Cette thèse étudie comment l'intégration du calcul dans les démonstrations peut les simplifier. Nous nous intéressons pour cela à la déduction modulo et à la surdéduction, deux formalismes proches dans lesquels le calcul est incorporé dans les démonstrations via un système de réécriture. Pour améliorer la recherche mécanisée de démonstration, nous considérons trois critères de simplicité.<br /><br />L'admissibilité des coupures permet de restreindre l'espace de recherche des démonstrations, mais elle n'est pas toujours assurée en déduction modulo. Nous définissons une procédure qui complète le système de réécriture pour, au final, admettre les coupures. Au passage, nous montrons comment transformer toute théorie pour l'intégrer à la partie calculatoire des démonstrations.<br /><br />Nous montrons ensuite comment la déduction modulo permet de réduire arbitrairement la taille des démonstrations, en transférant des étapes de déduction dans le calcul. En particulier, nous appliquons ceci à l'arithmétique d'ordre supérieur pour démontrer que les réductions de taille qui sont possibles en augmentant l'ordre dans lequel on se place disparaissent si on travaille en déduction modulo. <br /><br />Suite à ce dernier résultat, nous avons recherchés quels sont les systèmes d'ordre supérieur pouvant être simulés au premier ordre, en déduction modulo. Nous nous sommes intéressés aux systèmes de type purs et nous montrons comment ils peuvent être encodés en surdéduction, ce qui offre de nouvelles perspectives concernant leur normalisation et la recherche de démonstration dans ceux-ci. Nous développons également une méthodologie qui permet d'utiliser la surdéduction pour spécifier des systèmes de déduction.

La thèse décrit un lambda calcul typé étendu par un traitement des exceptions. Ses principales propriétés sont : confluence, forte normalisation, conservation du type (dans une forme parallélisée de réduction). Seuls les termes équivalents aux entiers de Church ont le type entier. La comparaison avec le système d'exceptions du langage Caml est développée. Mais le plus remarquable est que la logique du système n'est pas la logique classique mais la logique intuitionniste.

Le couplage des approches orientées objets avec la méthode B est une piste pour l'amélioration de l'activité de spécification et de développement de logiciels. La méthode B fournit des notations et des outils supports puissants permettant de modéliser et de vérifier des modèles. Les approches objets fournissent des mécanismes intéressants pour la structuration et le développement de gros systèmes. L'apport de notre travail de thèse contribue aux activités de couplage entre ces deux formalismes en utilisant le prouveur de B pour valider et vérifier des spécifications UML.<br /><br />En étendant les schémas de dérivation d'UML vers B proposés dans des travaux précédents réalisés dans l'équipe de recherche Dédale, nous proposons une approche de dérivation en B de méta-modèles UML, de diagrammes statiques et de diagrammes dynamiques. L'objectif de cette proposition est de vérifier la sémantique et la cohérence entre différents diagrammes de spécifications UML.<br /><br />Notre thèse apporte aussi une contribution au développement de spécifications objets en utilisant la méthode B. La première proposition concerne la prise en compte de certains types d'associations entre classes lors de la dérivation en B. La deuxième proposition concerne la validation de spécifications orientées objets décrites à l'aide de diagrammes de séquence UML2.0.

Notre thèse se situe dans le domaine des méthodes formelles appliquées aux systèmes réactifs. Nous modélisons et traitons ces systèmes, en continuelle interaction avec leur environnement, grâce au langage<br />synchrone Lustre.<br /><br />D'abord, sur la base d'un travail précurseur, nous établissons pour Lustre une méthode de preuve inductive des propriétés de sûreté. Cette méthode est optimisée, afin de prendre en compte au mieux la dynamique des systèmes. Elle est implémentée dans un outil de preuve, Gloups.<br /><br />Ensuite, suivant le modèle de la méthode B, nous définissons un calcul de raffinement pour Lustre. Ce calcul est à la fois adapté à Lustre et exprimé en ce langage. Les obligations de preuve qui assurent la<br />correction du raffinement peuvent être traitées par Gloups. Pour faciliter le développement, un autre outil, Flush, génère automatiquement les obligations pour Gloups.<br /><br />Ainsi, nous utilisons Lustre à la fois comme langage de programmation et comme cadre formel d'un développement maîtrisé. L'intérêt de ce<br />procédé réside dans la simplicité du langage et dans son adaptation aux systèmes réactifs : en ce domaine, notre méthode de raffinement est suffisamment expressive, sans être inutilement compliquée. Des exemples viennent démontrer l'intérêt de la méthode.

