A primeira parte deste trabalho é dedicada ao estudo de sistemas dinâmicos contínuos e discretos bidimensionais com um único ponto de equillíbrio que é do tipo sela hiperbólica. No caso contínuo, obtemos condições sufiientes para que um campo vetorial planar seja topologicamente equivalente à sela linear L(x; y) = (-x; y). No caso em que o campo vetorial é um difeomorfismo local, a injetividade do campo jogará um papel fundamental na obtenção de tal equivalência topológica. Além disto, apresentamos uma descrição das folheações do plano associadas a campos de vetores com uma única singularidade do tipo sela hiperbólica. No âmbito dos sistemas discretos, apresentamos condições para que um difeomorfismo, possuindo uma sela hiperbólica como único ponto fixo, satisfaça as propriedades básicas de um sistema linear com um ponto fixo que é do tipo sela hiperbólica: as quatro separatrizes do ponto fixo se acumulam só no infinito e os iterados dos pontos que não estão nas variedades invariantes deste ponto fixo se acumulam no infinito tanto no passado quanto no futuro. A segunda parte deste texto, se dedica a problemas de injetividade de difeomorfismos locais em \'R POT. n\'. Mais especificamente, obtemos versões fracas da Conjetura Jacobiana Real de Jelonek e de uma Conjetura apresentada por Nollet e Xavier. Ambos problemas estão intimamente ligados à famosa Conjetura Jacobiana, que foi considerada por Smale em 1998 como um dos dezoito problemas matemáticos mais relevantes ainda em aberto / The first part of this work is dedicated to the study of continuous and discrete twodimensional dynamical systems with a unique equilibrium point which is a hyperbolic saddle. In the continuous case, we obtain sufficient conditions for a planar vector field be topologically equivalent to the linear saddle L(x; y) = (-x; y). In the case where the vector field is a local diffeomorphism, the injectivity of the field will play a key role in obtaining such a topological equivalence. Furthermore, we provide a description of foliations of the plane vector fields associated with a unique singularity of hyperbolic saddle type. In the context of discrete systems, we present conditions for a diffeomorphism, possessing a hyperbolic saddle as the single fixed point, to satisfy the basic properties of a linear system with a fixed point of saddle type which is hyperbolic: the four separatrices of the fixed point accumulate only at infinity and iterated the points that are not in invariant manifolds of this fixed point accumulate in infinity in both the past and future. The second part of this text is devoted to problems of injectivity of local diffeomorphisms on \'R POT. n\'. More specifically, we obtain weaker versions of the Jelonek\'s Real Jacobian Conjecture and a Conjecture given by Nollet and Xavier. Both problems are closely linked to the famous Jacobian Conjecture, which was considered by Smale in 1998 as one of eighteen mathematical problems even more important in open

Aquesta tesi es situa en el marc de la teoriaqualitativadelssistemesd’equacionsdiferencials en el pla. Cada capítol conté un aspectediferent, però en totsells es tractenproblemes, la soluciódelsqualsestà basada en el rol que hi juguen les simetriesdiscretes i continues (reversibilitat o simetries de Lie) de campsvectorialsplans. A la introducció, es dóna un resumdelsresultatsmésconeguts i s’hiintrodueix la notació que es fa servir al llarg de la tesi. En el segon i tercer capítol, s’aborda el problema de trobarl’expressió explícita del canvilinealitzant o orbitalmentlinealitzantd#un camp vectorial suau a partir del coneixementd’uncommutador, en el cas de la linealització, o una simetria de Lie, en el cas de la linealització orbital. Cada capítol finalitzaambexemplesil.lustratius del procedimentconstructiudelscanvis. Al Capítol 5 s’apliquenelsresultatsdelscapítolsanteriors, combinatsamblinealitzacionsDarbouxianes. Concretament, es considera un sistema quadràtictipusLotka-Volterra i es caracteritzen les selles linealitzables i orbitalmentlinealitzablesmitjançant la troballadelscanvislinealitzants o orbitalmentlinealitzants. En el sisè capítol, s’utilitzal’existènciad’unàlgebra de simetriespuntuals de Lie per donar informació sobre l’existència i localitzaciód’òrbitesperiòdiques. En particular, quanl’àlgebra de simetriespuntuals de Lie d’unaequació diferencial escalar de segónordreautònoma i suau té dimensiómajor o igual a dos, definim les anomenadesfuncionsfonamentals que enspermeten estudiar les òrbitesperiòdiques al pla de fases. En el cas particular d’equacionspolinomials de Liénard, mostrem la no existència de cicles límit en tot el pla de fases. Finalment, al Capítol 7 es relacionen elssistemes reversibles amb el problema del centre aixícomamb el problema de la integrabilitat analítica. Consideremsistemesd’equacionsdiferencialsanalíticsamb centres degenerats i mostrem que poden transformar-se, després d’un reescalat del temps, en un sistema lineal i reversible. El coneixement de integralsprimeresens proporciona un procediment per caracteritzar, en alguns casos, la condició de reversibilitat del centre degenerat. D’altra banda, relacioneml’existència de integralsprimeresanalítiquesamb la reversibilitat orbital analítica en el cas de singularitatsdèbils no degenerades.

