Nous y introduisons une nouvelle classe de distributions bivariées de type Marshall-Olkin, la distribution Erlang bivariée. La transformée de Laplace, les moments et les densités conditionnelles y sont obtenus. Les applications potentielles en assurance-vie et en finance sont prises en considération. Les estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres sont calculés par l'algorithme Espérance-Maximisation. Ensuite, notre projet de recherche est consacré à l'étude des processus de risque multivariés, qui peuvent être utiles dans l'étude des problèmes de la ruine des compagnies d'assurance avec des classes dépendantes. Nous appliquons les résultats de la théorie des processus de Markov déterministes par morceaux afin d'obtenir les martingales exponentielles, nécessaires pour établir des bornes supérieures calculables pour la probabilité de ruine, dont les expressions sont intraitables. / In this contribution, we introduce a new class of bivariate distributions of Marshall-Olkin type, called bivariate Erlang distributions. The Laplace transform, product moments and conditional densities are derived. Potential applications of bivariate Erlang distributions in life insurance and finance are considered. Further, our research project is devoted to the study of multivariate risk processes, which may be useful in analyzing ruin problems for insurance companies with a portfolio of dependent classes of business. We apply results from the theory of piecewise deterministic Markov processes in order to derive exponential martingales needed to establish computable upper bounds of the ruin probabilities, as their exact expressions are intractable.

Les Processus Markoviens Déterministes par Morceaux (PDMP) ont été introduits dans la littérature par M.H.A Davis comme une classe générale de modèles stochastiques. Les PDMP forment une famille de processus markoviens qui décrivent une trajectoire déterministe ponctuée par des sauts aléatoires. Dans une première partie, les PDMP sont utilisés pour calculer des probabilités d'événements redoutés pour un cas-test de la fiabilité dynamique (le réservoir chauffé) par deux méthodes numériques différentes : la première est basée sur la résolution du système différentieldécrivant l'évolution physique du réservoir et la seconde utilise le calcul de l'espérancede la fonctionnelle d'un PDMP par un système d'équations intégro-différentielles.Dans la seconde partie, nous proposons une méthode numérique pour approcher lafonction valeur du problème d'arrêt optimal pour un PDMP. Notre approche estbasée sur la quantification de la position après saut et le temps inter-sauts de lachaîne de Markov sous-jacente au PDMP, et la discréetisation en temps adaptée à latrajectoire du processus. Ceci nous permet d'obtenir une vitesse de convergence denotre schéma numérique et de calculer un temps d'arrêt ε-optimal. / Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMP's) have been introduced inthe literature by M.H.A. Davis as a general class of stochastics models. PDMP's area family of Markov processes involving deterministic motion punctuated by randomjumps. In a first part, PDMP's are used to compute probabilities of top eventsfor a case-study of dynamic reliability (the heated tank system) with two di#erentmethods : the first one is based on the resolution of the differential system giving thephysical evolution of the tank and the second uses the computation of the functionalof a PDMP by a system of integro-differential equations. In the second part, wepropose a numerical method to approximate the value function for the optimalstopping problem of a PDMP. Our approach is based on quantization of the post-jump location and inter-arrival time of the Markov chain naturally embedded in thePDMP, and path-adapted time discretization grids. It allows us to derive boundsfor the convergence rate of the algorithm and to provide a computable ε-optimalstopping time.