Cette thèse propose et étudie de nouveaux systèmes déductifs mêlant calculs et déductions. La déduction modulo est un premier formalisme qui traduit un pouvoir calculatoire grâce à un système de réécriture. Nous présentons un paradigme dual appelé superdéduction qui traduit un pouvoir déductif par de nouvelles inférences. Ces pouvoirs calculatoires et déductifs modifient la représentation des preuves et leur interaction par les processus d'élimination des coupures. La normalisation forte ou l'admissibilité des coupures ne sont plus garanties et apparaissent alors comme des propriétés intrinsèques des théories représentées sous forme de systèmes de réécriture. Nous démontrons que certains critères permeent d'assurer ces propriétés, notamment en définissant un langage de termes de preuve pour la superdéduction et en étudiant la permutabilité des inférences en calcul des séquents classique. Notre attention est focalisée sur les calculs des séquents classiques et la représentation des preuves dans de tels systèmes. D'autres formalismes connexes sont envisagés, notamment les réseaux de preuve et le focusing. Nous comparons cette dernière approe à la superdéduction, ce qui nous amène à proposer une refonte du paradigme de superdéduction basée sur un système de multifocusing pour la logique classique. Nous en montrons les effets bénéfiques en démontrant la complétude des systèmes déductifs obtenus.

Ce mémoire reprend quelques résultats obtenus entre 2000 et 2007 au sein du projet Arénaire du LIP. La problématique centrale est l'évaluation de fonctions numériques : étant donnée une fonction réelle, par exemple un polynôme, un sinus, une exponentielle ou toute autre fonction utile, il s'agit de construire un opérateur pour l'évaluer. Pour cela, on dispose de quelques règles du jeu et de quelques briques de bases: pour le matériel, on peut utiliser, avec un parallélisme arbitraire, des additions et multiplications entières et des tables précalculées. Pour le logiciel, on dispose en plus d'opérateurs de calcul en virgule flottante, mais avec un modèle d'exécution séquentiel. Dans les deux cas, on est contraint à des approximations dont on cherche à minimiser l'erreur. La question de la précision, notamment des calculs intermédiaires, est ici intimement liée à celle de la performance. Pour gérer tous ces paramètres et obtenir des implémentations de qualité, il faut de plus en plus d'automatisation. De plus, pour que cette qualité soit garantie, il faut se rapprocher du monde de la preuve formelle. Ces différents aspects sont évoqués, ainsi que des applications de ces travaux aux accélérateurs de calcul reconfigurables et à la normalisation de la virgule flottante.

Le sujet de cette thèse est l'étude de la vérification et de la correction de spécifications B dans le contexte d'une approche CBSE ("Component-Based Software Engineering"). La méthode B est reconnue comme une méthode formelle bien outillée pour développer formellement des logiciels, elle dispose du raffinement et de prouveurs permettant un développement rigoureux. L'approche CBSE consiste à développer des logiciels par assemblage de composants, elle trouve son intérêt pour des systèmes de grandes tailles. Cette thèse comprend trois contributions principales. La première est la mise en évidence de schémas de constructions B basés sur le raffinement et l'inclusion de machines B ainsi que l'étude de ces schémas pour modéliser des relations entre des Systèmes de Transitions Etiquetés (STEs). La deuxième contribution consiste en l'utilisation de deux formalismes : (i) le formalisme UML pour spécifier l'assemblage de deux interfaces (fournie et requise) et de plusieurs composants ainsi que les communications entre composants, (ii) le formalisme B pour vérifier les assemblages. La troisième contribution étudie l'aide à la correction des spécifications B à partir de l'échec de la preuve en B. Cette étude est d'abord générale et indépendante du contexte, puis elle tient compte du contexte CBSE et s'intérresse à la détection et la correction des incompatibilités : pour l'assemblage de deux interfaces, on corrige les adaptateurs en considérant les trois niveaux syntaxique, sémantique et protocole, pour l'assemblage et la coordination de plusieurs composants, on corrige les médiateurs en considérant les niveaux syntaxique et protocole.

