Be it in the weather forecast or while swimming in the Baltic Sea, in almost every aspect of every day life we are confronted with flow phenomena. A common model to describe the motion of viscous incompressible fluids are the Navier-Stokes equations. These equations are not only relevant in the field of physics, but they are also of great interest in a purely mathematical sense. One of the difficulties of the Navier-Stokes equations originates from a non-linear term. In this thesis, we consider the Oseen equations as a linearisation of the Navier-Stokes equations. We restrict ourselves to the two-dimensional case. Our domain will be the unit square. The aim of this thesis is to find a suitable numerical method to overcome known instabilities in discretising these equations. One instability arises due to layers of the analytical solution. Another instability comes from a divergence constraint, where one gets poor numerical accuracy when the irrotational part of the right-hand side of the equations is large. For the first cause, we investigate the layer behaviour of the analytical solution of the corresponding stream function of the problem. Assuming a solution decomposition into a smooth part and layer parts, we create layer-adapted meshes in Chapter 3. Using these meshes, we introduce a numerical method for equations whose solutions are of the assumed structure in Chapter 4. To reduce the instability caused by the divergence constraint, we add a grad-div stabilisation term to the standard Galerkin formulation. We consider Taylor-Hood elements and elements with a discontinous pressure space. We can show that there exists an error bound which is independent of our perturbation parameter and get information about the convergence rate of the method. Numerical experiments in Chapter 5 confirm our theoretical results.:Acknowledgement III Notation IV 1 Introduction 1 1.1 Existence of solutions 2 1.2 Transformation into a fourth-order problem 4 2 Asymptotic analysis 6 2.1 A fourth-order problem in 1D 6 2.2 A fourth-order problem in 2D 14 2.2.1 Asymptotic expansion 19 2.2.2 Estimation of the residual 26 2.2.3 Asymptotic expansion without compatibility conditions 30 3 Solution decomposition and layer-adapted meshes 32 3.1 Solution decomposition 32 3.2 Layer-adapted meshes 33 3.3 Interpolation errors on layer-adapted meshes 36 4 Galerkin method and stabilisation 41 4.1 Discrete problem and stabilised formulation 41 4.2 A priori error estimates 44 5 Numerical results 48 5.1 Numerical evaluation of inf-sup constants 48 5.1.1 Theoretical aspects 48 5.1.2 Numerical results for β0 and B0 50 5.2 Convergence studies 53 5.2.1 Uniformity in ε 54 5.2.2 Convergence order 55 5.2.3 Necessity of stabilisation 56 5.2.4 Further experiments without known exact solution 56 6 Conclusions and outlook 60 A Numerical study of the stability estimate (2.35) 62 Bibliography 67

We study a class of differential inclusions involving maximal monotone relations, which cover a huge class of problems in mathematical physics. For this purpose we introduce the time derivative as a continuously invertible operator in a suitable Hilbert space. It turns out that this realization is a strictly monotone operator and thus, the question on existence and uniqueness can be answered by well-known results in the theory of maximal monotone relations. Furthermore, we show that the resulting solution operator is Lipschitz-continuous and causal, which is a natural property of evolutionary processes. Finally, the results are applied to a system of partial differential equations and inclusions, which describes the diffusion of a compressible fluid through a saturated, porous, plastically deforming media, where certain hysteresis phenomena are modeled by maximal montone relations.

<div>The two main results in this thesis have a common point: Hermitian--Yang--Mills (HYM) metrics. In the first result, we address a Dirichlet problem for the HYM equations in bundles of infinite rank over Riemann surfaces. The solvability has been known since the work of Donaldson \cite{Donaldson92} and Coifman--Semmes \cite{CoifmanSemmes93}, but only for bundles of finite rank. So the novelty of our first result is to show how to deal with infinite rank bundles. The key is an a priori estimate obtained from special feature of the HYM equation.</div><div> </div><div> In the second result, we take on the topic of the so-called ``geometric quantization." This is a vast subject. In one of its instances the aim is to approximate the space of K\"ahler potentials by a sequence of finite dimensional spaces. The approximation of a point or a geodesic in the space of K\"ahler potentials is well-known, and it has many applications in K\"ahler geometry. Our second result concerns the approximation of a Wess--Zumino--Witten type equation in the space of K\"ahler potentials via HYM equations, and it is an extension of the point/geodesic approximation. </div><div> </div>

