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La democràcia es el sistema de govern més utilitzat al món. No obstant, en un món cada vegada més globalitzat, la idea de mobilitzar la gent per votar en un col·legi electoral gestionat per persones resulta antiquada tot i ser la implementació més comú en l'actualitat. Millorar aquesta situació mitjançant l'ús de les tecnologies de la informació sembla una evolució òbvia i molt demanada però, malgrat l'existència d'algunes implementacions en entorns reals, encara no ha estat utilitzada excepte en comptades ocasions. Obrir la porta d'unes eleccions a les tecnologies de la informació implica l'obertura dels protocols de votació a un nou conjunt d'atacs contra aquests. Tenint en compte els requisits d'una elecció: privacitat del votant i integritat de l'elecció, les solucions actuals passen per implementar l'elecció seguint un dels tres paradigmes de vot segurs: barreja de vots, recompte homomòrfic o signatura cega. En aquesta tesi, es proposen nous protocols per als diferents paradigmes. La primera proposta consisteix en un sistema de vot que, basant-se en una informació redundant enviada pel votant, és capaç de realitzar una barreja de vots amb cost negligible incrementant lleugerament el cost del recompte. Per al paradigma de recompte homomòrfic, es proposa una prova de validesa del vot basada en les proves utilitzades per demostrar la correctesa en sistemes amb barreja de vots. Aquesta solució permet utilitzar les millores realitzades sobre el paradigma de barreja de vots per al seu ús en el paradigma de recompte homomòrfic. Finalment, es plantegen dues solucions per a eleccions del paradigma de signatura cega. La primera utilitza credencials generades amb signatura cega per permetre als votants vàlids enviar el seu vot sense que es conegui la seva identitat. La segona resol el problema del vot doble en aquest paradigma mitjan cant una construcció que utilitza un sistema de moneda electrònica off-line. / La democracia es el sistema de gobierno más usado en el mundo. No obstante, en un mundo cada vez más globalizado, la idea de movilizar a la gente para votar en un colegio electoral gestionado por personas resulta anticuada a pesar de ser la implementación más común en la actualidad. Mejorar esta situación mediante el uso de las tecnologías de la información parece una evolución obvia y muy solicitada pero, a pesar de unas pocas adaptaciones, aún no ha sido usada salvo en escasas ocasiones. Abrir la puerta de unas elecciones a las tecnologías de la información lleva implícita la apertura de los protocolos de voto a un nuevo conjunto de ataques contra estos. Teniendo en cuenta los requisitos de una elección: privacidad del votante e integridad de la elección, las soluciones actuales pasan por implementar la elección siguiendo uno de los tres paradigmas de voto seguros: mezcla de votos, recuento homomórfico o firma ciega. En esta tesis, se proponen nuevos protocolos para los distintos paradigmas. La primera propuesta consiste en un sistema de voto bajo el paradigma de mezcla de votos que, basándose en una información redundante enviada por el votante, es capaz de realizar una mezcla de votos con un coste negligible incrementando ligeramente el coste del recuento. Para el paradigma de recuento homomórfico, se propone una prueba para verificar que el voto es válido basada en las pruebas de correctitud en sistemas con mezcla de votos. Esta solución permite usar las mejoras realizadas en el paradigma de mezcla de votos para su uso en el paradigma de recuento homomórfico. Finalmente, se proponen dos nuevos protocolos del paradigma de firma ciega. El primero utiliza credenciales generadas con firma ciega para permitir a votantes válidos enviar su voto sin que se conozca su identidad. El segundo resuelve el problema del voto doble en el paradigma de firma ciega mediante una construcción que utiliza un sistema de moneda electrónica off-line. / Democracy is the most established government system in the world. However, in an increasingly globalized world, the idea of requiring people to move in order to cast their vote in the polling station seems outdated, even though it is, nowadays, the most common implementation. An obvious and widely demanded evolution is to improve the election framework by enabling the use of information technologies. Nevertheless, this solution has been implemented few times in real environment elections and the global success of these solutions have been called into question. The use of information technologies in voting protocols improves the quality of the election but, at the same time, it also opens up the voting protocols to new threats. Keeping this attacks in mind and given the election requirements: voter's privacy and election's integrity, the solutions proposed up to date are to implement one of the three secure voting paradigms: mixtype based, homomorphic tally, and blind signature. In this thesis, we present new protocols for the di erent paradigms. Our rst proposal, based on the mix-type paradigm, consists in a voting protocol which is able to perform the ballot mix with negligible cost but slightly increasing the tally cost. The proposed protocol makes use of a proper vote generation based on sending secret redundant information with the ballot when it is cast. For the homomorphic tally paradigm, we propose a zero knowledge proof of correctness of the ballot based on the proofs used to demonstrate the correctness of a shu e in the mix-type paradigm. This protocol makes possible to use the improvements on the shu e correctness proofs in the homomorphic tally paradigm. Finally, two di erent protocols are also proposed for the blind signature paradigm. The rst one uses credentials generated by means of a blind signature which allow eligible voters to cast their vote without leaking information about their identity. The second one is focused on solving the double voting problem in this paradigm. The protocol proposed uses o -line e-coin systems to provide anonymity disclosure in case of double voting.