Les vaccins ont été une grande réussite en matière de santé publique au cours des dernières années. Cependant, le développement de vaccins efficaces contre les maladies infectieuses telles que le VIH ou le virus Ebola reste un défi majeur. Cela peut être attribué à notre manque de connaissances approfondies en immunologie et sur le mode d'action de la mémoire immunitaire. Les modèles mathématiques peuvent aider à comprendre les mécanismes de la réponse immunitaire, à quantifier les processus biologiques sous-jacents et à développer des vaccins fondés sur un rationnel scientifique. Nous présentons un modèle mécaniste de la dynamique de la réponse immunitaire humorale après injection d'un vaccin Ebola basé sur des équations différentielles ordinaires. Les paramètres du modèle sont estimés par maximum de vraisemblance dans une approche populationnelle qui permet de quantifier le processus de la réponse immunitaire et ses facteurs de variabilité. En particulier, le schéma vaccinal n'a d'impact que sur la réponse à court terme, alors que des différences significatives entre des sujets de différentes régions géographiques sont observées à plus long terme. Cela pourrait avoir des implications dans la conception des futurs essais cliniques. Ensuite, nous développons un outil numérique basé sur la programmation dynamique pour optimiser des schémas d'injections répétées. En particulier, nous nous intéressons à des patients infectés par le VIH sous traitement mais incapables de reconstruire leur système immunitaire. Des injections répétées d'un produit immunothérapeutique (IL-7) sont envisagées pour améliorer la santé de ces patients. Le processus est modélisé par un modèle de Markov déterministe par morceaux et des résultats récents de la théorie du contrôle impulsionnel permettent de résoudre le problème numériquement à l'aide d'une suite itérative. Nous montrons dans une preuve de concept que cette méthode peut être appliquée à un certain nombre de pseudo-patients. Dans l'ensemble, ces résultats s'intègrent dans un effort de développer des méthodes sophistiquées pour analyser les données d'essais cliniques afin de répondre à des questions cliniques concrètes. / Vaccines have been one of the most successful developments in public health in the last years. However, a major challenge still resides in developing effective vaccines against infectious diseases such as HIV or Ebola virus. This can be attributed to our lack of deep knowledge in immunology and the mode of action of immune memory. Mathematical models can help understanding the mechanisms of the immune response, quantifying the underlying biological processes and eventually developing vaccines based on a solid rationale. First, we present a mechanistic model for the dynamics of the humoral immune response following Ebola vaccine immunizations based on ordinary differential equations. The parameters of the model are estimated by likelihood maximization in a population approach, which allows to quantify the process of the immune response and its factors of variability. In particular, the vaccine regimen is found to impact only the response on a short term, while significant differences between subjects of different geographic locations are found at a longer term. This could have implications in the design of future clinical trials. Then, we develop a numerical tool based on dynamic programming for optimizing schedule of repeated injections. In particular, we focus on HIV-infected patients under treatment but unable to recover their immune system. Repeated injections of an immunotherapeutic product (IL-7) are considered for improving the health of these patients. The process is first by a piecewise deterministic Markov model and recent results of the impulse control theory allow to solve the problem numerically with an iterative sequence. We show in a proof-of-concept that this method can be applied to a number of pseudo-patients. All together, these results are part of an effort to develop sophisticated methods for analyzing data from clinical trials to answer concrete clinical questions.

Dans le présent document on aborde trois divers thèmes liés au contrôle et au calcul stochastiques, qui s'appuient sur la notion d'équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) dirigée par une mesure aléatoire. Les trois premiers chapitres de la thèse traitent des problèmes de contrôle optimal pour différentes catégories de processus markoviens non-diffusifs, à horizon fini ou infini. Dans chaque cas, la fonction valeur, qui est l'unique solution d'une équation intégro-différentielle de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB), est représentée comme l'unique solution d'une EDSR appropriée. Dans le premier chapitre, nous contrôlons une classe de processus semi-markoviens à horizon fini; le deuxième chapitre est consacré au contrôle optimal de processus markoviens de saut pur, tandis qu'au troisième chapitre, nous examinons le cas de processus markoviens déterministes par morceaux (PDMPs) à horizon infini. Dans les deuxième et troisième chapitres les équations d'HJB associées au contrôle optimal sont complètement non-linéaires. Cette situation survient lorsque les lois des processus contrôlés ne sont pas absolument continues par rapport à la loi d'un processus donné. Etant donné ce caractère complètement non-linéaire, ces équations ne peuvent pas être représentées par des EDSRs classiques. Dans ce cadre, nous avons obtenu des formules de Feynman-Kac non-linéaires en généralisant la méthode de la randomisation du contrôle introduite par Kharroubi et Pham (2015) pour les diffusions. Ces techniques nous permettent de relier la fonction valeur du problème de contrôle à une EDSR dirigée par une mesure aléatoire, dont une composante de la solution subit une contrainte de signe. En plus, on démontre que la fonction valeur du problème de contrôle originel non dominé coïncide avec la fonction