Stochastic partial differential equations have proven useful in many applied areas of mathematics, such as physics or mathematical finance. A major part of such equations consists of linear equations with additive noise. In certain cases, however, the drift part of the differential equation additionally contains a possibly problematic non-linear term, which makes it unsolvable by the standard methods and even a solution in the mild sense may be out of reach. In such situations, we may still find a solution in the weak sense by employing a suitable transformation of the probability space. This thesis deals with semilinear stochastic evolution equations in a separable Hilbert space, where the driving process is an element of a large class of processes - so called Volterra processes, which can be understood as a generalisation of the Wiener process and may be of use to model a wide range of phenomena. The weak solutions, however, have been studied so far only for equations with the cylindrical fractional Brownian motion as the driving process. In this thesis, we introduce a generalisation of the Girsanov theorem for cylindrical Gaussian Volterra processes and give, in full generality, sufficient conditions for the existence of a weak solution and the uniqueness of the equation in law. Further, we introduce...

In this thesis, we address several problems arising in the study of nondegenerate and degenerate parabolic SPDEs, stochastic hyper- bolic conservation laws and SDEs with continues coefficients. In the first part, we are interested in degenerate parabolic SPDEs, adapt the notion of kinetic formulation and kinetic solution and establish existence, uniqueness as well as continuous dependence on initial data. As a preliminary result we obtain regularity of solutions in the nondegenerate case under the hypothesis that all the coefficients are sufficiently smooth and have bounded derivatives. In the second part, we consider hyperbolic conservation laws with stochas- tic forcing and study their approximations in the sense of Bhatnagar-Gross- Krook. In particular, we describe the conservation laws as a hydrodynamic limit of the stochastic BGK model as the microscopic scale vanishes. In the last part, we provide a new and fairly elementary proof of Skorkohod's classical theorem on existence of weak solutions to SDEs with continuous coefficients satisfying a suitable Lyapunov condition. 1

Cette thèse est constituée de deux parties qui peuvent être lues indépendamment. Dans la première partie de la thèse, nous étudions des problèmes de couverture et de valorisation d’options liés à une mesure de risque. Notre approche principale est l’utilisation d’une fonction de risque asymétrique et d’un cadre asymptotique dans lequel nous obtenons des solutions optimales à travers des équations aux dérivées partielles (EDP) non-linéaires.Dans le premier chapitre, nous nous intéressons à la valorisation et la couverture des options européennes. Nous considérons le problème de l’optimisation du risque résiduel généré par une couverture à temps discret en présence d’un critère asymétrique de risque. Au lieu d'analyser le comportement asymptotique de la solution du problème discret associé, nous avons étudié la mesure asymétrique du risque résiduel intégré dans un cadre Markovian. Dans ce contexte, nous montrons l’existence de cette mesure de risque asymptotique. Ainsi, nous décrivons une stratégie de couverture asymptotiquement optimale via la solution d’une EDP totalement non-linéaire.Le deuxième chapitre est une application de cette méthode de couverture au problème de valorisation de la production d’une centrale. Puisque la centrale génère de coûts de maintenance qu’elle soit allumée ou non, nous nous sommes intéressés à la réduction du risque associé aux revenus incertains de cette centrale en se couvrant avec des contrats à terme. Nous avons étudié l’impact d’un coût de maintenance dépendant du prix d’électricité dans la stratégie couverture.Dans la seconde partie de la thèse, nous considérons plusieurs problèmes de contrôle liés à l'économie et la finance.Le troisième chapitre est dédié à l’étude d’une classe de problème du type McKean-Vlasov (MKV) avec bruit commun, appelée MKV polynomiale conditionnelle. Nous réduisons cette classe polynomiale par plongement de Markov à des problèmes de contrôle en dimension finie.Nous comparons trois techniques probabilistes différentes pour la résolution numérique du problème réduit: la quantification, la régression par randomisation du contrôle et la régression différée. Nous fournissons de nombreux exemples numériques, comme par exemple, la sélection de portefeuille avec incertitude sur une tendance du sous-jacent.Dans le quatrième chapitre, nous résolvons des équations de programmation dynamique associées à des valorisations financières sur le marché de l’énergie. Nous considérons qu’un modèle calibré pour les sous-jacents n’est pas disponible et qu’un petit échantillon obtenu des données historiques est accessible.En plus, dans ce contexte, nous supposons que les contrats à terme sont souvent gouvernés par des facteurs cachés modélisés par des processus de Markov. Nous proposons une méthode nonintrusive pour résoudre ces équations à travers les techniques de régression empirique en utilisant seulement l’historique du log du prix des contrats à terme observables. / This thesis is constituted by two parts that can be read independently.In the first part, we study several problems of hedging and pricing of options related to a risk measure. Our main approach is the use of an asymmetric risk function and an asymptotic framework in which we obtain optimal solutions through nonlinear partial differential equations (PDE).In the first chapter, we focus on pricing and hedging European options. We consider the optimization problem of the residual risk generated by a discrete-time hedging in the presence of an asymmetric risk criterion. Instead of analyzing the asymptotic behavior of the solution to the associated discrete problem, we study the integrated asymmetric measure of the residual risk in a Markovian framework. In this context, we show the existence of the asymptotic risk measure. Thus, we describe an asymptotically optimal hedging strategy via the solution to a fully nonlinear PDE.The second chapter is an application of the hedging method to the valuation problem of the power plant. Since the power plant generates maintenance costs whether it is on or off, we are interested in reducing the risk associated with its uncertain revenues by hedging with forwards contracts. We study the impact of a maintenance cost depending on the electricity price into the hedging strategy.In the second part, we consider several control problems associated with economy and finance.The third chapter is dedicated to the study of a McKean-Vlasov (MKV) problem class with common noise, called polynomial conditional MKV. We reduce this polynomial class by a Markov embedding to finite-dimensional control problems.We compare three different probabilistic techniques for numerical resolution of the reduced problem: quantization, control randomization and regress later.We provide numerous numerical examples, such as the selection of a portfolio under drift uncertainty.In the fourth chapter, we solve dynamic programming equations associated with financial valuations in the energy market. We consider that a calibrated underlying model is not available and that a limited sample of historical data is accessible.In this context, we suppose that forward contracts are governed by hidden factors modeled by Markov processes. We propose a non-intrusive method to solve these equations through empirical regression techniques using only the log price history of observable futures contracts.