La tesi doctoral titulada "Mètodes per a generar superfícies de Bézier triangulars utilitzant EDPs, minimització de funcionals i màscares," és un complet treball en què s'aborda el següent problema: com generar superfícies de Bézier triangulars que tinguen per frontera un conjunt de corbes donades. La tesi presenta diferents mètodes, amb gran varietat d'exemples, que permeten generar aquestes superfícies. Aquests mètodes han estat obtinguts a partir de diverses tècniques: - Equacions en derivades parcials. - Problemes variacionals. - Generació de xarxes de control mitjançant màscares. - Representacions de Weierstrass per superfices de Bézier minimals. Aquestes superfícies són àmpliament utilitzades en les branques del disseny gràfic assistit per ordinador, l'enginyeria industrial i la informàtica gràfica.

D. Kohel, i més endavant M. Fouquet i F. Morain, van estudiar l’estructura dels volcans de ℓ–isogènies d’una corba el·líptica sobre un cos finit, sent ℓ un primer qualsevol, i van donar algorismes per anar des del terra fins al cràter del volcà. Seguint aquests treballs, en aquesta tesi estudiem noves propietats dels volcans de ℓ–isogènies. Així, caracteritzem l’altura d’un volcà de ℓ–isogènies d’una corba el·líptica sobre un cos finit Fq a partir de les valoracions ℓ–àdiques del cardinal de la corba i de q − 1, i analitzem detalladament el cas ℓ = 3. D’altra banda, per a volcans anomenats regulars donem, segons l’estructura del subgrup de ℓ–Sylow de la corba, el nivell on està ubicada dins del volcà. Utilitzant aquest estudi, hem dissenyat un algorisme que genera, a partir d’una corba donada, un llistat de corbes isògenes a la corba inicial de forma ordenada segons el grau ℓ de la isogènia. Amb aquest objectiu, introduïm el concepte ℓ–cordillera, estructura formada per tots els ℓ–volcans sobre un mateix cos, per a un primer ℓ. Així, per recórrer tota una ℓ–cordillera saltarem d’un ℓ–volcà a un altre considerant isogènies de grau un primer ℓ′, diferent de ℓ. En un vessant més pràctic, hem treballat en l’ús de la criptografia el·líptica en dispositius com les targetes intel·ligents. Més concretament, ens hem centrat en els atacs que pateixen aquests dispositius, com els Zero-Value Points (ZVP), presentats per L. Goubin i ampliats per T. Akishita i T. Takagi. En aquesta tesi, proposem una contramesura a aquests atacs, seguint la línia de la proposada per N. Smart. La contramesura està basada en l’ús d’una variant de l’algorisme esmentat anteriorment que busca corbes resistents recorrent les ℓ–cordilleres de la corba inicial. Finalment, estudiem el comportament d’aquests atacs considerant corbes el·líptiques donades en el model d’Edwards. A diferència de les corbes el·líptiques expressades mitjançant l’equació de Weierstraß, les corbes d’Edwards no són vulnerables als atacs ZVP. / D. Kohel, y más adelante M. Fouquet y F. Morain, estudiaron la estructura de los volcanes de ℓ–isogenias de una curva elíptica sobre un cuerpo finito, siendo ℓ un primo cualquiera, y propusieron algoritmos para ir desde el suelo hasta el cráter del volcán. Siguiendo estos trabajos, en esta tesis, estudiamos propiedades de los volcanes de ℓ–isogenias. Así, caracterizamos la altura de un volcán de ℓ–isogenias de una curva elíptica sobre un cuerpo finito Fq a partir de las valoraciones ℓ–ádicas del cardinal de la curva y de q − 1, analizando en detalle el caso ℓ = 3. Por otro lado, para los volcanes llamados regulares