Cette thèse présente des techniques d'optimisation et d'approximation rationnelle ayant des applications en synthèse et identification de systèmes passifs. La première partie décrit un problème de Zolotarev : on cherche à maximiser sur une famille d'intervalles l'infimum du module d'une fonction rationnelle de degré donné, tout en contraignant son module à ne pas dépasser 1 sur une autre famille d'intervalles. On s'intéresse dans un premier temps à l'existence et à la caractérisation des solutions d'un tel problème. Deux algorithmes, de type Remes et correction différentielle, sont ensuite présentés et étudiés. Le lien avec la synthèse de filtres hyperfréquences est détaillé. La théorie présentée permet en fait le calcul de fonctions de filtrage, multibandes ou monobandes, respectant un gabarit fixé. Celle-ci a été appliquée à la conception de plusieurs filtres hyperfréquences multibandes dont les réponses théoriques et les mesures sont données. La deuxième partie concerne l'approximation rationnelle Schur d'une fonction Schur. Une fonction Schur est une fonction analytique dans le disque unité bornée par 1 en module. On étudie tout d'abord l'algorithme de Schur multipoints, qui fournit un paramétrage des fonctions strictement Schur. Le lien avec les fonctions rationnelles orthogonales, obtenu grâce à un théorème de type Geronimus, est ensuite présenté. Celui-ci permet alors d'établir certaines propriétés d'approximation dans le cas peu étudié où les points d'interpolation tendent vers le bord du disque. En particulier, une convergence en métrique de Poincaré est obtenue grâce à une extension d'un théorème de type Szego. Une étude numérique sur l'approximation rationnelle Schur à degré fixé est aussi réalisée.

Les problèmes de complémentarité interviennent dans de nombreux domaines scientifiques : économie, mécanique des solides, mécanique des fluides. Ce n'est que récemment qu'ils ont commencé d'intéresser les chercheurs étudiant les écoulements et le transport en milieu poreux. Les problèmes de complémentarité sont un cas particulier des inéquations variationnelles. Dans cette thèse, on offre plusieurs contributions aux méthodes numériques pour résoudre les problèmes de complémentarité. Dans la première partie de cette thèse, on étudie les problèmes de complémentarité linéaires 0 6 x ⊥ (Mx+q) > 0 où, x l'inconnue est dans Rn et où les données sont q, un vecteur de Rn, et M, une matrice d'ordre n. L'existence et l'unicité de ce problème est obtenue quand la matrice M est une P-matrice. Une méthode très efficace pour résoudre les problèmes de complémentarité est la méthode de Newton-min, une extension de la méthode de Newton aux problèmes non lisses.Dans cette thèse on montre d'abord, en construisant deux familles de contre-exemples, que la méthode de Newton-min ne converge pas pour la classe des P-matrices, sauf si n= 1 ou 2. Ensuite on caractérise algorithmiquement la classe des P-matrices : c'est la classe des matrices qui sont telles que quel que, soit le vecteur q, l'algorithme de Newton-min ne fait pas de cycle de deux points. Enfin ces résultats de non-convergence nous ont conduit à construire une méthode de globalisation de l'algorithme de Newton-min dont nous avons démontré la convergence globale pour les P-matrices. Des résultats numériques montrent l'efficacité de cet algorithme et sa convergence polynomiale pour les cas considérés. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous sommes intéressés à un exemple de problème de complémentarité non linéaire concernant les écoulements en milieu poreux. Il s'agit d'un écoulement liquide-gaz à deux composants eau-hydrogène que l'on rencontre dans le cadre de l'étude du stockage des déchets radioactifs en milieu géologique. Nous présentons un modèle mathématique utilisant des conditions de complémentarité non linéaires décrivant ces écoulements. D'une part, nous proposons une méthode de résolution et un solveur pour ce problème. D'autre part, nous présentons les résultats numériques que nous avons obtenus suite à la simulation des cas-tests proposés par l'ANDRA (Agence Nationale pour la gestion des Déchets Radioactifs) et le GNR MoMaS. En particulier, ces résultats montrent l'efficacité de l'algorithme proposé et sa convergence quadratique pour ces cas-tests