valeur d'un problème de contrôle dominé auxiliaire, exprimé en termes de changements de mesures équivalentes de probabilité. Dans le quatrième chapitre, nous étudions une équation différentielle stochastique rétrograde à horizon fini, dirigée par une mesure aléatoire à valeurs entières sur $R_+ times E$, o`u $E$ est un espace lusinien, avec compensateur de la forme $nu(dt, dx) = dA_t phi_t(dx)$. Le générateur de cette équation satisfait une condition de Lipschitz uniforme par rapport aux inconnues. Dans la littérature, l'existence et unicité pour des EDSRs dans ce cadre ont été établies seulement lorsque $A$ est continu ou déterministe. Nous fournissons un théorème d'existence et d'unicité même lorsque $A$ est un processus prévisible, non décroissant, continu à droite. Ce résultat s’applique par exemple, au cas du contrôle lié aux PDMPs. En effet, quand $mu$ est la mesure de saut d'un PDMP sur un domaine borné, $A$ est prévisible et discontinu. Enfin, dans les deux derniers chapitres de la thèse nous traitons le calcul stochastique pour des processus discontinus généraux. Dans le cinquième chapitre, nous développons le calcul stochastique via régularisations des processus à sauts qui ne sont pas nécessairement des semimartingales. En particulier nous poursuivons l'étude des processus dénommés de Dirichlet faibles, dans le cadre discontinu. Un tel processus $X$ est la somme d'une martingale locale et d'un processus adapté $A$ tel que $[N, A] = 0$, pour toute martingale locale continue $N$. Pour une fonction $u: [0, T] times R rightarrow R$ de classe $C^{0,1}$ (ou parfois moins), on exprime un développement de $u(t, X_t)$, dans l'esprit d'une généralisation du lemme d'Itô, lequel vaut lorsque $u$ est de classe $C^{1,2}$. Le calcul est appliqué dans le sixième chapitre à la théorie des EDSRs dirigées par des mesures aléatoires. Dans de nombreuses situations, lorsque le processus sous-jacent $X$ est une semimartingale spéciale, ou plus généralement, un processus de Dirichlet spécial faible, nous identifions les solutions des EDSRs considérées via le processus $X$ et la solution $u$ d’une EDP intégro-différentielle associée. / In the present document we treat three different topics related to stochastic optimal control and stochastic calculus, pivoting on thenotion of backward stochastic differential equation (BSDE) driven by a random measure.After a general introduction, the three first chapters of the thesis deal with optimal control for different classes of non-diffusiveMarkov processes, in finite or infinite horizon. In each case, the value function, which is the unique solution to anintegro-differential Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation, is probabilistically represented as the unique solution of asuitable BSDE. In the first chapter we control a class of semi-Markov processes on finite horizon; the second chapter isdevoted to the optimal control of pure jump Markov processes, while in the third chapter we consider the case of controlled piecewisedeterministic Markov processes (PDMPs) on infinite horizon. In the second and third chapters the HJB equations associatedto the optimal control problems are fully nonlinear. Those situations arise when the laws of the controlled processes arenot absolutely continuous with respect to the law of a given, uncontrolled, process. Since the corresponding HJB equationsare fully nonlinear, they cannot be represented by classical BSDEs. In these cases we have obtained nonlinear Feynman-Kacrepresentation formulae by generalizing the control randomization method introduced in Kharroubi and Pham (2015)for classical diffusions. This approach allows us to relate the value function with a BSDE driven by a random measure,whose solution hasa sign constraint on one of its components.Moreover, the value function of the original non-dominated control problem turns out to coincide withthe value function of an auxiliary dominated control problem, expressed in terms of equivalent changes of probability measures.In the fourth chapter we study a backward stochastic differential equation on finite horizon driven by an integer-valued randommeasure $mu$ on $R_+times E$, where $E$ is a Lusin space, with compensator $nu(dt,dx)=dA_t,phi_t(dx)$. The generator of thisequation satisfies a uniform Lipschitz condition with respect to the unknown processes.In the literature, well-posedness results for BSDEs in this general setting have only been established when$A$ is continuous or deterministic. We provide an existence and uniqueness theorem for the general case, i.e.when $A$ is a right-continuous nondecreasing predictable process. Those results are relevant, for example,in the frameworkof control problems related to PDMPs. Indeed, when $mu$ is the jump measure of a PDMP on a bounded domain, then $A$ is predictable and discontinuous.Finally, in the two last chapters of the thesis we deal with stochastic calculus for general discontinuous processes.In the fifth chapter we systematically develop stochastic calculus via regularization in the case of jump processes,and we carry on the investigations of the so-called weak Dirichlet processes in the discontinuous case.Such a process $X$ is the sum of a local martingale and an adapted process $A$ such that $[N,A] = 0$, for any continuouslocal martingale $N$.Given a function $u:[0,T] times R rightarrow R$, which is of class $C^{0,1}$ (or sometimes less), we provide a chain rule typeexpansion for $u(t,X_t)$, which constitutes a generalization of It^o's lemma being valid when $u$ is of class $C^{1,2}$.This calculus is applied in the sixth chapter to the theory of BSDEs driven by random measures.In several situations, when the underlying forward process $X$ is a special semimartingale, or, even more generally,a special weak Dirichlet process,we identify the solutions $(Y,Z,U)$ of the considered BSDEs via the process $X$ and the solution $u$ to an associatedintegro PDE.