damos, según la estructura del subgrupo de ℓ–Sylow de la curva, el nivel donde está ubicada dentro del volcán. Utilizando este estudio, hemos diseñado un algoritmo que genera, a partir de una curva dada, un listado de curvas isógenas a la curva inicial de forma ordenada según el grado ℓ de la isogenia. Con este objetivo, introducimos el concepto de ℓ–cordillera, estructura formada por todos los ℓ–volcanes sobre un mismo cuerpo, para un primo ℓ dado. Así, para recorrer toda una ℓ–cordillera, saltaremos de un ℓ–volcán a otro, considerando isogenias de grado un primo ℓ′, diferente de ℓ. En una vertiente más práctica, hemos trabajado en el uso de la criptografía elíptica en dispositivos como las tarjetas inteligentes. Más concretamente, nos hemos centrado en los ataques que sufren estos dispositivos, como los ataques Zero-Value Points (ZVP), presentados por L. Goubin y ampliados por T. Akishita y T. Takagi. En esta tesis, proponemos una contramedida a estos ataques, siguiendo la línea de la propuesta por N. Smart. La contramedida está basada en el uso de una variante del algoritmo mencionado anteriormente que busca curvas resistentes recorriendo las ℓ–cordilleras de la curva inicial. Finalmente, estudiamos el comportamiento de estos ataques considerando curvas elípticas dadas en el modelo de Edwards. A diferencia de las curvas elípticas expresadas mediante la ecuación deWeierstraß, las curvas de Edwards no son vulnerables a los ataques ZVP. / D. Kohel and later M. Fouquet and F. Morain studied the structure of volcanoes of ℓ–isogenies of an elliptic curve over a finite field, being ℓ any prime number. They also proposed algorithms to go from the floor to the crater of a volcano. Following these works, in this thesis we studied some properties of the ℓ–isogeny volcanoes. Thus, we characterized the height of an ℓ–isogeny volcano of an elliptic curve over a finite field Fq from the ℓ–adic valuations of the cardinality of the curve and q − 1, analyzing the case ℓ = 3 in detail. On the other hand, for the so-called regular volcanoes, we give the level where a curve is located inside the volcano, according to the structure of its ℓ–Sylow subgroup. From this study, we have designed an algorithm that generates, from a given curve, a list of curves isogenous to the initial one, in an organized manner, according to the degree ℓ of the isogeny. With this objective, we introduce the concept of ℓ–cordillera, a structure consisting of all the ℓ–volcanoes over a field, for a given prime ℓ. Thus, in order to explore a whole ℓ–cordillera, we jump from an ℓ–volcano to another, considering isogenies of degree a prime ℓ′ different from ℓ. In a more practical aspect, we worked on the use of elliptic curve cryptography on devices such as smart cards. More specifically, we focused on the attacks suffered by these devices, such as the Zero-Value Point (ZVP) attacks, which were presented by L. Goubin and extended by T. Akishita and T. Takagi. In this thesis, we propose a countermeasure to these attacks, along the lines of the one proposed by N. Smart. The countermeasure is based on the use of a variant of the algorithm mentioned above, that searches for strong curves exploring the ℓ–cordilleras of the initial curve. Finally, we studied the behavior of these attacks considering elliptic curves given in the Edwards model. Unlike elliptic curves expressed by the Weierstraß equation, Edwards curves are not vulnerable to ZVP attacks.

