Le thème central de cette thèse porte sur des partitions en n parties de l'intervalle entier [1, N] = {1,2,...,N} excluant la présence, dans chaque partie, de solution de l'équation x + y = z dans le cas classique, ou seulement de telles solutions avec x ≠ y dans le cas faible. Pour n donné, le plus grand N admissible dans le cas classique se note S(n) et s'appelle le n-ème nombre de Schur ; dans le cas faible, il se note WS(n) et s'appelle le n-ème nombre de Schur faible. Bien qu'introduits il y a plusieurs décénnies déjà, et même il y a un siècle dans le cas classique, on ne sait encore que très peu de choses au sujet de ces nombres. En particulier, S(n) et WS(n) ne sont exactement connus que pour n ≤ 4. Cette thèse est composée de deux chapitres : le premier revisite des encadrements connus sur les nombres de Schur classiques et faibles, et le second est consacré à la construction de nouveaux minorants des nombres de Schur faibles WS(n) pour n = 7, 8 et 9. Nous introduisons, dans le premier chapitre, les ensembles t-libres de sommes, t ∊ ℕ, dont l'utilisation permet de généraliser et d'unifier diverses démonstrations de majorants des S(n) et WS(n). Nous obtenons également une relation entre WS(n + 1) et WS(n). Dans le second chapitre, nous initions l'étude de certaines partitions hautement structurées présentant un potentiel intéressant pour le problème de minorer les nombres WS(n). Effectivement, avec des algorithmes de recherche ne portant que sur ces partitions, nous retrouvons les meilleurs minorants connus sur WS(n) pour 1 ≤ n ≤ 6, et nous améliorons significativement ceux pour 7 ≤ n ≤ 9. / The main theme of this thesis is about partitions in n parts of the integer interval [1, N] = {1,2,...N} excluding the presence, in each part, of solutions of the equation x + y = z in the classical case, or only of such solution with x ≠ y in the weak case. For given n, the largest admissible N in the classical case, it is denoted S(n) and called the n-th Schur number ; in the weak case, it is denoted WS(n) and called the n-th weak Schur number. Even though these numbers were already introduced several decades ago, and even a century ago in the classical case, almost nothing is known about them. In particular, S(n) and WS(n) are exactly known for n ≤ 4. This thesis comprises two chapters :the first one revisits known lower and upper bounds on the classical weak Schur numbers, and the second one is dedicated to the construction of the new lower bounds on the weak Schur numbers WS(n) for n = 7,8 and 9. In the first chapter, we introduce the t-sumfree sets, t ∊ ℕ, which allow us to generalize and unify various proofs concerning upper bounds on S(n) and WS(n). We also obtain a new relationship between WS(n + 1) and WS(n).In the second chapter, we initiate the study of certain highly structured partitions which present an interesting potential for the problem of bounding the numbers WS(n) from below. Indeed, with search algorithms considering only partitions, we rediscover the best known lower bounds on WS(n) for 1 ≤ n ≤ 6, and we significatively improve those for 7 ≤ n ≤ 9.

Estudamos a série de Mayer de um gás de Yukawa em duas dimensões. Introduzimos brevemente a noção de série de Mayer de um gás não-ideal através do uso de expansões em clusters e apresentamos motivações pelas quais o seu uso pode apresentar dificuldades. Introduzimos um formalismo algébrico que servirá de ferramenta alternativa para o estudo da convergência dessa série através do método dos majorantes via equações diferenciais parciais. Uma vez que o gás de Yukawa não é regular na origem, é preciso regulariza-lo para utilizar o método dos majorantes. Acredita-se que esta série (não regularizada) apresenta divergência do coeficiente de ordem 2k no regime de temperatura (recíproca) > k:= 8(2k-1)/2k por conta do colapso dos multipolos neutros contido nos clusters dessa ordem, e que neste regime, a retirada desses termos é suficiente para garantir a convergência da série remanescente. Por fim, estudamos a convergência da série de Mayer para um gás de Yukawa bidimensional quando a regularizacão é removida no intervalo < 16/3 e apresentamos uma extensão desse resultado para o regime < 6. Mostramos que haverá de fato divergência do coeficiente de ordem 2 da série, que pode ser regularizado enquanto < 6, garantindo a convergência da série com termo 2 omitido. / We study the Mayer series for the bidimensional Yukawa gas. We briefly introduce the notion of a Mayer series of a non-ideal gas using cluster expansions and present some motivations on the dificulties this formalism may present. An algebraic formalism is introduced in order to develop an alternative tool to study this series using a majorant method via partial diferential equations. As the Yukawa gas is not regular at the origin, it should be regularized for the majorant method to be applicable. It is believed that the non-regularized Yukawa series presents divergence on its coeficients of order 2k when the inverse temperature > k := 8(2k - 1)/2k due to the collapse of neutral multipoles belonging to clusters of this order and if we omit these coficients, the convergence is obtained. Finally we study the convergence of the Mayer series of a bidimensional Yukawa gas when the regularization is removed when < 16/3 and we extend these results to < 6. Its is shown explicitly that the coeficient of order 2 diverges but can be regularized if < 6, assuring the convergence of the remaining series when the coeficient of order 2 is omitted.

