The Gleason problem has been proven to be a complicated issue to tackle. In this thesiswe will conclude that a domain, Ω ⊂ R𝑛, has Gleason 𝑅-property at any point 𝑝 ∈ Ω, where 𝑅(Ω) ⊂ 𝐶∞(Ω) is the ring of functions that are real analytic in 𝑝. First, we investigate function spaces and give them fitting norms. Afterwards, we build a bump function that is then used to construct a smooth partition of unity on R𝑛. Finally, we show that some of the functionspaces, introduced earlier, have the Gleason property. Ultimately, we use our smooth partition of unity in order to prove that the statement above holds for domains in R2. Subsequently, with the same reasoning one can prove that the statement also holds for domains Ω ⊂ R𝑛.

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L’objectif de cette thèse est de définir la chorégraphie de ségrégation des deux chromosomes circulaires de Vibrio cholerae, c’est à dire le positionnement de l’information génétique au cours de la croissance de la cellule, ainsi que les mécanismes dirigeant ces ségrégations. Il a longtemps été supposé que les bactéries étaient trop petites pour avoir une organisation intra-cellulaire, et le manque de techniques appropriées ne permettait pas d’infirmer cette hypothèse. Or la taille des chromosomes comparée à celle de la bactérie impose une compaction et aujourd’hui, de nouvelles techniques de microscopie et d’analyse génétique permettent d’affirmer que les chromosomes bactériens étudiés jusqu’à maintenant ont tous une organisation et une chorégraphie de ségrégation précises et différentes selon les espèces. Toutes les espèces étudiées à ce jour ont un chromosome circulaire unique : la réplication du chromosome commence à une origine unique bidirectionnelle, les deux fourches de réplication se déplacent le long des deux bras de réplication (ou réplichores) et finissent la réplication au terminus, diamétralement à l’opposée de l’origine de réplication sur la carte du chromosome. Peu d’espèces ont été étudiées, et Vibrio cholerae émerge progressivement comme un nouveau modèle : son génome est réparti sur deux chromosomes, et la chorégraphie de plusieurs chromosomes dans une cellule n’a jamais été décrite. De plus, cette espèce semble être au croisement évolutif entre Caulobacter crescentus et Escherichia coli : Vibrio cholerae a d’une part une morphologie en croissant, des systèmes de partition aux origines et un positionnement de l’origine du chromosome I, semblables à C. crescentus, et d’autre part un système de compaction du terminus et un set de gènes impliqués dans la maintenance du chromosome ayant co-évolué, qu’on ne retrouve que dans peu d’espèces proches d’E. coli. Une autre caractéristique intéressante de V. cholerae est que le chromosome II semble avoir été acquis récemment et n’est donc peut être pas gouverné par les mêmes mécanismes que le chromosome I, comme en témoignent le positionnement de son origine et son terminus, inédits pour des chromosomes bactériens. Parmi les Vibrios (environ 60 espèces principalement retrouvées dans les environnements aquatiques), certaines espèces sont des pathogènes dévastateurs pour les poissons, le corail, les crustacés ou les fruits de mer. Mais la plus documentée est Vibrio cholerae, car elle provoque chez l’Humain une maladie provoquée par l’ingestion d’eau contaminée qui peut être mortelle si le patient n’est pas réhydraté à temps. Bien que facilement traitable, le choléra fait encore de nombreuses victimes dans les pays en développement où les structures de santé et les règles d’hygiène font parfois défaut. Ainsi l’étude de Vibrio cholerae présente un intérêt médical, mais également par extension aux autres Vibrios, un intérêt environnemental non négligeable. / The aim of this thesis is to define the segregation choreography of the two circular chromosomes of Vibrio cholerae, which is the positionning of the genetic information during cell growth, as well as the mecanisms directing those segregations. It was supposed for a long time that bacteria were too small to have a intra-cellular organization and the lack of appropriate tools could not prove this hypothesis wrong. The size of the chromosomes compared to the size of the cell means there has to be a compaction and today, new tools for microscopy and genetic analysis allow us to affirm that all bacterial chromosomes studied so far have an organization and a segregation choreography which are precise and different between specie. Most bacterial specie studied to this day have a unique circular chromosome : the replication of the chromosome starts at a unique and bidirectionnal origin, both replication forks move along the two replication arms (or replichores) and end the replication at the terminus which is diametrically to the opposite of the origin on the chromosome map. A few specie have been studied, and Vibrio cholerae progressively emerges as a new model : its genome is divided between two chromosomes, and the choreography of several chromosomes in a cell has never been described. Moreover, this species seems to be at the crossover between Caulobacter crescentus and Escherichia coli : Vibrio cholerae as on one hand, a crescent shape, partition systems positionned at both origins and a positionning of the chromosome I origin similar to C. crescentus, and on the other hand a compaction system of the terminus and a set of genes involved on the maintenance of chromosomes that one only finds in very few specie closely related to E. coli. An other interesting characteristic of V. cholerae is that the chromosome II seems to have been acquired recently and thus might not be governed by the same mecanisms as the chromosome I, as shown by the positionning of its origin and terminus which are completely new to bacterial chromosomes. Among Vibrios (about 60 species mostly found in aquatic environments), some species are devastating pathogens for fish, coral, crustacean and shellfish. But the most documented one is Vibrio cholerae, because it induces a disease in humans caused by the ingestion of contaminated water, which can be deadly if the patient is not rehydrated on time. Although easily treatable, cholera still makes a lot of victims in developing countries where health structures and basic hygiene sometimes lack dramatically. The study of Vibrio cholerae has a medical interest, but also by extention to other Vibrios, a non-negligible environmental interest.

