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Piezoeletricidade induzida pelo fluxo de íons / Ion-flux induced piezoelectricity

Sakamoto, Walter Katsumi 22 February 1983 (has links)
Filmes amorfos que não apresentam piezoeletricidade intrínseca, podem ser induzidos a mostrar um efeito piezoelétrico linear quando um fluxo de íons é estabelecido através dele. O efeito está relacionado ao efeito piezoelétrico induzido pela corrente elétrica, exceto que ele está presente ainda que o fluxo de íons positivo a negativo sejam iguais (corrente zero). Um filme circular de celofane é colocada entre duas células de vidro, tal que ela separa água pura de uma solução de cloreto de sódio (NaCl). A diferença de nível dos líquidos fornece uma pressão estática que mantém uma curvatura na membrana, ou no sentido da água ou no sentido da solução. Um transdutor eletromagnético acoplado a água e dirigido senoidalmente por um oscilado, deforma o filme ciclicamente, e eletrodos de platinam um de cada lado do filme, levam os sinais elétricos a um detector síncromo com a deformação aplicada. Enquanto o sinal elétrico observado poderia ser devido a efeitos espúrios dos eletrodos, a inversão observada na fase deste sinal com a mudança da curvatura indica que ele é dependente da deformação de um filme separando dois eletrólitos é devido `a modulação da mobilidade iônica pela deformação aplicada / Amorphous films which can have intrinsic piezoelectricity, can be induced to show a linear piezoelectric effect when a flux of ions is established across them. The effect is related to the electric current induced piezoelectric effect, except that is present even though positive and negative ion fluxes are equal (zero-current). A circular cellophane film is put between two glass cell, so that it separates pure water from a NaCl solution. A level difference of liquids provides a static pressure supports a membrane curvature, either towards or away from the water. An electromagnetic transducer, coupled to the water and driven sinusoidally by a oscillator deforms the film cyclically and platinum electrodes on either side of the film lead the electric signals to a detector synchronized with the applied deformation. While the electric signal observed might be due spurious effects from the electrodes, the observed might be due to spurious effects from the electrodes, the observed reversal in phase of the signal with the change of curvature of the film signifies that it is deformation-dependent. The deformation-dependent electricity in a film separating two electrolytes is owing to the modulation of the mobility of the ions by the applied deformation
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Estudo de materiais piezoelétricos da família III-V obtidos por sputtering reativo visando sua aplicação em sensores e MEMS. / Study of III-V piezoelectric materials obtained by reactive sputtering for sensors and MEMS applications.

Marcus Vinícius Pelegrini 18 August 2010 (has links)
Neste trabalho, apresento um estudo sobre a fabricação e caracterização físico-química de filmes finos de nitreto de alumínio (AlN) obtidos pela técnica de pulverização catódica reativa por rádio frequência (r.f sputtering) utilizando um alvo de alumínio puro. Visto que o AlN é um material que apresenta piezoeletricidade e compatibilidade com a tecnologia MOS, o objetivo principal desse trabalho é definir os parâmetros de processo de deposição que resultem em um material com propriedades adequadas para sua utilização como elemento atuador e/ou sensor em sistemas micro eletromecânicos (MEMS). O estudo da influência dos parâmetros de processo foi realizado em três etapas. Na primeira realizei um estudo preliminar sobre a influência da pressão de processo e potência de r.f. Na segunda etapa realizei um estudo sobre a influência da relação entre o gás reativo (N2) e o pulverizante (Ar) nas características físicoquímicas do material. Na 3º etapa estudei o efeito da temperatura de deposição nas características do filme que apresentou as propriedades mais propícias para aplicações em MEMS. Propriedades como índice de refração, composição química e stress residual não apresentaram grandes variações com a mudança da composição gasosa da atmosfera de deposição, no entanto, os resultados de difração de raios-X mostraram que os filmes obtidos com 30% de N2 possuem maior cristalização na direção que apresenta maior piezoeletricidade, sendo assim, mais favorável para ser utilizado como sensor/atuador na fabricação de MEMS. No estudo sobre o efeito da temperatura de deposição verificamos que o filme crescido a 250°C apresentou as melhores propriedades para as aplicações em MEMS desejadas. Para finalizar o trabalho a constante piezoelétrica de carga foi obtida utilizando capacitores de placas paralelas de molibdênio e o AlN como dielétrico, obtendo um coeficiente piezoelétrico de carga d33 de 0,5 pm/V. / I present a study on the production and physicochemical characterization of aluminum nitride thin films (AlN) obtained by r.f. reactive magnetron sputtering, using a target of pure aluminum. Since AlN is a material that presents piezoelectricity and compatibility with MOS technology, the main objective of this work is to define the process parameters that will result in a material with properties suitable for its use as an actuator / sensor in micro electromechanical systems (MEMS). The process parameters influence study was performed in three steps. First I conducted a preliminary study on pressure process and rf power influence. In the second step was studied the influence of the reactive (N2) and sputtering (Ar) gas ratio on the material physical and chemical properties. Last but not least, I studied the temperature deposition effects in the AlN thin film obtained in the gas ratio which presented the most favorable properties for MEMS applications. Properties such as refractive index, chemical composition and residual stress did not show considerable variations with changing in the atmosphere deposition, however X-ray diffraction results showed films obtained with 30% N2 have higher crystallization in (002) direction, which is the one with greater piezoelectricity response and thus, more favorable to be used as sensor / actuator in MEMS fabrication. The study on deposition temperature effects has shown maximum (002) crystallization direction is achieved in films grown at 250° C. Piezoelectric coefficient was defined using parallel plate capacitors method using AlN as dielectric resulted in a d33 piezoelectric coefficient of 0,5 pm/V.
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Otimização de atuadores piezelétricos em placas e cascas de material composto