Los flujos con interfaces móviles (problemas de superficie libres y de dos fluidos) aparecen en numerosas aplicaciones de ingeniería. Los métodos presentados en esta tesis están orientados principalmente a la simulación del proceso de llenado de molde. Sin embargo la metodología es suficientemente general para ser aplicada a la mayoría de los flujos de superficie libres y de dos fluidos. El modelado numérico proporciona un modo eficiente de analizar los fenómenos físicos que ocurren durante procesos de inyección y fundición. Permite comprender detalles del flujo que de otra forma serían muy difíciles de observar.Se usa un método de elementos finitos de malla fija, donde la posición de interfaz es capturada por la función de Level Set. Los flujos a bajo número de Froude son particularmente desafiantes para los métodos de malla fija. Una representación precisa es necesaria en los elementos cortados por el frente. Se proponen dos alternativas. La primera alternativa usa el modelo de flujo de dos fases típico, enriqueciendo las funciones de forma de presión, para permitir una mejor aproximación de la discontinuidad en el gradiente de presión en la interfaz. La mejora de la representación del gradiente de presión es el ingrediente clave para el correcto modelado de tales flujos.La influencia del segundo fluido puede ser ignorada en una amplia variedad de aplicaciones para terminar con un modelo de superficie libre que es más simple que el modelo de flujo de dos fases. La discontinuidad en el gradiente de presión desaparece porque sólo se simula un fluido. La particularidad de este segundo método es que se usa una malla fija. Las condiciones de contorno son aplicadas exactamente usando integración mejorada e integrándose sólo en la parte llena de los elementos cortados por el frente. Se desarrolla un método ALE de malla fija para tener en cuenta correctamente que el dominio se mueve a pesar de que se usa una malla fija. Los métodos de segregación de presión son explorados como una alternativa a la discretización monolítica de las ecuaciones de Navier Stokes. Ellos desacoplan las incógnitas de velocidad y presión, conduciendo a subproblemas más pequeños y mejor condicionados. Los métodos de corrección de presión y corrección de velocidad son presentados y comparados numéricamente. Usando un Laplaciano discreto se obtiene un método de corrección de velocidad de tercer orden numéricamente estable.Los métodos son aplicados a problemas de llenado de moldes tridimensionales tomados directamente de la fundición con resultados muy satisfactorios. El modelo monolítico con superficial libre resulta ser la opción más robusta y eficiente. La comparación con un código comercial muestra la exactitud y la eficacia del método que proponemos. / Flows with moving interfaces (free surface and two-fluid interface problems) appear in numerous engineering applications. The methods presented in this thesis are oriented mainly to the simulation of mould filling process. Nevertheless the methodology is sufficiently general as to be applied to most free surface and two-fluid interface flows. Numerical modeling provides an efficient way of analyzing the physical phenomena that occur during casting and injection processes. It gives insight into details of the flow that would otherwise be difficult to observe.A fixed mesh finite element method, where the interface position is captured by the Level Set function, is used. Low Froude number flows are particularly challenging for fixed grid methods. An accurate representation is needed in the elements cut by the interface for such flows. Two alternatives are proposed.The first alternative is to use the typical two-phase flow model enriching the pressure shape functions so that the discontinuity in the pressure gradient at the interface can be better approximated. The improvement in the representation of the pressure gradient is shown to be the key to ingredient for the successful modeling of such flows.The influence of the second fluid can be neglected on a wide range of applications to end up with a free surface model that is simpler than the twophase flow model. The discontinuity in the pressure gradient disappears because only one fluid is simulated. The particularity of this second approach is that a fixed mesh is used. Boundary conditions are applied accurately using enhanced integration and integrating only in the filled part of cut elements.A fixed mesh ALE approach is developed to correctly take into account that the domain is moving despite a fixed mesh is used.Pressure segregation methods are explored as an alternative to the monolithic discretization of the Navier Stokes equations. They uncouple the velocity and pressure unknowns, leading to smaller and better conditioned subproblems. Pressure correction and velocity correction methods are presented and compared numerically. Using a discrete Laplacian a numerically stable third order velocity correction method is obtained.The methods are applied to three dimensional mould filling problems borrowed directly from the foundry with very satisfactory results. The free surface monolithic model turns out to be the most robust and efficient option. The comparison with a commercial code shows the accuracy and efficiency of the method we propose.