A primeira parte deste trabalho é dedicada ao estudo de sistemas dinâmicos contínuos e discretos bidimensionais com um único ponto de equillíbrio que é do tipo sela hiperbólica. No caso contínuo, obtemos condições sufiientes para que um campo vetorial planar seja topologicamente equivalente à sela linear L(x; y) = (-x; y). No caso em que o campo vetorial é um difeomorfismo local, a injetividade do campo jogará um papel fundamental na obtenção de tal equivalência topológica. Além disto, apresentamos uma descrição das folheações do plano associadas a campos de vetores com uma única singularidade do tipo sela hiperbólica. No âmbito dos sistemas discretos, apresentamos condições para que um difeomorfismo, possuindo uma sela hiperbólica como único ponto fixo, satisfaça as propriedades básicas de um sistema linear com um ponto fixo que é do tipo sela hiperbólica: as quatro separatrizes do ponto fixo se acumulam só no infinito e os iterados dos pontos que não estão nas variedades invariantes deste ponto fixo se acumulam no infinito tanto no passado quanto no futuro. A segunda parte deste texto, se dedica a problemas de injetividade de difeomorfismos locais em \'R POT. n\'. Mais especificamente, obtemos versões fracas da Conjetura Jacobiana Real de Jelonek e de uma Conjetura apresentada por Nollet e Xavier. Ambos problemas estão intimamente ligados à famosa Conjetura Jacobiana, que foi considerada por Smale em 1998 como um dos dezoito problemas matemáticos mais relevantes ainda em aberto / The first part of this work is dedicated to the study of continuous and discrete twodimensional dynamical systems with a unique equilibrium point which is a hyperbolic saddle. In the continuous case, we obtain sufficient conditions for a planar vector field be topologically equivalent to the linear saddle L(x; y) = (-x; y). In the case where the vector field is a local diffeomorphism, the injectivity of the field will play a key role in obtaining such a topological equivalence. Furthermore, we provide a description of foliations of the plane vector fields associated with a unique singularity of hyperbolic saddle type. In the context of discrete systems, we present conditions for a diffeomorphism, possessing a hyperbolic saddle as the single fixed point, to satisfy the basic properties of a linear system with a fixed point of saddle type which is hyperbolic: the four separatrices of the fixed point accumulate only at infinity and iterated the points that are not in invariant manifolds of this fixed point accumulate in infinity in both the past and future. The second part of this text is devoted to problems of injectivity of local diffeomorphisms on \'R POT. n\'. More specifically, we obtain weaker versions of the Jelonek\'s Real Jacobian Conjecture and a Conjecture given by Nollet and Xavier. Both problems are closely linked to the famous Jacobian Conjecture, which was considered by Smale in 1998 as one of eighteen mathematical problems even more important in open

Orientador: Luci Any Francisco Roberto / Coorientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Ana Cristina Mereu / Banca: Claudio Gomes Pessoa / Resumo: Neste trabalho temos como objetivo estudar o número e a distribuição de ciclos limites em sistemas diferenciais lineares por partes. Em particular estudamos o número de ciclos limites do sistema diferencial linear por partes planar ˙x = −y − ε φ ( x) , ˙y = x, onde ε 6= 0 é um parâmetro pequeno e φ é uma função periódica linear por partes ímpar de período 4 . Provamos que dado um inteiro arbitário positivo n, o sistema acima possui exatamente n ciclos limites na faixa |x| ≤ 2 (n + 1 ). Consequentemente, existem sistemas diferenciais lineares por partes contendo uma infinidade de ciclos limites no plano real. Inicialmente obtemos uma quota inferior par a o número destes ciclos limites na faixa | x| ≤ 2 (n + 1 ) via Teoria do Averaging . Em seguida , utilizando a Teoria de Campos de Vetores Rodados, verificamos que o sistema acima tem exatamente n ciclos limites na faixa | x| ≤ 2 (n + 1 ) / Abstract: The main goal of this work aim to study the number and distribution of limit cycles in piecewise linear differential systems. In particular we consider the planar piecewise linear differential system ˙x = −y − ε φ ( x) , ˙y = x, where ε 6= 0 is a small parameter and φ is an odd piecewise linear periodic function of period 4 . We prove that given an arbitrary positive integer n, the system above has exactly n limit cycles in the strip | x| ≤ 2 (n + 1 ) . Consequently, there are piecewise differential systems containing an infinite number of limit cycles in the real plane. First we get a lower bound on the number of limit cycles in the strip |x| ≤ 2 (n + 1 ) via Averaging Theory. In the following , using the Theory of Rotated Vector Fields, we see that above system has exactly n limit cycles in the strip | x| ≤ 2 (n + 1 ) / Mestre

Orientador: Paulo Ricardo da Silva / Banca: Luis Fernando Mello / Banca: João Carlos Ferreira Costa / Resumo: Nesta dissertação estudamos critérios para determinar a existência, a não existência e a unicidade de ciclos limites de campos de vetores planares. Mais especificamente, estudamos equações de Lienard Äx + f(x; _ x) _ x + g(x) = 0; onde f e g satisfazem determinadas hip¶oteses. Em particular estudamos a equa»c~ao de van der Pol Äx + "(x2 ¡ 1) _ x + x = 0; a qual é conhecida da teoria dos circuitos elétricos. Provamos a existência e a unicidade de ciclos limites para estas equações. Por fim estudamos a equação de van der Pol com o parâmetro" " 1 e o fenômeno canard que ocorre ao considerarmos um parâmetro adicional ®: As técnicas utilizadas s~ao as usuais de Análise Assintótica. / Abstract: In this work we study the existence, the non existence and the uniqueness of limit cycles of planar vector felds. More specifically, we study Lienard equations Äx+f(x; _ x) _ x+g(x) = 0; where f and g satisfy some hypothesis. In particular we study the van der Pol equation Äx + "(x2 ¡ 1) _ x + x = 0; which is knew of the circuit theory. We prove the existence and the uniqueness of limit cycles for these equations. In the last part we study the van der Pol equation with the parameter " " 1 and the canard phenomenon which appears when we consider an additional parameter ®: The techniques employed are the usual in the Asymptotic Analysis. / Mestre