Ce mémoire résume les travaux que nous avons réalisés de 1995 à 2010. Ces travaux ont eu pour thème l'étude et la discrétisation, d'une part, de modèles cinétiques de type Fokker-Planck ou de type Boltzmann semi-classiques et, d'autre part, de modèles fluides de type Euler ou de type Navier-Stokes à bas nombre de Mach. L'équation de Fokker-Planck étudiée modélise les collisions entre ions et électrons dans un plasma chaud, et concerne ici la fusion par confinement inertiel. Les équations de Boltzmann semi-classiques étudiées sont de deux types. Le premier type modélise la réaction de fusion thermonucléaire entre un ion deuterium et un ion tritium donnant une particule alpha et un neutron, et concerne également ici la fusion par confinement inertiel. Le deuxième type - connu sous le nom d'équations de Wang-Chang & Uhlenbeck - modélise ici les transitions d'énergie quantique dans les couches électroniques d'atomes d'uranium et de fer provoquées par les collisions entre ces mêmes atomes au sein du procédé SILVA de Séparation Isotopique par Laser sur Vapeur Atomique. Nous avons étudié les propriétés de base de ces deux types d'équations de Boltzmann semi-classiques, et, dans le cas des équations de Wang-Chang & Uhlenbeck, nous avons proposé un algorithme de couplage cinétique-fluide. L'étude de cet algorithme nous a incité à étudier la notion de relaxation dans un mélange binaire de gaz et de fluides non-miscibles, et à souligner les points communs de cette approche avec la théorie cinétique standard. L'étude de modèles moyennés pour des mélanges de fluides non-miscibles nous a amené à proposer et à discrétiser un modèle sans ondes acoustiques modélisant la déformation d'une interface entre deux fluides non-miscibles provoquée par de forts gradients thermiques à bas nombre de Mach. Puis, afin d'améliorer la précision des calculs tout en en maîtrisant le coût, nous avons également étudié la possibilité de résoudre sur un maillage dynamique de type AMR un modèle simplifié de déformation d'interface. Ces études à bas nombre de Mach nous ont également incités à analyser sur maillage cartésien le mauvais comportement à bas nombre de Mach des schémas de type Godunov appliqués au système d'Euler compressible. Enfin, nous avons justifié l'algorithme LBM dans le cas de l'équation de la chaleur.

L'effet des fluctuations de vitesse sur le seuil de la dynamo, de l'induction magnétique, et ainsi que des effets non linéaires présents dans le régime de saturation sont étudiés avec une sélection de huit articles. Ces thèmes ont été abordés à travers des simulations numériques dans un domaine périodique tri-dimensionnel. Des simulations numériques directes (DNS) et des méthodes de modélisation sous maille (LES) de la turbulence, ont permis de mettre en évidence l'effet des fluctuation sur le seuil et de nombreux modes de dynamo engendrés dans des écoulements entretenus par différents forçages (Taylor-Green, ABC et G.O. Robert). Dans ces systèmes MHD pendant la phase de saturation, des effets non-linéaires apparaissent, comme des bifurcations sous critiques associées à des cycles d'hystérésis, ainsi qu'un comportement de turbulence intermittente On-Off. Une discussion et des perspectives sur ces thèmes sont présentées, ainsi qu'une annexe sur les méthodes numériques et les diagnostiques ayant été utilisés dans ces travaux.

Les ondes gravitationnelles ont été prédites par Einstein dans sa théorie de la Relativité Générale. Elles sont des perturbations de l'espace-temps que l'on essaie de mettre en évidence par interférométrie laser. Les détecteurs sont des interféromètres de Michelson de plusieurs km de long combinés avec des cavités Fabry- Perot afin d'augmenter la sensibilité de l'instrument. La première génération de détecteurs (Virgo, LIGO, GEO) n'a pas permis d'obtenir une détection directe malgré plusieurs phases d'observations en coïncidence à la sensibilité prévue. Une seconde génération de détecteurs est actuellement en préparation avec notamment le projet européen Advanced Virgo qui devrait avoir une sensibilité améliorée d'un ordre de grandeur. Cette thèse s'intéresse dans un premier temps aux effets de lentille thermique due à la haute puissance contenue dans les cavités Fabry-Perot pour différentes configurations optiques de l'interféromètre. Par la suite, nous nous intéresserons aux miroirs qui composent les cavités Fabry-Perot depuis la définition des besoins en termes de planéité à la réalisation de cette planéité et à sa mesure. La planéité de ces miroirs doit être sub-nanométrique de façon à limiter les pertes optiques dans les cavités Fabry-Perot et ainsi réduire les effets du bruit de photons et de la lumière diffusée. Nous verrons la réalisation de la correction de la planéité des substrats par la technique dite du traitement correctif. Nous étudierons aussi l'uniformité du dépôt des couches minces diélectriques nécessaires à l'obtention de surface hautement réfléchissante avec en particulier l'étude du mouvement planétaire des substrats dans la machine de dépôts.