La teoría del procesado estadístico de la señal halla un amplio abanico de aplicaciones en los campos de las comunicaciones de datos, así como también en el procesado con agrupaciones de sensores. Ciertamente, un gran número de estas aplicaciones pueden ser interpretadas como un problema de estimación paramétrica, típicamente resuelto mediante una operación de filtrado lineal actuando sobre un conjunto de observaciones multidimensionales. Esta disertación está dedicada al diseño y evaluación de métodos de procesado estadístico de la señal en condiciones de implementación realistas encontradas en la práctica.Las técnicas tradicionales de procesado estadístico de la señal proporcionan un rendimiento satisfactorio dada la disponibilidad de un número particularmente elevado de observaciones de dimensión finita. En efecto, las condiciones de optimalidad originales no pueden garantizarse en teoría a menos que el número de muestras disponibles aumente de forma asintótica. En base a esta suposición, en ocasiones se puede obtener una caracterización estadística haciendo uso de la teoría de grandes muestras para matrices de covarianza muestral. En la práctica, no obstante, la aplicación de estos métodos debe necesariamente basarse en una ventana de observación de longitud finita. Además, la dimensión de las muestras recibidas, y el tamaño de la ventana de observación son a menudo comparables en magnitud. En estas situaciones, los planteamientos basados en el análisis estadístico multivariante clásico pierden eficiencia de forma significativa.En esta tesis se proporciona un marco teórico para la caracterización de la pérdida de eficiencia que los enfoques estadísticos clásicos experimentan en aplicaciones típicas del procesado de la señal en las condiciones prácticas mencionadas con anterioridad. En base a la teoría del análisis espectral de matrices aleatorias de grandes dimensiones, o teoría de matrices aleatorias, se construye una familia de métodos de inferencia estadística que superan las limitaciones de los esquemas de estimación tradicionales para un tamaño de muestra y dimensión de la observación comparativamente grandes. Específicamente, los estimadores de la nueva clase obtenida generalizan las implementaciones al uso siendo consistentes incluso para observaciones con dimensión arbitrariamente grande. En particular, el marco teórico propuesto es empleado para caracterizar de forma adecuada el rendimiento de sistemas multi-antena con preámbulos de entrenamiento en un régimen asintótico más acorde definido por un tamaño y dimensión de las muestras que crecen sin límite con razón constante. Además, el problema de filtrado óptimo de rango reducido es revisado y extendido de forma que se satisfaga la definición anterior de consistencia generalizada. Por otro parte, se proporciona una caracterización asintótica en el doble límite de un conjunto de formas cuadráticas de las potencias negativas de la covarianza de la observación que generaliza los resultados existentes referentes a los momentos negativos de la distribución de Wishart. A partir de estos resultados, se construye una clase de estimadores de potencia de fuente mejorados que son robustos a imprecisiones en el conocimiento del nivel de ruido y de la matriz de covarianza real.Con el propósito de reducir la complejidad computacional asociada a implementaciones prácticas basadas en la inversión de matrices, se aborda una solución a los problemas anteriores en términos de las potencias positivas de la matriz de covarianza muestral. A tal efecto, se obtienen una clase de estimadores consistentes generalizados del espectro de la matriz de covarianza y del nivel de potencia en el subespacio de Krylov definido por la covarianza real y el vector de firma asociado al parámetro de interés. Como contribución final, se propone una arquitectura de filtrado robusto a constricciones de la firma que es consistente en el régimen doblemente asintótico de referencia a lo largo de la tesis. / The theory of statistical signal processing finds a wide variety of applications in the fields of data communications, such as in channel estimation, equalization and symbol detection, and sensor array processing, as in beamforming, and radar and sonar systems. Indeed, a large number of these applications can be interpreted in terms of a parametric estimation problem, typically approached by a linear filtering operation acting upon a set of multidimensional observations. This dissertation is devoted to the design and evaluation of statistical signal processing methods under realistic implementation conditions encountered in practice.Traditional statistical signal processing techniques intrinsically provide a good performance under the availability of a particularly high number of observations of fixed dimension. Indeed, the original optimality conditions cannot be theoretically guaranteed unless the number of samples increases asymptotically to infinity. In practice, though, the application of these methods to the implementation of practical signal processing systems must rely on an observation window of