Cette thèse s'intéresse à la recherche de points rationnels sur les courbes elliptiques. Darmon et Logan ont proposé une construction conjecturale de points rationnels sur des courbes elliptiques modulaires définies sur un corps de nombres totalement réel. Cette construction va au delà de la construction classique des points de Heegner. C'est sur la généralisation de ces travaux que porte cette thèse. Après un premier chapitre de rappels concernant essentiellement les variétés de Shimura, on construit, dans le chapitre deux une forme différentielle dont l'ensemble des périodes est, sous une conjecture due à Yoshida, un réseau. On y définit aussi un ensemble de cycles dont la classe d'homologie est de torsion. A l'aide de ces données, on énonce au chapitre suivant une conjecture généralisant celle de Darmon et Logan. On s'interesse aussi aux propriétés de ces nouveaux points, principalement en lien avec les théorèmes "classiques" de Gross-Zagier et Gross-Kohnen-Zagier. Le chapitre 4 tente de rendre holomorphes les opérations du chapitre 2, et le chapitre 5 de les rendre plus explicites. Cette thèse comporte une annexe concernant les vérifications informatiques de la conjecture de Darmon.

Cette thèse est consacrée à l'étude d'une conjecture de Lang et Silverman de minoration de la hauteur de Néron-Tate sur les variétés abéliennes sur les corps de nombres. Le premier chapitre décrit le matériel nécessaire à l'étude des chapitres suivants et fixe les notations et normalisations. On montre dans le second chapitre que la conjecture est vraie pour certaines classes de variétés abéliennes de dimension 2, en particulier pour les jacobiennes ayant potentiellement bonne réduction et restant loin des produits de courbes elliptiques dans l'espace de modules. Le second chapitre renferme aussi des corollaires allant dans la direction de la conjecture de borne uniforme sur la torsion et de majoration uniforme du nombre de points rationnels d'une courbe de genre 2. Le troisième chapitre généralise les résultats de minoration du second chapitre aux jacobiennes de courbes hyperelliptiques de genre g supérieur ou égal à 2. Le quatrième chapitre contient une étude de la restriction des scalaires à la Weil et une étude asymptotique de la hauteur des points de Heegner sur les jacobiennes de courbes modulaires. Le cinquième chapitre est une annexe contenant des formules explicites utiles pour la dimension 2 et un paragraphe sur un raisonnement par isogénies.

Le résultat principal de ce texte est une généralisation de la formule de Gross-Zagier p-adique de Perrin-Riou au cas de courbes de Shimura sur les corps totalement réels. Soit F un corps totalement réel. Soit f une forme modulaire de Hilbert sur F de poids parallel 2, qui est une forme nouvelle et est ordinaire en p. Soit E est une extension quadratique totalement imaginaire de F de discriminant premier à p et au conducteur de f. On peut construire une fonction L p-adique qui interpole valeurs spéciales de la fonction L complexe associée à f, E et caractères de Hecke d'ordre fini de E. La formule p-adique de Gross-Zagier relie la dérivée centrale de cette fonction L p-adique à la hauteur d'un divisor de Heegner sur une certaine courbe de Shimura. La stratégie de la preuve est proche de celle du travail original de Perrin-Riou. Dans la partie analytique, on construit le noyau analytique par calculs adéliques; dans la partie géométrique, on décompose le noyau géométrique en deux parties: places hors de p et places divisant p. Pour les places hors de p, les hauteurs p-adiques sont essentiellement des nombres d'intersection et sont calculées dans les travaux de S. Zhang, et il s'avère que cette partie est bien liée au noyau analytique. Pour les places divisant p, on utilise la méthode dans le travail de J. Nekovar pour montrer que la contribution de cette partie est nulle. / The main result of this text is a generalization of Perrin-Riou's p-adic Gross-Zagier formula to the case of Shimura curves over totally real fields. Let F be a totally real field. Let f be a Hilbert modular form over F of parallel weight 2, which is a new form and is ordinary at p. Let E be a totally imaginary quadratic extension of F of discriminant prime to p and to the conductor of f. We may construct a p-adic L function that interpolates special values of the complex L functions associated to f, E and finite order Hecke characters of E. The p-adic Gross-Zagier formula relates the central derivative of this p-adic L function to the p-adic height of a Heegner divisor on a certain Shimura curve. The strategy of the proof is close to that of the original work of Perrin-Riou. In the analytic part, we construct the analytic kernel via adelic computations, in the geometric part, we decompose the geometric kernel into two parts: places outside p and places dividing p. For places outside p, the p-adic heights are essentially intersection numbers and are computed in works of S. Zhang, and it turns out that this part is closely related to the analytic kernel. For places dividing p, we use the method in the work of J. Nekovar to show that the contribution of this part is zero.