La dynamique et la rhéologie d'une suspension 2D confinée de vésicules (un modèle de RBCs (globules rouges) ) sont étudiées numériquement en utilisant une méthode de Boltzmann sur réseau frontière immergée. Nous analysons d'abord les situations dans lesquelles les vésicules effectuent le mouvement de chenille de char. Des paires de vésicules se placent dans un état d'équilibre avec une distance relative constante et régulée par le confinement. La distance d'équilibre augmente avec l'intervalle entre les parois suivant une relation linéaire. Cependant, aucune distance d'équilibre stable entre deux vésicules en mouvement de tumbling n’est observée. La présence ou l'absence d'une distance d'équilibre entre deux vésicules dicte l'organisation spatio-temporelle de la suspension. L’organisation de la suspension s’accompagne d’assez amples oscillations de la viscosité normalisée variant en fonction de la concentration, tandis que la viscosité effective ne varie pas.Les interactions dans la direction verticale par rapport au plan de cisaillement sont analysées par des simulations en 3D de capsules et des expériences. Nous montrons que dans une suspension confinée de sang, les RBCs s’organisent spontanément en une structure cristalline sous le seul effet de l'interaction hydrodynamique. Il est en outre démontré que lorsque les RBCs sont remplacés par des particules rigides, l'ordre disparait pour laisser place au désordre. Différents ordres cristallins peuvent apparaître selon la concentration et le confinement. La distance intercellulaire de la structure cristalline est une fonction linéaire du confinement. L’ordre apparaît comme une interaction subtile entre la force de portance qui pousse les RBCs des murs vers le centre et l'interaction hydrodynamique dans la verticale du plan d'écoulement de cisaillement. Cette étude introduit un nouveau paradigme dans le domaine des suspensions non-colloïdales diluées où la prévalence des désordres était mise à jour la règle.La répartition des RBCs au niveau d’une bifurcation est abordée dans nos simulations sur ordinateur ainsi que dans des expériences in vitro. Ces études révèlent que la répartition de RBCs dépend fortement du contraste de viscosité entre la viscosité de l'hémoglobine du RBC et le fluide suspendant, tant que l'hématocrite est inférieure à 20%. Pour des dilutions importantes, nos résultats montrent un nouveau phénomène : la branche de faible débit peut recevoir une concentration plus élevé que la branche de haut débit, en opposition à l'effet Zweifach-Fung. Ce phénomène est observé sous confinement modéré et est le résultat d'une structuration particulière de la suspension cellulaire. Nos résultats suggèrent que les différentes propriétés des RBCs doivent être prises en compte et soigneusement analysées afin d'avoir une bonne compréhension de la distribution de RBCs dans la microcirculation et donc de la livraison de l'oxygène dans la microcirculation en général.Enfin, nous réalisons des simulations numériques d'une grande quantité de RBCs, circulant dans un réseau qui est structuré selon un motif en nid d'abeilles. Nos résultats montrent que tant que l'hématocrite est inférieure à 20%, les RBCs dont la membrane est plus rigide présentent un déplacement latéral plus important dans le réseau. En plus, nous découvrons une différence par rapport à la circulation de RBCs dans un tube droit où le débit pour des globules rigides est plus petit. Au contraire, un débit plus important est observé pour les RBCs plus rigides dans le réseau. Enfin, nous présentons la manifestation d'une diffusion longitudinale plus rapide d’une suspension dense de RBCs de faible déformabilité dans le réseau. Nos résultats fournissent des informations intéressantes sur la livraison de RBCs dans le réseau, ce qui pourrait être important non seulement sur la compréhension de la perfusion du sang et le transit de RBC dans la microcirculation, mais aussi sur des applications pratiques. / Dynamics and rheology of a 2D confined suspension of vesicles (a model for RBCs) is studied numerically by using an immersed boundary lattice Boltzmann method (IB-LBM). We pay a special attention to the link between the spatiotemporal organization of the suspension and rheology. We first analyze situations in which vesicles perform tank-treading. The pair of vesicles settles into an equilibrium state with constant relative distance, which is regulated by the confinement. The equilibrium distance increases with the gap between walls following a linear relationship. However, no