finite length. Moreover, the dimension of the received samples and the window size are most often comparable in magnitude. Under these situations, approaches based on the classical multivariate statistical analysis significantly lose efficiency or cannot even be applied. As a consequence, the performance of practical solutions in some real situations might turn out to be unacceptable.In this dissertation, a theoretical framework for characterizing the efficiency loss incurred by classical multivariate statistical approaches in conventional signal processing applications under the practical conditions mentioned above is provided. Based on the theory of the spectral analysis of large-dimensional random matrices, or random matrix theory (RMT), a family of new statistical inference methods overcoming the limitations of traditional inferential schemes under comparably large sample-size and observation dimension is derived. Specifically, the new class of consistent estimators generalize conventional implementations by proving to be consistent even for a limited number of samples per filtering degree-of-freedom.In particular, the proposed theoretical framework is shown to properly characterize the performance of multi-antenna systems with training preambles in the more meaningful asymptotic regime defined by both sample size and dimension increasing without bound at the same rate. Moreover, the problem of optimum reduced-rank linear filtering is reviewed and extended to satisfy the previous generalized consistency definition. On the other hand, an asymptotic characterization of a set of vector-valued quadratic forms involving the negative powers of the observation covariance is provided that generalizes existing results on the limiting eigenvalue moments of the inverse Wishart distribution. Using these results, a new generalized consistent eigenspectrum estimator is derived that uniquely relies on the sample covariance matrix (SCM) and does not require matrix eigendecomposition. The effectiveness of the previous spectral estimator is demonstrated via the construction of a source power estimator that is robust to inaccuracies in the knowledge of both noise level and true covariance matrix.In order to alleviate the computation complexity issue associated with practical implementations involving matrix inversions, a solution to the two previous problems is afforded in terms of the positive powers of the SCM. To that effect, a class of generalized consistent estimators of the covariance eigenspectrum and the power level are obtained on the Krylov subspace defined by the true covariance matrix and the signature vector associated with the intended parameter. Finally, a signal-mismatch robust filtering architecture is proposed that is consistent in the doubly-asymptotic regime.

Aquesta tesi es situa en el marc de la teoriaqualitativadelssistemesd’equacionsdiferencials en el pla. Cada capítol conté un aspectediferent, però en totsells es tractenproblemes, la soluciódelsqualsestà basada en el rol que hi juguen les simetriesdiscretes i continues (reversibilitat o simetries de Lie) de campsvectorialsplans. A la introducció, es dóna un resumdelsresultatsmésconeguts i s’hiintrodueix la notació que es fa servir al llarg de la tesi. En el segon i tercer capítol, s’aborda el problema de trobarl’expressió explícita del canvilinealitzant o orbitalmentlinealitzantd#un camp vectorial suau a partir del coneixementd’uncommutador, en el cas de la linealització, o una simetria de Lie, en el cas de la linealització orbital. Cada capítol finalitzaambexemplesil.lustratius del procedimentconstructiudelscanvis. Al Capítol 5 s’apliquenelsresultatsdelscapítolsanteriors, combinatsamblinealitzacionsDarbouxianes. Concretament, es considera un sistema quadràtictipusLotka-Volterra i es caracteritzen les selles linealitzables i orbitalmentlinealitzablesmitjançant la troballadelscanvislinealitzants o orbitalmentlinealitzants. En el sisè capítol, s’utilitzal’existènciad’unàlgebra de simetriespuntuals de Lie per donar informació sobre l’existència i localitzaciód’òrbitesperiòdiques. En particular, quanl’àlgebra de simetriespuntuals de Lie d’unaequació diferencial escalar de segónordreautònoma i suau té dimensiómajor o igual a dos, definim les anomenadesfuncionsfonamentals que enspermeten estudiar les òrbitesperiòdiques al pla de fases. En el cas particular d’equacionspolinomials de Liénard, mostrem la no existència de cicles límit en tot el pla de fases. Finalment, al Capítol 7 es relacionen elssistemes reversibles amb el problema del centre aixícomamb el problema de la integrabilitat analítica. Consideremsistemesd’equacionsdiferencialsanalíticsamb centres degenerats i mostrem que poden transformar-se, després d’un reescalat del temps, en un sistema lineal i reversible. El coneixement de integralsprimeresens proporciona un procediment per caracteritzar, en alguns casos, la condició de reversibilitat del centre degenerat. D’altra banda, relacioneml’existència de integralsprimeresanalítiquesamb la reversibilitat orbital analítica en el cas de singularitatsdèbils no degenerades.