Cette thèse porte sur l'étude de méthodes numériques pour l'analyse de deux modèles stochastiques apparaissant dans le contexte de la condensation de Bose-Einstein. Ceux-ci constituent deux généralisations de l'équation de Gross-Pitaevskii. Cette équation aux dérivées partielles déterministe modélise la dynamique de la fonction d'onde d'un condensat de Bose-Einstein piégé par un potentiel extérieur confinant.Le premier modèle étudié permet de modéliser les fluctuations de l'intensité du potentiel confinant et prend la forme d'une équation aux dérivées partielles stochastiques. Celles-ci conduisent en pratique à un échauffement du condensat, et parfois mêmeà son effondrement. Nous proposons dans un premier chapitre la construction d'un schéma numérique pour la résolution de ce modèle. Il est fondé sur une discrétisation spectrale en espace, et une discrétisation temporelle de type Crank-Nicolson. Nous démontrons que le schéma proposé converge fortement en probabilité à l'ordre au moins 1 en temps, et nous présentons des simulations numériques illustrant ce résultat. Le deuxième chapitre est consacré à l'étude théorique et numérique de la dynamique d'une solution stationnaire (pour l'équation déterministe) de type vortex. Nous étudions l'influence des perturbations aléatoires du potentiel sur la solution, et montrons que la solution perturbée garde les symétries de la solution stationnaire pour des temps au moins de l'ordre du carré de l'inverse de l'intensité des fluctuations. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques exploitant une méthode de Monte-Carlo adaptée à la simulation d'événements rares.Le deuxième modèle permet de modéliser les effets de la température sur la dynamique d'un condensat. Lorsque celle-ci n'est pas nulle, la condensation n'est pas complète et le condensat interagit avec les particules non condensées. Ces interactions sont d'un grand intérêt pour comprendre la dynamique de transition de phase et analyser les phénomènes de brisure de symétrie associés, comme la formation spontanée de vortex. Nous nous sommes intéressés dans les chapitres 3 et 4 à des questions relatives à la simulation de la distribution des solutions de cette équation en temps long. Le troisième chapitre est consacré à la construction d'une méthode d’échantillonnage sans biais pour des mesures connues à une constante multiplicative près. C'est une méthode de Monte Carlo par chaînes de Markov qui a la particularité de permettre un échantillonnage non-réversible basé sur une équation de type Langevin sur-amortie. Elle constitue une extension de Metropolis-Adjusted Langevin Algorithm (MALA). Le quatrième chapitre est quant à lui consacré à l'étude numérique de dynamiques métastables liées à la nucléation de vortex dans des condensats en rotation. Un intégrateur numérique pour la dynamique étudiée est proposé, ainsi qu'une méthode de Monte-Carlo adaptée à la simulation d'événements rares correspondant aux changements de configurations métastables. Cette dernière est basée sur l'algorithme Adaptive Multilevel Splitting (AMS). / This thesis is devoted to the numerical study of two stochastic models arising in Bose-Einstein condensation physics. They constitute two generalisations of the Gross-Pitaevskii Equation. This deterministic partial differential equation model the wave function dynamics of a Bose-Einstein condensate trapped in an external confining potential. The first chapter contains a simple presentation of the Bose-Einstein condensation phenomenon and of the experimental methods used to construct such systems.The first model considered enables to model the fluctuations of the confining potential intensity, and takes the form of a stochastic partial differential equation. In practice, these fluctuations lead to heating of the condensate and possibly to its collapse. In the second chapter we propose to build a numerical scheme to solve this model. It is based on a spectral space discretisation and a Crank-Nicolson discretisation in space. We show that the proposed scheme converges strongly at order at least one in probability. We also present numerical simulations to illustrate this result. The third chapter is devoted to the numerical and theoretical study of the dynamics of a stationary solution (for the deterministic equation) of vortex type. We study the influence of random disturbances of the confining potential on the solution. We show that the disturbed solution conserves the symmetries of the stationary solution for times up to at least the square of the inverse of the fluctuations intensity. These results are illustrated with numerical simulations based on a Monte-Carlo method suited to rare events estimation.The second model can be used to model the effects of the temperature on the dynamics of a Bose-Einstein condensate. In the case of finite temperature, the Bose-Einstein condensation is not complete and the condensate interacts with the non-condensed particles. These interactions are interesting to understand the dynamics of the phase transition and analyse the phenomena of symmetry breaking associated, like the spontaneous nucleation of vortices We have studied in the fourth and the fifth chapters some questions linked to the long time simulation of this model solutions. The fourth chapter is devoted to the construction of an unbiased sampling method of measures known up to a multiplicative constant. The distinctive feature of this Markov-Chain Monte-Carlo algorithm is that it enables to perform an unbiased non-reversible sampling based on an overdamped Langevin equation. It constitutes a generalization of the Metropolis-Adjusted Langevin Algorithm (MALA). The fifth chapter is devoted to the numerical study of metastable dynamics linked to the nucleation of vortices in rotating Bose-Einstein condensates. A numerical integrator and a suited Monte-Carlo methods for the simulation of metastable dynamics are proposed. This Monte-Carlo method is based on the Adaptive Multilevel Splitting (AMS) algorithm.