Soit K|Q un corps de nombres et soit ζK(s) sa fonction L complexe associée. La formule analytique du nombre de classes fournit un lien entre les valeurs spéciales de ζK(s) et les invariants du corps K. Elle admet une version Galois-équivariante. On a un schema similaire pour les courbes elliptiques. Soit E/Q une courbe elliptique et soit L(E/Q, s) sa fonction L complexe associée. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit un lien entre le comportement de L(E/Q, s) au point s = 1 et la structure des solutions rationnelles de l’équation definie par E. Comme la formule analytique du nombre de classes, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer admet une version équivariante. La conjecture de Stark elliptique formulée par H. Darmon, A. Lauder et V. Rotger propose un analogue p-adique de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer équivariante, qui nécessite certaines hypothèses. Dans leur article, les auteurs formulent la conjecture et donnent une démonstration dans certains cas où E a bonne réduction en p. Pour cela, ils utilisent la méthode de Garrett-Hida qui conduit à une factorisation de fonctions L p-adiques. Dans cette thèse on se concentre sur la conjecture de Stark elliptique et l’on montre comme il est possible d’étendre le résultat de Darmon, Lauder et Rotger. Dans le cas où E a bonne réduction en p on peut étendre le résultat en utilisant la méthode de Hida- Rankin. Cette méthode nous donne un contrôle meilleur sur les constantes apparaissant dans les formules et nous amène à une formule explicite contenant les invariants de la courbe elliptique. Pour obtenir le résultat on adapte la preuve du théorème principal de Darmon, Lauder et Rotger à notre cas et on utilise une formule p-adique de Gross et Zagier qui relie les valeurs spéciales de la fonction L padique de Bertolini-Darmon-Prasanna et les points de Heegner. Ensuite on voit comment étendre notre résultat et celui de Darmon-Lauder-Rotger au cas où E a réduction multiplicative en p. Dans ce cadre, on ne peut pas utiliser la fonction L p-adique de Bertolini-Darmon-Prasanna en raison de problèmes techniques. Pour éliminer cette difficulté on consid`ere la fonction L p-adique de Castellà. On utilise aussi la méthode de Garrett-Hida ainsi que la méthode d’Hida-Rankin et l’on obtient des résultats similaires aux cas de bonne réduction. / Let K|Q be a number field and let ζK(s) be its associated complex L-function. The analytic class number formula relates special values of ζK(s) with algebraic invariants of the field K itself. It admits a Galois equivariant refinement known as Stark conjectures. We have a very similar picture in the case of elliptic curves. Let E/Q be an elliptic curve and let L(E/Q, s) be its associated complex L-function. The conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer relates the behaviour of L(E/Q, s) at s = 1 to the structure of rational solutions of the equation defined by E. The equivariant Birch and Swinnerton- Dyer conjecture is obtained including in the picture the action of Galois groups. The elliptic Stark conjecture formulated by H. Darmon, A. Lauder and V. Rotger purposes a p-adic analogue of the equivariant Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, under several assumption. In their paper, the authors formulate the conjecture and prove it in some cases of good reduction of E at p using Garrett-Hida method and performing a factorization of p-adic L-functions. In this dissertation we focus on the elliptic Stark conjecture and we show how it is possible to extend the result of Darmon, Lauder and Rotger. In the case of good reduction of E at p we can slightly extend the result using Hida- Rankin method. This method also gives us a better control of the constants appearing in the result, thus yielding an explicit formula which contains invariants associated with the elliptic curve. To achieve the proof we mimic the main result of Darmon, Lauder and Rotger in our setting and we make use of a p-adic Gross-Zagier formula which relates special values of the Bertolini-Darmon-Prasanna p-adic L-function to Heegner points. In a second moment we extend both our result and Darmon-Lauder-Rotger result to the case of multi- plicative reduction of E at p. In this setting we cannot use Bertolini- Darmon Prasanna p-adic L-function due to some technical reasons. In order to avoid the problem we consider Castellà’s two variables p-adic L-function. We use both Garrett-Hida method and Hida-Rankin method. In the two cases we obtain formulae which are similar to those of the good reduction setting.