Les travaux présentés dans cette thèse proposent des solutions à forte efficacité spectrale pour les communications mobiles multi-antennes et multiporteuses, particulièrement optimisées pour la voie descendante des systèmes hertziens. Cette étude s'inscrit dans un contexte fortement concurrentiel pour l'accès de masse au haut-débit sans fil, et contribue à l'effort collectivement mené au sein des projets européens sur les systèmes dits de 4e génération (4G). La première partie du document cadre l'étude en identifiant les contraintes physiques, technologiques et financières, ainsi que les exigences des systèmes 4G en termes de services, débit et mobilité. En particulier, une complexité raisonnable au récepteur mobile est requise en voie descendante pour honorer coût et consommation. Dans un souci de réalisme, le canal de propagation radio-mobile large-bande MIMO est caractérisé. Les corrélations en temps/fréquence/espace induisent le dimensionnement du système de communication numérique proposé. La deuxième partie du document est consacrée à l'étude des systèmes multi-porteuses, multi-utilisateurs, et multi-antennes, afin d'unifier l'approche et d'explorer plusieurs axes en utilisant au mieux les propriétés du canal. Tout d'abord, le choix de l'accès large-bande multi-utilisateurs s'est porté sur la combinaison de l'OFDM et d'étalement en accès multiple CDMA, afin de discuter du compromis diversité/orthogonalité suivant les algorithmes de chip-mapping et de détection employés. Ensuite, pour exploiter les gains de réseau d'antennes, diversité et multiplexage offerts par le canal MIMO en fonction du contexte, un état de l'art des techniques multi-antennes est dressé. La classification proposée permet d'établir une stratégie tout en conservant une faible complexité de détection. Nous détaillons les systèmes les plus réalistes en contexte mobile et en voie descendante, n'ayant pas connaissance du canal en émission. La chaîne de communication MIMO-OFDM-CDMA complète est finalement présentée en insistant sur la flexibilité des algorithmes linéaires adoptés. La troisième partie du document s'attache à optimiser les combinaisons précédentes en contexte réaliste, et propose des techniques de codage et d'estimation temps/fréquence/espace innovantes. Tout d'abord, une approche pragmatique amène à considérer des solutions exploitant la diversité qui assurent robustesse, détection simple et compatibilité avec l'ensemble des terminaux. Nous privilégions un codage spatial de rendement unitaire, et proposons d'agir sur les trajets multiples grâce aux antennes supplémentaires. Des axes d'optimisation sont fournis au niveau codage, chip-mapping, détection et propagation de fiabilités. Comparé aux méthodes OSTBC ou CDD, des gains sont illustrés en performance, répartition de puissance, potentiel d'adaptabilité et de robustesse... Ensuite, en relâchant légèrement les contraintes de complexité et d'orthogonalité spatiale, nous proposons de nouvelles solutions en contexte plus favorable. Même avec une simple détection linéaire MMSE, ces techniques offrent un potentiel supérieur en haut-débit mobile dès que le nombre d'antennes augmente. Enfin, nous introduisons des méthodes d'estimation du canal MIMO adaptées aux systèmes précédents, utilisant des symboles pilotes répartis et éventuellement les données décodées de manière itérative afin de répondre à un ensemble de compromis sur des récepteurs variés. Les nombreux résultats obtenus démontrent la pertinence des solutions développées.

Nous étudions les systèmes de véhicules en libre service en aller-simple : avec emprunt et restitution dans des lieux éventuellement différents. La publicité promeut l'image de flexibilité et d'accessibilité (tarifaire) de tels systèmes, mais en réalité il arrive qu'il n'y ait pas de véhicule disponible au départ, voire pire, pas de place à l'arrivée. Il est envisageable (et pratiqué pour Vélib' à Paris) de relocaliser les véhicules pour éviter que certaines stations soient vides ou pleines à cause des marées ou de la gravitation. Notre parti-pris est cependant de ne pas considérer de "relocalisation physique" (à base de tournées de camions) en raison du coût, du trafic et de la pollution occasionnées (surtout pour des systèmes de voitures, comme Autolib' à Paris). La question à laquelle nous désirons répondre dans cette thèse est la suivante : Une gestion via des tarifs incitatifs permet-elle d'améliorer significativement les performances des systèmes de véhicules en libre service ?

Cette thèse se consacre aux garanties de reconstruction et de l'analyse de sensibilité de régularisation variationnelle pour des problèmes inverses linéaires bruités. Il s'agit d'un problème d'optimisation convexe combinant un terme d'attache aux données et un terme de régularisation promouvant des solutions vivant dans un espace dit de faible complexité. Notre approche, basée sur la notion de fonctions partiellement lisses, permet l'étude d'une grande variété de régularisations comme par exemple la parcimonie de type analyse ou structurée, l'antiparcimonie et la structure de faible rang. Nous analysons tout d'abord la robustesse au bruit, à la fois en termes de distance entre les solutions et l'objet original, ainsi que la stabilité de l'espace modèle promu. Ensuite, nous étudions la stabilité de ces problèmes d'optimisation à des perturbations des observations. À partir d'observations aléatoires, nous construisons un estimateur non biaisé du risque afin d'obtenir un schéma de sélection de paramètre.

On proposera un tour d'horizon de quelques problèmes et méthodes inverses pour l'environnement (météo, océano, glacio).