Rafael Takeda Melim 01 September 1996 (has links)
Uma ferramenta de síntese estrutural de placas e cascas de material composto equipadas com lâminas de material piezelétrico para modificação estática de forma, foi desenvolvida. O objetivo é levar os laminados a uma forma desejada, por meio de deformações elásticas induzidas por atuadores piezelétricos, sendo otimizadas a quantidade do material piezelétrico e as voltagens aplicadas. A formulação da otimização estrutural e a sua solução no contexto do método dos conceitos aproximados são apresentadas, utilizando para a análise estrutural um elemento finito plano de casca com capacidade piezelétrica, desenvolvido a partir da junção do elemento de placa DKQ (discrete Kirchhoff quadrilateral) e de um elemento de membrana quadrilátero. São apresentados resultados de análise estrutural e de otimização do material piezelétrico e voltagens aplicadas, obtidos para estruturas existentes na literatura. A potencialidade da ferramenta de síntese é comprovada em complexas aplicações a placas e cascas anisotrópicas, que são forçadas a assumir configurações deformadas típicas de estruturas isotrópicas.
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Vibração de placas laminadas na presença de tensões induzidas piezoeletricamente.

Maurício Vicente Donadon 00 December 2000 (has links)
Este trabalho apresenta uma formulação variacional consistente para a modelagem de placas laminadas com atuadores piezoelétricos. Um programa computacional de elementos finitos para análise de placas laminadas minidas de atuadores piezoelétricos incluindo efeitos de enrigecimento por tensão, foi adaptado para projetar os experimentos de validação da formulação proposta. Na parte experimental do trabalho, foram realizados ensaios para caracterizar o campo de deformação induzido pelos atuadores piezoelétricos, bem como o comportamento mecânico da placa em trmos de sua rigidez à flexão e freqüências naturais de vibração.
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Formulation of a rectangular finite element for a laminated composite plate with piezoelectric layers.

Adriano Luiz de Carvalho Neto 00 December 2000 (has links)
A formulation of a finite element for a composite plate containing distributed piexoelectric layers that can be either bonded to the surface or embedded within the structure, considering the Classical Laminated Plate Theory (CLPT), is presented. Temperatures effects are neglected. The finite element has a rectangular shape with four nodal points, flexural and membrane stiffness, six mechanical degrees of freedom per nodal point (u; v; w; W,x; W,y; W,xy) and one electrical potential degree of freedom per piezoelectric layer ( f ). This element presents continuity C0 in the in-plane displacements, continuity C1 in the transversal displacement and the electric potentials are constants throughout the plane of the piezoelectric layer but varying linearly thru the thickness. Two comparison case studies are presented and the present formulation shows a good agreement with the results available in the literature.
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Piezoelectric shunt damping using adaptive resonant circuits