Dans le cadre du stockage de Gaz Naturel Liquéfié (GNL) dans des réservoirs flottants, tels que les méthaniers, les contraintes imposées à la cuve par le ballotement de la cargaison doivent être quantifiées. La plupart des études expérimentales ou numériques actuelles ne prennent pas en compte la possibilité de changement de phase entre le GNL et sa vapeur lors d'un impact du liquide sur la paroi. L'objectif de cette thèse est l'ajout de ce phénomène physique dans un code de mécanique des fluides numérique pour la simulation de l'impact d'une vague déferlante sur une paroi.Dans ce but, un état de l'art des différentes modélisations possibles du changement de phase en mécanique des fluides est présenté. Il a été choisi de modéliser le changement de phase entre le liquide et le gaz à une interface franche sans hypothèse d'équilibre thermodynamique à l'interface. Un système hyperbolique de lois de conservation incluant le changement de phase interfacial hors-équilibre est présenté.Deux approches sont utilisées pour la résolution numérique de ce système. La première utilise un modèle de mélange pour décrire les mailles contenant l'interface liquide-vapeur. Dans la seconde méthode, l'interface est reconstruite et évolue de manière lagrangienne. Les deux approches sont basées sur un schéma volume fini de type Roe.L'enjeu de la simulation numérique du changement de phase interfacial est la capacité du code à gérer un rapport de densité loin de 1 et une chaleur latente élevée, qui entrainent respectivement de fortes variations de pression et de température à l'interface. L'aspect thermique est le phénomène limitant dans le cadre de la simulation d'impacts de vagues avec changement de phase. Seule une fine couche limite thermique autour de l'interface tend à revenir à l'équilibre thermodynamique liquide vapeur, ce qui limite l'effet quantitatif du changement de phase. / In the context of Liquefied Natural Gas (LNG) transportation in floating tanks, such as in LNG carriers, the constraints imposed by the sloshing of the liquid cargo on the tank have to be estimated. Most experimental and numerical studies until now do not take into account the possibility of phase change between the LNG and its vapor during the impact of liquid on the wall. The goal of this thesis is to include this physical phenomenon into a CFD code for the simulation of a breaking wave impact on a wall.A state of the art of the different modelisations of phase change in fluid mechanics is thus presented. This work focus on the modeling of phase change between the liquid and the gas at a sharp interface, without any equilibrium hypothesis. An hyperbolic system of balance laws including non-equilibrium interfacial phase change is presented.Two approaches are used to solve numerically this system. The first one relies on a mixture model for the description of the finite volume cells containing the interface, whereas in the second approach the interface is reconstructed and evolves in a lagrangian way. Both methods are based on a Roe-type finite volume scheme.The challenge of the numerical simulation of interfacial phase change is the capacity of the code to deal with density ratio far from 1 and high latent heat, as the lead to high temperature and pressure variations at the interface. The thermal aspect is the limiting phenomenon in the frame of wave impact simulation with phase change. Only a thin boundary layer around the interface tends to return to thermodynamical equilibrium, thus limiting the quantitative effect of phase change.