Estudamos a série de Mayer de um gás de Yukawa em duas dimensões. Introduzimos brevemente a noção de série de Mayer de um gás não-ideal através do uso de expansões em clusters e apresentamos motivações pelas quais o seu uso pode apresentar dificuldades. Introduzimos um formalismo algébrico que servirá de ferramenta alternativa para o estudo da convergência dessa série através do método dos majorantes via equações diferenciais parciais. Uma vez que o gás de Yukawa não é regular na origem, é preciso regulariza-lo para utilizar o método dos majorantes. Acredita-se que esta série (não regularizada) apresenta divergência do coeficiente de ordem 2k no regime de temperatura (recíproca) > k:= 8(2k-1)/2k por conta do colapso dos multipolos neutros contido nos clusters dessa ordem, e que neste regime, a retirada desses termos é suficiente para garantir a convergência da série remanescente. Por fim, estudamos a convergência da série de Mayer para um gás de Yukawa bidimensional quando a regularizacão é removida no intervalo < 16/3 e apresentamos uma extensão desse resultado para o regime < 6. Mostramos que haverá de fato divergência do coeficiente de ordem 2 da série, que pode ser regularizado enquanto < 6, garantindo a convergência da série com termo 2 omitido. / We study the Mayer series for the bidimensional Yukawa gas. We briefly introduce the notion of a Mayer series of a non-ideal gas using cluster expansions and present some motivations on the dificulties this formalism may present. An algebraic formalism is introduced in order to develop an alternative tool to study this series using a majorant method via partial diferential equations. As the Yukawa gas is not regular at the origin, it should be regularized for the majorant method to be applicable. It is believed that the non-regularized Yukawa series presents divergence on its coeficients of order 2k when the inverse temperature > k := 8(2k - 1)/2k due to the collapse of neutral multipoles belonging to clusters of this order and if we omit these coficients, the convergence is obtained. Finally we study the convergence of the Mayer series of a bidimensional Yukawa gas when the regularization is removed when < 16/3 and we extend these results to < 6. Its is shown explicitly that the coeficient of order 2 diverges but can be regularized if < 6, assuring the convergence of the remaining series when the coeficient of order 2 is omitted.

No description available.

Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2017-03-16T12:01:01Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Stefan Alberto Gómez Guevara - 2017.pdf: 2201042 bytes, checksum: bd12be92bd41bae24c13758a1fc1a73d (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-03-20T13:11:14Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Stefan Alberto Gómez Guevara - 2017.pdf: 2201042 bytes, checksum: bd12be92bd41bae24c13758a1fc1a73d (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-20T13:11:14Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Stefan Alberto Gómez Guevara - 2017.pdf: 2201042 bytes, checksum: bd12be92bd41bae24c13758a1fc1a73d (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-03-08 / In this work we consider the problem of finding a singularity of a field of differentiable vectors X on a Riemannian manifold. We present a local analysis of the convergence of Newton's method to find a singularity of field X on an increasing condition. The analysis shows a relationship between the major function and the vector field X. We also present a semi-local Kantorovich type analysis in the Riemannian context under a major condition. The two results allow to unify some previously unrelated results. / Neste trabalho consideramos o problema de encontrar uma singularidade de um campo de vetores diferenciável X sobre uma variedade Riemanniana. Apresentamos uma análise local da convergência do método de Newton para encontrar uma singularidade do Campo X sobre uma condição majorante. A análise mostra uma relação entre a função majorante e o campo de vetores X. Também apresentamos uma análise semi-local do tipo Kantorovich no contexto Riemanniana sob uma condição majorante. Os dois resultados permitem unificar alguns resultados não previamente.