Los flujos Morse-Smale constituyen la clase de los flujos más simples entre los estructuralmente estables. El estudio de este tipo de flujos, como el de otros flujos genéricos, está dirigido a su clasificación topológica. La caracterización topológica del conjunto de órbitas periódicas de un sistema Morse-Smale No Singular (en adelante, NMS), sobre la esfera S3 ha sido realizado por M. Wada. Aunque esto ha supuesto un paso muy importante en el estudio cualitativo de los sistemas NMS, la variedad sobre la que se estudia es muy restrictiva, por lo que es interesante hacer un estudio análogo sobre otras variedades tridimensionales .Dado que resultados previos de J.W. Morgan y D. Asimov asocian los centros de los toros en una descomposición en asas redondas de una variedad tridimensional con las órbitas periódicas del flujo NMS, y que cada órbita periódica de un sistema dinámico continuo sobre una variedad de dimensión tres puede considerarse como un nudo, estudiaremos la dinámica del sistema aplicando resultados de Teoría de Nudos sobre las cadenas formadas por las órbitas periódicas del flujo NMS. Por tanto, nuestro primer objetivo es obtener la descomposición en asas redondas de la variedad, encontrando todas las posibles asas ampliadas en S2xS1.A partir de esta descomposición en asas redondas de la variedad, se obtiene la caracterización topológica del conjunto de órbitas periódicas de un sistema NMS sobre S2xS1 en términos de siete operaciones sobre cadenas de órbitas periódicas con índice, cadenas y órbitas que pueden ser locales o globales en la variedad.A continuación se lleva a cabo un estudio de los flujos NMS en S2xS1 con pocas órbitas y asociado a las operaciones previamente descritas. Asimismo, se define la suma conexa de flujos sobre variedades que son, a su vez, suma conexa de las variedades sobre las que están definidos los flujos respectivos. Además, se presta especial atención al flujo NMS asociado a asas ampliadas provenientes de pegadas esenciales de asas, cuya relevancia es notoria en el caso en que S2xS1 sea espacio de fases de un sistema Hamiltoniano integrable con una integral primera no degenerada, llamada integral de Bott.S2xS1 es interesante también, desde otro punto de vista, ya que aparece como espacio de fases de sistemas Hamiltonianos Bott integrables que modelizan casos prácticos de Mecánica Celeste, tales como el problema de Dos Centros Fijos. En nuestro estudio de este problema demostramos que el espacio de fases global es, para algunos valores de la energía, la variedad S2xS1. La caracterización topológica del conjunto de órbitas periódicas obtenida previamente permite estudiar las operaciones sobre cadenas con índices que generan las cadenas de órbitas periódicas del problema de Dos Centros Fijos y el tipo de flujos a que dan lugar.

