Dans les situations convexes, le problème d'optimisation globale peut être abordé par un ensemble de méthodes classiques, telles, par exemple, celles basées sur le gradient, qui ont montré leur efficacité en ce domaine. Lorsque la situation n'est pas convexe, ces méthodes peuvent être mises en défaut et ne pas trouver un optimum global. La contribution de cette thèse est une méthodologie pour la détermination de l'optimum global d'une fonction non convexe, en utilisant des algorithmes hybrides basés sur un couplage entre des algorithmes stochastiques issus de familles connues, telles, par exemple, celle des algorithmes génétiques ou celle du recuit simulé et des algorithmes déterministes perturbés aléatoirement de façon convenable. D'une part, les familles d'algorithmes stochastiques considérées ont fait preuve d'efficacité pour certaines classes de problèmes et, d'autre part, l'adjonction de perturbations aléatoires permet de construire des méthodes qui sont en théorie convergents vers un optimum global. En pratique, chacune de ces approches a ses limitations et insuffisantes, de manière que le couplage envisagé dans cette thèse est une alternative susceptible d'augmenter l'efficacité numérique. Nous examinons dans cette thèse quelques unes de ces possibilités de couplage. Pour établir leur efficacité, nous les appliquons à des situations test classiques et à un problème de nature stochastique du domaine des transports.

Dans les situations convexes, le problème d'optimisation globale peut être abordé par un ensemble de méthodes classiques, telles, par exemple, celles basées sur le gradient, qui ont montré leur efficacité en ce domaine. Lorsque la situation n'est pas convexe, ces méthodes peuvent être mises en défaut et ne pas trouver un optimum global. La contribution de cette thèse est une méthodologie pour la détermination de l'optimum global d'une fonction non convexe, en utilisant des algorithmes hybrides basés sur un couplage entre des algorithmes stochastiques issus de familles connues, telles, par exemple, celle des algorithmes génétiques ou celle du recuit simulé et des algorithmes déterministes perturbés aléatoirement de façon convenable. D'une part, les familles d'algorithmes stochastiques considérées ont fait preuve d'efficacité pour certaines classes de problèmes et, d'autre part, l'adjonction de perturbations aléatoires permet de construire des méthodes qui sont en théorie convergents vers un optimum global. En pratique, chacune de ces approches a ses limitations et insuffisantes, de manière que le couplage envisagé dans cette thèse est une alternative susceptible d'augmenter l'efficacité numérique. Nous examinons dans cette thèse quelques unes de ces possibilités de couplage. Pour établir leur efficacité, nous les appliquons à des situations test classiques et à un problème de nature stochastique du domaine des transports. / This thesis concerns the global optimization of a non convex function under non linear restrictions, this problem cannot be solved using the classic deterministic methods like the projected gradient algorithm and the sqp method because they can solve only the convex problems. The stochastic algorithms like the genetic algorithm and the simulated annealing algorithm are also inefficients for solving this type of problems. For solving this kind of problems, we try to perturb stocasicly the deterministic classic method and to combine this perturbation with genetic algorithm and the simulated annealing. So we do the combination between the perturbed projected gradient and the genetic algorithm, the perturbed sqp method and the genetic algorithm, the perturbed projected gradient and the simulated annealing, the Piyavskii algorithm and the genetic algorithm. We applicate the coupled algorithms to different classic examples for concretited the thesis. For illustration in the real life, we applicate the coupled perturbed projected gradient end the genetic algorithm to logistic problem eventuelly transport. In this view, we sold the efficient practices.