Jorge Augusto de Bonfim Gripp 21 August 2015 (has links)
Piezoelectric shunt damping is a well-known technique to damp mechanical vibrations of a structure. This technique consists in using a piezoelectric transducer to convert mechanical vibration energy into electrical energy, which is partially dissipated in an electrical circuit. Among the circuits proposed over the last decades for the efficient conversion of mechanical vibration energy into electric energy, the resonant circuit was the first one that achieved satisfactory results. Resonant shunts consist of a resistor (R) and a inductor (L) connected in series with a piezoelectric transducer, which already contains an intrinsic capacitance. The resonance frequency of this circuit is tuned to the vibration natural frequency of the mechanical structure, which results on the maximum energy conversion and maximum vibration damping. Unfortunately, this technique presents limitations in real aplications, because small variations in the structure, circuit components, and operational conditions can decouple the electrical and mechanical natural frequencies and radically reduce the performance. In order to damp mechanical vibrations in lightweight structures subject to variabilities, a new piezoelectric shunt damping technique with improved performance and robustness is presented in this work. This thesis describes an adaptive resonant piezoelectric vibration absorber enhanced by a synthetic negative capacitance. The resonant shunt circuit autonomously adapts its inductance value (L) by comparing the phase difference of the vibration velocity and the current flowing through the shunt circuit. Moreover, a synthetic negative capacitance is added to the shunt circuit to enhance the electromechanical coupling in the energy conversion and, as a consequence, improve the vibration damping. Validation of the proposed method is done by bonding the piezoelectric absorber on a metallic shell to attenuate vibrations. The circuitry is implemented using analog components.
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Desenvolvimento e caracterização de compósitos piezoelétricos de PZT com matriz cimentícia e borracha natural /

Santos, Josiane Alexandrino dos. January 2018 (has links)
Orientador: Jose Antonio Malmonge / Resumo: O uso de materiais inteligentes tem sido cada vez mais utilizado pelo ramo de engenharia civil, devido à crescente demanda por construções que têm como função não só atenderem ao crescente aumento populacional, como agirem também como facilitadores da vida humana. Dentro dos estudos em desenvolvimento nesta área, o que vem ganhando destaque é o desenvolvimento de sensores compósitos de materiais piezoelétricos à base de cimento, que sejam capazes de atuar no monitoramento e detecção de possíveis falhas nas estruturas civis em tempo real e contínuo. Alguns dos grandes problemas encontrados no desenvolvimento de sensores piezoelétricos baseados em matrizes cimentícias, encontram se na degradação das propriedades dos sensores frente às condições ambientais em tempo contínuo a que estes são submetidos, bem como, a possibilidades de as fases de preenchimento interferirem diretamente no processo de cura da matriz, reduzindo suas propriedades mecânicas desejáveis. Buscando resolver tais problemas, o presente trabalho teve como objetivo a obtenção e caracterização de compósitos piezoelétricos utilizando como matriz o cimento modificado com borracha natural (BN) e titanato zirconato de chumbo (PZT) como fase piezoelétrica. O PZT foi escolhido como fase piezoelétrica devido seu alto valor do coeficiente piezoelétrico enquanto a inserção da BN buscou garantir aos compósitos, resistência à passagem de água, umidade e a resistência a soluções nocivas ao cimento, atuando no aumento da dura... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: The use of intelligent materials has been increasingly used by the civil engineering industry, in response to the increasing demand for constructions that serve, not only to attend to the increasing population, but also to act as facilitators of human life. Within the studies under development in this area, the one that has being gaining prominence is the development of composite sensors of cement-based piezoelectric materials, that can act in the monitoring and detection of possible failures in civil structures in real and continuous time. Some of the major problems encountered in the development of piezoelectric sensors based on cementitious matrices lie in the degradation of the properties of the sensors, both as against the environmental conditions in continuous time to which they are subjected, as well as the possibility that filling phases interfere directly in the process of curing the matrix, reducing its desirable mechanical properties. In order to solve such problems, the present study aimed to obtain and characterize of a composite piezoelectric array of modified cement with natural rubber (NR) and lead zirconate titanate (PZT) as the piezoelectric layer. The PZT was chosen as the piezoelectric phase because of its high piezoelectric coefficient, while the BN insertion sought to guarantee the resistance of the composites to the passage of water, moisture and noxious solutions to the cement, in order to increase not only the durability, as well the piezoeletric prop... (Complete abstract click electronic access below) / Mestre
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Análise de um sistema de captura de energia piezoelétrico não linear e não ideal utilizando-se uma estrutura aporticada. / Analysis of a piezoeletric energy harvesting nonlinear and non-ideal using a portal frame structure.