Submitted by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-03-05T14:28:50Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Ademir Alves Aguiar - 2014.pdf: 1975016 bytes, checksum: 31320b5840b8b149afedc97d0e02b49b (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-03-06T10:38:03Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Ademir Alves Aguiar - 2014.pdf: 1975016 bytes, checksum: 31320b5840b8b149afedc97d0e02b49b (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-03-06T10:38:03Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Ademir Alves Aguiar - 2014.pdf: 1975016 bytes, checksum: 31320b5840b8b149afedc97d0e02b49b (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2014-12-18 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this dissertation we present a semi-local convergence analysis for the Gauss-Newton method to solve a special class of systems of non-linear equations, under the hypothesis that the derivative of the non-linear operator satisfies a majorant condition. The proofs and conditions of convergence presented in this work are simplified by using a simple majorant condition. Another tool of demonstration that simplifies our study is to identify regions where the iteration of Gauss-Newton is “well-defined”. Moreover, special cases of the general theory are presented as applications. / Nesta dissertação apresentamos uma análise de convergência semi-local do método de Gauss-Newton para resolver uma classe especial de sistemas de equações não-lineares, sob a hipótese que a derivada do operador não-linear satisfaz uma condição majorante. As demonstrações e condições de convergência apresentadas neste trabalho são simplificadas pelo uso de uma simples condição majorante. Outra ferramenta de demonstração que simplifica o nosso estudo é a identificação de regiões onde a iteração de Gauss-Newton está “bem-definida”. Além disso, casos especiais da teoria geral são apresentados como aplicações.

Submitted by Cláudia Bueno (claudiamoura18@gmail.com) on 2015-10-29T19:04:41Z No. of bitstreams: 2 Tese - Tiberio Bittencourt de Oliveira Martins.pdf: 1155588 bytes, checksum: add1eac74c4397efc29678341b834448 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-11-03T14:25:04Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Tiberio Bittencourt de Oliveira Martins.pdf: 1155588 bytes, checksum: add1eac74c4397efc29678341b834448 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-11-03T14:25:04Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Tiberio Bittencourt de Oliveira Martins.pdf: 1155588 bytes, checksum: add1eac74c4397efc29678341b834448 (MD5) license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Previous issue date: 2015-06-26 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Apresentamos, nesta tese, uma an álise da convergência do m étodo de Newton inexato com tolerância de erro residual relativa e uma an alise semi-local de m etodos de Newton robustos exato e inexato, objetivando encontrar uma singularidade de um campo de vetores diferenci avel de nido em uma variedade Riemanniana completa, baseados no princ pio majorante a m invariante. Sob hip oteses locais e considerando uma fun ção majorante geral, a Q-convergância linear do m etodo de Newton inexato com uma tolerância de erro residual relativa xa e provada. Na ausência dos erros, a an alise apresentada reobtem o teorema local cl assico sobre o m etodo de Newton no contexto Riemanniano. Na an alise semi-local dos m etodos exato e inexato de Newton apresentada, a cl assica condi ção de Lipschitz tamb em e relaxada usando uma fun ção majorante geral, permitindo estabelecer existência e unicidade local da solu ção, uni cando previamente resultados pertencentes ao m etodo de Newton. A an alise enfatiza a robustez, a saber, e dada uma bola prescrita em torno do ponto inicial que satifaz as hip oteses de Kantorovich, garantindo a convergência do m etodo para qualquer ponto inicial nesta bola. Al em disso, limitantes que dependem da função majorante para a taxa de convergência Q-quadr atica do m étodo exato e para a taxa de convergência Q-linear para o m etodo inexato são obtidos. / A local convergence analysis with relative residual error tolerance of inexact Newton method and a semi-local analysis of a robust exact and inexact Newton methods are presented in this thesis, objecting to nd a singularity of a di erentiable vector eld de ned on a complete Riemannian manifold, based on a ne invariant majorant principle. Considering local assumptions and a general majorant function, the Q-linear convergence of inexact Newton method with a xed relative residual error tolerance is proved. In the absence of errors, the analysis presented retrieves the classical local theorem on Newton's method in Riemannian context. In the semi-local analysis of exact and inexact Newton methods presented, the classical Lipschitz condition is also relaxed by using a general majorant function, allowing to establish the existence and also local uniqueness of the solution, unifying previous results pertaining Newton's method. The analysis emphasizes robustness, being more speci c, is given a prescribed ball around the point satisfying Kantorovich's assumptions, ensuring convergence of the method for any starting point in this ball. Furthermore, the bounds depending on the majorant function for Q-quadratic convergence rate of the exact method and Q-linear convergence rate of the inexact method are obtained.