Ce travail est consacré à l’étude de la dynamique d’un système proie-prédateur de type Leslie-Gower défini par un système d’équations différentielles ordinaires (EDO) ou d’équations différentielles stochastiques (EDS), ou par des systèmes couplés d’EDO ou d’EDS. L’objectif principal est de faire l’analyse mathématique et la simulation numérique des modèles construits. Cette thèse est divisée en deux parties : La première partie est consacrée à un système proie-prédateur où les proies utilisent un refuge, le modèle est donné par un système d’équations différentielles ordinaires ou d’équations différentielles stochastiques. Le but de cette partie est d’étudier l’impact du refuge ainsi que la perturbation stochastique sur le comportement des solutions du système. Dans la deuxième partie, nous considérons un système proie-prédateur couplé en réseau. Il s’agit d’étudier comment des couplages plus ou moins forts entre plusieurs systèmes affectent l’existence et la position des points d’équilibre, et la stabilité de ces systèmes. / This work is devoted to the study of the dynamics of a predator-prey system of Leslie-Gower type defined by a system of ordinary differential equations (EDO) or stochastic differential equations (EDS), or by coupled systems of EDO or EDS. The main objective is to do mathematical analysis and numerical simulation of the models built. This thesis is divided into two parts : The first part is dedicated to a predator-prey system where the prey uses a refuge, the model is given by a system of ordinary differential equations or stochastic differential equations. The purpose of this part is to study the impact of the refuge as well as the stochastic perturbation on the behavior of the solutions of the system. In the second part, we consider a networked predator-prey system. We show that symmetric couplings speed up the convergence to a stationary distribution.

Dans cette thèse nous étudions des systèmes hamiltoniens de particules en interaction, où chaque particule est faiblement couplée avec son propre thermostat de type Langevin de température positive arbitraire. Les modèles peuvent être vu comme des cristaux plongés dans un milieu continue et interagissants faiblement avec ce dernier.Nous nous intéressons au transport d'énergie dans les systèmes quand les couplages des particules avec leurs thermostats tendent vers zéro simultanément avec les couplages entre eux.Nous examinons deux situations opposées, quand la mesure de Lebesgue des resonances du système de particules découplées est nulle et quand elle est pleine. Dans le premier cas, en utilisant la méthode de moyennisation stochastique, nous démontrons que dans la limite ci-dessus le comportement de l'énergie locale des particules sur des intervalles de temps longs, et dans le régime stationnaire est donné par une équation autonome stochastique, laquelle predit uniquement le transport d'énergie non hamiltonien.Dans le second cas, en utilisant la méthode de moyennisation resonante stochastique, nous prouvons que la dynamique limite de l'énergie locale est contrôlée par une équation efficace stochastique. La dernière prevoit le transport d'energie hamiltonien entre les particules. Cependant, elle n'est pas autonome pour l'énergie locale. En utilisant cette asymptotique, nous montrons que dans la limite ci-dessus le flux d'énergie hamiltonien du système satisfait des relations qui ressemblent à la loi de Fourier et à la formule de Green-Kubo (cependant, elles ne le sont pas).La plupart des résultats et convergences que nous obtenons dans la thèse sont uniformes par rapport au nombre de particules dans les systèmes, qui rend nos résultats pertinents du point de vue de la physique statistique. / In the present thesis we study Hamiltonian systems of particles with weak nearest-neighbour interaction, where each particle is weakly coupled with its own stochastic Langevin-type thermostat of arbitrary positive temperature.The models can be seen as crystals plugged in some medium and weakly interacting with it.We are interested in the energy transport through the systems when the couplings of the particles with the thermostats go to zero simultaneously with their couplings with each other.We investigate two opposite situations, when resonances of the system of uncoupled particles have Lebesgue measure zero and when they are of full Lebesgue measure.In the first case, using the method of stochastic averaging, we prove that under the limit above behaviour of the local energy of particles on long time intervals and in a stationary regime is given by an autonomous stochastic equation, which does not provide any Hamiltonian energy transport.For the second situation, using the method of resonant stochastic averaging, we show that the limiting dynamics of the local energy is governed by a stochastic effective equation. The latter provides Hamiltonian energy transport between the particles, however, is not an autonomous equation for the local energy. Using this asymptotics, we prove that under the limit above the Hamiltonian energy flow in the system satisfies some relations which resemble the Fourier law and the Green-Kubo formula (however, which are not).Most of results and convergences obtained in the thesis are uniform with respect to the number of particles in the systems, what makes our results relevant from the point of view of statistical physics.