Dans le présent travail de thèse, nous souhaitons approfondir l’étude des systèmes à commutation pour des problèmes aux dérivées partielles en explorant de nouvelles pistes d’investigation, incluant notamment la question de la synthèse de contrôle garanti par décomposition de l’espace des états, la synthèse de contrôle nécessitant la réduction de modèle, le contrôle des différentes sources d’erreur sur des quantités d’intérêt, et la mesure des incertitudes sur les états et les paramètres du modèle. Nous envisageons l’utilisation de méthodes de calcul ensemblistes associées à des méthodes de réduction de modèle, ainsi que l’utilisation d’observateurs d’état pour l’estimation en ligne du système. / In this thesis, we focus on switched control systems described by partial differential equations, and investigate the issues of guaranteed control of such systems using state-space decomposition methods. The use of state-space decomposition methods requires model order reduction, control of the different sources of error for quantities of interest, and measure of uncertainties on the states and parameters of the system. We are considering using set-based computation methods, in association with model order reduction techniques, along with the use of state-observers for on-line estimation of the system.

Cette thèse porte sur la modélisation d'un réseau de câbles coaxiaux et multi-conducteurs. Ce dernier peut être mathématiquement traduit par les équations aux dérivées partielles de Maxwell qui régissent la propagation des ondes électromagnétiques en son sein ou par un modèle type circuit électrique d'inconnues - les potentiels et courants électriques- qui vérifient sur les branches du circuit l'équation des télégraphistes et sur les noeuds les lois de Kirchhoff.Si la première méthode est assez générale pour comprendre toutes sortes de défauts, elle néanmoins trop couteuse pour les applications que nous avons en tête, à savoir le contrôle non destructif. La seconde quant à elle est obtenue par une modélisation non issue de la théorie de Maxwell et est valide que si les câbles sont parfaits (cylindriques, sans pertes...). Nous avons établi diverses modèles 1D venant généraliser l'équation des télégraphistes et les lois de Kirchhoff pour y incorporer diverses défauts (géométrie, pertes, effet de peau, caractéristique des matériaux variables) tant sur les câbles que dans les jonctions. Ceux-ci sont obtenus via des analyses asymptotiques (classiques, multi-échelles, raccordées) des équations 3D de Maxwell en considérant certains paramètres (dimensions transverses des câbles par rapport à leurs longueurs, conductivité du milieu diélectrique par rapport à celle du métal des âmes, petite taille de la zone de jonction par rapport à l'ensemble du réseau) extrêmement petits.Une des difficultés mathématiques tient en ce que les domaines que nous prendrons en compte (sections des câbles, jonctions) ne sont aucunement simplement connexes, nous obligeant ainsi à remanier quelques outils standard tel les décompositions en potentiels. / This thesis aim to modelize network made of coaxial and multi-conductors cables.It could be mathematically represent with the Maxwell equations which deals on electromagnetic waves propagating in the network or an electrical circuit whose unknowns - the electrical potentials and currents - satisfy the telegrapher's equation on each branches and the Kirchhoff's laws on each knots.The first method is enough general to integrate many defaults but numerically too expansive for the application we have in mind, namely non destructive testing. The second one is not obtained from the Maxwell theory and it is valid if and only if the cable are perfect (cylindrical, lossless...). We derive some 1D models generalizing the usual telegrapher's equation and Kirchhoff's rules from Maxwell's equation. This new models integrate plenty of defects (geometry, losses, skin-effect, materials' characteristics varying) and are derive via asymptotic analysis (classical ones, multi-scales ones, matched ones) by considering very small parameters (transverse dimensions of the cables relative to length of the cables, conductivity of the dielectric part relative to the metal of the inner-wires, size of the junction part relative to the whole network).One of the mathematical difficult is due to the fact that the geometry we will consider (sections of the cables, junctions) are not simply connected. Thus we will generalize usual tools such as the Helmholtz decompositions.