This works has been organized in three parts. The first (Chapter 1 to 5) is dedicated to the development and study of a procedure for the accurate computation of frequencies, as well ans the related Fourier coefficients, of a quasi-periodical funcition. The second part of the work (Chapters 6 to 7) is devoted to the study to the dynamics in the vicinity of the collinear equilibrium points of the three-dimensional RTBP fo the Earth-Moon mass parameter. The third part consists in several appendices, which give some additional results that have been taken apart from the main text in order to improve its readability.

L'anàlisi i el control de sistemes amb incerteses són un dels problemes més interessants en l'àmbit de la teoria de control. En les últimes dues dècades hi ha hagut un augment important en la recerca dedicada a resoldre de forma analítica problemes de control on les incerteses poden aparèixer tant en la representació del sistema com en les mesures. No obstant, la profusió de la producció científica amb una marcada orientació teòrica no ha estat acompanyat d'una recerca similar dels aspectes d'un caire més aplicat. Aquesta tesi pretén contribuir en la comprensió d'alguns aspectes pràctics d'algoritmes de control específics. Més concretament, tractem el popular mètode anomenat backstepping i una recent tècnica computacional per resoldre el problema de la síntesi de sistemes no lineals.Respecte als sistemes no lineals, els anys 90 van començar amb un important avenç: el backstepping, mètode de control recursiu per a sistemes no lineals i no restringit a fites lineals. La verdadera força d'aquest mètode va ser descoberta quan es van desenvolupar els dissenys de control per a sistemes no lineals amb incerteses estructurades. La manera com el backstepping incorporava les incerteses i els paràmetres desconeguts va contribuir a la seva difusió i acceptació. Aquesta tesi es dedica, d'una banda, a aplicar aquest mètode de control en el camp de l'enginyeria civil i, d'altra banda, a fer un estudi de la sensibilitat numèrica de la implementació computacional del mètode.En l'aplicació d'enginyeria civil, es considera un sistema de control híbrid per estructures amb aïllament de base histerètic (control passiu) i un sistema de control actiu. L'objectiu de la component de control actiu, aplicat a la base de l'estructura, és mantenir els desplaçaments relatius de la base amb el terra, i de l'estructura amb la base dintre d'un rang raonable, d'acord amb el disseny de l'aïllament de base. L'aïllament de base exhibeix un comportament histerètic no lineal, descrit pel model de Bouc-Wen. El sistema es formula representant la dinàmica del sistema en dos sistemes de coordenades: absolutes (respecte un eix inercial) i relatives al terreny. Es presenta una comparació entre les dues alternatives a través de simulacions numèriques i s'observa com, efectivament, la llei de control backstepping garanteix l'estabilitat i un bon comportament transitori del llaç tancat.Una altra línia de recerca ha estat l'estudi de la sensibilitat numèrica del backstepping adaptatiu. En aquest sentit, la complexitat de la llei de control fa imprescindible l'ajut del càlcul numèric per a fer les computacions del senyal de control. El nostre treball estudia per primer cop els aspectes de sensibilitat numèrica del disseny de sistemes de control mitjançant backstepping. Es demostra que, tot i que l'augment dels paràmetres de disseny millora teòricament la resposta del sistema, aquest augment provoca l'aparició d'altes freqüències en el senyal de control.La tercera línia de recerca que tractem en aquest treball és la utilització de solucions numèriques a problemes de control quan solucions analítiques -com ara el backstepping- fallen o són molt difícils d'implementar. De fet, una limitació de la tècnica del backstepping és la necessitat de que el sistema controlat tingui una certa estructura triangular. D'altra banda, una altra limitació pràctica d'aquest mètode és la sensibilitat numèrica o la complexitat de la llei de control. Com una alternativa a les solucions analítiques del problemes de control, es presenta una nova tècnica numèrica. La tècnica està basada en un criteri de convergència recentment desenvolupat -dual del segon teorema de Lyapunov- i en un programari que verifica la positivitat de polinomis de vàries variables basant-se en una descomposició en sumes de quadrats. Les nostres contribucions en aquesta àrea consisteixen a estendre aquestes tècniques a sistemes racionals i la inclusió d'incerteses paramètriques en la formulació del problema de síntesi del control.