Itamar Iliuk 16 June 2016 (has links)
A crescente utilização de novas tecnologias, as quais necessitam de uma fonte de energia menor e mais eficiente, como os microssensores para monitoramento de sistemas e estruturas nas chamadas cidades inteligentes, torna a captura da energia do ambiente uma opção viável para alimentação de tais dispositivos. Como a energia cinética é uma fonte de energia facilmente encontrada no ambiente, os sistemas que a capturam e convertem em eletricidade têm sido amplamente estudados, especialmente os que utilizam transdutores piezoelétricos. Considerando estruturas aporticadas, como prédios, pontes etc., comumente encontradas nas cidades, este trabalho apresenta um novo modelo de sistema de captura de energia piezoelétrico com base em um pórtico não linear, sob uma excitação não ideal, por meio de uma fonte com potência limitada. Para modelar o acoplamento piezoelétrico, foram consideradas as não linearidades do material piezoelétrico. Por meio das simulações numéricas, pode-se verificar a eficiência e a viabilidade do modelo proposto. Devido ao fato de as vibrações do meio ambiente serem senoidais, aleatórias ou transitórias, surge uma dificuldade na captura de energia de forma eficiente e com um nível contínuo. A utilização de controles passivos pode melhorar a energia capturada, removendo o movimento caótico do sistema e mantendo a oscilação em uma órbita periódica estável. Assim, duas estratégias de controle passivo foram empregadas, a primeira utilizando uma subestrutura com características de absorvedor de energia não linear (NES) e a segunda pela introdução de um pêndulo. Em ambos os casos, as simulações demonstraram que o controle passivo foi eficiente em levar o sistema caótico para uma órbita periódica estável, otimizando a captura de energia do sistema. Uma análise considerando incertezas nos parâmetros foi realizada, para verificar a robustez da estratégia de controle, assim como a sensibilidade do sistema de controle a erros paramétricos. Os resultados mostraram a eficiência do controle passivo e o fenômeno do bombeamento de energia na supressão do comportamento caótico. A principal vantagem do controle passivo é não necessitar de componentes eletrônicos para controlar o sistema, sendo apenas um componente mecânico \"massa\", acoplado à estrutura principal. Uma análise wavelet foi realizada sobre o modelo, para identificar o comportamento oscilatório do sistema e permitir a visualização das frequências de vibração que capturam mais energia. / The increasing use of new technologies, which have the need for smaller and more energy efficient sources, such as micro-sensors for monitoring systems and structures of the so-called smart cities, assigns environmental energy harvesting a viable option to power such devices. As kinetic energy is a source easily found in the environment, the systems that harvest and convert this type of energy into electricity have been widely studied, especially those using piezoelectric transducers. Considering framed structures, such as buildings, bridges, etc., which are commonly found in the cities, this paper presents a new model of piezoelectric energy harvesting system based on a nonlinear portal frame, under a non-ideal excitation by a source with limited power. To model Piezoelectric couplings, they were considered nonlinearities of the piezoelectric material. Through numerical simulations, the effciency and viability of the proposed model can be verified. A difficulty arises in harvesting energy in an efficient manner, and with a continuous level, because the vibrations of the environment are sinusoidal, random or transient. However, the use of passive controls can improve the energy harvested by removing the chaotic motion of the system and maintaining the oscillation at a stable periodic orbit. Thus, two passive control strategies were employed, the first using a substructure with characteristics of nonlinear energy sink (NES), and the second by introducing a pendulum. In both cases, the simulations showed that the passive control was efficient in bringing the chaotic system to a stable periodic orbit, optimizing the energy harvest system. An analysis considering the uncertainties in the parameters was performed to verify the robustness of the control strategy, as well as the sensitivity of the control system of parametric errors. The results showed the efficiency of passive control and the energy pumping phenomenon in the suppression of the chaotic behavior. The main advantage of passive control is not to require any electronic components for controlling the system, only a mechanical component _mass_, attached to the main structure. A Wavelet Analysis was conducted on the model to identify the oscillatory behavior of the system and allowed the viewing of the vibration frequencies that harvest more energy.
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Avaliação e análise de um sistema de micro geração de energia baseado no efeito piezoelétrico