stable equilibrium distance between two tumbling vesicles is observed. The presence or the lack thereof of an equilibrium distance between two vesicles dictates the spatiotemporal organization of the suspension (order or disorder). Ordering of the suspension is accompanied with quite ample oscillation of normalized viscosity as a function of concentration, while the effective viscosity exhibits plateau. The oscillations amplitude of normalized viscosity is suppressed when disordered pattern prevails.Beside the interactions in the shear plane discussed in 2D framework, the interactions in the vertical direction to the shear plane are also analyzed by 3D simulations of capsules (a model for RBCs) and experiments. We show that in a confined blood suspension RBCs spontaneously organize in a crystalline-like structure under the sole effect of hydrodynamic interaction. It is further shown that when RBCs are substituted by rigid particles order disappears in favor of disorder. Various crystalline orders take place depending on concentration and confinement. The intercellular distance of the crystalline structure is a linear function of confinement. Order appears as a subtle interplay between the lift force that pushes RBCs away from walls towards the center and hydrodynamics interaction in the vertical of shear flow plane. This study introduces a new paradigm in the field of dilute non-colloidal suspensions where the prevalence of disorder was up-to date the rule.The partition of RBCs at the level of bifurcations is addressed in our computer simulations and in vitro experiments, which reveal that the hematocrit partition depends strongly on the viscosity contrast between the viscosities of the RBC hemoglobin and the suspending fluid, as long as hematocrit is less than 20% (which is the normal range in microcirculation). In the extreme hemodilution, our results exhibit a new phenomenon: the low flow rate branch may receive higher hematocrit than the high flow rate branch in opposition to the known Zweifach-Fung effect. This phenomenon is observed under moderate confinement and is the result of a peculiar structuring of the cell suspension. Our findings suggest that the various RBCs properties must be taken into consideration and carefully analyzed in order to have a firm understanding of RBC distribution in microcirculation and thus oxygen delivery in the microcirculation in general.Finally, we carry out numerical simulations of a large number of RBCs flowing in a network that is structured in a honeycomb pattern. Our results reveal that as long as the hematocrit is less than 20% the RBCs with higher membrane rigidity show a larger lateral displacement in the network. Furthermore, we discover a deviation of RBC flux in network from that in straight tube where the more rigid RBCs get the smaller flux. Oppositely, the larger RBC flux is observed for the more rigid RBCs in the network. Finally, we report on the manifestation of a faster longitudinal diffusion of crowded RBCs with smaller deformability in the network. Our results provide interesting information on the RBC delivery in the network, which should be significant not only in the understanding of the blood perfusion and the RBC transit in the microcirculation but also in practical applications such as cell sorting and chemical analysis.

Les problèmes de partition minimale consistent à déterminer une partition d’un domaine en un nombre donné de composantes de manière à minimiser un critère géométrique. Dans les champs d’application tels que le traitement d’images et la mécanique des milieux continus, il est courant d’incorporer dans cet objectif une énergie d’interface qui prend en compte les longueurs des interfaces entre composantes. Ce travail est focalisé sur le traitement théorique et numérique de problèmes de partition minimale avec énergie d’interface. L’approche considérée est basée sur une approximation par Gamma-convergence et des techniques de dualité. / Minimal partition problems consist in finding a partition of a domain into a given number of components in order to minimize a geometric criterion. In applicative fields such as image processing or continuum mechanics, it is standard to incorporate in this objective an interface energy that accounts for the lengths of the interfaces between components. The present work is focused on thetheoretical and numerical treatment of minimal partition problems with interface energies. The considered approach is based on a Gamma-convergence approximation and duality techniques.

