In recent years there have been a major developments in the computational mechanics community when it comes to modelling of fracture mechanics. There are now several well established numerical methods that are implemented in commercial programs such as: Phase Field Modelling, Enhanced Assumed Strain (EAS), Smeared Crack Methods, Extended Finite Element Method (XFEM) and Partition of Unity Finite Element Method (PUFEM). This work has been based on PUFEM and it has been of interest to investigate if this numerical method can be combined with plastic deformation. The reason for this is that it has been known that complex structural and material phenomenon such as embrittlement of steels or composites show a variation of fracture toughness. Thus more advanced approaches are required to capture the response of such structures and materials. The analysis was split in to three parts. First, a benchmark analysis was done with linear tetrahedral elements and, which has been implemented in previous applications. Thereafter the same analysis was done for quadratic tetrahedral elements. Finally, the interface between plasticity and PUFEM was implemented and was analysed with the same geometries as in the benchmark case. The analysis show that it is possible to combine plasticity in PUFEM setting and that it has a possibility to be used in future applications. / Under dem senaste åren har det skett en massiv utveckling inom beräkningsmekaniken när det kommer till att modellera brottmekaniska fenomen. Det finns nu ett flertal väletablerade numeriska metoder som är implementerade i kommersiella program såsom: Phase Field Modelling, Enhanced Assumed Strain (EAS), Smeared Crack Methods, Extended Finite Element Method (XFEM) and Partition of Unity Finite Element Method (PUFEM). Detta arbete har fokuserat på (PUFEM) och det har varit av intresse att se om denna metod kan kombineras tillsammans med plastisk deformation. Anledningen till att detta har varit av intresse är på grund av att det finns ett flertal komplexa struktur - och materialfenomen såsom försprödning av stål och kompositer som uppvisar en variation i sin duktilitet. Detta medför att mer avancerade metoder behöver tillämpas för att fånga responsen av dessa strukturer och material. Analysen som har genomförts var uppdelad i tre delar. Först analyserades ett problem med linjär tetrahedriska element som ett riktmärke, detta har implementerats i tidigare applikationer. Därefter analyserades samma problem fast med tethraderiska element med kvadratisk interpolation. Slutligen så integrerades plasticitet med PUFEM, där samma geometrier analyserades som riktmärke. Den analysen som har genomfört visar att det går att kombinera plastiska deformation tillsammans med PUFEM och att denna metod har potentialen att användas i framtida applikationer.

The scope of this research concerns the passive damping of structural vibrations by the use of viscoelastic layers. It is motivated by the need for efficient numerical tools to deal with the medium frequency behaviour of industrial viscoelastic sandwich products. The sandwich modelling technique is based on the use of an interface element: the two deformable plates are modelled by special plate elements while the intermediate dissipative layer is modelled with interface elements. This interface element is based on the first-order shear deformation theory and assume constant peel and shear stresses in the polymer thickness. This element couples the lower and upper layers without additional degrees of freedom. The partition of unity finite element method (PUFEM) is applied to the development of enriched Mindlin plate elements. The element shape functions are obtained as the product of partition of unity functions with arbitrary chosen enrichment functions. Polynomial enrichment leads to the generation of high-order polynomial shape functions and is therefore similar to a p-FEM technique. Numerical examples illustrate the use of both PUFEM Mindlin plate elements and interface elements for the simulation of viscoelastic sandwich structures.

Kyoto University (京都大学) / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(工学) / 甲第15580号 / 工博第3292号 / 新制||工||1497(附属図書館) / 28101 / 京都大学大学院工学研究科社会基盤工学専攻 / (主査)教授 杉浦 邦征, 教授 田村 武, 准教授 宇都宮 智昭 / 学位規則第4条第1項該当

