous-ensemble de contraintes est dualisé a chaque itération, ce qui permet de réduire la dimension du problème dual. Une autre limite de la relaxation Lagrangienne peut apparaître lorsque la fonction duale est séparable en un grand nombre de sous fonctions, ou que celles-ci restent difficiles a évaluer. Une stratégie naturelle consiste alors à tirer partie de la structure séparable en effectuant des itérations duales en n'ayant évalué qu'un sous-ensemble des sous fonctions. Au chapitre 4, nous proposons d'utiliser une méthode de faisceau dans ce contexte incrémental. Enfin, le Chapitre 5 présente des applications numériques sur des problèmes de gestion de production d'électricité.

L'objet de cette thèse est de modéliser et analyser des problèmes d'optimisation stochastique et de proposer des méthodes de résolution pour ces problèmes.<br />Dans une première partie, on considère des problèmes d'allocation d'actifs se formulant comme des problèmes d'optimisation convexes. La fonction coût et les contraintes dépendent d'un paramètre multidimensionnel inconnu. On montre, sous l'hypothèse d'homogénéité temporelle locale pour le processus des rendements, que l'on peut construire des approximations du problème original se servant d'une estimation adaptative du paramètre inconnu. La précision du problème approché est fournie. Cette méthode a été appliquée sur les problèmes VaR et de Markowitz et l'on présente les résultats de simulations numériques sur des données réelles et simulées. On propose ensuite une analyse de sensibilité pour une classe de problèmes quadratiques dont on déduit une analyse de sensibilité du problème de Markowitz. Pour ce problème, on propose alors une calibration stable de la matrice de covariance et des contreparties robustes. <br />La deuxième partie porte sur l'analyse de problèmes de gestion de production et en particulier le problème de gestion de production électrique. Nous proposons de nouvelles modélisations pour ce problème et des moyens pour les mettre en oeuvre. L'un des modèles conduit à une résolution par décomposition par les prix. Dans ce cas, on montre comment calculer la fonction duale par programmation dynamique. On explique enfin comment dans chaque cas, une stratégie de gestion est mise en place. Les différentes méthodes de gestion sont comparées sur des données réelles et simulées.