La ségrégation active des molécules d'ADN chez les bactéries compte sur l'assemblage d'une structure nucléoprotéique nucléée sur des sites centromerique localisés près de l'origine de réplication. Pour les systèmes de partition de type I, les seuls présent sur les chromosomes et le plus fréquents sur les plasmides a bas nombre de copie, la protéine qui se lie au centromère, ParB, montre la capacité de propagation sur l'ADN à partir de la nucléation au niveau du site centromerique pars. Ainsi, le complèxe de partition contient plus que 90% des ParB présent dans la cellule et interagit avec ParA, une ATPase dont l'activité dépend de ParB et de l'ADN. Deux modèles concurrents qui sont actuellement proposés pour expliquer le mécanisme d'assemblage du complèxe de partition : les modèles de 'spreading and bridging' (Graham et al., 2014), et le 'nucleation and caging' (Sanchez et al., 2015) . Nous avons utilisé le système de partition du plasmide F et pour déterminer si la mode d'assemblage était aussi conservée sur les chromosomes, nous avons étudié le système natif de Vibrio cholerae du chromosome 1. D'abord, nous avons exploré les mécanismes d'incompatibilité basé sur les sites centromériques pour comprendre l'assemblage des complèxes de partition dans les conditions de titrage ParB par le site parS. Ensuite, nous avons décrit un protocole optimisé de ChIP-sequencing à haut-débit, de la paillasse jusqu'à l'analyse des données. Puis, en utilisant le ChIP-sequencing, la microscopie à épifluorescence et la modélisation physico-mathématique, nous avons révélé que l'assemblage du complèxe de partition est robuste et cohérent avec le modèle de 'nucleation and caging' à la fois sur les chromosomes et les systèmes plasmidiques. / The active partition of low copy number plasmids and most bacterial chromosomes relies on the assembly of a nucleoprotein superstructure nucleated at centromere-like sites near the origin of replication. In the case of type I partition systems, the most widespread on plasmids and the only ones present on chromosomes, centromere binding proteins, ParB, display the capability to propagate along DNA from their nucleation point at the centromere-like site, parS. This structure, termed the partition complex, contains over 90% of the available ParB in the cell and interacts with ParA, a ParB- and DNA-dependent ATPase, to segregate and position replicons within the cell. Two concurrent models exist to explain the assembly mechanism of the partition complex: the spreading and bridging (Graham et al., 2014), and the nucleation and caging (Sanchez et al., 2015) models. We used the partition system of the archetypal plasmid F and the naturally occurring partition system of Vibrio cholerae's chromosome 1. First, we explored the mechanisms of centromere-based incompatibilities to gain insight into partition complex assembly in low levels of ParB through parS titration of ParB. Next, we describe an optimized a high- resolution ChIP-sequencing protocol from the lab bench to data analysis. Then, through ChIP-sequencing, epifluorescence microscopy and physico-mathematical modeling, we revealed that the partition complex assembly mechanism is robust and consistent with the nucleation and caging model on both chromosomal and plasmid systems.

A problem with multi-core platforms is the competition of shared cache memory which is also knownas cache contention. Cache contention can negatively affect process reliability, since it can increaseexecution time jitter. Cache contention may be caused by inter-process interference in a system.To minimize the negative effects of inter-process interference, cache memory can be partitionedwhich would isolate processes from each other.In this work, two questions related to cache-coloring based cache partition sizes have been inves-tigated. The first question is how we can use knowledge of execution characteristics of an algorithmto create adequate partition sizes. The second question is to investigate if sweet spots can be foundto determine when cache-coloring based cache partitioning is worth using. The investigation ofthe two questions is conducted using two experiments. The first experiment put focus on howstatic partition sizes affect process reliability and isolation. The second experiment investigatesboth questions by using L3 cache misses caused by a running process to determine partition sizesdynamically.Results from the first experiment shows static partition sizes to increase process reliability andisolation compared to a non-isolated system. The second experiment outcomes shows the dynamicpartition sizes to provide even better process reliability compared to the static approach. Collectively,all results have been fairly identical and therefore sweets spots could not be found. Contributionsfrom our work is a cache partitioning controller and metrics showing the effects of static and dy-namic partitions sizes.

Given a square with integer side length n, we ask for the number of different ways to divide it into sub-squares, considering only the list of parts. We enumerate all possible lists and check whether a placement with those squares is possible. In order to do this, we propose a new algorithm for creating perfect square packings.