Coelho, Marcos Antonio Jeremias January 2015 (has links)
Neste trabalho, é apresentado um estudo sobre um sistema de micro geração de energia a partir da vibração de uma viga em balanço utilizando um transdutor piezoelétrico. A análise é feita levando-se em consideração as dimensões da viga utilizada, tipo de gerador piezoelétrico e diferentes tipos de cargas acopladas a este. O sistema de geração tem sua excitação realizada por um atuador piezoelétrico, que é alimentado por uma fonte de tensão com amplitude, frequência e forma de onda ajustáveis. A avaliação da potência de saída e influência dos diferentes tipos de carga acoplados a saída são analisados. As cargas utilizadas são: puramente resistiva, resistiva-capacitiva e não linear, por meio de um retificador de onda completa. Para avaliar experimentalmente os resultados analíticos foi utilizado um protótipo de uma viga em balanço construída com uma barra de alumínio exposta a uma excitação, induzida por um outro transdutor piezoelétrico ligado a uma placa dSpace controlada por um computador. Os parâmetros do sistema são identificados sendo possível determinar sua influência na saída e realizando assim uma análise pontual do micro gerador piezoelétrico quando submetido a uma carga qualquer. Os resultados da geração com os diferentes tipos de cargas são comparados, bem como a influência destas na dinâmica do sistema. As potências máximas são apresentadas em diferentes modos de vibração depois de otimizadas. Foram obtidos os seguintes resultados: 3;357mW com uma resistência de 200k no primeiro modo; 13;17mW com uma resistência de 50k no segundo modo; para o terceiro e quarto modos de vibração a máxima potência é obtida com a resistência de 10k, sendo 10;22mW e 15;63mW, respectivamente. A alteração da frequência de vibração é de aproximadamente 0;2% para os modos de vibração em função da resistência máxima e mínima. Para a carga resistiva-capacitiva, o comportamento da geração não é afetado significativamente para os valores de resistência de 1M e 100k. Com os valores de 10k e 1k a potência ativa se eleva em 30%, aproximadamente. O comportamento da carga não linear é aproximado por uma impedância com característica capacitiva. Sendo que, com a elevação da frequência, a impedância vista pelo gerador piezoelétrico é diminuída. A energia armazenada é de 0;8039mJ, 2;5245mJ e 1;3041mJ para o primeiro, segundo e terceiro modos de vibração, respectivamente. / This work presents a study of a energy harvesting system based on vibration from a cantilever beam utilizing a piezoelectric generator. The analysis considers the dimensions of the beam, type of piezoelectric generator and di erent types of loads coupled. A piezoelectric actuator is handles for the system excitement, powered by a voltage source with adjustable amplitude, frequency and shape. Are evaluate the output power and the in uence of di erent charge types coupled to the piezoelectric generator. The loads are purely resistive, resistive-capacitive and non-linear, by a full-wave bridge recti er. To check experimentally the analytical results, are used a prototype of a cantilever beam constructed with an aluminum bar exposed to an excitation induced by another piezoelectric transducer attached to a dSpace board controlled by a computer. The system parameters are individually identi ed to determine their in uence on output, allowing the punctual analysis of the piezoelectric harvesting when subjected to any load. The results of power generation are compare with di erent types of loads as well as its in uence on the dynamic of the system. After a optimization, the greatest power delivered to the load happen in di erent vibrational modes. We obtain the following results: 3:357mW with a 200k resistance in the rst mode; 13:17mW with a 50k resistance in the second mode, for the third and fourth vibration modes greatest power is obtained with the 10k resistance, being 10:22mW and 15:63mW, respectively. The modi cation of the vibration frequency are approximately 0:2% for all vibration modes depending on the largest and smallest resistance. For the resistive-capacitive load, the generation behavior are not a ect to the 1M and 100k resistance. With the 10k and 1k values, the active power increases by approximately 30%. The nonlinear load behavior are approach by an impedance with capacitive characteristics. With increasing of frequency, the impedance seen by the piezoelectric harvester is decreased. The energy stored is 0:8039mJ, 2:5245mJ and 1:3041mJ for the rst, second and third vibration modes, respectively.
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Avaliação e análise de um sistema de micro geração de energia baseado no efeito piezoelétrico