The scope of this research concerns the passive damping of structural vibrations by the use of viscoelastic layers. It is motivated by the need for efficient numerical tools to deal with the medium frequency behaviour of industrial viscoelastic sandwich products. The sandwich modelling technique is based on the use of an interface element: the two deformable plates are modelled by special plate elements while the intermediate dissipative layer is modelled with interface elements. This interface element is based on the first-order shear deformation theory and assume constant peel and shear stresses in the polymer thickness. This element couples the lower and upper layers without additional degrees of freedom. The partition of unity finite element method (PUFEM) is applied to the development of enriched Mindlin plate elements. The element shape functions are obtained as the product of<p>partition of unity functions with arbitrary chosen enrichment functions. Polynomial enrichment leads to the generation of high-order polynomial shape functions and is therefore similar to a p-FEM technique. Numerical examples illustrate the use of both PUFEM Mindlin plate elements and interface elements for the simulation of viscoelastic sandwich structures. / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Dans ce travail, nous avons introduit le concept sous-jacent de PUFEM et la formulation de base lié à l'équation de Helmholtz dans un domaine borné. Le processus d'enrichissement de l'onde plane de variables PUFEM a été montré et expliqué en détail. L'idée principale est d'inclure une connaissance a priori sur le comportement local de la solution dans l'espace des éléments finis en utilisant un ensemble de fonctions d'onde qui sont des solutions aux équations aux dérivées partielles. Dans cette étude, l'utilisation des ondes planes se propageant dans différentes directions a été favorisée car elle conduit à des algorithmes de calcul efficaces. En outre, nous avons montré que le nombre de directions d'ondes planes dépend de la taille de l'élément PUFEM et la fréquence des ondes à la fois en 2D et 3D. Les approches de sélection de ces ondes planes sont également illustrés. Pour les problèmes 3D, nous avons étudié deux systèmes de distribution des directions d'ondes planes qui sont la méthode du cube discrétisé et la méthode de la force de Coulomb. Il a été montré que celle-ci permet d'obtenir des directions d'onde espacées de façon uniforme et permet d'obtenir un nombre arbitraire d'ondes planes attachées à chaque noeud de l'élément de PUFEM, ce qui rend le procédé plus souple.Dans le chapitre 3, nous avons étudié la simulation numérique des ondes se propageant dans deux dimensions en utilisant PUFEM. La principale priorité de ce chapitre est de venir avec un schéma d'intégration exacte (EIS), résultant en un algorithme d'intégration rapide pour le calcul de matrices de coefficients de système avec une grande précision. L'élément 2D PUFEM a ensuite été utilisé pour résoudre un problème de transmission acoustique impliquant des matériaux poreux. Les résultats ont été vérifiés et validés par la comparaison avec des solutions analytiques. Les comparaisons entre le régime exact d'intégration (EIS) et en quadrature de Gauss ont montré le gain substantiel offert par l'EIE en termes de temps CPU.Une 3D exacte Schéma d'intégration a été présenté dans le chapitre 4, afin d'accélérer et de calculer avec précision (jusqu'à la précision de la machine) des intégrales très oscillatoires découlant des coefficients de la matrice de PUFEM associés à l'équation 3D Helmholtz. Grâce à des tests de convergence, un critère de sélection du nombre d'ondes planes a été proposé. Il a été montré que ce nombre ne pousse que quadratiquement avec la fréquence qui donne lieu à une réduction drastique du nombre total de degrés de libertés par rapport au FEM classique. Le procédé a été vérifié pour deux exemples numériques. Dans les deux cas, le procédé est représenté à converger vers la solution exacte. Pour le problème de la cavité avec une source de monopôle située à l'intérieur, nous avons testé deux modèles numériques pour évaluer leur performance relative. Dans ce scénario, où la solution exacte est singulière, le nombre de directions d'onde doit être choisie suffisamment élevée pour faire en sorte que les résultats ont convergé.Dans le dernier chapitre, nous avons étudié les performances numériques du PUFEM pour résoudre des champs sonores intérieurs 3D et des problèmes de transmission d'ondes dans lequel des matériaux absorbants sont présents. Dans le cas particulier d'un matériau réagissant localement modélisé par une impédance de surface. Un des critères d'estimation d'erreur numérique est proposé en considérant simplement une impédance purement imaginaire qui est connu pour produire des solutions à valeur réelle. Sur la base de cette estimation d'erreur, il a été démontré que le PUFEM peut parvenir à des solutions précises tout en conservant un coût de calcul très faible, et seulement environ 2 degrés de liberté par longueur d'onde ont été jugées suffisantes. Nous avons également étendu la PUFEM pour résoudre les problèmes de transmission des ondes entre l'air et un matériau poreux modélisé comme un fluide homogène équivalent. / In this work, we have introduced the underlying concept of PUFEM and the basic formulation related to the Helmholtz equation in a bounded domain. The plane wave enrichment process of PUFEM variables was shown and explained in detail. The main idea is to include a priori knowledge about the local behavior of the solution into the finite element space by using a set of wave functions that are solutions to the partial differential equations. In this study, the use of plane waves propagating in various directions was favored as it leads to efficient computing algorithms. In addition, we showed that the number of plane wave directions depends on the size of the PUFEM element and the wave frequency both in 2D and 3D. The selection approaches for these plane waves were also illustrated. For 3D problems, we have investigated two distribution schemes of plane wave directions which are the discretized cube method and the Coulomb force method. It has been shown that the latter allows to get uniformly spaced wave directions and enables us to acquire an arbitrary number of plane waves attached to each node of the PUFEM element, making the method more flexible.In Chapter 3, we investigated the numerical simulation of propagating waves in two dimensions using PUFEM. The main priority of this chapter is to come up with an Exact Integration Scheme (EIS), resulting in a fast integration algorithm for computing system coefficient matrices with high accuracy. The 2D PUFEM element was then employed to solve an acoustic transmission problem involving porous materials. Results have been verified and validated through the comparison with analytical solutions. Comparisons between the Exact Integration Scheme (EIS) and Gaussian quadrature showed the substantial gain offered by the EIS in terms of CPU time.A 3D Exact Integration Scheme was presented in Chapter 4, in order to accelerate and compute accurately (up to machine precision) of highly oscillatory integrals arising from the PUFEM matrix coefficients associated with the 3D Helmholtz equation. Through convergence tests, a criteria for selecting the number of plane waves was proposed. It was shown that this number only grows quadratically with the frequency thus giving rise to a drastic reduction in the total number of degrees of freedoms in comparison to classical FEM. The method has been verified for two numerical examples. In both cases, the method is shown to converge to the exact solution. For the cavity problem with a monopole source located inside, we tested two numerical models to assess their relative performance. In this scenario where the exact solution is singular, the number of wave directions has to be chosen sufficiently high to ensure that results have converged. In the last Chapter, we have investigated the numerical performances of the PUFEM for solving 3D interior sound fields and wave transmission problems in which absorbing materials are present. For the specific case of a locally reacting material modeled by a surface impedance. A numerical error estimation criteria is proposed by simply considering a purely imaginary impedance which is known to produce real-valued solutions. Based on this error estimate, it has been shown that the PUFEM can achieve accurate solutions while maintaining a very low computational cost, and only around 2 degrees of freedom per wavelength were found to be sufficient. We also extended the PUFEM for solving wave transmission problems between the air and a porous material modeled as an equivalent homogeneous fluid. A simple 1D problem was tested (standing wave tube) and the PUFEM solutions were found to be around 1% error which is sufficient for engineering purposes.