Le thème central de cette thèse porte sur des partitions en n parties de l'intervalle entier [1, N] = {1,2,...,N} excluant la présence, dans chaque partie, de solution de l'équation x + y = z dans le cas classique, ou seulement de telles solutions avec x ≠ y dans le cas faible. Pour n donné, le plus grand N admissible dans le cas classique se note S(n) et s'appelle le n-ème nombre de Schur ; dans le cas faible, il se note WS(n) et s'appelle le n-ème nombre de Schur faible. Bien qu'introduits il y a plusieurs décénnies déjà, et même il y a un siècle dans le cas classique, on ne sait encore que très peu de choses au sujet de ces nombres. En particulier, S(n) et WS(n) ne sont exactement connus que pour n ≤ 4. Cette thèse est composée de deux chapitres : le premier revisite des encadrements connus sur les nombres de Schur classiques et faibles, et le second est consacré à la construction de nouveaux minorants des nombres de Schur faibles WS(n) pour n = 7, 8 et 9. Nous introduisons, dans le premier chapitre, les ensembles t-libres de sommes, t ∊ ℕ, dont l'utilisation permet de généraliser et d'unifier diverses démonstrations de majorants des S(n) et WS(n). Nous obtenons également une relation entre WS(n + 1) et WS(n). Dans le second chapitre, nous initions l'étude de certaines partitions hautement structurées présentant un potentiel intéressant pour le problème de minorer les nombres WS(n). Effectivement, avec des algorithmes de recherche ne portant que sur ces partitions, nous retrouvons les meilleurs minorants connus sur WS(n) pour 1 ≤ n ≤ 6, et nous améliorons significativement ceux pour 7 ≤ n ≤ 9. / The main theme of this thesis is about partitions in n parts of the integer interval [1, N] = {1,2,...N} excluding the presence, in each part, of solutions of the equation x + y = z in the classical case, or only of such solution with x ≠ y in the weak case. For given n, the largest admissible N in the classical case, it is denoted S(n) and called the n-th Schur number ; in the weak case, it is denoted WS(n) and called the n-th weak Schur number. Even though these numbers were already introduced several decades ago, and even a century ago in the classical case, almost nothing is known about them. In particular, S(n) and WS(n) are exactly known for n ≤ 4. This thesis comprises two chapters :the first one revisits known lower and upper bounds on the classical weak Schur numbers, and the second one is dedicated to the construction of the new lower bounds on the weak Schur numbers WS(n) for n = 7,8 and 9. In the first chapter, we introduce the t-sumfree sets, t ∊ ℕ, which allow us to generalize and unify various proofs concerning upper bounds on S(n) and WS(n). We also obtain a new relationship between WS(n + 1) and WS(n).In the second chapter, we initiate the study of certain highly structured partitions which present an interesting potential for the problem of bounding the numbers WS(n) from below. Indeed, with search algorithms considering only partitions, we rediscover the best known lower bounds on WS(n) for 1 ≤ n ≤ 6, and we significatively improve those for 7 ≤ n ≤ 9.

Nous étudions le modèle de la marche aléatoire branchante. Nous obtenons d'abord des résultats concernant le processus ponctuel formé par les particules extrémales, résolvant ainsi une conjecture de Brunet et Derrida 2010 [36]. Ensuite, nous établissons la dérivée au point critique de la limite des martingales additives complétant ainsi l'étude initiée par Biggins [23]. Ces deux travaux reposent sur les techniques modernes de décompositions épinales de la marche aléatoire branchante, originairement développées par Chauvin, Rouault et Wakolbinger [41], Lyons, Pemantle et Peres [74], Lyons [73] et Biggins et Kyprianou [24]. Le dernier chapitre de la thèse porte sur un champ Gaussien log-correle introduit par Kahane 1985 [61]. Via de récents travaux comme ceux de Allez, Rhodes et Vargas [11], Duplantier, Rhodes, Sheeld et Vargas [46] [47], ce modèle a connu un important regain d'intérêt. La construction du chaos multiplicatif Gaussien dans le cas critique a notamment été prouvée dans [46]. S'inspirant des techniques utilisées pour la marche aléatoire branchante nous résolvons une conjecture de [46] concernant le maximum de ce champ Gaussien. / We study the model of the branching random walk. First we obtain some results concerning thepoint process formed by the extremal particles, proving a Brunet and Derrida's conjecture [36] as well. Thenwe establish the derivative of the additive martingale limit at the critical point, completing the study initiatedby Biggins [23]. These two works rely on the spinal decomposition of the branching random walk, originallyintroduced by Chauvin, Rouault and Wakolbinger [41], Lyons, Pemantle and Peres [74], Lyons [73] and Bigginsand Kyprianou [24].The last chapter of the thesis deals with a log-correlated Gaussian field introduced by Kahane [61]. Thismodel was recently revived in particular by Allez, Rhodes and Vargas [11], and Duplantier, Rhodes, Shefield andVargas [46] [47]. Inspired by the techniques used for branching random walk we solved a conjecture of Duplantier,Rhodes, Shefield and Vargas [46], on the maximum of this Gaussian field.