Coelho, Marcos Antonio Jeremias January 2015 (has links)
Neste trabalho, é apresentado um estudo sobre um sistema de micro geração de energia a partir da vibração de uma viga em balanço utilizando um transdutor piezoelétrico. A análise é feita levando-se em consideração as dimensões da viga utilizada, tipo de gerador piezoelétrico e diferentes tipos de cargas acopladas a este. O sistema de geração tem sua excitação realizada por um atuador piezoelétrico, que é alimentado por uma fonte de tensão com amplitude, frequência e forma de onda ajustáveis. A avaliação da potência de saída e influência dos diferentes tipos de carga acoplados a saída são analisados. As cargas utilizadas são: puramente resistiva, resistiva-capacitiva e não linear, por meio de um retificador de onda completa. Para avaliar experimentalmente os resultados analíticos foi utilizado um protótipo de uma viga em balanço construída com uma barra de alumínio exposta a uma excitação, induzida por um outro transdutor piezoelétrico ligado a uma placa dSpace controlada por um computador. Os parâmetros do sistema são identificados sendo possível determinar sua influência na saída e realizando assim uma análise pontual do micro gerador piezoelétrico quando submetido a uma carga qualquer. Os resultados da geração com os diferentes tipos de cargas são comparados, bem como a influência destas na dinâmica do sistema. As potências máximas são apresentadas em diferentes modos de vibração depois de otimizadas. Foram obtidos os seguintes resultados: 3;357mW com uma resistência de 200k no primeiro modo; 13;17mW com uma resistência de 50k no segundo modo; para o terceiro e quarto modos de vibração a máxima potência é obtida com a resistência de 10k, sendo 10;22mW e 15;63mW, respectivamente. A alteração da frequência de vibração é de aproximadamente 0;2% para os modos de vibração em função da resistência máxima e mínima. Para a carga resistiva-capacitiva, o comportamento da geração não é afetado significativamente para os valores de resistência de 1M e 100k. Com os valores de 10k e 1k a potência ativa se eleva em 30%, aproximadamente. O comportamento da carga não linear é aproximado por uma impedância com característica capacitiva. Sendo que, com a elevação da frequência, a impedância vista pelo gerador piezoelétrico é diminuída. A energia armazenada é de 0;8039mJ, 2;5245mJ e 1;3041mJ para o primeiro, segundo e terceiro modos de vibração, respectivamente. / This work presents a study of a energy harvesting system based on vibration from a cantilever beam utilizing a piezoelectric generator. The analysis considers the dimensions of the beam, type of piezoelectric generator and di erent types of loads coupled. A piezoelectric actuator is handles for the system excitement, powered by a voltage source with adjustable amplitude, frequency and shape. Are evaluate the output power and the in uence of di erent charge types coupled to the piezoelectric generator. The loads are purely resistive, resistive-capacitive and non-linear, by a full-wave bridge recti er. To check experimentally the analytical results, are used a prototype of a cantilever beam constructed with an aluminum bar exposed to an excitation induced by another piezoelectric transducer attached to a dSpace board controlled by a computer. The system parameters are individually identi ed to determine their in uence on output, allowing the punctual analysis of the piezoelectric harvesting when subjected to any load. The results of power generation are compare with di erent types of loads as well as its in uence on the dynamic of the system. After a optimization, the greatest power delivered to the load happen in di erent vibrational modes. We obtain the following results: 3:357mW with a 200k resistance in the rst mode; 13:17mW with a 50k resistance in the second mode, for the third and fourth vibration modes greatest power is obtained with the 10k resistance, being 10:22mW and 15:63mW, respectively. The modi cation of the vibration frequency are approximately 0:2% for all vibration modes depending on the largest and smallest resistance. For the resistive-capacitive load, the generation behavior are not a ect to the 1M and 100k resistance. With the 10k and 1k values, the active power increases by approximately 30%. The nonlinear load behavior are approach by an impedance with capacitive characteristics. With increasing of frequency, the impedance seen by the piezoelectric harvester is decreased. The energy stored is 0:8039mJ, 2:5245mJ and 1:3041mJ for the rst, second and third vibration modes, respectively.

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