Submitted by JÚLIO HEBER SILVA (julioheber@yahoo.com.br) on 2017-03-22T20:23:25Z No. of bitstreams: 2 Tese - Gilson do Nascimento Silva - 2017.pdf: 2015008 bytes, checksum: e0148664ca46221978f71731aeabfa36 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-03-23T11:30:21Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Gilson do Nascimento Silva - 2017.pdf: 2015008 bytes, checksum: e0148664ca46221978f71731aeabfa36 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-23T11:30:21Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Gilson do Nascimento Silva - 2017.pdf: 2015008 bytes, checksum: e0148664ca46221978f71731aeabfa36 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-03-13 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / We consider Newton’s method for solving a generalized equation of the form f(x) + F(x) 3 0, where f : Ω → Y is continuously differentiable, X and Y are Banach spaces, Ω ⊆ X is open and F : X ⇒ Y has nonempty closed graph. Assuming strong regularity of the equation and that the starting point satisfies Kantorovich’s conditions, we show that the method is quadratically convergent to a solution, which is unique in a suitable neighborhood of the starting point. In addition, a local convergence analysis of this method is presented. Moreover, using convex optimization techniques introduced by S. M. Robinson (Numer. Math., Vol. 19, 1972, pp. 341-347), we prove a robust convergence theorem for inexact Newton’s method for solving nonlinear inclusion problems in Banach space, i.e., when F(x) = −C and C is a closed convex set. Our analysis, which is based on Kantorovich’s majorant technique, enables us to obtain convergence results under Lipschitz, Smale’s and Nesterov-Nemirovskii’s self-concordant conditions. / N´os consideraremos o m´etodo de Newton para resolver uma equa¸c˜ao generalizada da forma f(x) + F(x) 3 0, onde f : Ω → Y ´e continuamente diferenci´avel, X e Y s˜ao espa¸cos de Banach, Ω ⊆ X ´e aberto e F : X ⇒ Y tem gr´afico fechado n˜ao-vazio. Supondo regularidade forte da equa¸c˜ao e que o ponto inicial satisfaz as hip´oteses de Kantorovich, mostraremos que o m´etodo ´e quadraticamente convergente para uma solu¸c˜ao, a qual ´e ´unica em uma vizinhan¸ca do ponto inicial. Uma an´alise de convergˆencia local deste m´etodo tamb´em ´e apresentada. Al´em disso, usando t´ecnicas de otimiza¸c˜ao convexa introduzida por S. M. Robinson (Numer. Math., Vol. 19, 1972, pp. 341-347), provaremos um robusto teorema de convergˆencia para o m´etodo de Newton inexato para resolver problemas de inclus˜ao n˜ao–linear em espa¸cos de Banach, i.e., quando F(x) = −C e C ´e um conjunto convexo fechado. Nossa an´alise, a qual ´e baseada na t´ecnica majorante de Kantorovich, nos permite obter resultados de convergˆencia sob as condi¸c˜oes Lipschitz, Smale e Nesterov-Nemirovskii auto-concordante.