Il existe de nombreux systèmes de preuves par induction visant à automatiser la preuve de théorèmes mathématiques. Cependant, un système de preuve ne peut pas être réellement automatique si plusieurs interactions humaines -- telles que l'apport de lemmes, de généralisations, ou de schémas d'induction -- sont nécessaires pour prouver des théorèmes qui semblent triviaux pour un être humain. Par exemple, la preuve de la commutativité de la multiplication (y * x = x * y) doit notamment recourir à des lemmes exprimant la distributivité de la multiplication ainsi que la distributivité et la commutativité de l'addition. Dans cette thèse, nous proposons des apports aux méthodes de preuve par induction dans le sens d'une plus grande automatisation. Ces apports sont constitués de deux heuristiques efficaces et surtout de deux algorithmes corrects. Le premier algorithme calcule des généralisations correctes pour des théories non-conditionnelles. Le second est une méthode d'induction originale -- la "partition de termes"-- permettant la preuve automatique de théorèmes inductifs.

Etablir un canal garantissant l'authentification de façon efficace requiert l'utilisation de nombreux outils cryptographiques. Dans ce mémoire, nous nous intéressons à la sécurité de plusieurs d'entre eux, présents à différentes étapes dans le protocole de mise en place du canal. Dans un premier temps, nous abordons l'analyse de deux protocoles qui, mis bout à bout, assurent la mise en place d'un canal authentifié, confidentiel et intègre : un algorithme d'échange de clefs authentifié et un algorithme de chiffrement authentifié. Le premier algorithme permet de générer des clefs en alliant plusieurs moyens d'authentification (biométrie, mot de passe, carte à puce). Le second est un algorithme normalisé appelé CCM. Dans un second temps, nous nous intéressons plus particulièrement à la phase d'extraction de clefs, étape charnière entre l'échange de clefs et son utilisation pour établir un canal sécurisé. Nous présentons une méthode simple pour extraire une clef symétrique d'un élément Diffie-Hellman, puis nous analysons l'utilisation d'HMAC comme fonction d'extraction de clefs. Dans un troisième temps, nous concentrons notre attention sur les fonctions de hachage, très utilisées à plusieurs niveaux du protocole. Plus précisément, nous analysons la sécurité d'un mode opératoire basé sur un algorithme de chiffrement par bloc dont on fixe la clef, puis, nous examinons des modes opératoires qui cherchent à garantir une sécurité en seconde préimage optimale.

Cette thèse s'articule autour de l'utilisation de stratégies totales pour la représentation des preuves. La première partie porte sur le cadre finitaire. L'analyse commence dans un univers syntaxique : on définit un lambda-calcul unaire fortement normalisant, pour lequel on rappelle la machine à pointeurs (PAM). On réduit le problème de préservation de la totalité par composition à un problème de finitude sur des objets appelés structures de pointeurs. On donne trois preuves différentes de ce résultat de finitude. La première se ramène via la PAM à la normalisation du lambda-calcul unaire, la seconde passe par l'extraction d'une réduction simple sur les arbres d'entiers et la troisième s'inspire d'un argument combinatoire de Coquand. La seconde partie traite d'un calcul de séquents mu-LJ équipé de définitions inductives et coinductives, dans lequel on donne une simulation du système T. On définit les catégories mu-fermées, formant une classe de modèles de mu-LJ. Dans le cadre des jeux on définit les arènes ouvertes, munies de variables de type libres. À chacune de ces arènes ouvertes est associé un foncteur ouvert sur la catégorie des stratégies innocentes. On décrit ensuite sur les arènes ouvertes une construction de boucle dont on montre qu'elle rejoint le modèle de McCusker des types récursifs. Les boucles sont alors enrichies par des conditions de gain inspirées des jeux de parité, ce qui équipe les foncteurs ouverts d'algèbres initiales et coalgèbres terminales et construit une catégorie mu-fermée. On propose finalement une extension de mu-LJ à une syntaxe infinie, pour laquelle le modèle est pleinement complet.